Automatyka i robotyka

Automatyka i robotyka Wykład 6 - Odpowiedź częstotliwościowa Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 37

Plan wykładu Wprowadzenie Podstawowe człony dynamiczne Kształtowanie charakterystyki częstotliwościowej Pasmo przenoszenia 2 z 37

Koncepcja odpowiedzi częstotliwościowej Fakt W stanie ustalonym, sinusoidalny sygnał wejściowy układu liniowego generuje odpowiedź sinusoidalną o tej samej częstotliwości ale o innej amplitudzie i przesunięciu fazowym. Zmiana amplitudy i fazy zależy od częstotliwości Odpowiedź częstotliwościowa - wyrażenie analityczne G(jω) = G(s) s jω 3 z 37

Koncepcja odpowiedzi częstotliwościowej Dla układu gdzie G(s) = L(s) M(s) G(jω) = L(jω) M(jω) = G(jω) = L(jω) M(jω) = arctg mamy G(jω) = L(ω) M(jω) = G(jω) G(jω) Re(L(jω) 2 + Im(L(jω) 2 ) Re(M(jω) 2 + Im(M(jω) 2 ) ( ) Im(L(jω)) arctg Re(L(jω)) ( ) Im(M(jω)) Re(M(jω)) 4 z 37

Odpowiedź częstotliwościowa Przykład Narysuj charakterystykę częstotliwościową układu G(s) = L(s) M(s) = s + 5 s + 10 G(jω) = jω + 5 jω + 10) Wyznaczamy moduł i przesuniecie fazowe G(jω) = L(ω) ω M(jω) = 2 + 25 ω 2 + 100 ( ω ) ( ω G(jω) = L(jω) M(jω) = arctg arctg 5 10) 5 z 37

Odpowiedź częstotliwościowa Przykład 1 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 skrypt Matlab a 0.65 [rad] 0.6 0.55 0.5 0 20 40 60 80 100 [rad/sec] 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 w=0:0.2:100; s=tf( s ); sys=(s+5)/(s+10) y=freqresp(sys,w); plot(w,squeeze(abs(y))) plot(w,squeeze(angle(y))) 0.1 0.05 6 z 37 0 0 20 40 60 80 100 [rad/sec]

Odpowiedź częstotliwościowa Przykład Wykres Bode go (polecenie bode(sys) w Matlab ie) 1 Bode Diagram 0.9 Magnitude (abs) 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 Phase (rad) 0.2 0.1 7 z 37 0 10 1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec)

Odpowiedź częstotliwościowa Dla dowolnej transmitancji G(s) posiadającej m zer i n biegunów mamy G(s) = K (s z 1)(s z 2 )...(s z m 1 )(s z m ) (s p 1 )(s p 2 )...(s p n 1 )(s p n ) i dlatego G(jω) =K (jω z 1)(jω z 2 )...(jω z m 1 )(jω z m ) (jω p 1 )(jω p 2 )...(jω p n 1 )(jω p n ) =K(jω z 1 )(jω z 2 )...(jω z m 1 )(jω z m ) 1 1 (jω p 1 ) (jω p 2 )... 1 1 (jω p n 1 ) (jω p n ) 8 z 37

Odpowiedź częstotliwościowa Dla wysokich czestotliwości ω możemy na podstawie liczby zer (m) i biegunów (n) wyznaczyć końcowe wzmocnienie oraz przesunięcie fazowe lim G(jω) = K 1 ω ω n m lim ω G(jω) = (n m)π 2 9 z 37

Skala [db] Określenie stosunku dwóch poziomów mocy - jednostka [Bel] zbyt duża w praktyce dlatego używamy [db] ( ) ( ) Pwy Pwy Q = log 10 [Bel] = 10log P 10 [db] we P we Ponieważ moc sygnału jest proporcjonalna do () 2 amplitudy sygnału to ( ) 2 Awy Q = 10log 10 = 20log A 10 we ( Awy A we ) [db] 10 z 37

Skala [db] [db] stosunek mocy stosunek amplitud -40 0.0001 0.01-20 0.010 0.1-10 0.1 0.3162-6 0.25 0.5-3 0.5 0.7071 0 1.0 1.0 3 2.0 1.414 6 4.0 2.0 10 10.0 3.162 20 100.0 10.0 40 10000.0 100.0 11 z 37

Skala [db] Dla transmitancji G(s) mamy oraz Najważniejsza właściwość 20log 10 G(jω) = 20log 10 Y (jω) U(jω) G(jω) = Y (jω) U(jω) 20log 10 G 1 (jω)g 2 (jω)/g 3 (jω) =20log 10 G 2 (jω) + 20log 10 G 1 (jω) 20log 10 G 3 (jω) G 1 (jω)g 2 (jω)/g 3 (jω) = G 1 (jω) + G 2 (jω) G 3 (jω) 12 z 37

Podstawowe człony dynamiczne Człon całkujący Transmitancja Odpowiedź częstotliwościowa G(s) = 1 s G(jω) = 1 ω, G(jω) = π 2 lub 90o 13 z 37

Podstawowe człony dynamiczne Człon całkujący 5 Bode Diagram 0 Magnitude (db) 5 10 15 20 89 Phase (deg) 89.5 90 90.5 14 z 37 91 10 0 10 1 Frequency (rad/sec)

Podstawowe człony dynamiczne Człon inercyjny Transmitancja członu inercyjnego G(s) = 1 s + a = 1 a ( s a + 1 ) (LF) Dla s 0 mamy 20log 10 G(jω) = 20log 10 (1/a) (MF) Punkt przegięcia dla s = a[rad/sec] (HF) Dla s mamy 1 20log 10 G(jω) =20log 10 a 20log 10 G(jω) = 90 o ω a 20log 10 ω 15 z 37

Podstawowe człony dynamiczne Człon inercyjny Bode Diagram 10 G(s)=1/(s+5) 15 20 Magnitude (db) 25 30 35 40 0 Phase (deg) 45 90 10 1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) 16 z 37

Podstawowe człony dynamiczne Człon różniczkujący Transmitancja Odpowiedź częstotliwościowa G(jω) = ω, G(s) = s G(jω) = π 2 lub + 90o 17 z 37

Podstawowe człony dynamiczne Człon różniczkujący 20 Bode Diagram 15 Magnitude (db) 10 5 0 5 91 Phase (deg) 90.5 90 89.5 18 z 37 89 10 0 10 1 Frequency (rad/sec)

Podstawowe człony dynamiczne Rzeczywiste zero Transmitancja układu to ( s ) G(s) = (s + a) = a a + 1 (LF) Dla s 0 mamy 20log 10 G(jω) = 20log 10 (a) (MF) Punkt przegięcia dla s = a[rad/sec] (HF) Dla s mamy 20log 10 M(jω) =20log 10 a+20log 10 ω a 20log 10 ω G(jω) =90 o 19 z 37

Podstawowe człony dynamiczne Rzeczywiste zero Bode Diagram 10 G(s)=1/(s+5) 15 20 Magnitude (db) 25 30 35 40 0 Phase (deg) 45 90 10 1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) 20 z 37

Podstawowe człony dynamiczne Człon 2-ego rzędu Transmitancja członu to 1 G(s)= s 2 +2ζ ω n s+ωn 2 = ω 2 n ( s 2 ω 2 n 1 ) +2ζ ω s n +1 (LF) Dla s 0 mamy 20log 10 G(jω) = 20log 10 ω 2 (MF) Punkt przegięcia dla s = ω n [rad/sec] (HF) Dla s mamy 20log 10 G(jω) 20log 10 ω 2 = 40log 10 ω G(jω) = 180 o 21 z 37

Podstawowe człony dynamiczne Człon 2-ego rzędu Bode Diagram 20 30 40 50 Magnitude (db) 60 70 80 90 100 110 120 0 45 Phase (deg) 90 135 180 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/sec) 22 z 37

Podstawowe człony dynamiczne Sprzężone zera Transmitancja członu to G(s)=s 2 +2ζ ω n s+ω 2 n =ω 2 n ( s 2 ω 2 n +2ζ s ) +1 ω n (LF) Dla s 0 mamy 20log 10 G(jω) = 20log 10 ω 2 (MF) Punkt przegięcia dla s = ω n [rad/sec] (HF) Dla s mamy 20log 10 G(jω) 20log 10 ω 2 = 40log 10 ω G(jω) =180 o 23 z 37

Podstawowe człony dynamiczne Sprzężone zera Bode Diagram 120 s 2 +10s+100 110 100 90 Magnitude (db) 80 70 60 50 40 30 20 180 135 Phase (deg) 90 45 0 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/sec) 24 z 37

Podstawowe człony dynamiczne - podsumowanie Opis G(s) punkt Nachylenie przegięcia HF ([db/dec]) Stała K - 0 Biegun w 0 1 s - -20 Zero w 0 s - +20 1 1 Rzecz. biegun τs+1 τ -20 1 Rzecz. zero τs + 1 τ +20 ω 2 n s 2 +2ζ ω n s+ω 2 n Sprzężone bieguny ω n -40 1 Sprzężone zera (s 2 +2ζ ω ωn 2 n s+ωn) 2 ω n +40 25 z 37

Kształtowanie char. częstotliwościowej Transmitancja układu zamkniętego G cl (s) = C(s)G(s) 1 + C(s)G(s) = G o(s) 1 + G o (s) gdzie G o (s) = C(s)G(s). Rysując wykres Bode go dla G o (s) dodajemy (graficznie) charakterystyki częstotliwościowe regulatora C(s) i obiektu G(s), gdyż 20log 10 G o (jω) =20log 10 C(jω)G(jω) =20log 10 C(jω) + 20log 10 G(jω) oraz G o (jω) = C(jω) + G(jω) 26 z 37

Projektowanie regulatorów w dziedzinie częstotliwości Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet: Stabilność i wymagania jakościowe są prezentowane na tym samym wykresie. Możemy używać rzeczywistych pomiarów (FRF) zamiast modelu w formie transmitancji. Projektowanie jest niezależne od rzędu układu. Regulatory dla układów z opóźnieniami też możemy projektować bez większych trudności. Metody graficzne (analiza i synteza z użyciem odpowiednich diagramów) jest relatywnie łatwa. 27 z 37

Zapas wzmocnienia i fazy Zapas wzmocnienia Zmiana wzmocnienia w układzie otwartym (K(s)G(s)) potrzebna aby układ zamknięty był niestabilny. Układy z większym zapasem wzmocnienia są bardziej odporne (ang. robust) na zmiany parametrów układu zanim układ zamknięty będzie niestabilny. 28 z 37

Zapas wzmocnienia i fazy Zapas fazy Zmiana fazy w układzie otwartym (K(s)G(s)) potrzebna aby układ zamknięty był niestabilny. Zapas fazy określa tolerancję układu na opóźnienia. Opóźnienia większe niż 180/ω pc (ω pc - częstotliwość przy którym przesunięcie fazowe = 180 o ) w pętli powodują niestabilność układu zamkniętego. 29 z 37

Zapas wzmocnienia i fazy Przykład K(s) = 50,G(s) = 1 s 3 + 9s 2 + 30s + 40 20 Bode Diagram Gm = 13.3 db (at 5.48 rad/sec), Pm = 101 deg (at 1.85 rad/sec) 0 Magnitude (db) 20 40 60 80 100 0 Phase (deg) 90 180 30 z 37 270 10 1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec)

Zapas wzmocnienia i fazy Zmieniając wzmocnienie układu (K(s) = 5000(100 )) nie musimy kreślić nowego wykresu Bode go aby odczytać zapas fazy. Wystarczy na utworzonym już wykresie sprawdzić zapas fazy dla 40dB (40dB odpowiada wzmocnieniu 100 razy). 50 Bode Diagram Gm = 26.7 db (at 5.48 rad/sec), Pm = 59.6 deg (at 16.9 rad/sec) Magnitude (db) 0 50 0 Phase (deg) 90 180 270 10 1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) 31 z 37

Pasmo przenoszenia Pasmem przenoszenia (ang. bandwidth) - częstotliwość (ω BW ) przy której wzmocnienie układu zamkniętego = 3dB. Jednak korzystając z metod odpowiedzi częstotliwościowej oczekujemy określenia odpowiedzi układu zamkniętego na podstawie odpowiedzi układu otwartego. Na podstawie odpowiedzi układu 2-ego rzędu, możemy przyjąć, iż pasmo przenoszenia odpowiada częstotliwości dla której wzmocnienie układu otwartego jest pomiędzy 6 i 7.5dB (przyjmując, że przesuniecie fazowe dla tego wzmocnienia jest pomiędzy 135 o i 225 o ). 32 z 37

Pasmo przenoszenia Przykład Transmitancja układu zamkniętego G cl = 1 s 2 + 0.5s + 1 20 Bode Diagram 0 Magnitude (db) 20 40 60 80 0 Phase (deg) 45 90 135 ω BW =1.4[rad/sec] 33 z 37 180 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec)

Pasmo przenoszenia Przykład dla ω < ω BW dla ω > ω BW 1.5 Wyjscie 1.5 Wyjscie Wymuszenie Wymuszenie 1 1 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 1 1 1.5 1.5 50 60 70 80 90 100 90 92 94 96 98 100 34 z 37

Pasmo przenoszenia Relacje ze współczynnikiem tłumienia (ζ ) i czasem ustalania(t S ) ω BW = ω n (1 2ζ 2 ) + 4ζ 4 4 ζ 2 + 2 ω n = 4 T s ζ 140 120 100 ω BW *T S 80 60 40 20 35 z 37 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ζ

Pasmo przenoszenia Relacje ze współczynnikiem tłumienia (ζ ) i czasem max. przeregulowania (T P ) ω BW = ω n (1 2ζ 2 ) + 4ζ 4 4 ζ 2 + 2 π ω n = T p 1 ζ 2 7 6.5 6 ω BW *T P 5.5 5 4.5 36 z 37 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ζ

Wskaźniki jakościowe Określanie wskaźników jakościowych układu zamkniętego: musimy zapewnić stabilność układu otwartego jeśli będziemy używać diagramów Bode go. sprawdzamy czy ω gc < ω pc ) aby stwierdzić czy układ zamknięty będzie stabilny. dla układu 2-ego rzędu, współczynnik tłumienia (układu zamkniętego) jest w przybliżeniu równa PM/100 (jeśli PM= 0 60 o. dla układu 2-ego rzędu, istnieją zależności pomiędzy współczynikiem tłumienia, pasmem przenoszenia i czasem ustalania. w przybliżeniu możemy przyjąć że pasmo przenoszenia będzie równe częstotliwości drgań własnych. 37 z 37