Współczynniki Greckie



Podobne dokumenty
ANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

ANALIZA WRAŻLIWOŚCI CENY OPCJI O UWARUNKOWANEJ PREMII

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym. Opcje Strategie opcyjne

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.

Wzory matematyka finansowa

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy

Greckie współczynniki kalkulowane są po zamknięciu sesji na podstawie następujących danych:

Inżynieria Finansowa: 9. Wartość opcji i model Blacka-Scholesa w praktyce

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.

Rynek opcji walutowych. dr Piotr Mielus

Opcje giełdowe. Wprowadzenie teoretyczne oraz zasady obrotu

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

INWESTYCJE Instrumenty finansowe, ryzyko SPIS TREŚCI

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 768 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR WŁASNOŚCI OPCJI CAPPED.

β i oznaczmy współczynnik Beta i-tego waloru, natomiast przez β w - Betę całego portfela. Wykaż, że prawdziwa jest następująca równość

Metodologia wyznaczania greckich współczynników dla opcji na WIG20

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.

Beata Stolorz. Słowa kluczowe: opcje, miary wrażliwości, gamma, zomma, model wyceny opcji Blacka Scholesa.

Streszczenia referatów

- w art. 8 ust. 3 Statutu otrzymuje nowe, następujące brzmienie:

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Opcje walutowe. Strategie inwestycyjne i zabezpieczające

Opcje - wprowadzenie. Mała powtórka: instrumenty liniowe. Anna Chmielewska, SGH,

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I. Matematyka finansowa

Nazwy skrócone opcji notowanych na GPW tworzy się w następujący sposób: OXYZkrccc, gdzie:

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych

Model Blacka-Scholesa

Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 marca 2008 r. Część I. Matematyka finansowa

NAJWAŻNIEJSZE CECHY OPCJI

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.

Rozwiązania zadań (próbka) Doradca Inwestycyjny 2 etap

Wykorzystanie opcji w zarządzaniu ryzykiem finansowym

Konstrukcja uśmiechu zmienności. Dr Piotr Zasępa

Część IV wartość opcji na zmiennym rynku - greki. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego

F t+ := s>t. F s = F t.

ANALIZA WRAŻLIWOŚCI CENY OPCJI FLOORED

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Obliczanie cen i parametrów greckich opcji walutowych w modelu Blacka-Scholesa

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

Raport i dokumentacja Obliczanie Value-at-Risk portfela metodą Monte Carlo

ZWIĄZKI MIĘDZY WSPÓŁCZYNNIKAMI WRAŻLIWOŚCI W MODELU WYCENY OPCJI GARMANA-KOHLHAGENA

Opcje i strategie opcyjne czyli co to jest i jak na tym zarobić?

Strategie inwestowania w opcje. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach

MoŜliwości inwestowania na giełdzie z wykorzystaniem strategii opcyjnych

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia

Opcje Giełdowe. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego GPW

Zawód: analityk finansowy

Zarządzanie portfelem inwestycyjnym

Ogłoszenie o zmianach statutu KBC OMEGA Funduszu Inwestycyjnego Zamkniętego z dnia 13 czerwca 2014 r.

Spis treści. Przedmowa 11

Metodyka SPAN Rynek terminowy WSTĘP... 2 OGÓLNY OPIS ELEMENTÓW MODELU SPAN... 3 SZCZEGÓŁOWE ZASADY OBLICZANIA WYMAGAŃ DEPOZYTOWYCH...

ABONAMENT LISTA FUNKCJI / KONFIGURACJA

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Opcje. istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii).

Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe

Zarządzanie portfelem inwestycyjnym

dla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.

istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Artykuł przedstawia w zarysie problematykę inŝynierii finansowej, wyjaśniając podstawowe pojęcia, takie jak:

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Rozdziaª 9: Wycena opcji

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Analiza instrumentów pochodnych

Funkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Kiedy opcja jest bezpieczna?

Opcje na akcje Zasady obrotu

Układy równań i nierówności liniowych

Zagadnienia na egzamin magisterski na kierunku Finanse i Rachunkowość

Opcje. Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Metodologia SPAN Rynek terminowy. KDPW_CCP S.A. ul. Książęca Warszawa T F E ccp@kdpw.pl

Kontrakt opcyjny jest instrumentem pochodnym, który daje jego właścicielowi prawo zakupu (opcja kupna) lub sprzedaŝy (opcja sprzedaŝy) określo-

Opcje. Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Opcje giełdowe na indeks WIG20 rola animatora rynku, strategie inwestycyjne 16 maj 2008

Rynek instrumentów pochodnych w styczniu 2013 r.

Forex dla zapracowanych czyli jak inwestować gdy nie mamy czasu. Paweł Kalinowski

R NKI K I F I F N N NSOW OPCJE

Nierówności symetryczne

Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008

Opcje giełdowe i zabezpieczenie inwestycji. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego

Transkrypt:

Wojciech Antniak 05.0.008r. Wstęp Współczynniki greckie określają ryzyko opcji europejskiej na zmiany rynku. ażdy z nich określa w jaki sposób wpłynie zmiana jakiegoś czynnika na cenę akcji. W dalszej części wyprowadzę wzory na współczynniki oraz omówię związane z nimi strategie. Rozważmy europejską opcję call na pewien instrument nie wypłacającą dywidendy o cenie wykonania oraz terminie realizacji T. Niech ponadto będzie zmiennością instrumentu podstawowego oraz r stopą wolną od ryzyka. Wówczas model Blacka-choelsa wyceny opcji w momencie t 0, T opisany jest następująco: Ct, = Φ d exp rt Φ d w przypadku opcji put: gdzie Ct, = Φ d exp rt Φ d d = ln r T d = ln T Φx = x y exp π r dy T T Wniosek Dla powyższych oznaczeń zachodzi Lemat Dla x R zachodzi Lemat Dla powyższych oznaczeń zachodzi: d = d T x Φx = x exp π Φd = exp rt Φd d

orzystając z Lematu. mam: Φd = d exp d π = d T T exp π = exp d T T d T π = ln T T r T t Φd exp Co daje tezę. = T T Φd exp = Φd exp ln = exp rt Φd Współczynnik delta. Wyprowadzenie wzorów ln T t r T t T t T T r T T Definicja Współczynnik jest pochodną po cenie instrumentu podstawowego funkcji wyceny: = C 3 Wniosek Współczynnik określa wrażliwość wyceny opcji na zmiany ceny instrumentu. podstawowego, czyli o ile zmieni się cena opcji w wyniku zwiększenia się ceny instrumentu podstawowego o jedną jednostkę. Wniosek Oczywiście współczynnik dowolnego instrumentu podstawowego wynosi. Twierdzenie Współczynnik dla europejskiej opcji call o cenie wykonania, terminie realizacji T, zmienności instrumentu podstawowego, stopie wolnej od ryzyka r w modelu Blacka-cholesa wzór jest postaci: = Φ ln T r T, t [0, T ], R 4 Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

orzystając z wzoru i Wniosku. mam: = C = Φ d exp rt Φ d = Φ d exp rt Φ d = Φ d Φ d exp rt Φ d d = Φ d Φ d exp rt Φ d d T = Φ d Φ d exp rt Φ d T } {{ } =0 = Φ d Φ d exp rt Φ d Następnie korzystając z Lematu. otrzymuję tezę. Twierdzenie Współczynnik dla europejskiej opcji put o cenie wykonania, terminie realizacji T, zmienności instrumentu podstawowego, stopie wolnej od ryzyka r w modelu Blacka-cholesa wzór jest postaci: = Φ ln T r T = Φ ln T analogiczny do Twierdzenia. pozostawiam czytelnikowi. r T, t [0, T ], R 5 Wniosek 3 Wprost z własności dystrybuanty mam, że [0, ] dla opcji call oraz [, 0] dla opcji put. Definicja Rozważmy portfel inwestycyjny składający się z n, n N, instrumentów finansowych o współczynnikach greckich odpowiednio,,..., n. Wówczas współczynnik takiego portfela inwestycyjnego jest definiowany jako ważona suma współczynników delta poszczególnych składników, gdzie wagami są ilości poszczególnych składników x k : = x k k.. trategia Delta-Hedgingu trategia delta-hedgingu polega na minimalizacji ryzyka związanego z wachaniami ceny instrumentu podstawowego. Jej celem jest stworzenie portfela, instrumentów podstawowych i opcji, niewrażliwego na wahania cen. Zbudowany portfel inwestycyjny jest jednak wolny od ryzyka dla pewnej ceny. W momencie jej zmiany ryzyko zwiększa się. Dlatego powstały dwa rodzaje strategii delta-hedgingu:. dynamiczna strategia delta-hedgingu delta-gamma hedgingu. statyczna strategia delta-hedgingu Pierwsza z nich zapewnia, poprzez dokupywanie instrumentów finansowych, niski poziom ryzyka w czasie, druga natomiast zakłada tylko stworzenie portfela o niskim poziomie ryzyka. Przykład Rozważmy portfel składający się z akcji firmy PN Orlen i opcji put na tę akcję z terminem wygaśnięcia za 30 dni 3 Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

oraz cena wykonania 30zł, = 0.08636 dane pobrane z strony internetowej http://www.analizaportfelowa.pl. Aktualna cena akcji wynosi 34zł oraz stopa wolna od ryzyka wynosi r = 0.0%. Jaki musi być stosunek ilości akcji do ilości opcji aby portfel był niewrażliwy na zmiany ceny akcji. 30 O = Φ ln 34 30 0.08636 30 0.000 0.08.636 A = 0.08636 0.305 gdzie A, O oznaczają odpowiednio współczynnik delta akcji oraz opcji. Aby zbudować portfel niewrażliwy na wahanie się cen akcji portfela musi się równać 0. Niech x A,x O oznacza odpowiednio ilość akcji i opcji w portfelu. Wówczas współczynnik całego portfela wynosi: 0 = = x A A x O O x A x O = O A = 0.305 Tak więc na każde 00 akcji musi przypadać 305 opcji aby portfel był niewrażliwy na wahanie cen. 3 Współczynnik Γ gamma 3. Wyprowadzenie wzorów Definicja Współczynnik Γ jest pochodną po cenie instrumentu podstawowego współczynnika delta 3: Γ = Wniosek Współczynnik Γ można także definiować jako drugą pochodną po cenie instrumentu podstawowego funkcji wyceny opcji: Γ = C Wniosek Współczynnik Γ mierzy o ile zmieni się wartość współczynnika. Został on stworzony na potrzebę utworzenia strategii dynamicznych delta-hedgingu delta-gamma hedgingu. Twierdzenie Współczynnik Γ dla europejskiej opcji call o cenie wykonania, terminie realizacji T, zmienności instrumentu podstawowego, stopie wolnej od ryzyka r w modelu Blacka-cholesa wzór jest postaci: Γ = Φ d T orzystając z wzoru 4 oraz Lemtau. mam: Γ = = Φ ln T Co kończy dowód. = Φ ln d T = Φ d, t [0, T ], R 6 r T T r T = Φ d T 4 Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

Twierdzenie Współczynnik Γ dla europejskiej opcji put o cenie wykonania, terminie realizacji T, zmienności instrumentu podstawowego, stopie wolnej od ryzyka r w modelu Blacka-cholesa wzór jest postaci: Γ = Φ d T, t [0, T ], R 7 analogiczny do Twierdzenia 3. pozostawiam czytelnikowi Wniosek 3 Wprost z określenia współczynnika Γ w modelu Blacka-cholesa wynika, że przyjmuje on wartości nieujemne. Wniosek 4 Oczywiście współczynnik Γ dowolnego instrumentu podstawowego wynosi 0. Definicja Rozważmy portfel inwestycyjny składający się z n, n N, instrumentów finansowych o współczynnikach greckich Γ odpowiednio Γ, Γ,..., Γ n. Wówczas współczynnik Γ takiego portfela inwestycyjnego jest zdefiniowany jako ważona suma współczynników gamma poszczególnych składników, gdzie wagami są ilości poszczególnych składników x k : Γ = x k Γ k 3. trategia Delta-gamma hedgingu trategia Delta-gamma hedgingu jest ulepszeniem delta-hedgingu. Portfel zbudowany za jej pomocą charakteryzuje się niewrażliwością na zmiany ceny w danym momencie oraz w przyszłości. Warunkiem aby dany portfel składający się z n, n N, instrumentów finansowych, których skład oraz współczynniki greckie wynoszą odpowiednio: x, x,..., x n,,,..., n, Γ, Γ,..., Γ n, działał za pomocą delta-gamma hedgingu jest aby: 4 Współczynnik ν vega 4. Wyprowadzenie wzorów x k k = 0 x k Γ k = 0 Definicja Współczynnik vega bądź kappa κ jest pochodną po zmienności instrumentu podstawowego funkcji wyceny opcji: ν = C Wniosek Współczynnik vega mierzy o ile zmieni się wartość wyceny opcji na jednostkową zmianę instrumentu podstawowego. Twierdzenie Współczynnik vega dla europejskiej opcji call o cenie wykonania, terminie realizacji T, zmienności instrumentu podstawowego, stopie wolnej od ryzyka r w modelu Blacka-cholesa wzór jest postaci: ν = Φ ln T r T T, t [0, T ], R 5 Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

Dla przejrzystości przekształceń najpierw policzę pochodne z d, d po. = ln r T T T T ln T = r T T = T ln rt T t T d = ln r T T = T ln rt T t T ln = r T = T T T ln = r T ln T T = d r T = d T Następnie korzystając z Lematu., Lematu., Wniosku. oraz powyższych przekształceń mam: C = Φ d {d } exprt Φ d {d } = Φ d d exp rt Φ d exprt d = Φ d d Φ d d = Φ d d d = Φ d d T d = Φ d T Co było do udowodnienia. Twierdzenie Współczynnik vega dla europejskiej opcji put o cenie wykonania, terminie realizacji T, zmienności instrumentu podstawowego, stopie wolnej od ryzyka r w modelu Blacka-cholesa wzór jest postaci: ν = Φ ln T r analogiczny do Twierdzenia 4. pozostawiam czytelnikowi. 4. trategia Delta-Gamma-vega hedgingu T T, t [0, T ], R trategia delta-gamma-vega hedgindu jest kolejnym ulepszeniem prezentowanych wcześniej strategii. Portfele inwestycyjne stworzone za pomocą tej strategii mają taką samą charakterystykę jak portfele strategii deltagamma hedgingu. Ponadto są one niewrażliwe na zmianę instrumentu podstawowego. Warunkiem aby dany portfel składający się z n, n N, instrumentów finansowych, których skład oraz współczynniki greckie wynoszą odpowiednio: x, x,..., x n,,,..., n, Γ, Γ,..., Γ n,ν, ν,..., ν 3, działał za pomocą delta-gamma-vega hedgingu jest aby: x k k = 0 x k Γ k = 0 x k ν k = 0 6 Wydział Matematyki i Informatyki UŁ