Metody matematyczne fizyki

Metody matematyczne fizyki Tadeusz Lesiak Wykład I Wektory

Wektory w geometrii i algebrze Historycznie pierwszy był opis geometryczny: B Wektor = uporządkowana para punktów = ukierunkowany odcinek linii prostej Cechy wektora: A początek (punkt zaczepienia) B -koniec A Kierunek prosta, do której należą wszystkie punkty wektora Zwrot uporządkowanie od A do B Wartość (długość) długość odcinka AB oznaczana jako Prostsza notacja: a = długość wektora Wiele podstawowych wielkości mechanicznych to wektory (przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, pęd, siła ). Poznajmy też skalary - wielkości określane jedną liczbą (masa, długość, czas, energia, temperatura, gęstość ). T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 2

Wektory w geometrii i algebrze Wektory o jednakowych długościach i kierunkach tworzą klasę równoważności, która może być reprezentowana przez wektor V 0,którego początkowy punkt leży w środku układu współrzędnych NOTACJA Opis algebraiczny (od Kartezjusza i geometrii analitycznej): Wynika z jedno-jednoznacznego przyporządkowania wektorowi wodzącemu współrzędnych jego punktu końcowego uporządkowanej pary (trójki ) liczb rzeczywistych (x 1,x 2, ) Liczby te nazywamy składowymi wektora; Podanie składowych określa w pełni dany wektor np. x i, i=1,2,3 W przestrzeni o n-wymiarach wektor jest algebraicznie reprezentowany jako uporządkowany ciąg liczb rzeczywistych (x 1,x 2, x n ). Równoważność opisu geometrycznego i algebraicznego Język algebraiczny jest na ogół prostszy np. pojęcie stycznej do krzywej w danym punkcie. T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 3

Rozkład wektora na składowe; pojęcie bazy Dla ustalenia uwagi rozważmy przestrzeń 3D Każdy wektor może być wyrażony w postaci kombinacji liniowej dowolnych trzech nie koplanarnych (nie leżących na jednej płaszczyźnie) wektorów - skalary x - długość wektora x V 1, V 2, V 3 składowe wektora x o kierunkach V 1, V 2, V 3 Każde takie trzy niekoplanarne wektory V 1, V 2, V 3 tworzą bazę Wektory bazowe najczęściej wybiera się jako wzajemnie ortogonalne baza ortogonalna (w przeciwnym wypadku baza skośna) Baza kartezjańska szczególny przypadek bazy ortogonalnej składa się z trzech prostopadłych do siebie wektorów o długości jednostkowej; oznaczenie (e 1,e 2,e 3 ) Baza kartezjańska stanowi przykład bazy ortonormalnej T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 4

Rozkład wektora na składowe; pojęcie bazy Pojęcia bazy i układu współrzędnych mogą być używane zamiennie Baza prawoskrętna: jeśli ustawimy palce prawej ręki w kierunku dodatniej osi x 1, a następnie zamykając dłoń, ustawimy palce w kierunku osi x 2 kciuk wskazuje dodatni kierunek x 3 Baza lewoskrętna: jeśli jeden lub trzy wektory bazy prawoskrętnej doznają zmiany kierunku Dowolny wektor x może być wyrażony w bazie kartezjańskiej jako: x i, i=1,2,3 - i-ta składowa wektora x w tej bazie T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 5

Rozkładanie wektorów na składowe Rozważmy wektor a ; jego początek został umieszczony w początku kartezjańskiego układu współrzędnych (na płaszczyźnie) Koniec wektora jest rzutowany prostopadle na obie osie układu Otrzymane wielkości a x, a y współrzędnych: to składowe wektora a w danym układzie wartość wektora kąt jaki tworzy wektor a z osią x Wektor jednostkowy (wersor) wektor o wartości równej jeden Wersorami są wektory bazowe bazy kartezjańskiej T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 6

Dodawanie i odejmowanie wektorów Suma wektorów: Metoda geometryczna Dodawanie wektorów jest przemienne i łączne Dodawanie wektorów (animacja) http://www.upscale.utoronto.ca/ GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/Add3Vectors/Add3Vectors.html Różnica wektorów: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 7

Dodawanie wektorów i mnożenie ich przez skalar Metoda analityczna dodawania wektorów Analityczne dodawanie wektorów (animacja) http://www.upscale.utoronto.ca/ GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/VectorAddComponents/VectorAddComponents.html iloczyn wektora a przez skalar r wynik wektor o wartości r razy większej od wartości wektora a T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 8

Iloczyn skalarny dwóch wektorów Inaczej: iloczyn wewnętrzny lub iloczyn z kropką wynik liczba (skalar) kąt zawarty między wektorami a i b Ilustracja iloczynu skalarnego (animacja) http://www.upscale.utoronto.ca/ GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/DotProduct/DotProduct.html cos funkcją parzystą iloczyn skalarny jest operacją przemienną Iloczyn skalarny jest rozłączny ze względu na dodawanie wektorów: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 9

Iloczyn skalarny dwóch wektorów nie tylko gdy co najmniej jeden z wektorów ma wartość zero, ale także gdy są one wzajemnie prostopadłe gdyż =0 (cos=1) W szczególności, dla wektorów bazy kartezjańskiej zachodzi: - delta Kroneckera, zdefiniowana następująco: Dla dwóch dowolnych wektorów a i b w bazie kartezjańskiej: Algebraiczna definicja iloczynu skalarnego (umowa sumacyjna Einsteina) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 10

Obroty układu współrzędnych -rzut wektora x na oś e i Zbiór liczb {x i } = przedstawienie (współrzędne) wektora x w bazie (układzie współrzędnych {e i } Zbadajmy związki między składowymi określonego wektora x w dwóch różnych bazach kartezjańskich o wspólnym środku x może być rozłożony na składowe zarówno w bazie K jak i K W bazie K: W szczególności, gdy Relacja między wersorami baz: primowanej i nieprimowanej Jednocześnie definicja dziewięciu wielkości a ki cosinusów kierunkowych kątów między sześcioma osiami T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 11

Obroty układu współrzędnych Cosinusy kierunkowe mogą być zapisane w postaci macierzy kwadratowej 3x3 R macierz obrotu w przestrzeni trójwymiarowej (opisuje w pełni konsekwencje przejścia między K i K ) Elementy macierzy R są określone równaniem: Ta definicja stanowi pewną konwencję. Alternatywa: Nie wszystkie elementy macierzy R są niezależne: wynika to z ortonormalności obu baz: Dziewięć równań, Nie wszystkie niezależne Podobnie: Relacje ortogonalności Odpowiadają im przekształcenia ortogonalne T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 12

Przekształcenia ortogonalne W przestrzeni n-wymiarowej macierz obrotu ma n 2 elementów Relacje ortogonalności dają (1/2)n(n+1) związków między elementami macierzy (1/2)n(n-1) elementów pozostaje dowolnych n = 2 jeden parametr swobodny kąt obrotu n = 3 trzy parametry swobodne trzy z sześciu cosinusów kierunkowych lub trzy kąty Eulera (patrz poniżej) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 13

Dwuwymiarowa macierz obrotu 1 Macierz (a ki ) określa co dzieje się ze składowymi wektora x, podczas przejścia od bazy e i do e i poprzez obrót bazy o kąt (+) przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara Wektor x zachowuje się pasywnie (biernie); a obraca się baza 2 Alternatywna interpretacja: x i x to dwa różne wektory; x powstaje przez obrót x o kąt (-) Składowe wektora x w bazie K są wtedy liczbowo równe składowym wektora x w bazie K Transformacja aktywna jednego wektora w nowy wektor; baza pozostaje pasywna Macierz transformacji odwrotnej -jednocześnie macierz transponowana do (a ki ) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 14

Kąty Eulera 1) φ 2) Θ 3) ψ T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 15

Trójwymiarowa macierz obrotu Uogólnijmy macierz obrotu 2D na przypadek obrotu 3D wokół osi x 3 : Przejście do trójwymiarowej macierzy obrotu R(,,) Cel: przejście do nowego układu współrzędnych, w którym nowa oś z=x 3 ma dowolny kierunek (wzdłuż dowolnego wektora V) CW clockwise CCW counter clockwise Można tego dokonać w trzech krokach: obrotach o kąty, i 1. Obrót o kąt CCW wokół osi x 3 = x 3 2. Obrót o kat CW (- CCW) wokół osi x 2 3. Obrót CCW o kąt w płaszczyźnie x 1 x 2 wokół osi x 3 T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 16

Trójwymiarowa macierz obrotu, -kąty Eulera (kilka różnych definicji powyższej macierzy) Uwagi: po każdym obrocie dany wektor ma w ogólności inne składowe wektor to nie pojedyncza uporządkowana trójka liczb lecz raczej zbiór takich trójek, związanych ze sobą w określony sposób Twierdzenie: iloczyn skalarny jest niezmienniczy względem przekształceń ortogonalnych T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 17

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów Kierunek wektora c jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory a i b Zwrot (dodatni kierunek) wektora c jest określony przez regułę śruby prawoskrętnej wynik wektor c; jego długość: kąt zawarty między wektorami a i b, liczony od a do b, < Ilustracja iloczynu wektorowego (animacja) http://www.upscale.utoronto.ca/ GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/CrossProduct/CrossProduct.html Iloczyn wektorowy zmienia znak przy zmianie kolejności czynników (antykomutacja) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 18

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów Przykład: zbiór ortogonalnych wektorów bazy kartezjańskiej (i, j, k) = (e 1, e 2, e 3 ) dla prawoskrętnego układu współrzędnych Wersory (wektory jednostkowe wzdłuż osi współrzędnych kartezjańskich) spełniają relacje: W zwartym zapisie: Ale tylko gdy i,j,k są parzystą permutacją liczb 1,2,3 Wygodny, ogólny zapis z użyciem tensora Levi-Civity jeżeli (i,j,k) stanowi parzystą permutację liczb (1,2,3) jeżeli (i,j,k) stanowi nieparzystą permutację liczb (1,2,3) W pozostałych przypadkach (co najmniej dwa wskaźniki jednakowe) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 19

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów Wygodne relacje: Wygodna definicja skrętności układu współrzędnych: prawoskrętny lewoskrętny Algebraiczna definicja iloczynu wektorowego dwóch wektorów Wygodny zapis w postaci wyznacznika: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 20

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów zwykły wektor = wektor biegunowy (polarny): Wektorów są dwa rodzaje: Psudowektor =wektor osiowy (aksjalny) = iloczyn wektorowy dwóch wektorów biegunowych Oba te obiekty transformują się tak samo przy obrotach Różnica ujawnia się przy operacji inwersji układu współrzędnych (odbicia przestrzennego) Wektor biegunowy ZMIENIA znak Wektor osiowy NIE ZMIENIA znaku Identyczne zachowanie dla skalarów i pseudoskalarów T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 21

Rodzaje współrzędnych W 3D każdy punkt geometryczny leży na przecięciu trzech płaszczyzn lub innych bardziej skomplikowanych powierzchni Współrzędne prostoliniowe jeśli przybierają one stałe wartości na płaszczyznach krzywoliniowe w przeciwnym wypadku sferyczne walcowe Współrzędne ortogonalne jeśli dla dowolnego punktu w przestrzeni, wektory normalne do wszystkich trzech powierzchni przecinających się w tym punkcie są do siebie prostopadłe T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 22

Wektory bazy a metryka - zbiór wersorów bazy dla przestrzeni n-wymiarowej W ogólnym przypadku wersory bazy nie są ortonormalne Przypomnienie własności delty Kroneckera: Zawsze można skonstruować z wektorów bazy następującą macierz n x n Elementy diagonalne = kwadraty długości wektorów bazy Macierz g = METRYKA (dokładniej TENSOR METRYCZNY) Dla współrzędnych ortogonalnych metryka jest diagonalna W ogólnym przypadku metryka może zależeć od położenia w przestrzeni T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 23

Wektory bazy a metryka Dla współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni Euklidesowej Dowolny wektor V można rozłożyć na wektory bazowe: Składowe wektora zostały nieprzypadkowo zapisane z indeksami u góry (dalsze slajdy) Iloczyn skalarny dwóch wektorów w bardziej poprawnym zapisie: W zapisie macierzowym: Dla przypadku: powyższa formuła podaje długość wektora V metryka zadaje relację między długością wektora a jego składowymi T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 24

Wektory bazy a metryka W ogólnym przypadku wektory bazy nie muszą być do siebie wzajemnie ortogonalne oraz nie muszą być znormalizowane (być wersorami) można zawsze określić nie trywialną, odwrotną bazę wektorów: Nasza konwencja: baza wyjściowa indeksy na dole baza odwrotna - indeksy u góry Wzajemna relacja odwrotności między bazami: W zapisie macierzowym: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 25

Wektory kowariantne i kontrawariantne Dwa zbiory wektorów bazowych dwa rodzaje wektorów Rozwinięcie wektora na wektory bazowe Baza wyjściowa Baza odwrotna Składowe Nazwa składowych kontrawariantne kowariantne Wektor jest w obu przypadkach ten sam Zamiast kowariantne składowe często wygodnie jest mówić wektor kowariantny Odpowiednio dla kontrawariantnych T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 26

Wektory kowariantne i kontrawariantne Interpretacja graficzna tych składowych Składowe kontrawariantne = rzuty równoległe wektora na wektory bazy wyjściowej Składowe kowariantne = rzuty prostopadłe wektora na wektory bazy wyjściowej Jednocześnie: Składowe kontrawiantne = rzuty prostopadłe wektora na wektory bazy odwrotnej Składowe kowariantne = rzuty równoległe wektora na wektory bazy odwrotnej Przykład 2D dla ogólnego układu współrzędnych: składowe kontrawariantne (V 1,V 2 ) kowariantne (V 1,V 2 ) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 27

Wektory kowariantne i kontrawariantne Ogromna zaleta wprowadzenia górnych i dolnych składowych prostota zapisu iloczynu skalarnego Metryka umożliwia przechodzenie między składowymi kowariantnymi i kontrawariantnymi: w szczególności kwadrat długości wektora infinitezymalnego przesunięcia: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 28

Rodzaje współrzędnych i ich transformacje -ogólne współrzędne określonego punktu w przestrzeni Zmiana układu współrzędnych odpowiada pewnej transformacji, przejściu do innego zbioru tj. Założenie 1: funkcje f i są jednoznaczne w rozważanym zakresie zmienności q i oraz dostatecznie wiele razy różniczkowalne Założenie 2: do transformacji f i istnieje transformacja odwrotna Równania: q 1 =const, q 2 =const, q 3 =const zadają trzy powierzchnie, które przecinają się w jednym punkcie P tym, w którym są określone współrzędne (q 1,q 2,q 3 ). Te powierzchnie to powierzchnie współrzędnych. Krzywe wzdłuż których się one przecinają to krzywe współrzędnych. Styczne do tych krzywych w punkcie P to osie współrzędnych T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 29

Rodzaje współrzędnych i ich transformacje -ogólne współrzędne określonego punktu w przestrzeni Zmiana układu współrzędnych odpowiada pewnej transformacji, przejściu do innego zbioru tj. Założenie 1: funkcje f i są jednoznaczne w rozważanym zakresie zmienności q i oraz dostatecznie wiele razy różniczkowalne Założenie 2: do transformacji f i istnieje transformacja odwrotna T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 30

Przejścia między układami współrzędnych Skoncentrujmy się na przejściach współrzędne kartezjańskie inne krzywoliniowe Kwadrat odległości między sąsiednimi punktami: Czynniki skali (scale factors) Odległość między sąsiednimi punktami = element liniowy Co więcej Wyrażenia Q ik można zestawić w macierz metryki (tensor) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 31

Przejścia między układami współrzędnych Jeżeli zmienia się tylko jedno z wyrażeń q Można określić cosinusy kierunkowe między parami elementów liniowych Cosinus kąta ik między ds i i ds k : Znaczne uproszczenie dla ortogonalnych układów współrzędnych (powierzchnie współrzędnych przecinają się zawsze pod kątem prostym): Trzy elementy powierzchniowe w układzie ortogonalnym: Element objętościowy: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 32

Przykład 2D: współrzędne kartezjańskie vs biegunowe Kartezjańskie: q 1 =x, q 2 = y Biegunowe: q 1 =r, q 2 = T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 33

Współrzędne walcowe Kartezjańskie: (x,y,z) Walcowe (r,z T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 34

Współrzędne sferyczne (Dwie możliwości definicji kąta θ) Kartezjańskie: (x,y,z) Sferyczne (r,µ, T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 35

Współrzędne sferyczne (Dwie możliwości definicji kąta θ) Kartezjańskie: (x,y,z) Sferyczne (r,µ, T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 36

Przestrzeń euklidesowa vs nieeuklidesowa Przestrzeń euklidesowa -przestrzeń, w której można globalnie (a nie tylko lokalnie) wprowadzić układ współrzędnych kartezjańskich płaska tj. o zerowej krzywiźnie Nieeuklidesowa gdy jest to niemożliwe Ex. 1: Sfera (powierzchnia kuli) krzywizna dodatnia Do danej linii prostej m nie można przeprowadzić żadnej prostej równoległej przechodzącej przez dany punkt leżący poza prostą m Suma kątów wewnętrznych trójkąta > 180 0 Ex. 2: siodło krzywizna ujemna Do danej linii prostej m można przeprowadzić co najmniej dwie proste równoległe przechodzącej przez dany punkt leżący poza prostą m Suma kątów wewnętrznych trójkąta < 180 0 T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 37

Powtórka elementów rachunku całkowego T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 38

Całki krzywoliniowe wyrażenia postaci: v funkcja wektorowa dl wektor infinitezymalnego przesunięcia Całka jest obliczana wzdłuż krzywej P biegnącej od punktu a do punktu b W każdym punkcie krzywej obliczamy iloczyn skalarny wartości funkcji v i przesunięcia dl z danego punktu do następnego punktu na tej krzywej Gdy rozważana krzywa jest zamknięta (b=a) Przykład: praca wykonywana przez daną siłę F: Istnieje ważna klasa funkcji wektorowych, dla których wartość całki krzywoliniowej nie zależy od drogi całkowania (siły o takiej własności = siły zachowawcze) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 39

Całki powierzchniowe wyrażenia postaci: v funkcja wektorowa da wektor prostopadły do powierzchni, o wartości równej polu infinitezymalnego elementu powierzchni Istnieją dwa wektory prostopadłe do danej powierzchni, o przeciwnych zwrotach znak całki powierzchniowej nie jest określony W każdym punkcie powierzchni obliczamy iloczyn skalarny wartości funkcji v i elementu powierzchni da Gdy rozważana powierzchnia jest zamknięta Przykład: jeśli v opisuje przepływ płynu (masę płynu na jednostkę powierzchni i czasu) to całka powierzchniowa odpowiada strumieniowi płynu całkowitej masie płynu przepływającej przez powierzchnię w jednostce czasu Istnieje ważna klasa funkcji wektorowych, dla których wartość całki powierzchniowej nie zależy od wyboru powierzchni, a jedynie od kształtu krzywej będącej jej brzegiem T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 40

Całki objętościowe wyrażenia postaci: T - funkcja skalarna d infinitezymalny element objętości (d = dx dy dz) Przykład: T gęstość materii; całka objętościowa = całkowita masa Całki objętościowe z funkcji wektorowych: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 41

Przykład: Całkowanie po Objętości we Współrzędnych Sferycznych Całkowanie po objętości we współrzędnych kartezjańskich = mnożenie funkcji podcałkowej przez element objętości dxdydz i zsumowanie tego iloczynu po wszystkich infinitezymalnych przyczynkach Ta prosta procedura może okazać się bardzo skomplikowana jeśli funkcja F zależy w skomplikowany sposób od współrzędnych (x,y,z) i/lub gdy granice całkowania nie są prostymi funkcjami x,y,z Przykład: policzmy objętość kuli stosując współrzędne kartezjańskie Znacznie wygodniej jest prowadzić rachunek we współrzędnych sferycznych T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 42

Przykład: Całkowanie po Objętości we Współrzędnych Sferycznych W tym celu trzeba wyrazić infinitezymalny element objętości dv we współrzędnych sferycznych. można wykorzystać fakt, iż objętość rozpięta na prostopadłościanie o bokach odpowiadających trzem wektorom a,b,c, wyraża się wzorem: Przy transformacji współrzędnych: Element objętości dv zmienia się według formuły: J Jakobian przekształcenia współrzędnych T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 43

Przykład: Całkowanie po Objętości we Współrzędnych Sferycznych Jakobian jest równy iloczynowi czynników skali Przykład dla współrzędnych sferycznych (wersja 2) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 44

Folie zapasowe T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 45