2. RZUTOWANIA WIĄZKOWE

67 2. RZUTOWANIA WIĄZKOWE Informacje zebrane w kolejnych rozdziałach niniejszego skrypty stanowią zestaw teoretycznych zasad sporządzania zapisów graficznych modeli geometrycznych obiektów technicznych. Jak wspomniano na wstępie skryptu, modele te są trójwymiarowymi figurami przestrzeni M 3. Zapis takich figur na płaskiej powierzchni arkusza rysunkowego lub ekranu monitora wymaga zastosowania odpowiedniego przekształcenia trójwymiarowych oryginałów rozważanych figur na ich dwuwymiarowe obrazy graficzne. W zdecydowanej większości rozwiązań technicznie użytecznych przekształcenie takie realizowane jest z zastosowaniem tzw. rzutowania wiązkowego R Możliwość dokonywania takiego rzutowania uwarunkowana jest ustaleniem w przestrzeni M 3 tzw. aparatu rzutowania wiązkowego R, na który składają się (rys.2.1):. - płaszczyzna właściwa π zwana rzutnią rzutowania R; zawiera ona odpowiednią powierzchnię arkusza rysunkowego, na której dokonuje się graficznego zapisu efektów rzutowania R, - środek rzutowania R, będący punktem rzutowym nie należącym do rzutni π. Aparat rzutowania R oznacza się symbolem {π,}. π Rys.2.1. truktura aparatu rzutowania wiązkowego R {π,} - aparat rzutowania wiązkowego R; π - płaszczyzna właściwa - punkt rzutowy nienależący do π Rzutowanie wiązkowe R ustalone w przestrzeni M 3 przez aparat {π,} pozwala każdej podprzestrzeni M M 3 przypisać tzw. utwór rzutujący Σ M, będący złączem środka rzutowania R i podprzestrzeni M ; Σ M = M O. Utwór rzutujący Σ M przecina rzutnię π w podprzestrzeni M, którą nazywa się rzutem wiązkowym podprzestrzeni M ze środka na rzutnię π (rys.2.2 i 2.3). a) m = Σ m b) µ = Σµ c) M 3=Σ M 3 π m π µ π = M 3 dim m = dim m 1 dim µ = dim µ - 1 dim M 3 = dim M 3-1 67

68 Rys.2.2. Zasada przypisywania podprzestrzeni M jej utworu rzutującego Σ M oraz rzutu wiązkowego M Ponieważ każdą figurę Γ M 3 traktuje się tutaj jako odpowiedni zbiór punktów A, B,..., N, więc w rzutowaniu wiązkowym R figurze takiej można przypisać zbiór utworów rzutujących prostych Σ A = A O, Σ B = B O,..., Σ N = N O. uma punktów tych utworów rzutujących stanowi tzw. utwór rzutujący Σ Γ figury Γ, (rys.2.2 i 2.3). a) Σ b) M 3= Σ µ c) Σ m M µ m π M π = µ m π dim M = dim M dim µ = dim µ dim m = dim m Rys. 2.3. Zasada przypisywania podprzestrzeni M jej utworu rzutującego Σ M oraz rzutu wiązkowego M Przyjmuje się, że suma iloczynów Σ A π = A, Σ B π = B,..., Σ N π = N, czyli suma rzutów wiązkowych punktów A, B,..., N Γ jest rzutem wiązkowym Γ figury Γ na rzutnię π ze środka. Łatwo zauważyć, że: - Γ = π Σ Γ, (rys.2.4), - Γ Σ Γ, (rys.2.4), - Σ Γ = π Σ Γ, (rys.2.4), - jeżeli w rzutni π rzutowania wiązkowego R dany jest rzut Σ Γ, to można jednoznacznie odtworzyć utwór rzutujący Σ Γ, jako sumę prostych O G i, gdzie G i są wszystkimi punktami składającymi się na rzut Σ Γ, (rys.2.5), - jeżeli Γ jest podprzestrzenią G przestrzeni M 3, to Σ Γ = Σ G = O G (rys.2.2 i 2.3). Rys.2.4. posób tworzenia utworu rzutującego Σ Γ figury Γ 68

69 Rys.2.5. Zasada restytucji utworu rzutującego Σ Γ na podstawie danego w rzutni π rzutu wiązkowego Σ Γ tego utworu W rzutowaniu wiązkowym R określonym w przestrzeni M 3 przez aparat rzutowania {π,} wyróżnia się dwie uzupełniające się rodziny podprzestrzeni: - rodzinę podprzestrzeni rzutujących, to jest podprzestrzeni, do których należy środek rzutowania R, (rys.2.2), - rodzinę podprzestrzeni nierzutujących rozłącznych ze środkiem rzutowania R (rys.2.3). Przywołanie poznanych dotąd właściwości rzutowania R prowadzi do wniosku, że: - w przypadku podprzestrzeni rzutującej M jej utwór rzutujący Σ M jest identyczny z M, a więc rzut wiązkowy M tej podprzestrzeni jest przecięciem M π, które jest podprzestrzenią o wymiarze (dimm 1), (rys.2.2), - w przypadku podprzestrzeni nierzutującej M jej utwór rzutujący Σ M = M O jest podprzestrzenią o wymiarze (dimm + 1), a więc rzut wiązkowy M = Σ M π tej podprzestrzeni jest podprzestrzenią o wymiarze równym wymiarowi podprzestrzeni rzutowanej, (rys.2.3). - formułowane ostatnio zależności łącznie z wcześniej podanymi właściwościami utworów rzutujących w rzutowaniu wiązkowym R pozwalają zauważyć, że: - dany w rzutni π rzut wiązkowy G podprzestrzeni rzutującej G (dim G = dim G 1) daje możliwość jednoznacznego odtworzenia zrzutowanej podprzestrzeni G, jako złącza środka rzutowania R i rzutu G (G = O G ), (rys.2.6); tym samym stwierdza się, że rzutowanie wiązkowe R jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznym rodziny podprzestrzeni rzutujących na ich rzuty wiązkowe, - dany w rzutni π rzut wiązkowy H podprzestrzeni nierzutującej H (dim H = dim H ) daje możliwość jednoznacznego odtworzenia jedynie utworu rzutującego Σ H zrzutowanej podprzestrzeni H, jako złącza O H, będącego podprzestrzenią o wymiarze (dimh + 1), (rys.2.7); tym samym stwierdza się, że rzutowanie wiązkowe R 69

70 a) =g b) γ = γ c) = M 3 M 3 π g π γ π = M 3 nie jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznym rodziny podprzestrzeni nierzutujących na ich rzuty wiązkowe. Rys.2.6. Przykłady restytucji podprzestrzeni rzutujących a) H H H b) h h h h c) γ= M 3 π H π h π = H Rys.2.7. Przykłady braku możliwości jednoznacznej restytucji podprzestrzeni nierzutujących Druga z wymienionych zależności mówi o braku odwracalności rzutowania wiązkowego i tym samym wskazuje, że rzutowanie wiązkowe nie może samodzielnie stanowić technicznie użytecznego odwzorowania przestrzeni M 3 na płaszczyznę. Rodzina prostych i płaszczyzn nierzutujących w rzutowaniu wiązkowym R ma jednak inną użyteczną w odwzorowaniach graficznych przestrzeni M 3 właściwość. Mianowicie, jak to pokazano na rys.2.8, jeżeli prostą (płaszczyznę) nierzutującą potraktuje się jako szereg punktów (układ płaski), to rzut wiązkowy tego szeregu punktów (układu płaskiego) jest szeregiem punktów (układem płaskim) środkowo perspektywicznym kolineacyjnym z oryginałem (rys.2.8). W konsekwencji na mocy twierdzenia Pappusa stwierdza się, że: rzut wiązkowy czwórki punktów A,B,C,D (prostych a,b,c,d) należących do szeregu punktów (pęku prostych) o polu f ( ϕ ) będącym właściwą prostą nierzutującą 70

71 (właściwą płaszczyzną nierzutującą) zachowuje dwustosunek podziału zrzutowanej czwórki; (ABCD) = (A B C D ) ((abcd) = (a b c d )), (rys.2.8). a) π m D D A A B C B C m m b) π= c B B d= d A b a b c A a Rys.2.8. Związek środkowej perspektywiczności (kolineacyjności) między szeregami punktów względnie układami płaskimi wyróżnionymi w podprzestrzeniach nierzutujących a rzutami wiązkowymi tych utworów Opanowanie umiejętności odwzorowywania w rzutowaniu wiązkowym R podprzestrzeni przestrzeni M 3 jest pierwszym krokiem w kierunku uzyskania możliwości efektywnego odwzorowywania w tym rzutowaniu bardziej złożonych figur tej przestrzeni. Kolejnym krokiem jest tutaj rozpoznanie zapisów w rzutowaniu R podstawowych zależności zachodzących między odwzorowywanymi podprzestrzeniami takich jak zawieranie, przecięcia i złącza. Definicja relacji zawierania się zbioru w zbiorze zestawiona z określeniem rzutu wiązkowego figury prowadzi do wniosku, że: jeżeli figura Γ zawarta jest w figurze, to rzuty wiązkowe Γ oraz tych figur związane są taką samą relacją (rys.2.9). Rys..2.9. Ilustracja zasady zachowania relacji zawierania w rzutowaniu wiązkowym Niech w dalszym ciągu dane będą w rzutni π rzutowania wiązkowego R rzuty Γ i. figur Γ i takie, że Γ. Jak pokazuje przykład przedstawiony poglądowo na rys. 2.10 71

72 założona zależność między rzutami Γ i nie pociąga za sobą w ogólnym przypadku analogicznej relacji między oryginałami Γ i odwzorowanych figur. Rys.2.10.Przykład braku możliwości odczytu relacji zawierania z danych w rzutni π rzutów wiązkowych figur Jednak, ponieważ przy Γ utwory rzutujące Σ Γ = ( O Γ ) oraz Σ = ( O ) powielają relację zawierania się rzutów (rys.2.11), Rys.2.11. Przykład sytuacji, w której istnieje możliwość odczytania relacji zawierania na podstawie danych w rzutni π rzutów wiązkowych płaszczyzny rzutującej δ oraz figury Γ wobec tego jeżeli np. figura jest podprzestrzenią rzutującą D w rzutowaniu R, dla której Σ D = D, to z założonej na wstępie relacji Γ wynika, że Σ Γ Σ D = D, co w zestawieniu z zależnością Γ Σ Γ prowadzi do wniosku, że Γ D. Krócej: jeżeli Γ D i D jest podprzestrzenią rzutującą w stosowanym rzutowaniu wiązkowym R, to Γ D, (rys.2.12). 72

73 Rys.2.12. Przykłady rzutów wiązkowych podprzestrzeni, z których można odczytać relację ich zawierania (należenia) przy założeniu, że przynajmniej jedna z odwzorowanych podprzestrzeni jest podprzestrzenią rzutującą Kolejna sytuacja, w której relacja Γ pociąga za sobą zależność Γ wynika z wcześniej stwierdzonego związku środkowej kolineacji między prostą (płaszczyzną) nierzutującą w rzutowaniu R a rzutem wiązkowym tej podprzestrzeni. Ponieważ zależność ta jest wzajemnie jednoznaczna, więc: jeżeli Γ a figury Γ i zawarte są w jednej i tej samej prostej lub płaszczyźnie nierzutującej w rzutowaniu R, to Γ (rys.2.13). Rys.2.13. Przykład sytuacji, w której z danych rzutów wiązkowych figur zawartych w płaszczyźnie nierzutujacej można odczytać relację zawierania się. Ta sama zależność leży u podstaw innej ważnej właściwości rzutów wiązkowych figur. Mianowicie: jeżeli figury Γ i zawarte są w jednej i tej samej prostej lub płaszczyźnie nierzutującej w rzutowaniu wiązkowym R, to (Γ ) = Γ (rys.2.14). 73

74 Rys.2.14. Przykłady zachowania w rzutowaniu wiązkowym części wspólnej figur leżących w podprzestrzeni nierzutującej Iloczyn dwóch figur zostaje zachowany w ich rzutach wiązkowych również wtedy, gdy co najmniej jedna z tych figur jest podprzestrzenią rzutującą w stosowanym rzutowaniu wiązkowym R. (Γ ) = Γ, gdy Γ lub jest podprzestrzenią rzutującą w rzutowaniu R (rys.2.15). Rys.2.15. Przykłady zachowania w rzutowaniu wiązkowym przecięcia figury podprzestrzenią rzutującą Niech w rozważanej sytuacji np.γ będzie podprzestrzenią G rzutująca w rzutowaniu wiązkowym R, a więc przechodzącą przez środek tego rzutowania. Zgodnie z właściwością stwierdzającą zachowanie relacji zawierania w rzutowaniu R, rzut wiązkowy (G ) musi zawierać się zarówno w G jak i w, czyli (G ) G. Gdyby w figurze G istniał punkt X nie należący do (G ), to ze środkiem rzutowania R wyznaczałby on prostą rzutującą Σ X (,X ) G rozłączną z figurą. Ale, ponieważ Σ X (G.), więc X i tym samym punkt ten należy uznać za rzut wiązkowy co najmniej jednego punktu X ; stąd iloczyn Σ X (,X ) jest podprzestrzenią przechodzącą przez X, a ponieważ Σ X G = Σ G, więc X G. Innymi słowy stwierdza się, że hipotetyczny punkt X należy do G i zgodnie z definicją rzutu wiązkowego figury G jego rzut X jest punktem rzutu (G ). 74

75 Rozumując podobnie można wykazać, że: jeżeli w parze figur Γ i o ustalonych w rzutni π rzutach wiązkowych Γ i, przynajmniej jedna z tych figur np. Γ jest podprzestrzenią rzutującą G w stosowanym rzutowaniu wiązkowym R, to G = (G ), (rys.2.16). Rys.2.16. Przykłady zapisu w rzutowaniu wiązkowym par podprzestrzeni, w których istnieje możliwość odczytu faktu przecinania się odwzorowanych podprzestrzeni oraz wskazania rzutu wiązkowego ich części wspólnej Nich w dalszym ciągu odwzorowaniu za pomocą rzutowania wiązkowego R poddany zostanie złącz dwóch podprzestrzeni A i B przestrzeni M 3. Jeżeli A i B są dwoma punktami A i B, to ich złącz jest (rys.2.17): - prostą z(a,b) (o rzucie wiązkowym z (A,B )), gdy A B, - punktem Z = A = B (o rzucie wiązkowym Z = A = B ), gdy rozważane punkty są identyczne. Rys.2.17. Przykłady złączy dwóch punktów Złącz dowolnych dwóch podprzestrzeni A i B można potraktować jako sumę złączy wszystkich par takich punktów {A i,b i }, że A i A zaś B i B, więc uogólniając wcześniejsze spostrzeżenie stwierdza się, że rzuty wiązkowe złączy A i O B i wyróżnionych par punktów składają się na rzut wiązkowy złącza podprzestrzeni A i B (rys.2.18). 75

76 Rys.2.18. Przykłady interpretacji złączy podprzestrzeni jako sum złączy wszystkich par punktów tych podprzestrzeni Podsumowaniem powyższych rozważań jest następująca właściwość. Rzutem wiązkowych złącza każdych dwóch podprzestrzeni A i B jest złącz rzutów wiązkowych A i B tych podprzestrzeni (rys.2.19). Rys.2.19. Przykłady zachowania w rzutowaniu wiązkowym złączy podprzestrzeni 76

77 Należy jeszcze zadać pytanie, kiedy na podstawie danych w rzutni π rzutów wiązkowych A i B podprzestrzeni A i B można ustalić wymiar złącza odwzorowanych podprzestrzeni oraz dokonać restytucji położenia tego złącza względem aparatu zastosowanego rzutowania wiązkowego R. Jeżeli wiadomo, że odwzorowane w rzutowaniu wiązkowym R podprzestrzenie A i B zawarte są w podprzestrzeni nierzutującej, to złącz ich rzutów A i B jest identyczny z rzutem wiązkowym złącza A O B, a dim(a O B) = dim(a O B ), rys.2.20a,b). Powyższe stwierdzenie jest bezpośrednim wnioskiem z wcześniej sformułowanych zależności występujących między podprzestrzeniami nierzutującymi a ich rzutami wiązkowymi. Można wskazać jeszcze jedną sytuację, w której analiza wzajemnego położenia rzutów wiązkowych A i B pewnych podprzestrzeni A i B pozwala wskazać rzut wiązkowy złącza tych podprzestrzeni oraz ustalić wymiar tego złącza. Mianowicie: jeżeli w rzutni π rzutowania wiązkowego R dane są rzuty wiązkowe A i B dwóch podprzestrzeni A i B, z których co najmniej jedna jest w rzutowaniu R podprzestrzenią rzutującą, to złącz Z = (A O B) jest w rzutowaniu R podprzestrzenią rzutującą identyczną ze złączem (A OB ) O, a więc mającą wymiar dim(a OB ) + 1, (rys.2.20c,d). Rys.2.20. Przykłady zapisów w rzutowaniu wiązkowym podprzestrzeni, z których wynika możliwość odczytu i zapisu złączy tych podprzestrzeni Istotnie, wcześniej stwierdzono, że dla każdych dwóch podprzestrzeni A i B rzutowanie wiązkowe R zachowuje relację złącza tych podprzestrzeni, czyli że (A O B) = A OB. Jeżeli dodatkowo założy się, że co najmniej jedna z odwzorowanych w rzutowaniu R podprzestrzeni A i B jest podprzestrzenią rzutującą, to łatwo zauważyć, że i podprzestrzeń Z = (A O B) jest w rzutowaniu R podprzestrzenią rzutującą, a więc Z = ( A O B ) O, a dim Z = dim(a i B ) + 1. Umiejętność ustalania rzutu wiązkowego złącza podprzestrzeni znajduje ważne zastosowanie w konstrukcji obrazów rzutów wiązkowych podprzestrzeni traktowanych jako złącza innych podprzestrzeni. I tak, dla ustalenia rzutu wiązkowego prostej, np. t, wystarczy 77

78 znaleźć rzuty wiązkowe dwóch różnych punktów, np. P i Q, tej prostej; zgodnie z wcześniejszymi ustaleniami złącz rzutów wiązkowych P oraz Q jest rzutem wiązkowym t rozważanej prostej t(p,q),(rys.2.21). Rys.2.21. Przykłady ustalenia rzutu wiązkowego prostej za pomocą rzutów dwóch różnych punktów tej prostej Analogicznie wyznaczać można rzut wiązkowy płaszczyzny, np. γ, zakładając, że płaszczyzna ta jest złączem: - trzech niewspółliniowych punktów, np. P, Q, R, - punktu np. P i prostej np. q nie przechodzącej przez P, - dwóch przecinających się prostych np. p i q. Rzut wiązkowy γ jest w omawianej sytuacji złączem rzutów odpowiednio P,Q, R, albo P i q albo p i q (rys,2,22). 78

79 Rys.2.22. Przykłady ustalenia rzutów wiązkowych płaszczyzn za pomocą rzutów podprzestrzeni wyznaczających poprzez złącz rzutowane płaszczyzny Zastosowanie rzutowania wiązkowego R w definiowaniu technicznie użytecznych metod odwzorowań graficznych figur przestrzeni M 3 wymaga sprecyzowania rodzaju punktu będącego środkiem rzutowania R. Środek ten może być punktem właściwym albo niewłaściwym. Rzutowanie wiązkowe realizowane ze środka właściwego nazywa się rzutowaniem środkowym i oznacza się tutaj symbolem Rs. Precyzując strukturę aparatu rzutowania środkowego Rs zakłada się, że (rys.2.23): - rzutnia, nazywana tutaj tłem i oznaczana przez τ, jest płaszczyzną właściwą zawierającą powierzchnię arkusza rysunkowego wykorzystywaną w zapisie graficznym efektów rzutowania Rs, - środek rzutowania jest punktem właściwym leżącym przed płaszczyzną tła τ, tzn. punktem należącym do przeciwnej strony tła τ niż płaszczyzna ρ zawierająca powierzchnię arkusza rysunkowego nie wykorzystywaną w zapisie rzutów środkowych. Rys.2.23. truktura aparatu rzutowania środkowego Rs Rzutowanie środkowe Rs jako szczególna forma rzutowania wiązkowego R ma wszystkie, wskazane wcześniej dla rzutowania R, właściwości dotyczące struktury rzutów podprzestrzeni, zapisu relacji zawierania, przecięć i złączy figur w tym podprzestrzeni przestrzeni M 3. 79

80 W celu sformułowania właściwości specyficznych dla rzutowania środkowego Rs należy w odwzorowywanej przestrzeni M 3 wyróżnić płaszczyznę ζ równoległą do tła τ i przechodzącą przez środek rzutowania Rs. Płaszczyznę tę tradycyjnie nazywa się płaszczyzną zniknienia (rys.2.24). Łatwo wykazać, że: wszystkie podprzestrzenie przestrzeni M 3 odwzorowywanej za pomocą rzutowania środkowego Rs zawarte w płaszczyźnie zniknienia ζ tego rzutowania, lecz różne od środka odwzorowują się w postaci podprzestrzeni niewłaściwych. Natomiast podprzestrzenie nie zawarte w ζ mają rzuty środkowe będące podprzestrzeniami właściwymi (rys.2.24). Rys.2.24. Płaszczyzna zniknienia i jej właściwości Istotnie utwór rzutujący Σ A każdej odwzorowywanej w rzutowaniu środkowym Rs podprzestrzeni A zawierając punkt właściwy jest podprzestrzenią właściwą. Wobec tego iloczyn tego utworu Σ A z tłem τ będący rzutem środkowym A podprzestrzeni A jest podprzestrzenią niewłaściwą tylko wtedy, gdy Σ A. ζ. W pozostałych przypadkach Σ A. nie jest podprzestrzenią równoległą do tła τ i tym samym iloczyn Σ A τ = A jest podprzestrzenią właściwą. Kolejną ważną właściwością rzutowania środkowego Rs sformułować można w sposób następujący. Przekształcenie zbioru punktów niewłaściwych przestrzeni M 3 w zbiór ich rzutów środkowych jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznym (rys.2.25). Istotnie, w odwzorowywanej za pomocą rzutowania środkowego Rs przestrzeni M 3 dla każdego punktu niewłaściwego X jego utwór rzutujący Σ X jest prostą właściwą X O, która przebija tło τ dokładnie w jednym punkcie X. Z kolei rzut X wyznacz w złączu ze środkiem rzutowania Rs dokładnie jedną prostą właściwą utwór rzutujący Σ X, który przebija płaszczyznę niewłaściwą µ przestrzeni M 3 dokładnie w jednym punkcie X będącym pierwowzorem rzutu X (rys.2.25). 80

81 Rys.2.25. Przykład wzajemnej jednoznaczności przyporządkowania punktowi niewłaściwemu jego rzutu środkowego Warto jeszcze zauważyć, że w przestrzeni M 3 odwzorowywanej za pomocą rzutowania środkowego Rs, określonego przez aparat {τ,} wyróżnia się zbiór podprzestrzeni (prostych i płaszczyzn) równoległych do tła τ, lecz nie zawartych w płaszczyźnie zniknienia ζ rzutowania Rs. Podprzestrzenie takie nazywane są podprzestrzeniami warstwowymi w rzutowaniu Rs. Z podanej ostatnio definicji podprzestrzeni warstwowej oraz poznanych wcześniej definicji i właściwości utworów zasadniczych przestrzeni M 3 pozostających w zależności środkowo kolineacyjnej wynika, że: szereg punktów /0,b względnie układ płaski /0,β, którego pole jest w rzutowaniu środkowym Rs odpowiednio warstwową prostą b względnie warstwową płaszczyzną β, pozostaje ze swoim rzutem środkowym w relacji podobieństwa środkowego, a więc: - w przypadku każdej trójki współliniowych punktów np. A, B, C wyróżnionych w rozważanym utworze zasadniczym /0,b lub /0,β zachowany zostaje w ich rzucie m( AC) m( A C ) środkowym stosunek podziału pary {A,B} punktem C, czyli =, m( BC) m( B C ) (rys.2.26a), - w przypadku każdej pary prostych równoległych zawartych w rozważanym układzie płaskim /0,β rzuty środkowe tych prostych są prostymi równoległymi, (rys.2.26b). 81

82 Rys.2.26. Właściwości rzutów środkowych podprzestrzeni warstwowych Jak już sygnalizowano wcześniej, rzut wiązkowy, a więc i rzut środkowy figury Γ będącej modelem geometrycznym obiekty fizycznego G zapisuje się na rzutni tle τ w postaci rysunku tego rzutu. Taki rysunek jest powszechnie uznawany za widok obiektu G, a w uproszczeniu figury Γ, odbierany na tle τ przez obserwatora, którego oko znajduje się w środku rzutowania środkowego Rs. Interpretacja rzutu jako widoku rzutowanej figury Γ wymaga zdefiniowania na gruncie geometrii zjawiska widoczności oraz niewidoczności poszczególnych punktów figury Γ. Na wstępie tego rodzaju rozważań należy zauważyć, że figura Γ będąc modelem geometrycznym obiektu fizykalnego musi być, z oczywistych względów, figurą ograniczoną i domkniętą. Ponadto rozważana figura, jako twór obserwowany przez oko na tle τ, powinna byś zawarta w tej samej stronie τ ζ płaszczyzny zniknienia ζ co tło τ (rys.2.27). 82

83 Rys.2.27. Przykład sytuowania figury odwzorowywanej za pomocą rzutowania środkowego Niech w dalszym ciągu wszystkie proste rzutujące w rzutowaniu środkowym Rs i nie zawarte w płaszczyźnie znikniena ζ, będą prostymi zorientowanymi w ten sposób, że środek rzutowania Rs poprzedza w każdej z tych prostych, np. t i na rys.2,28, jej punkt T τ wbicia się w tło τ. Rys.2.28. posób orientowania prostych rzutujących w rzutowaniu środkowym Przy przyjętych umowach, rzutowana w rzutowaniu Rs figura Γ przecinana jest przez nierozłączne z nią zorientowane proste rzutujące t i w figurach ograniczonych i domkniętych Φ i (rys.2.29). Rys.2.29. Ilustracja zasady określania widoczności figury odwzorowywanej za pomocą rzutowania środkowego W każdej z tych figur istnieje punkt pierwszy W i (czyli punkt nie poprzedzany przez żaden inny punkt figury Φ i ). umę wszystkich tak określonych punktów W i figury Γ oznacza się symbolem Γ W i nazywa się figurą składową widoczną figury Γ w rzutowaniu Rs. Pozostałą 83

84 część Γ N = Γ/Γ W figury Γ uznaje się za złożoną z tzw. punktów niewidocznych, a figura Γ N nosi nazwę figury składowej niewidocznej figury Γ w rzutowaniu Rs. Ustalenie w rzutowaniu środkowym Rs rozpadu rzutowanej figury Γ na jej część składową widoczną Γ W i część składową niewidoczną Γ N uznaje się za równoznaczne ze zdefiniowaniem tzw. widoczności figury Γ w rzutowaniu Rs. Z przyjętych ostatnio założeń i definicji wynika, że: każdy punkt rzutu środkowego Γ figury ograniczonej i domkniętej Γ jest rzutem dokładnie jednego punktu widocznego tej figury, a tym samym brzeg rzutu Γ jest rzutem tzw. linii widocznej złożonej z punktów widocznych figury Γ w stosowanym rzutowaniu (rys.2.30). Rys.2.30. Efekt ustalenia widoczności figury Γ w rzutowaniu środkowym Określenie widoczności figury Γ w rzutowaniu środkowym Rs zostaje zasygnalizowane w rysunku rzutu środkowego Γ tej figury poprzez zróżnicowanie struktury wewnętrznej linii stosowanych do wykreślenia rzutów linii widocznych, tzn. zawartych w Γ W i niewidocznych, czyli zawartych w Γ N. Rzuty linii widocznych kreśli się zawsze grubą linią ciągłą (rys.2.31), natomiast rzuty linii niewidocznych rysuje się cienką linią kreskową (rys.2.31a), albo pomija się je całkowicie w finalnym rysunku rzutu Γ (rys.2.31b). Rys.2.31. posoby zapisu rzutów linii widocznych i niewidocznych na rzucie środkowym Γ figury Γ; 84

85 rys.a grube linie ciągłe wyróżniające rzuty linii widocznych, oraz cienkie linie kreskowe jako symbol rzutów linii niewidocznych, rys.b - grube linie ciągłe wyróżniające rzuty linii widocznych, oraz pominięte oznaczenia rzutów linii niewidocznych Ważnym zagadnieniem konstrukcyjnym występującym często w graficznych zapisach modeli geometrycznych obiektów inżynierskich jest umiejętność przedstawiania krzywych stożkowych w rzutowaniach, na których bazują realizowane zapisy. Niech krzywa stożkowa e ) zawarta w płaszczyźnie ε podlega odwzorowaniu w rzutowaniu środkowym Rs. Właściwości rzutu stożkowej e ) zależą przede wszystkim od rodzaju płaszczyzny ε zawierającej tę stożkową. Jeżeli płaszczyzna ε jest płaszczyzną rzutującą w stosowanym rzutowaniu środkowym Rs, to rzut środkowy stożkowej e ) jest tworem liniowym zawartym w prostej e ) = Rs( e ) ). Właściwości tego tworu zależą od usytuowania środka rzutowania Rs względem stożkowej e ). Mianowicie, gdy: - jest punktem wewnętrznym stożkowej e ), to wszystkie proste płaszczyzny ε przechodzące przez (proste rzutujące) przecinają stożkową e ) i tym samym są utworami rzutującymi punktów tej stożkowej, w związku z tym rzut środkowy e) stożkowej e ) jest tutaj identyczny z prostą ε = ε τ (rys.2.32), Rys.2.32. Przykład odwzorowania w rzutowaniu środkowym Rs stożkowej e ) przy założeniu, że środek rzutowania Rs jest punktem wewnętrznym stożkowej e ) - jest punktem stożkowej e ), to wszystkie proste płaszczyzny ε przechodzące przez, z wyjątkiem prostej t stycznej do e ), są utworami rzutującymi punktów stożkowej e) i w związku z tym rzut środkowy e ) jest w omawianej sytuacji prostą ε pomniejszoną o punkt t τ (bo rzutem należącego e ) do środka rzutowania Rs jest zbiór pusty), (rys.2.33), 85

86 Rys.2.33. Przykład odwzorowania w rzutowaniu środkowym Rs stożkowej e ) przy założeniu, że środek rzutowania Rs leży na stożkowej e ) - jest punktem zewnętrznym rzutowanej stożkowej e ), to przez przechodzą dwie proste t 1 i t 2 styczne do stożkowej e ). Proste te wyznaczają dwa kąty wierzchołkowe Σ e ), takie że zawarta jest w nich stożkowa e ), a więc i wszystkie proste rzutujące poszczególne punkty stożkowej e ) ; w związku z tym rzutem środkowym e ) stożkowej e ) jej tutaj iloczyn kątów wierzchołkowych Σ e ) z tłem τ będący: a) odcinkiem o końcach t 1 τ oraz t 2 τ, gdy stożkowa e ) jest rozłączna z płaszczyzną zniknienia ζ rzutowania Rs, (rys.2.34)),, Rys.2.34. Przykład odwzorowania w rzutowaniu środkowym Rs stożkowej e ) rozłącznej z płaszczyzną zniknienia ζ, przy założeniu, że środek rzutowania Rs jest punktem zewnętrznym stożkowej e ) b) półprostą o początku t 1 τ albo t 2 τ, gdy e ) jest krzywą styczną do płaszczyzny zniknienia ζ (rys.2.35), 86

87 Rys.2.35. Przykład odwzorowania w rzutowaniu środkowym Rs stożkowej e ) stycznej do płaszczyzny zniknienia ζ, przy założeniu, że środek rzutowania Rs jest punktem zewnętrznym stożkowej e ) c) dwoma rozłącznymi półprostymi o początkach t 1 τ oraz t 2 τ, gdy płaszczyzna zniknienia ζ przecina rzutowaną stożkową w dwóch różnych punktach (rys.2.36). Rys.2.36. Przykład odwzorowania w rzutowaniu środkowym Rs stożkowej e ) zawartej w płaszczyźnie rzutującej ε i przeciętej przez płaszczyznę zniknienia ζ w dwóch różnych punktach oraz usytuowanej w ten sposób, że środek rzutowania Rs jest punktem zewnętrznym stożkowej e ) Jeżeli płaszczyzna ε stożkowej e ) odwzorowywanej za pomocą rzutowania środkowego Rs jest płaszczyzną warstwową, to zgodnie poznanymi właściwościami tego rodzaju płaszczyzn, rzut e ) jest krzywą jednokładną (środkowo podobną) względem środka w stosunku do oryginału e ). tożkową e ) wyznacza jednoznacznie rzut środkowy figury określającej rzutowaną stożkową e ) (rys.2.37). Rys.2.37. Przykład odwzorowania w rzutowaniu środkowym Rs stożkowej e ) zawartej w płaszczyźnie warstwowej Ostatecznie, gdy rzutowana stożkowa e ) zawarta jest w płaszczyźnie ogólnej ε (tzn. nierzutującej i niewarstwowej), to rzut środkowy e ) tej stożkowej pozostaje w związku środkowej kolineacji Kl ze stożkową rzutowaną e ) i jest również krzywą stożkową będącą: 87

88 - elipsą, gdy stożkowa e ) jest rozłączna z płaszczyzną zniknienia ζ stosowanego rzutowania Rs ( bo przy takim założeniu wszystkie punkty stożkowej e ) odwzorowują się jako punkty właściwe); elipsę e ) wyznaczyć można np. za pomocą figury złożonej z rzutów środkowych trzech punktów E 1, E 2,E 3 stożkowej e ) oraz stycznych e i f do e ) odpowiednio w punktach E 1 i E 2, przy czym najwygodniej styczne e i f dobrać w ten sposób, aby punkt e f należał do krawędzi ε ζ będącej prostą graniczną układu stożkowej e ) w kolineacji Kl (proste e oraz f są w omawianej sytuacji prostymi równoległymi a punkty E 1 i E 2 wyznaczają odcinek średnicowy elipsy e ) ), (rys.2.38), Rys.2.38. Przykład odwzorowania w rzutowaniu środkowym Rs stożkowej e ) zawartej w płaszczyźnie nierzutującej ε oraz usytuowanej w ten sposób, że prosta ε ζ jest prostą zewnętrzną w stosunku do rzutowanej stożkowej - parabolą, gdy stożkowa e ) jest styczna do prostej ε ζ będącej prostą graniczną układu stożkowej e ) w kolineacji Kl (przy przyjętym założeniu wszystkie punkty stożkowej e ) z wyjątkiem jej punktu E styczności z płaszczyzną ζ odwzorowują się w rzutowaniu Rs jako punkty właściwe, zaś rzut E punktu E jest jedynym punktem niewłaściwym krzywej e ) ); parabolę e ) można wyznaczyć np. za pomocą rzutów środkowych należących do e ) różnych i niewspółliniowych punktów E,F i P oraz stycznej f w punkcie F do stożkowej e ) (rys.2.39), 88

89 Rys.2.39. Przykład odwzorowania w rzutowaniu środkowym Rs stożkowej e ) zawartej w płaszczyźnie nierzutującej ε oraz usytuowanej w ten sposób, że prosta ε ζ jest prostą styczną do rzutowanej stożkowej - hiperbolą, gdy stożkowa e ) jest przecięta przez płaszczyznę zniknienia ζ rzutowania Rs w dwóch różnych punktach H 1 i H 2 (punkty H 1 i H 2 należą do prostej granicznej ε ζ układu stożkowej e ) w kolineacji Kl, więc rzuty środkowe tych punktów są dwoma różnymi punktami niewłaściwymi rzutu e ) stożkowej e ) ); hiperbolę e ) można w rozważanym przypadku wyznaczyć np. za pomocą rzutów środkowych punktów H 1 i H 2, stycznych h 1 i h 2 do e ) odpowiednio w punktach H 1 i H 2 (proste h 1 i h 2 są asymptotami hiperboli e ) ), oraz rzutu jeszcze jednego punktu H e ) różnego od H 1 i H 2 (rys.2.40). Rys.2.40. Przykład odwzorowania w rzutowaniu środkowym Rs stożkowej e ) zawartej w płaszczyźnie nierzutującej ε oraz usytuowanej w ten sposób, że prosta ε ζ jest prostą sieczną w stosunku do rzutowanej stożkowej Innym rodzajem rzutowania wiązkowego R mającym szczególnie szerokie zastosowanie w graficznych zapisach obiektów technicznych jest rzutowanie z niewłaściwego środka 89

90 rzutowania. Rzutowanie takie zwane jest rzutowaniem równoległym i oznaczane tutaj symbolem Rr. Aparat rzutowania Rr oznacza się natomiast przez {π, }. Rzutnią rzutowania równoległego Rr jest, jak w każdym rzutowaniu wiązkowym, płaszczyzna właściwa π zawierająca powierzchnię arkusza rysunkowego wykorzystywaną do graficznego zapisu efektów rzutowania Rr. Natomiast środek rzutowania Rr ustalany jest zazwyczaj jako punkt niewłaściwy pewnej właściwej prostej s nierównoległej do π, nazywanej prostą kierunkową (rys.2.41). Biorąc pod uwagę udział prostej kierunkowej s w kształtowaniu aparatu rzutowania równoległego Rr, aparat ten można opisywać symbolem {π,s}. Rzuty równoległe figur Γ,,... oznacza się tutaj przez Γ,,... Rys.2.41. truktura aparatu rzutowania równoległego Rr Podobnie jak rzutowanie środkowe Rs, tak i rzutowanie równoległe Rr, jako szczególna forma rzutowania wiązkowego R, ma wszystkie właściwości rzutowania R w zakresie struktury obrazów rzutów podprzestrzeni, a także zapisu relacji zawierania, przecinania i złączy. Z racji szczególności struktury aparatu rzutowania Rr wykazuje ono szereg swoistych cech ważnych w dalszych rozważaniach dotyczących graficznych metod zapisu figur przestrzeni M 3. Fundamentalną cechą rzutowania równoległego Rr w przestrzeni M 3 jest zachowanie rodzaju odwzorowywanych podprzestrzeni. Mianowicie: rzutem równoległym różnej od podprzestrzeni niewłaściwej przestrzeni M 3 jest podprzestrzeń niewłaściwa (rys.2.42a), natomiast wszystkie podprzestrzenie właściwe mają w rzutowaniu równoległym rzuty będące podprzestrzeniami właściwymi (rys.2.42b). 90

91 Rys.2.42. Przykłady rzutów równoległych podprzestrzeni niewłaściwych (rys.a) oraz właściwych (rys.b) Istotnie, każda podprzestrzeń niewłaściwa A przestrzeni M 3 odwzorowywanej za pomocą rzutowania równoległego Rr wyznacza w złączu ze środkiem rzutowania Rr niewłaściwą podprzestrzeń utwór rzutujący Σ A., którego część wspólna z rzutnią π jest podprzestrzenią niewłaściwą, będącą rzutem równoległym A podprzestrzeni A. Natomiast, gdy odwzorowywana w rzutowaniu Rr podprzestrzeń B jest podprzestrzenią właściwą, to jej utwór rzutujący Σ B = B O jest podprzestrzenią właściwą nierównoległą do rzutni π (bo π). Wobec tego iloczyn Σ B π będący rzutem równoległym B podprzestrzeni B jest podprzestrzenią właściwą. Konsekwencją opisanej ostatnio właściwości rzutowania równoległego Rr jest kolejna, podstawowa dla odwzorowań graficznych przestrzeni M 3, właściwość tego rzutowania dotycząca zapisu równoległości par podprzestrzeni. Równoległość podprzestrzeni A i B przestrzeni M 3 odwzorowywanej za pomocą rzutowania równoległego Rr zostaje zachowana w rzutach równoległych tych podprzestrzeni (tzn. A B ), gdy żadna z odwzorowywanych podprzestrzeni nie jest w rzutowaniu Rr prostą rzutującą (rys.2.43). 91

92 Rys.2.43. Przykłady zachowania równoległości par podprzestrzeni w rzutowaniu równoległym Prawdziwość powyższego stwierdzenia wynika z faktu, że równoległość podprzestrzeni A i B jest równoznaczna z wystąpieniem relacji zawierania się między częściami podprzestrzeniami niewłaściwymi A i B rozważanych podprzestrzeni. Podprzestrzenie A i B, będąc z założenia różne od środka rzutowania Rr, mają rzuty równoległe w postaci powiązanych relacją zawierania podprzestrzeni niewłaściwych A i B zawartych odpowiednio w A oraz B ; A A i B B i (A B albo B A ), więc A B. Równie ważna w dalszych rozważaniach jest możliwość odczytu równoległości odwzorowanych w rzutowaniu równoległym Rr podprzestrzeni na podstawie danych w rzutni 92

93 π ich rzutów równoległych. Zgodnie z wcześniejszymi ustaleniami rozważane obecnie zagadnienie wiąże się z możliwością odczytu z danych rzutów części wspólnej odwzorowanych podprzestrzeni będącej podprzestrzenią niewłaściwą. Wszystkie tego rodzaju sytuacje zestawiono na rys.2.44. Rys.2.44. Przykłady rzutów równoległych par podprzestrzeni pozwalających odczytać równoległość tych podprzestrzeni Rzutowanie równoległe ( z niewłaściwego środka ) powoduje, że utwory zasadnicze wyróżnione w podprzestrzeniach nierzutujących oraz ich rzuty równoległe pozostają w związku powinowactwa osiowego, które jak wiadomo jest relacją wzajemnie jednoznaczną. kutkuje to następującymi zależnościami. Jeżeli w rzutowaniu równoległym Rr prosta t jest nierzutujacą prostą zorientowaną tak, że punkt A tej prostej poprzedza inny jej punkt B, to rzut równoległy t rozważanej prostej jest również prostą zorientowaną tak, że A poprzedza B (rys.2,45). Rys.2.45. Rzut równoległy zorientowanej prostej nierzutującej 93

94 Jeżeli w rzutowaniu równoległym Rr nierzutujące proste a i b, względnie nierzutująca prosta a i wektor PQ są zgodnie ( przeciwnie) zorientowane, to rzuty równoległe odpowiednio a i b względnie a i zorientowane (rys.2.46). P'Q' są również zgodnie (przeciwnie ) Rys.2.46. Przykłady rzutów równoległych nierzutujących prostych zgodnie zorientowanych a i b oraz nierzutującej prostej zorientowanej a i zgodnie z nią zorientowanego wektora PQ W rzutowaniu równoległym Rr stosunek podziału pary punktów {A,B} punktem C leżącym z A i B w prostej nierzutującej zostaje zachowany w rzutach równoległych rozważanych punktów, czyli m( AC) m( A' C') =, (rys.2.47). m( BC) m( B' C') Rys.2.47. Przykład zachowania w rzutowaniu równoległym stosunku podziału pary punktów przez trzeci punkt współliniowy z tą parą Gdy odwzorowywana w rzutowaniu równoległym Rr prosta lub płaszczyzna jest podprzestrzenią warstwową, to wyróżnione w nich utwory zasadnicze ( odpowiednio szereg punktów lub układ płaski) odwzorowują się jako utwory środkowo przystające do oryginałów. W związku z tym: 94

95 W rzutowaniu równoległym Rr rzut równoległy Γ figury Γ zawartej w podprzestrzeni warstwowej jest figurą przystająca do Γ (rys.2.48). Rys.2.48. Właściwości rzutu równoległego figury zawartej w podprzestrzeni warstwowej Ostatecznie analizując w świetle twierdzenia Talesa zależności między szeregami punktów leżących w prostych równoległych, a ich rzutami równoległymi dochodzi się do wniosku, że: tosunek długości rzutów równoległych odcinków zawartych w prostych jednego kierunku do długości oryginałów tych odcinków jest wielkością stałą nazywaną współczynnikiem deformacji liniowej dla prostych wyróżnionego kierunku (rys.2.49). Rys.2.49. Określenie współczynnika deformacji liniowej dla kierunku (a) Współczynnik deformacji liniowej dla kierunku np. (a) prostych równoległych do prostej a oznacza się symbolem d (a). Łatwo zauważyć, że: - d (a) = 0, gdy kierunek (a) składa się z prostych rzutujących w stosowanym rzutowaniu równoległym Rr, - d (a) = 1, gdy kierunek (a) jest zbiorem prostych warstwowych w rzutowaniu Rr. - Podobnie jak w przypadku rzutowania środkowego Rs, tak i w przypadku rzutowania równoległego Rr rzut figury ograniczonej i domkniętej Γ jest na ogół rysowany na powierzchni arkusza rysunkowego zawartej w rzutni π. 95

96 Rysunek taki jest powszechnie interpretowany jako widok fizykalnego odpowiednika G figury Γ na tle rzutni π przy kierunku obserwacji zgodnym z kierunkiem kierunkowej s. Taka interpretacja wymaga jednak zorientowania prostej kierunkowej s, jako że cechą obserwacji wzrokowej jest nie tylko jej kierunek, ale i zwrot (nie wystarczy powiedzieć, że patrzy się pionowo, lecz trzeba jeszcze określić czy obserwacja jest zorientowana w górę czy ku dołowi). Dokonując wymaganej orientacji prostej s, zgodnie z naturalnym sposobem oglądania obrazów wykreślonych na zawartej w rzutni π powierzchni arkusza rysunkowego przyjmuje się, że w zorientowanej prostej kierunkowej s punkt s π poprzedza punkt s ρ, gdzie ρ jest płaszczyzną zawierającą powierzchnię arkusza rysunkowego nie wykorzystywaną do zapisu rzutów uzyskiwanych w rozważanym rzutowaniu równoległym Rr (rys.2.50). Rys.2.50. Ilustracja zasady orientowania prostej kierunkowej w aparacie rzutowania równoległego Po przyjęciu umowy dotyczącej sposobu orientowania prostej kierunkowej s, dalsze zasady definiowania w rzutowaniu równoległym Rr tzw. widoczności figury ograniczonej i domkniętej Γ ustala się analogicznie do zasad, które zastosowano w przypadku rzutowania środkowego Rs. Mianowicie, zakłada się, że każda prosta t i rzutująca w stosowanym rzutowaniu równoległym Rr i nierozłączna z rzutowaną figurą Γ zostaje zgodnie zorientowana z prostą kierunkową s aparatu tego rzutowania. Takie proste przecinają Γ w figurach ograniczonych i domkniętych Φ i. Podobnie jak w rzutowaniu środkowym, tak i obecnie punkty W i pierwsze w figurach Φ i uznaje się za punkty widoczne figury Γ w rzutowaniu Rr (rys.2.51). Ich suma daje tzw. figurę składową widoczną Γ W figury Γ. Pozostałe punkty rzutowanej figury Γ ( a więc nie będące punktami pierwszymi w figurach Φ i ) uznaje się za punkty niewidoczne, a ich suma jest tzw. figurą składową niewidoczną Γ N figury Γ w rzutowaniu Rr (rys.2.51). 96

97 Rys.2.51. Ilustracja zasady ustalania widoczności figury Γ odwzorowywanej za pomocą rzutowania równoległego Wyróżnienie w odwzorowywanej za pomocą rzutowania równoległego Rr figurze ograniczonej domkniętej Γ jej figur składowych widocznej Γ W i niewidocznej Γ N uznaje się za równoznaczne z ustaleniem widoczności figury Γ w realizowanym rzutowaniu równoległym Rr. Warto zauważyć, że opisany sposób ustalania widoczności figury Γ na podstawie przyjętych kryteriów geometrycznych daje efekty porównywalne z tymi, które uzyskuje się w sygnalizowanej wcześniej interpretacji rzutu równoległego Γ jako widoku materialnego odpowiednika G rozważanej figury Γ przy jej obserwacji zgodnej ze zwrotem kierunkowej s. Istotnie obserwator przy takiej obserwacji (rys.2.52) widzi jedynie materialny odpowiednik G W części Γ W rzutowanej figury Γ. Przysłania on pozostałą część G N obiektu G o modelu Γ N, czyniąc ją fizykalnie niewidoczną. Rys.2.52. Ilustracja fizykalnej interpretacji widoczności figury odwzorowywanej za pomocą rzutowania równoległego 97

98 Ustalenia w zakresie widoczności figury Γ odwzorowywanej za pomocą rzutowania równoległego Rr są zapisywane w rysunku jej rzutu równoległego Γ poprzez zastosowanie zróżnicowanych linii do wykreślenia rzutów linii widocznych, tzn. zawartych w Γ W i niewidocznych, czyli zawartych w Γ N. Podobnie jak to miało miejsce w przypadku analogicznych rozwiązań w zakresie rzutowania środkowego, tak i obecni rzuty linii widocznych kreśli się zawsze grubą linią ciągłą (rys.2.53), natomiast rzuty linii Rys.2.53. Przykłady zapisu ustaleń dotyczących widoczności figury odwzorowanej za pomocą metody miarowej rys.a, względnie metody poglądowej rys.b niewidocznych rysuje się cienką linią kreskową (rys.2.53a), albo pomija się je całkowicie w finalnym rysunku rzutu Γ (rys.2.53b). Ze względu na praktyczną przydatność należy jeszcze raz powtórzyć, wcześniej wykrytą w ramach rzutowania środkowego Rs, prawidłowość wynikającą również z przyjętych zasad ustalania widoczności figur w rzutowaniu równoległym Rr. Mówi ona, że: każdy punkt rzutu równoległego Γ figury ograniczonej i domkniętej Γ jest rzutem dokładnie jednego punktu widocznego tej figury, a tym samym brzeg rzutu Γ jest rzutem linii widocznej z ) figury Γ zwanej zarysem figury Γ w stosowanym rzutowaniu (rys.2.54). Rys.2.54. Zarys figury odwzorowywanej w rzutowaniu równoległym i jego właściwości 98

99 W odwzorowaniach graficznych przestrzeni M 3 bazujących na rzutowaniu równoległym Rr, podobnie jak to miało miejsce w przypadku rzutowań środkowych Rs, ważną rolę odgrywa umiejętność konstruowania rzutu równoległego stożkowej. Podstawowe zasady tego rodzaju zapisów realizowanych za pomocą rzutowania równoległego wykazują daleko idące podobieństwo do analogicznych zasad sformułowanych na gruncie rzutowania środkowego. Jest to uzasadnione tym, że zarówno rzutowanie środkowe jak i równoległe są szczególnymi formami jednego i tego samego przekształcenia zwanego rzutowaniem wiązkowym. Wobec tego, korzystając z wcześniej dokonanych ustaleń w ramach analizy zapisu krzywych stożkowych w rzutowaniu środkowym, można stwierdzić, że I tak, struktura rzutu równoległego e ) stożkowej e ) zawartej w płaszczyźnie ε zależy od położenia: - płaszczyzny ε e ) względem elementów aparatu {π, } stosowanego rzutowania równoległego Rr, - stożkowej e ) względem środka rzutowania Rr, - stożkowej e ) względem odpowiednika w rzutowaniu Rr płaszczyzny zniknienia ζ, jest on płaszczyzną niewłaściwą µ odwzorowywanej przestrzeni M 3. jeżeli płaszczyzna ε zawierająca rzutowaną stożkową e ) jest w stosowanym rzutowaniu równoległym Rr płaszczyzną rzutującą, zaś: - krzywa e ) jest elipsą, to rzut równoległy e ) tej krzywej jest odcinkiem leżącym w ε ograniczonym punktami przebicia rzutni π rzutującymi prostymi t 1 oraz t 2 stycznymi do e ) (rys.2.55 porównaj z informacjami zilustrowanymi rysunkiem 2.34.), Rys.2.55. Rzut równoległy elipsy zawartej w płaszczyźnie rzutującej - krzywa e ) jest parabolą, której średnice są prostymi rzutującymi w rzutowaniu Rr ( e ) ), to rzut równoległy e ) tej krzywej jest prostą ε pomniejszoną o jej punkt niewłaściwy (rys.2.56 porównaj z informacjami zilustrowanymi rys.2.33), 99

100 Rys.2.56. Rzut równoległy paraboli, której średnice są prostymi rzutującymi - krzywa e ) jest parabolą, której średnice są prostymi nierzutującymi w rzutowaniu Rr ( e ) ), to rzut równoległy e ) tej krzywej jest półprostą prostej ε o początku w punkcie, w którym prosta rzutująca t styczna do e ) przebija rzutnię π (rys.2.57 porównaj z informacjami zilustrowanymi rysunkiem 2.35), Rys.2.57. Rzut równoległy paraboli zawartej w płaszczyźnie rzutującej, a której średnice są prostymi nierzutującymi - krzywa e ) jest hiperbolą, której jedna ze średnic siecznych jest prostą rzutującą w rzutowaniu Rr, to rzut równoległy e ) tej krzywej jest prostą ε identyczną z rzutem równoległym płaszczyzny ε (rys.2.58 porównaj z informacjami zilustrowanymi rys.2.32), Rys.2.58. Rzut równoległy hiperboli zawartej w płaszczyźnie rzutującej i tak usytuowanej, że jej rzutująca średnica m jest prosta sieczną w stosunku do rzutowanej krzywej 100

101 - krzywa e ) jest hiperbolą, do której należy środek rzutowania Rr, czyli punkt jest punktem niewłaściwym jednej z asymptot, np. h 1, hiperboli e ), to rzut równoległy rozważanej hiperboli e ) jest prostą ε pomniejszoną o punkt h 1 =h 1 π (rys.2.59 porównaj z informacjami zilustrowanymi rys.2.33), Rys.2.59. Rzut równoległy hiperboli zawartej w płaszczyźnie rzutującej i tak usytuowanej, że jej asymptota h 1 jest prostą rzutujacą - krzywa e ) jest hiperbolą, której jedna ze średnic zewnętrznych jest prostą rzutującą w rzutowaniu Rr, to rzut równoległy e ) tej krzywej jest dwoma rozłącznymi półprostymi prostej ε o początkach będących punktami przebicia rzutni π przez rzutujące proste t 1 oraz t 2 styczne do e ) (rys.2.60 porównaj z informacjami zilustrowanymi rys.2.36). Rys.2.60. Rzut równoległy hiperboli zawartej w płaszczyźnie rzutującej i tak usytuowanej, że jej rzutująca średnica m jest prostą zewnętrzną w stosunku do rzutowanej krzywej Z kolei z ogólnych właściwości podprzestrzeni warstwowych w rzutowaniu Rr wynika, że: jeżeli płaszczyzna ε zawierająca stożkową e ) jest w stosowanym rzutowaniu równoległym Rr płaszczyzną warstwową, to rzut równoległy e ) stożkowej e ) jest krzywą przystającą do e ), wyznaczoną przez rzut równoległy figury uznanej za figurę wyznaczającą stożkową e ). Natomiast w przypadku, gdy płaszczyzna ε zawierająca stożkową e ) odwzorowywaną w rzutowaniu równoległym Rr jest tzw. płaszczyzną ogólną (tzn. nierzutującą i 101

102 niewarstwową), to jak łatwo zauważyć, związek pomiędzy stożkową e ) i jej rzutem równoległym e ) jest powinowactwem osiowym i wobec tego: - rzut równoległy e ) stożkowej e ) zawartej w nierzutującej płaszczyźnie ε jest stożkową tego samego rodzaju co stożkowa rzutowana, - za figurę wyznaczającą rzut równoległy e ) rozważanej stożkowej e ) uznać można rzut równoległy figury wyznaczającej stożkową e ), o ile figura ta nie została zdefiniowana z uwzględnieniem zależności miarowych wiążących ją ze stożkową e ). Z podanych stwierdzeń wynika, że konstruując rzut równoległy stożkowej e ) zawartej w płaszczyźnie ogólnej ε, wystarczy obrać w ε i zrzutować: a) w przypadku gdy e ) jest elipsą, np. parę odcinków średnicowych sprzężonych AB i CD tej krzywej (rys.2.61), Rys.2.61. Rzut równoległy elipsy zawartej w płaszczyźnie nierzutującej b) w przypadku gdy e ) jest hiperbolą, np. asymptoty h 1 i h 2 oraz dowolny punkt H e ) (rys.2.62), Rys.2.62. Rzut równoległy hiperboli zawartej w płaszczyźnie nierzutującej c) w przypadku gdy e ) jest parabolą, np. dowolną średnicę l tej krzywej, punkt T = l e ), styczną t do e ) w punkcie T oraz dowolny punkt P T leżący w e ) (rys.2.63). 102

103 Rys.2.63. Rzut równoległy paraboli zawartej w płaszczyźnie nierzutującej Rzuty równoległe elementów składowych wyróżnionych figur są odpowiednio: - parą odcinków A ' B', C ' D' średnicowych sprzężonych elipsy e ) - przypadek a), - asymptotami h 1 i h 2 oraz pewnym punktem H hiperboli e ) - przypadek b), - średnicą l, punktem T = l e ), styczną t w punkcie T oraz punktem P T paraboli e ) - przypadek c), są więc figurami jednoznacznie definiującymi każdą ze stożkowych e ) i tym samym umożliwiającymi konstruowanie dalszych punktów (i ewentualnie stycznych) tych krzywych bezpośrednio w rzutni π, przy zastosowaniu odpowiednich konstrukcji planimetrycznych podanych w rozdziale 1 niniejszego skryptu. Kończąc omawianie zagadnień związanych z rzutowaniem równoległym Rr należy jeszcze przeanalizować właściwości specyficznej odmiany tego rzutowania zwanej rzutowaniem prostokątnym Rp, a otrzymywanej przy założeniu, że środek tego rzutowania jest punktem niewłaściwym prostej kierunkowej s prostopadłej do rzutni π tego rzutowania (rys.2.64). Rys.2.64. truktura aparatu rzutowania prostokątnego Rp Prostota określenia z dokładnością do izometrii struktury aparatu {π,s} rzutowania prostokątnego Rp oraz pewne właściwości tego rzutowania w zakresie zapisu zależności miarowych rozważanych w przestrzeni M 3 spowodowały, że rzutowanie Rp zdominowało wszystkie inne przypadki rzutowań równoległych, zwane rzutowaniami ukośnymi, w ich zastosowaniach w definiowaniu metod zapisów graficznych użytecznych w technice. Rzutowanie prostokątne Rp, jako szczególna forma rzutowania równoległego Rr, ma oczywiście wszystkie omówione wcześniej właściwości rzutowania Rr. Należy jednak zauważyć, że szczególność struktury aparatu {π,s} rzutowania prostokątnego Rp wyrażająca 103

104 się w prostopadłości prostej kierunkowej s tego aparatu do jego rzutni π, daje możliwość uszczegółowienia lub innej redakcji niektórych właściwości rzutowania Rr. Oto kilka przykładów tego rodzaju sytuacji. W rzutowaniu prostokątnym Rp prosta względnie płaszczyzna właściwa jest podprzestrzenią rzutującą, gdy jest prostopadła do rzutni π stosowanego rzutowania Rp. W rzutowaniu prostokątnym Rp współczynnik deformacji liniowej dla dowolnego kierunku prostych jest równy wartości cosinusa kąta nachylenia prostych tego kierunku do rzutni π rzutowania Rp (rys.2.65). Tym samym wartość tego współczynnika waha się w granicach od 0 (dla kierunku prostych rzutujących) do 1 (dla kierunków prostych warstwowych). Rys.2.65. Właściwości współczynnika deformacji liniowej w rzutowaniu prostokątnym Rzut prostokątny figury Γ jest figurą Γ przystającą do Γ wtedy i tylko wtedy, gdy Γ jest zawarta w prostej względnie płaszczyźnie warstwowej w stosowanym rzutowanie prostokątnym Rp. Dalsze rozważa niniejszego rozdziału poświęcone są omówieniu swoistych dla rzutowania prostokątnego Rp właściwości wiążących się przede wszystkim z zachowaniem relacji miarowych w zapisach dokonywanych za pomocą takiego rzutowania. Podstawową relacją umożliwiającą w pełnym zakresie opis związków miarowych zachodzących między podprzestrzeniami właściwymi przestrzeniu M 3 jest relacja prostopadłości. Dowodzi się, że istnieją przypadki, w których rzutowanie prostokątne zachowuje prostopadłość podprzestrzeni odwzorowywanych za pomocą tego rzutowania. Ma to miejsce wówczas, gdy prostopadłość podprzestrzeni np. A i B pociąga za sobą prostopadłość rzutów prostokątnych A i B tych podprzestrzeni. Z ogólnie znanych definicji par podprzestrzeni prostopadłych zestawionych z założeniem, że w rzutowaniu prostokątnym Rp kierunkowa s jest prostopadła do rzutni π tego rzutowania wynika, że: rzuty prostokątne prostopadłych płaszczyzn α i β są prostymi prostopadłymi α i β, gdy rzutowane płaszczyzny są płaszczyznami rzutującymi w stosowanym rzutowaniu Rp (rys.2.66), 104

105 Rys.2.66. Ilustracja sytuacji, w której rzutowanie prostokątne zachowuje prostopadłość dwóch płaszczyzn rzuty prostokątne wzajemnie prostopadłych prostej a i płaszczyzny β są prostopadłymi prostymi a oraz β, gdy płaszczyzna β jest w stosowanym rzutowaniu Rp podprzestrzenią rzutującą, względnie gdy prosta a jest w tym rzutowaniu prostą warstwową (rys.2.67), Rys.2.67. Ilustracja sytuacji, w której rzutowanie prostokątne zachowuje prostopadłość prostej i płaszczyzny rzuty prostokątne wzajemnie prostopadłych prostych a i b są prostopadłymi prostymi a oraz b, gdy w stosowanym rzutowaniu Rp żadna z odwzorowywanych prostych nie jest rzutująca, a co najmniej jedna z nich, np. a, jest prostą warstwową (rys.2.68). Rys.2.68. Ilustracja sytuacji, w której rzutowanie prostokątne zachowuje prostopadłość dwóch prostych Równie ważne jest rozpoznanie przypadków, w których z danych rzutów prostokątnych dwóch podprzestrzeni odczytać można prostopadłość podprzestrzeni zrzutowanych. Poniżej zestawiono tego rodzaju przypadki stosując bardzo przydatny tutaj zapis graficzno symboliczny z poglądowym wskazaniem sytuacji przestrzennej odpowiadającej omawianym zależnościom. 105

106 W rzutowaniu prostokątnym Rp istnieje również możliwość zachowania bez deformacji informacji o dwóch podstawowych parametrach miarowych określających wzajemne położenie dwójek podprzestrzeni np. A i B. Parametrami tymi są odległość podprzestrzeni A i B, oznaczana tutaj symbolem ρ( A,B), oraz miara kata podprzestrzeni A i B, oznaczana tutaj przez σ( A,B). Wiadomo, że odległość dwóch podprzestrzeni, np. A i B, nie będących jednocześnie punktami mierzona jest długością odcinka AB o końcach A A i B B, zawartego w prostej prostopadłej do każdej z rozważanych podprzestrzeni różnej od punktu. Ponieważ, jak wcześniej stwierdzono, długość odcinka jest zachowana w rzutowaniu prostokątnym, gdy rzutowany odcinek leży w prostej warstwowej, więc: Odledłość ρ(a,b) podprzestrzeni A i B jest równa odległości ρ(a,b B ) ich rzutów prostokątnych A oraz B otrzymanych w rzutowaniu prostokątnym Rp, gdy: a) odwzorowywane podprzestrzenie zawarte są w podprzestrzeni warstwowej w rzutowaniu Rp (rys.2.69), Rys.2.69. Przykłady zachowania w rzutowaniu prostokątnym odległości par podprzestrzeni zawartych w płaszczyźnie warstwowej b) co najmniej jedna z rzutowanych podprzestrzeni jest podprzestrzenią rzutującą w stosowanym rzutowaniu Rp (rys.2.70). 106

107 Rys.2.70. Przykłady zachowania w rzutowaniu prostokątnym odległości par podprzestrzeni, z których co najmniej jedna jest podprzestrzenią rzutującą Wymieniony pod b) przypadek zachowania odległości podprzestrzeni A i B przez ich rzuty prostokątne uwarunkowany jest położeniem rzutującym co najmniej jednej z rzutowanych podprzestrzeni w stosowanym rzutowaniu Rp. Ponieważ takie położenie jest rozpoznawalne na podstawie wymiaru danego w π rzutu prostokątnego rozważanej podprzestrzeni, więc można stwierdzić, że: odległość ρ(a,b B ) rzutów prostokątnych A oraz B podprzestrzeni A i B jest równa odległości ρ(a A, B) B podprzestrzeni zrzutowanych, gdy co najmniej jedna z podprzestrzeni A i B jest podprzestrzenią rzutującą w stosowanym rzutowaniu Rp (rys.2.71) Rys.2.71. Przykłady rzutów prostokątnych zachowujących odległości odwzorowanych podprzestrzeni Drugim parametrem współokreślającym miarowo, wraz z odległością, wzajemne położenie właściwych podprzestrzeni, np. A i B, o wymiarach większych od zera, jest miara 107

108 (rozwartość) kąta przypisanego tym podprzestrzeniom. Jak wiadomo miarę tę uznaje się za równoważną mierze kąta płaskiego zawartego w płaszczyźnie γ, która: - gdy A i B są dwoma prostymi a i b, zawiera lub jest równoległa do tych prostych, - gdy A jest płaszczyzną α, natomiast B prostą b, zawiera b i jest prostopadła do α, - gdy A i B są płaszczyznami α i β, jest prostopadła do tych płaszczyzn. Ponieważ kąt płaski, jak każda figura płaska odwzorowuje się w rzutowaniu prostokątnym Rp bez deformacji tylko wtedy, gdy płaszczyzna tej figury jest w stosowanym rzutowaniu Rp płaszczyzną warstwową, więc: - miara σ(a,b) kąta dwóch różnych prostych a i b jest równa mierze σ(a,b ) kąta rzutów prostokątnych tych prostych, gdy istnieje płaszczyzna γ równoległa do prostych a i b oraz warstwowa w stosowanym rzutowaniu prostokątnym Rp, czyli gdy obie rzutowane proste są prostymi warstwowymi w rzutowaniu Rp (rys.2.72a), - miara σ(α,b) kąta płaszczyzny α oraz prostej b jest równa mierze σ(α,b ) kąta rzutów prostokątnych rzutowanych podprzestrzeni, gdy płaszczyzna γ zawierająca prostą b i prostopadła do płaszczyzny α jest w stosowanym rzutowaniu Rp płaszczyzną warstwową, czyli gdy płaszczyzna α jest płaszczyzną rzutującą a prosta b prostą warstwową w rzutowaniu Rp (rys.2.72b), - miara σ(α,β) kąta dwóch płaszczyzn α i β jest równa mierze σ(α,β ) kąta rzutów prostokątnych tych płaszczyzn, gdy płaszczyzna γ prostopadła do obu rzutowanych płaszczyzn jest płaszczyzną warstwową w stosowanym rzutowaniu Rp, czyli gdy obie rzutowane płaszczyzny α i β, a także ich krawędź l są w stosowanym rzutowaniu Rp podprzestrzeniami rzutującymi (rys.2.72c). Rys.2.72. Ilustracje sytuacji, w których rzutowanie prostokątne zachowuje miary kątów par podprzestrzeni Z kolei możliwość odczytania z danych w rzutni π rzutów prostokątnych A i B rozwartości kąta przypisanego odwzorowanym w tych rzutach podprzestrzeniom A i B, czyli stwierdzenia, że σ(a,b ) = σ(a,b), występuje tylko wtedy, gdy zostają spełnione wymienione ostatnio właściwości pomocniczej płaszczyzny γ. ytuacja taka ma miejsce, bez dodatkowego komentowania danych w rzutni π rzutów prostokątnych A i B rozważanych podprzestrzeni tylko wtedy, gdy podprzestrzenie te są w stosowanym rzutowaniu prostokątnym Rp odpowiednio rzutującymi płaszczyznami α i β. Innymi słowy: jeżeli w rzutni π rzutowania prostokątnego Rp dane są rzuty prostokątne płaszczyzn α i β będące prostymi α oraz β, to σ(α,β ) = σ(α,β), (rys.2.73). 108

109 Rys.2.73. Przykład rzutu prostokątnego dwóch płaszczyzn, w którym zachowana została miara kąta tych płaszczyzn Ostatnim zagadnieniem, które należy przeanalizować w ramach właściwości rzutowania prostokątnego Rp jest sprawa zasad odzorowywania w tym rzutowaniu krzywych stożkowych. Daje się zauważyć, że rzutowanie prostokątne nie powoduje istotnych odmienności właściwości obrazów krzywych stożkowych w stosunku do wcześniej ujawnionych w ramach ogólnego rzutowania równoległego. Jedynie w przypadku rzutu prostokątnego okręgu, będącego szczególnym przypadkiem elipsy, wskazać można pewne jego swoiste zależności. Mianowicie, jeżeli odwzorowywany w rzutowaniu prostokątnym Rp okrąg e ) leży w płaszczyźnie rzutującej ε (rys.2.74a), to jego rzutem jest odcinek e ) ε identyczny z rzutem prostokątnym odcinka średnicowego AB tego okręgu, zawartego w warstwowej prostej t. Tym samym długość odcinka e ) = Rp( e ) ) równa jest podwojonej długości promienia okręgu e ). Rys.2.74a. Właściwości rzutu prostokątnego okręgu zawartego w płaszczyźnie rzutującej Rzut prostokątny odcinka średnicowego AB zawartego w prostej warstwowej odgrywa również ważną rolę w konstrukcji rzutu prostokątnego e ) okręgu e ) leżącego w rzutowaniu Rp w płaszczyźnie ogólnej ε. Należy mianowicie zauważyć, że proste styczne poprowadzone do okręgu e ) w końcach odcinka AB są w omawianej sytuacji nierzutującymi prostymi prostopadłymi do warstwowej średnicy t(a, B) okręgu e ) (rys.2.74b). W związku z tym, zgodnie z odpowiednią właściwością rzutowania prostokątnego, rzuty prostokątne tych stycznych, będące prostymi stycznymi w punktach A i B do elipsy e ) = Rp( e ) ), są prostopadłe do średnicy t (A,B ) elipsy e ). Tym samym prosta t jest tutaj osią, a odcinek A ' B' - odcinkiem osiowym elipsy e ). Co więcej, odcinek A ' B', jako rzut prostokątny jedynego zawartego w prostej warstwowej odcinka średnicowego okręgu e ), ma długość 109