Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 143
Dyskonto-przypomnienie Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v. D = F v P v = Fv rt 1 + rt 2 / 143
Dyskonto handlowe Dyskontem handlowym nazywa si opªat za po»yczk obliczon na podstawie kwoty, któr dªu»nik zwróci po pewnym czasie i zapªacon w chwili otrzymania po»yczki. warto± odsetek zale»y od kwoty otrzymanej, dªu»nik pªaci odsetki z doªu wraz ze zwrotem po»yczki dyskonto (handlowe) zale»y od kwoty oddawanej i trzeba je zapªaci z góry dyskonto handlowe bywa czasem nazywany procentem pªatnym z góry roczna stopa, przy której oblicza si warto± dyskonta nazywamy roczn stop dyskontow d 3 / 143
Dyskonto handlowe Dyskontem handlowym nazywa si opªat za po»yczk obliczon na podstawie kwoty, któr dªu»nik zwróci po pewnym czasie i zapªacon w chwili otrzymania po»yczki. warto± odsetek zale»y od kwoty otrzymanej, dªu»nik pªaci odsetki z doªu wraz ze zwrotem po»yczki dyskonto (handlowe) zale»y od kwoty oddawanej i trzeba je zapªaci z góry dyskonto handlowe bywa czasem nazywany procentem pªatnym z góry roczna stopa, przy której oblicza si warto± dyskonta nazywamy roczn stop dyskontow d 4 / 143
Dyskonto handlowe Dyskontem handlowym nazywa si opªat za po»yczk obliczon na podstawie kwoty, któr dªu»nik zwróci po pewnym czasie i zapªacon w chwili otrzymania po»yczki. warto± odsetek zale»y od kwoty otrzymanej, dªu»nik pªaci odsetki z doªu wraz ze zwrotem po»yczki dyskonto (handlowe) zale»y od kwoty oddawanej i trzeba je zapªaci z góry dyskonto handlowe bywa czasem nazywany procentem pªatnym z góry roczna stopa, przy której oblicza si warto± dyskonta nazywamy roczn stop dyskontow d 5 / 143
Dyskonto handlowe Dyskontem handlowym nazywa si opªat za po»yczk obliczon na podstawie kwoty, któr dªu»nik zwróci po pewnym czasie i zapªacon w chwili otrzymania po»yczki. warto± odsetek zale»y od kwoty otrzymanej, dªu»nik pªaci odsetki z doªu wraz ze zwrotem po»yczki dyskonto (handlowe) zale»y od kwoty oddawanej i trzeba je zapªaci z góry dyskonto handlowe bywa czasem nazywany procentem pªatnym z góry roczna stopa, przy której oblicza si warto± dyskonta nazywamy roczn stop dyskontow d 6 / 143
Dyskonto handlowe Dyskontem handlowym nazywa si opªat za po»yczk obliczon na podstawie kwoty, któr dªu»nik zwróci po pewnym czasie i zapªacon w chwili otrzymania po»yczki. warto± odsetek zale»y od kwoty otrzymanej, dªu»nik pªaci odsetki z doªu wraz ze zwrotem po»yczki dyskonto (handlowe) zale»y od kwoty oddawanej i trzeba je zapªaci z góry dyskonto handlowe bywa czasem nazywany procentem pªatnym z góry roczna stopa, przy której oblicza si warto± dyskonta nazywamy roczn stop dyskontow d 7 / 143
Przykªad1 po»yczka P v = 100zª, udzielona na 1 rok przy oprocentowaniu 20%, da kwot odsetek do zapªaty w wysoko±ci F v = 100 + 100 20% = 120 odsetki 20zª zostan zapªacone z po upªywie roku( z doªu) je»eli chcemy odda wierzycielowi 120zª po upªywie roku, a teraz prosimy go o po»yczk o 20% mniejsz, to opªat za po»yczk b dzie dyskonto obliczone od F v = 120zª, przy stopie dyskontowej wynosz cej d = 20% D = 120 20% = 24 zatem P v = F v D = 120 24 = 96 w chwili obecnej mo»emy po»yczy 96zª, a dyskonto b dzie zapªacone dzi±( z góry). Zadanie 1 8 / 143
Przykªad1 po»yczka P v = 100zª, udzielona na 1 rok przy oprocentowaniu 20%, da kwot odsetek do zapªaty w wysoko±ci F v = 100 + 100 20% = 120 odsetki 20zª zostan zapªacone z po upªywie roku( z doªu) je»eli chcemy odda wierzycielowi 120zª po upªywie roku, a teraz prosimy go o po»yczk o 20% mniejsz, to opªat za po»yczk b dzie dyskonto obliczone od F v = 120zª, przy stopie dyskontowej wynosz cej d = 20% D = 120 20% = 24 zatem P v = F v D = 120 24 = 96 w chwili obecnej mo»emy po»yczy 96zª, a dyskonto b dzie zapªacone dzi±( z góry). Zadanie 1 9 / 143
Przykªad1 po»yczka P v = 100zª, udzielona na 1 rok przy oprocentowaniu 20%, da kwot odsetek do zapªaty w wysoko±ci F v = 100 + 100 20% = 120 odsetki 20zª zostan zapªacone z po upªywie roku( z doªu) je»eli chcemy odda wierzycielowi 120zª po upªywie roku, a teraz prosimy go o po»yczk o 20% mniejsz, to opªat za po»yczk b dzie dyskonto obliczone od F v = 120zª, przy stopie dyskontowej wynosz cej d = 20% D = 120 20% = 24 zatem P v = F v D = 120 24 = 96 w chwili obecnej mo»emy po»yczy 96zª, a dyskonto b dzie zapªacone dzi±( z góry). Zadanie 1 10 / 143
Model dyskonta Dyskonto D oblicza si od kwoty F v za czas t przy danej stopie dyskontowej d D = F v dt oraz P v = F v D = F v (1 dt) z powy»szego wzoru wynika,»e stopa dyskontowa d i czas po»yczki t musz speªnia warunek dt < 1 11 / 143
Model dyskonta Dyskonto D oblicza si od kwoty F v za czas t przy danej stopie dyskontowej d D = F v dt oraz P v = F v D = F v (1 dt) z powy»szego wzoru wynika,»e stopa dyskontowa d i czas po»yczki t musz speªnia warunek dt < 1 12 / 143
Model dyskonta Dyskonto D oblicza si od kwoty F v za czas t przy danej stopie dyskontowej d D = F v dt oraz P v = F v D = F v (1 dt) z powy»szego wzoru wynika,»e stopa dyskontowa d i czas po»yczki t musz speªnia warunek dt < 1 13 / 143
Model dyskonta P v = F v (1 dt) Na poni»szym wykresie zakªadamy,»e F v = 100zª. przy zadanej stopie d dyskonto D mo»na obliczy tylko dla czasu t < 1 d przy danym czasie t dyskonto D mo»na obliczy tylko dla stopy d < 1 t warto± P v jest liniow funkcj czasu dyskontowania t przy ustalonej warto±ci F v funkcja maleje tym szybciej, im wi ksza jest stopa d roczny spadek warto±ci funkcji jest równy rocznemu dyskontu D = F v d 14 / 143
Model dyskonta P v = F v (1 dt) Na poni»szym wykresie zakªadamy,»e F v = 100zª. przy zadanej stopie d dyskonto D mo»na obliczy tylko dla czasu t < 1 d przy danym czasie t dyskonto D mo»na obliczy tylko dla stopy d < 1 t warto± P v jest liniow funkcj czasu dyskontowania t przy ustalonej warto±ci F v funkcja maleje tym szybciej, im wi ksza jest stopa d roczny spadek warto±ci funkcji jest równy rocznemu dyskontu D = F v d 15 / 143
Model dyskonta P v = F v (1 dt) Na poni»szym wykresie zakªadamy,»e F v = 100zª. przy zadanej stopie d dyskonto D mo»na obliczy tylko dla czasu t < 1 d przy danym czasie t dyskonto D mo»na obliczy tylko dla stopy d < 1 t warto± P v jest liniow funkcj czasu dyskontowania t przy ustalonej warto±ci F v funkcja maleje tym szybciej, im wi ksza jest stopa d roczny spadek warto±ci funkcji jest równy rocznemu dyskontu D = F v d 16 / 143
Model dyskonta P v = F v (1 dt) Na poni»szym wykresie zakªadamy,»e F v = 100zª. przy zadanej stopie d dyskonto D mo»na obliczy tylko dla czasu t < 1 d przy danym czasie t dyskonto D mo»na obliczy tylko dla stopy d < 1 t warto± P v jest liniow funkcj czasu dyskontowania t przy ustalonej warto±ci F v funkcja maleje tym szybciej, im wi ksza jest stopa d roczny spadek warto±ci funkcji jest równy rocznemu dyskontu D = F v d 17 / 143
Przykªad Aby dzi± dosta po»yczk, zobowi zujemy si odda po 3 miesi cach 1500zª. Je±li opªata za po»yczk ma posta dyskonta obliczanego przy stopie d = 14%, to P v = F v (1 dt) = 1500 ( 1 0.14 ) 3 = 1500 0.965 = 1447.50 12 aby dowiedzie sie ile trzeba odda po 3 miesi cach, chc c obecnie dosta 1500zª, pªac c odsetki z góry. Wówczas mamy F v = Pv 1 dt = 1500 1 0.14 3 12 = 1500 0.965 = 1554.40 gdyby dzi± otrzymane 1500zª mogªo by spªacone za 4 miesi ce kwot 1560zª, to stopa dyskontowa wynosi d = D F v t = 60 1560 4 12 = 60 520 = 11.54% 18 / 143
Przykªad Aby dzi± dosta po»yczk, zobowi zujemy si odda po 3 miesi cach 1500zª. Je±li opªata za po»yczk ma posta dyskonta obliczanego przy stopie d = 14%, to P v = F v (1 dt) = 1500 ( 1 0.14 ) 3 = 1500 0.965 = 1447.50 12 aby dowiedzie sie ile trzeba odda po 3 miesi cach, chc c obecnie dosta 1500zª, pªac c odsetki z góry. Wówczas mamy F v = Pv 1 dt = 1500 1 0.14 3 12 = 1500 0.965 = 1554.40 gdyby dzi± otrzymane 1500zª mogªo by spªacone za 4 miesi ce kwot 1560zª, to stopa dyskontowa wynosi d = D F v t = 60 1560 4 12 = 60 520 = 11.54% 19 / 143
Przykªad Aby dzi± dosta po»yczk, zobowi zujemy si odda po 3 miesi cach 1500zª. Je±li opªata za po»yczk ma posta dyskonta obliczanego przy stopie d = 14%, to P v = F v (1 dt) = 1500 ( 1 0.14 ) 3 = 1500 0.965 = 1447.50 12 aby dowiedzie sie ile trzeba odda po 3 miesi cach, chc c obecnie dosta 1500zª, pªac c odsetki z góry. Wówczas mamy F v = Pv 1 dt = 1500 1 0.14 3 12 = 1500 0.965 = 1554.40 gdyby dzi± otrzymane 1500zª mogªo by spªacone za 4 miesi ce kwot 1560zª, to stopa dyskontowa wynosi d = D F v t = 60 1560 4 12 = 60 520 = 11.54% 20 / 143
Przykªad Pod koniec 2001r. du» popularno±ci cieszyªy sie lokaty antypodatkowe z odsetkami pªatnymi z góry, oferowane w zwi zku z 20% podatkiem od odsetek. Rozwa»my sytuacje klienta, który zamierzaª ulokowa 10 000zª na póª roku. w banku X - póªroczna lokata z odsetkami pªatnymi z góry, przy rocznej stopie d = 12% w banku Y proponuj cym tradycyjna lokat z oprocentowaniem rocznym r = 15% Bank X F v = czyli zyskuje Pv 1 dt = 10000 1 0.12 0.5 = 10638.30 F v P v = 638.30 nie pªac c podatku od tej kwoty. Bank Y I = P v rt = 10000 0.15 0.5 = 750 minus podatek 750 750 0.2 = 600 Zatem antypodatkowa lokata jest bardziej korzystna. 21 / 143
Przykªad Pod koniec 2001r. du» popularno±ci cieszyªy sie lokaty antypodatkowe z odsetkami pªatnymi z góry, oferowane w zwi zku z 20% podatkiem od odsetek. Rozwa»my sytuacje klienta, który zamierzaª ulokowa 10 000zª na póª roku. w banku X - póªroczna lokata z odsetkami pªatnymi z góry, przy rocznej stopie d = 12% w banku Y proponuj cym tradycyjna lokat z oprocentowaniem rocznym r = 15% Bank X F v = czyli zyskuje Pv 1 dt = 10000 1 0.12 0.5 = 10638.30 F v P v = 638.30 nie pªac c podatku od tej kwoty. Bank Y I = P v rt = 10000 0.15 0.5 = 750 minus podatek 750 750 0.2 = 600 Zatem antypodatkowa lokata jest bardziej korzystna. 22 / 143
Przykªad Pod koniec 2001r. du» popularno±ci cieszyªy sie lokaty antypodatkowe z odsetkami pªatnymi z góry, oferowane w zwi zku z 20% podatkiem od odsetek. Rozwa»my sytuacje klienta, który zamierzaª ulokowa 10 000zª na póª roku. w banku X - póªroczna lokata z odsetkami pªatnymi z góry, przy rocznej stopie d = 12% w banku Y proponuj cym tradycyjna lokat z oprocentowaniem rocznym r = 15% Bank X F v = czyli zyskuje Pv 1 dt = 10000 1 0.12 0.5 = 10638.30 F v P v = 638.30 nie pªac c podatku od tej kwoty. Bank Y I = P v rt = 10000 0.15 0.5 = 750 minus podatek 750 750 0.2 = 600 Zatem antypodatkowa lokata jest bardziej korzystna. 23 / 143
Przykªad Pod koniec 2001r. du» popularno±ci cieszyªy sie lokaty antypodatkowe z odsetkami pªatnymi z góry, oferowane w zwi zku z 20% podatkiem od odsetek. Rozwa»my sytuacje klienta, który zamierzaª ulokowa 10 000zª na póª roku. w banku X - póªroczna lokata z odsetkami pªatnymi z góry, przy rocznej stopie d = 12% w banku Y proponuj cym tradycyjna lokat z oprocentowaniem rocznym r = 15% Bank X F v = czyli zyskuje Pv 1 dt = 10000 1 0.12 0.5 = 10638.30 F v P v = 638.30 nie pªac c podatku od tej kwoty. Bank Y I = P v rt = 10000 0.15 0.5 = 750 minus podatek 750 750 0.2 = 600 Zatem antypodatkowa lokata jest bardziej korzystna. 24 / 143
Przykªad cd Przy jakie rocznej stopie oprocentowania w banku Y, zyski z lokaty zrównaªyby si z zyskami z lokaty antypodatkowej? Nale»y rozwi za równanie 638.30 = 10000 r 0.5 0.8 4000 r = 638.30 r = 15.96% 25 / 143
Przykªad cd Przy jakie rocznej stopie oprocentowania w banku Y, zyski z lokaty zrównaªyby si z zyskami z lokaty antypodatkowej? Nale»y rozwi za równanie 638.30 = 10000 r 0.5 0.8 4000 r = 638.30 r = 15.96% 26 / 143
Zasada równowa»no±ci stopy dyskontowej i stopy procentowej Roczna stopa dyskontowa d oraz roczna stopa procentowa r s równowa»ne w czasie t, je±li dyskonto oraz odsetki obliczone przy tych stopach dla tej samej po»yczki sa równe. D = I F v dt = P v rt F v d = P v r Wykorzystuj c wzór na F v dla dyskonta mamy oraz P v d 1 dt r = = P v r r rdt = d d 1 dt stopa r równowa»na d d równowa»na r r = d(1 + rt) d = r 1 + rt stopa 27 / 143
Zasada równowa»no±ci stopy dyskontowej i stopy procentowej Roczna stopa dyskontowa d oraz roczna stopa procentowa r s równowa»ne w czasie t, je±li dyskonto oraz odsetki obliczone przy tych stopach dla tej samej po»yczki sa równe. D = I F v dt = P v rt F v d = P v r Wykorzystuj c wzór na F v dla dyskonta mamy oraz P v d 1 dt r = = P v r r rdt = d d 1 dt stopa r równowa»na d d równowa»na r r = d(1 + rt) d = r 1 + rt stopa 28 / 143
Zasada równowa»no±ci stopy dyskontowej i stopy procentowej Roczna stopa dyskontowa d oraz roczna stopa procentowa r s równowa»ne w czasie t, je±li dyskonto oraz odsetki obliczone przy tych stopach dla tej samej po»yczki sa równe. D = I F v dt = P v rt F v d = P v r Wykorzystuj c wzór na F v dla dyskonta mamy oraz P v d 1 dt r = = P v r r rdt = d d 1 dt stopa r równowa»na d d równowa»na r r = d(1 + rt) d = r 1 + rt stopa 29 / 143
Zasada równowa»no±ci stopy dyskontowej i stopy procentowej Roczna stopa dyskontowa d oraz roczna stopa procentowa r s równowa»ne w czasie t, je±li dyskonto oraz odsetki obliczone przy tych stopach dla tej samej po»yczki sa równe. D = I F v dt = P v rt F v d = P v r Wykorzystuj c wzór na F v dla dyskonta mamy oraz P v d 1 dt r = = P v r r rdt = d d 1 dt stopa r równowa»na d d równowa»na r r = d(1 + rt) d = r 1 + rt stopa 30 / 143
Przykªad Najni»sza cena, po której kupiono na przetargu 26-tygodniowe bony skarbowe wynosiªa 9521.06zª za bon o warto±ci 10000zª. Oblicz roczn stop dyskonta i równowa»n jej stop procentow. roczna stopa dyskonta, to d = D F v t = 10000 9521.06 10000 26 7 360 stopa procentowa r równowa»na d = 9.47% wynosi r = d 1 dt = 0.0947 1 0.0947 26 7 360 = 478.94 5055.56 = 9.47% = 0.0947 0, 952106 = 9.95% 31 / 143
Przykªad Najni»sza cena, po której kupiono na przetargu 26-tygodniowe bony skarbowe wynosiªa 9521.06zª za bon o warto±ci 10000zª. Oblicz roczn stop dyskonta i równowa»n jej stop procentow. roczna stopa dyskonta, to d = D F v t = 10000 9521.06 10000 26 7 360 stopa procentowa r równowa»na d = 9.47% wynosi r = d 1 dt = 0.0947 1 0.0947 26 7 360 = 478.94 5055.56 = 9.47% = 0.0947 0, 952106 = 9.95% 32 / 143
Przykªad Najni»sza cena, po której kupiono na przetargu 26-tygodniowe bony skarbowe wynosiªa 9521.06zª za bon o warto±ci 10000zª. Oblicz roczn stop dyskonta i równowa»n jej stop procentow. roczna stopa dyskonta, to d = D F v t = 10000 9521.06 10000 26 7 360 stopa procentowa r równowa»na d = 9.47% wynosi r = d 1 dt = 0.0947 1 0.0947 26 7 360 = 478.94 5055.56 = 9.47% = 0.0947 0, 952106 = 9.95% 33 / 143
Okres równowa»no±ci stóp rdt = r d t = 1 d 1 r t jest to okres równowa»no±ci stóp, w którym dane stopy d i r s równowa»ne W jakim okresie czasu stopa dyskontowa d = 20% i stopa procentowa r = 25% s sobie równe? wykorzystuj c powy»szy wzór mamy t = 1 0.2 1 0.25 = 5 4 = 1 tylko w okresie roku obie stopy s równowa»ne dla danego kapitaªu pocz tkowego P v = 500zª mamy F v = P v (1 + rt) = 500(1 + 0.25 1) = 625 przy odsetkach pªaconych z doªu dla danego kapitaªu pocz tkowego P v = 500zª mamy F v = Pv 1 dt = 500 1 0.2 1 = 625 przy odsetkach pªaconych z góry 34 / 143
Okres równowa»no±ci stóp rdt = r d t = 1 d 1 r t jest to okres równowa»no±ci stóp, w którym dane stopy d i r s równowa»ne W jakim okresie czasu stopa dyskontowa d = 20% i stopa procentowa r = 25% s sobie równe? wykorzystuj c powy»szy wzór mamy t = 1 0.2 1 0.25 = 5 4 = 1 tylko w okresie roku obie stopy s równowa»ne dla danego kapitaªu pocz tkowego P v = 500zª mamy F v = P v (1 + rt) = 500(1 + 0.25 1) = 625 przy odsetkach pªaconych z doªu dla danego kapitaªu pocz tkowego P v = 500zª mamy F v = Pv 1 dt = 500 1 0.2 1 = 625 przy odsetkach pªaconych z góry 35 / 143
Okres równowa»no±ci stóp rdt = r d t = 1 d 1 r t jest to okres równowa»no±ci stóp, w którym dane stopy d i r s równowa»ne W jakim okresie czasu stopa dyskontowa d = 20% i stopa procentowa r = 25% s sobie równe? wykorzystuj c powy»szy wzór mamy t = 1 0.2 1 0.25 = 5 4 = 1 tylko w okresie roku obie stopy s równowa»ne dla danego kapitaªu pocz tkowego P v = 500zª mamy F v = P v (1 + rt) = 500(1 + 0.25 1) = 625 przy odsetkach pªaconych z doªu dla danego kapitaªu pocz tkowego P v = 500zª mamy F v = Pv 1 dt = 500 1 0.2 1 = 625 przy odsetkach pªaconych z góry 36 / 143
Okres równowa»no±ci stóp rdt = r d t = 1 d 1 r t jest to okres równowa»no±ci stóp, w którym dane stopy d i r s równowa»ne W jakim okresie czasu stopa dyskontowa d = 20% i stopa procentowa r = 25% s sobie równe? wykorzystuj c powy»szy wzór mamy t = 1 0.2 1 0.25 = 5 4 = 1 tylko w okresie roku obie stopy s równowa»ne dla danego kapitaªu pocz tkowego P v = 500zª mamy F v = P v (1 + rt) = 500(1 + 0.25 1) = 625 przy odsetkach pªaconych z doªu dla danego kapitaªu pocz tkowego P v = 500zª mamy F v = Pv 1 dt = 500 1 0.2 1 = 625 przy odsetkach pªaconych z góry 37 / 143
Okres równowa»no±ci stóp rdt = r d t = 1 d 1 r t jest to okres równowa»no±ci stóp, w którym dane stopy d i r s równowa»ne W jakim okresie czasu stopa dyskontowa d = 20% i stopa procentowa r = 25% s sobie równe? wykorzystuj c powy»szy wzór mamy t = 1 0.2 1 0.25 = 5 4 = 1 tylko w okresie roku obie stopy s równowa»ne dla danego kapitaªu pocz tkowego P v = 500zª mamy F v = P v (1 + rt) = 500(1 + 0.25 1) = 625 przy odsetkach pªaconych z doªu dla danego kapitaªu pocz tkowego P v = 500zª mamy F v = Pv 1 dt = 500 1 0.2 1 = 625 przy odsetkach pªaconych z góry 38 / 143
Okres równowa»no±ci stóp rdt = r d t = 1 d 1 r t jest to okres równowa»no±ci stóp, w którym dane stopy d i r s równowa»ne W jakim okresie czasu stopa dyskontowa d = 20% i stopa procentowa r = 25% s sobie równe? wykorzystuj c powy»szy wzór mamy t = 1 0.2 1 0.25 = 5 4 = 1 tylko w okresie roku obie stopy s równowa»ne dla danego kapitaªu pocz tkowego P v = 500zª mamy F v = P v (1 + rt) = 500(1 + 0.25 1) = 625 przy odsetkach pªaconych z doªu dla danego kapitaªu pocz tkowego P v = 500zª mamy F v = Pv 1 dt = 500 1 0.2 1 = 625 przy odsetkach pªaconych z góry 39 / 143
Przykªad cd P v = 500zª, d = 20%, r = 25%, okres równowa»no±ci t = 1 obliczymy ile wynosz odsetki i dyskonto dla okresu póªrocznego odsetki I = P v rt = 500 0.25 0.5 = 62.5 dyskonto Pv dt 500 0.2 0.5 D = = 1 dt 1 0.2 0.5 = 50 0.9 = 55.55 obliczymy ile wynosz odsetki i dyskonto dla okresu t = 1.5 roku odsetki I = P v rt = 500 0.25 1.5 = 187, 5 dyskonto D = Pv dt 500 0.2 1.5 = 1 dt 1 0.2 1.5 = 150 = 214, 29 0.7 zatem, je±li t jest okresem równowa»no±ci stóp, to je±li okres rozliczeniowy jest krótszy ni» t, to D < I je±li okres rozliczeniowy jest dªu»szy ni» t, to D > I 40 / 143
Przykªad cd P v = 500zª, d = 20%, r = 25%, okres równowa»no±ci t = 1 obliczymy ile wynosz odsetki i dyskonto dla okresu póªrocznego odsetki I = P v rt = 500 0.25 0.5 = 62.5 dyskonto Pv dt 500 0.2 0.5 D = = 1 dt 1 0.2 0.5 = 50 0.9 = 55.55 obliczymy ile wynosz odsetki i dyskonto dla okresu t = 1.5 roku odsetki I = P v rt = 500 0.25 1.5 = 187, 5 dyskonto D = Pv dt 500 0.2 1.5 = 1 dt 1 0.2 1.5 = 150 = 214, 29 0.7 zatem, je±li t jest okresem równowa»no±ci stóp, to je±li okres rozliczeniowy jest krótszy ni» t, to D < I je±li okres rozliczeniowy jest dªu»szy ni» t, to D > I 41 / 143
Przykªad cd P v = 500zª, d = 20%, r = 25%, okres równowa»no±ci t = 1 obliczymy ile wynosz odsetki i dyskonto dla okresu póªrocznego odsetki I = P v rt = 500 0.25 0.5 = 62.5 dyskonto Pv dt 500 0.2 0.5 D = = 1 dt 1 0.2 0.5 = 50 0.9 = 55.55 obliczymy ile wynosz odsetki i dyskonto dla okresu t = 1.5 roku odsetki I = P v rt = 500 0.25 1.5 = 187, 5 dyskonto D = Pv dt 500 0.2 1.5 = 1 dt 1 0.2 1.5 = 150 = 214, 29 0.7 zatem, je±li t jest okresem równowa»no±ci stóp, to je±li okres rozliczeniowy jest krótszy ni» t, to D < I je±li okres rozliczeniowy jest dªu»szy ni» t, to D > I 42 / 143
Przykªad cd P v = 500zª, d = 20%, r = 25%, okres równowa»no±ci t = 1 obliczymy ile wynosz odsetki i dyskonto dla okresu póªrocznego odsetki I = P v rt = 500 0.25 0.5 = 62.5 dyskonto Pv dt 500 0.2 0.5 D = = 1 dt 1 0.2 0.5 = 50 0.9 = 55.55 obliczymy ile wynosz odsetki i dyskonto dla okresu t = 1.5 roku odsetki I = P v rt = 500 0.25 1.5 = 187, 5 dyskonto D = Pv dt 500 0.2 1.5 = 1 dt 1 0.2 1.5 = 150 = 214, 29 0.7 zatem, je±li t jest okresem równowa»no±ci stóp, to je±li okres rozliczeniowy jest krótszy ni» t, to D < I je±li okres rozliczeniowy jest dªu»szy ni» t, to D > I 43 / 143
Przykªad cd P v = 500zª, d = 20%, r = 25%, okres równowa»no±ci t = 1 obliczymy ile wynosz odsetki i dyskonto dla okresu póªrocznego odsetki I = P v rt = 500 0.25 0.5 = 62.5 dyskonto Pv dt 500 0.2 0.5 D = = 1 dt 1 0.2 0.5 = 50 0.9 = 55.55 obliczymy ile wynosz odsetki i dyskonto dla okresu t = 1.5 roku odsetki I = P v rt = 500 0.25 1.5 = 187, 5 dyskonto D = Pv dt 500 0.2 1.5 = 1 dt 1 0.2 1.5 = 150 = 214, 29 0.7 zatem, je±li t jest okresem równowa»no±ci stóp, to je±li okres rozliczeniowy jest krótszy ni» t, to D < I je±li okres rozliczeniowy jest dªu»szy ni» t, to D > I 44 / 143
Zadanie Czy stopa dyskontowa i procentowa w przykªadzie 1 s równowa»ne? Przykªad 1 t = 1 d 1 r 45 / 143
Zadanie Czy stopa dyskontowa i procentowa w przykªadzie 1 s równowa»ne? Przykªad 1 t = 1 d 1 r 46 / 143
Zadanie Po»yczk 2800zª spªacono po 3 miesi cach kwot 2950 zª. Przyjmuj c,»e opªat za po»yczk byªy 1 odsetki pªatne z doªu, obliczy stop r; 2 odsetki pªatne z góry, obliczy stop d; 47 / 143
Weksel Weksel - jest dokumentem zobowi zuj cym wystawc lub wskazan przez niego osob do bezwarunkowego zapªacenia okre±lonej kwoty pieni»nej w okre±lonym czasie. jest ±rodkiem pªatniczym sªu» cym do regulowania wzajemnych nale»no±ci jest rodzajem zabezpieczenia, mo»e by wykorzystany jako zastaw, blokada ±rodków, mo»e zosta przeniesiony na hipotek itp. sªu»y do kredytowanie obrotu gospodarczego zast puje gotówk, daj c wolne ±rodki w obrocie 48 / 143
Rachunek weksli metody obliczeniowe zwi zane z operacjami na wekslach nazywamy rachunkiem weksli. kwot do zapªaty której zobowi zuje weksel, nazywamy warto±ci nominaln weksla. termin, w którym weksel ma by spªacony nazywamy terminem wykupu(spªaty). warto± weksla obliczon na podstawie jego warto±ci nominalnej przy ustalonej stopie dyskontowej, na okre±lony dzie«poprzedzaj cy termin jego wykupu nazywamy warto±ci aktualn (handlow ) weksla. czas w rachunku weksli oblicza si zawsze wg reguªy bankowej (dokªadna liczba dni/360) 49 / 143
Przykªad Zobowi zanie do zapªaty za dostaw okre±lonych towarów o warto±ci 195jp (jp to jednostka pieni»na 1zª lub 10 000zª) ma posta weksla podpisanego w dniu 3 lipca na sum 200jp z terminem wykupu 3 pa¹dziernika tego samego roku. Oznacza to,»e P v = 195jp, F v = 200jp, D = F v P v = 200 195 = 5jp czas do wykupu weksla t = 92 360 dla rozpatrywanego weksla mo»na wyliczy stop dyskontow d = D F v t = 5 200 92 360 = 9.78% 50 / 143
Przykªad Zobowi zanie do zapªaty za dostaw okre±lonych towarów o warto±ci 195jp (jp to jednostka pieni»na 1zª lub 10 000zª) ma posta weksla podpisanego w dniu 3 lipca na sum 200jp z terminem wykupu 3 pa¹dziernika tego samego roku. Oznacza to,»e P v = 195jp, F v = 200jp, D = F v P v = 200 195 = 5jp czas do wykupu weksla t = 92 360 dla rozpatrywanego weksla mo»na wyliczy stop dyskontow d = D F v t = 5 200 92 360 = 9.78% 51 / 143
Przykªad Zobowi zanie do zapªaty za dostaw okre±lonych towarów o warto±ci 195jp (jp to jednostka pieni»na 1zª lub 10 000zª) ma posta weksla podpisanego w dniu 3 lipca na sum 200jp z terminem wykupu 3 pa¹dziernika tego samego roku. Oznacza to,»e P v = 195jp, F v = 200jp, D = F v P v = 200 195 = 5jp czas do wykupu weksla t = 92 360 dla rozpatrywanego weksla mo»na wyliczy stop dyskontow d = D F v t = 5 200 92 360 = 9.78% 52 / 143
Przykªad Zobowi zanie do zapªaty za dostaw okre±lonych towarów o warto±ci 195jp (jp to jednostka pieni»na 1zª lub 10 000zª) ma posta weksla podpisanego w dniu 3 lipca na sum 200jp z terminem wykupu 3 pa¹dziernika tego samego roku. Oznacza to,»e P v = 195jp, F v = 200jp, D = F v P v = 200 195 = 5jp czas do wykupu weksla t = 92 360 dla rozpatrywanego weksla mo»na wyliczy stop dyskontow d = D F v t = 5 200 92 360 = 9.78% 53 / 143
Przykªad Przypu± my,»e wystawca weksla miaª mo»liwo± otrzymania w dniu 3 lipca trzymiesi cznej po»yczki w kwocie 195jp, dzi ki, której od razu dokonaªby zapªaty za towar i nie musiaªby podpisywa weksla. Przy jakiej stopie po»yczka jest opªacalna? Nale»y wyznaczy równowa»n stop procentow r = d 1 dt = 0.0978 1 0.0978 92 360 = 0.0978 0, 975 = 10.03% zatem po»yczka jest korzystna tylko wtedy, gdy oprocentowanie nie przekracza 10.03%. 54 / 143
Przykªad Przypu± my,»e wystawca weksla miaª mo»liwo± otrzymania w dniu 3 lipca trzymiesi cznej po»yczki w kwocie 195jp, dzi ki, której od razu dokonaªby zapªaty za towar i nie musiaªby podpisywa weksla. Przy jakiej stopie po»yczka jest opªacalna? Nale»y wyznaczy równowa»n stop procentow r = d 1 dt = 0.0978 1 0.0978 92 360 = 0.0978 0, 975 = 10.03% zatem po»yczka jest korzystna tylko wtedy, gdy oprocentowanie nie przekracza 10.03%. 55 / 143
Przykªad Weksel( z poprzedniego przykªadu) o warto±ci nominalnej 200jp, wystawiony w dniu 3 lipca na sum 200jp z terminem wykupu 3 pa¹dziernika tego samego roku przy stopie dyskontowej d = 9.78%. Omawiany weksel zostaª 3 sierpnia zdyskontowany w banku przy stopie dyskontowej d = 9.5%. Ile otrzymaª wªa±ciciel zdyskontowanego weksla? Pomi dzy 3 sierpnia i 3 pa¹dziernika mamy 61 dni. Zatem dyskonto wynosi 61 D = F v dt = 200 0.095 360 = 3.22jp wi c wªa±ciciel odebraª P v = F v D = 200 3.22 = 196.78 Ile zyskaª bank? Je»eli bank przetrzyma weksel a» do 3 pa¹dziernika, to zrealizuje zysk 3.22, w ci gu 61 dni r = I P v t = 3.22 196.78 61 360 = 9.66% zatem roczna stopa zysku z tej transakcji wynosi 9.66% 56 / 143
Przykªad Weksel( z poprzedniego przykªadu) o warto±ci nominalnej 200jp, wystawiony w dniu 3 lipca na sum 200jp z terminem wykupu 3 pa¹dziernika tego samego roku przy stopie dyskontowej d = 9.78%. Omawiany weksel zostaª 3 sierpnia zdyskontowany w banku przy stopie dyskontowej d = 9.5%. Ile otrzymaª wªa±ciciel zdyskontowanego weksla? Pomi dzy 3 sierpnia i 3 pa¹dziernika mamy 61 dni. Zatem dyskonto wynosi 61 D = F v dt = 200 0.095 360 = 3.22jp wi c wªa±ciciel odebraª P v = F v D = 200 3.22 = 196.78 Ile zyskaª bank? Je»eli bank przetrzyma weksel a» do 3 pa¹dziernika, to zrealizuje zysk 3.22, w ci gu 61 dni r = I P v t = 3.22 196.78 61 360 = 9.66% zatem roczna stopa zysku z tej transakcji wynosi 9.66% 57 / 143
Przykªad Weksel( z poprzedniego przykªadu) o warto±ci nominalnej 200jp, wystawiony w dniu 3 lipca na sum 200jp z terminem wykupu 3 pa¹dziernika tego samego roku przy stopie dyskontowej d = 9.78%. Omawiany weksel zostaª 3 sierpnia zdyskontowany w banku przy stopie dyskontowej d = 9.5%. Ile otrzymaª wªa±ciciel zdyskontowanego weksla? Pomi dzy 3 sierpnia i 3 pa¹dziernika mamy 61 dni. Zatem dyskonto wynosi 61 D = F v dt = 200 0.095 360 = 3.22jp wi c wªa±ciciel odebraª P v = F v D = 200 3.22 = 196.78 Ile zyskaª bank? Je»eli bank przetrzyma weksel a» do 3 pa¹dziernika, to zrealizuje zysk 3.22, w ci gu 61 dni r = I P v t = 3.22 196.78 61 360 = 9.66% zatem roczna stopa zysku z tej transakcji wynosi 9.66% 58 / 143
Zadania 1 W dniu 11 lutego 2015 pan Kowalski otrzymaª po»yczk 9300zª podpisuj c weksel o nominale 10 tys. zª. z terminem wykupu 9 czerwca 2015. Oblicz stop d tej transakcji. Oblicz stop oprocentowania kredytu w wysoko±ci 9300 udzielonego na ten sam okres, równowa»n stopie d. 2 Przedsi biorca uzyskaª kredyt handlowy na okres 60 dni za zakup surowców o warto±ci 45600zª. Jaka powinna by warto± nominalna weksla, który zabezpieczy t transakcj, je»eli strony zgodziªy si na zastosowanie stopy d = 11%. 3 Ile maksymalnie mo»na zapªaci za weksel o warto±ci nominalnej 100zª i terminie wykupu za trzy miesi ce, przy stopie 24% Zadania ko«cowe 59 / 143
Zadania 1 W dniu 11 lutego 2015 pan Kowalski otrzymaª po»yczk 9300zª podpisuj c weksel o nominale 10 tys. zª. z terminem wykupu 9 czerwca 2015. Oblicz stop d tej transakcji. Oblicz stop oprocentowania kredytu w wysoko±ci 9300 udzielonego na ten sam okres, równowa»n stopie d. 2 Przedsi biorca uzyskaª kredyt handlowy na okres 60 dni za zakup surowców o warto±ci 45600zª. Jaka powinna by warto± nominalna weksla, który zabezpieczy t transakcj, je»eli strony zgodziªy si na zastosowanie stopy d = 11%. 3 Ile maksymalnie mo»na zapªaci za weksel o warto±ci nominalnej 100zª i terminie wykupu za trzy miesi ce, przy stopie 24% Zadania ko«cowe 60 / 143
Zadania 1 W dniu 11 lutego 2015 pan Kowalski otrzymaª po»yczk 9300zª podpisuj c weksel o nominale 10 tys. zª. z terminem wykupu 9 czerwca 2015. Oblicz stop d tej transakcji. Oblicz stop oprocentowania kredytu w wysoko±ci 9300 udzielonego na ten sam okres, równowa»n stopie d. 2 Przedsi biorca uzyskaª kredyt handlowy na okres 60 dni za zakup surowców o warto±ci 45600zª. Jaka powinna by warto± nominalna weksla, który zabezpieczy t transakcj, je»eli strony zgodziªy si na zastosowanie stopy d = 11%. 3 Ile maksymalnie mo»na zapªaci za weksel o warto±ci nominalnej 100zª i terminie wykupu za trzy miesi ce, przy stopie 24% Zadania ko«cowe 61 / 143
Zasada oprocentowania skªadanego Oprocentowanie skªadane zawsze wymaga dodatkowego ustalenia dªugo±ci okresu(okresu bazowego), po upªywie którego odsetki podlegaj kapitalizacji - okresu kapitalizacji. Przy oprocentowaniu prostym odsetki podlegaj kapitalizacji dopiero po zako«czeniu czasu oprocentowania (bez wzgl du na jego dªugo± ) Przy oprocentowaniu skªadanym kapitalizuje si je na koniec ka»dego okresu kapitalizacji. Zasada oprocentowania skªadanego Odsetki oblicza si za ka»dy okres równy okresowi kapitalizacji i kapitalizuje si ja na koniec tego okresu. 62 / 143
Zasada oprocentowania skªadanego - przykªad Obliczmy odsetki i kapitaª ko«cowe od pi cioletniej lokaty 100 zª, je»eli roczna stopa procentowa wynosi 10%, a odsetki s obliczane 1 po terminie, jako procent prosty 2 po upªywie ka»dego roku jako procent skªadany 1 jako procent prosty 2 jako procent skªadany I = P v rt = 100 0.1 5 = 50 F v = P v + I = P v (1 + rt) = 150 Rok n Odsetki za r.t F v na koniec r.t Š czna warto± odsetek po t latach 1 2 P v r P v (1 + r)r P v (1 + r) P v (1 + r) 2 P v (1 + r) P v = P v [ [(1 + r) 1] P v (1 + r) 2 P v = P v (1 + r) 2 1 ] 63 / 143
Zasada oprocentowania skªadanego - przykªad 64 / 143
Kapitalizacja zgodna z doªu - roczna Warto± ko«cowa kapitaªu po t latach (F v ) F v = P v (1 + r) t Warto± odsetek po t latach [ I = P v (1 + r) t 1 ] Oblicz odsetki od czteroletniej lokaty o warto±ci 8000zª przy rocznej stopie 5%, przy kapitalizacji rocznej. Mamy st d P v = 8000zª, r = 5%, t = 4 I = 8000 [ (1 + 0.05) 4 1 ] = 8000(1.2155 1) = 8000 0.2155 = 1724, 05 65 / 143
Kapitalizacja zgodna z doªu - roczna Warto± ko«cowa kapitaªu po t latach (F v ) F v = P v (1 + r) t Warto± odsetek po t latach [ I = P v (1 + r) t 1 ] Oblicz odsetki od czteroletniej lokaty o warto±ci 8000zª przy rocznej stopie 5%, przy kapitalizacji rocznej. Mamy st d P v = 8000zª, r = 5%, t = 4 I = 8000 [ (1 + 0.05) 4 1 ] = 8000(1.2155 1) = 8000 0.2155 = 1724, 05 66 / 143
Kapitalizacja zgodna z doªu - roczna Warto± ko«cowa kapitaªu po t latach (F v ) F v = P v (1 + r) t Warto± odsetek po t latach [ I = P v (1 + r) t 1 ] Oblicz odsetki od czteroletniej lokaty o warto±ci 8000zª przy rocznej stopie 5%, przy kapitalizacji rocznej. Mamy st d P v = 8000zª, r = 5%, t = 4 I = 8000 [ (1 + 0.05) 4 1 ] = 8000(1.2155 1) = 8000 0.2155 = 1724, 05 67 / 143
Kapitalizacja zgodna z doªu - roczna Warto± ko«cowa kapitaªu po t latach (F v ) F v = P v (1 + r) t Warto± odsetek po t latach [ I = P v (1 + r) t 1 ] Oblicz odsetki od czteroletniej lokaty o warto±ci 8000zª przy rocznej stopie 5%, przy kapitalizacji rocznej. Mamy st d P v = 8000zª, r = 5%, t = 4 I = 8000 [ (1 + 0.05) 4 1 ] = 8000(1.2155 1) = 8000 0.2155 = 1724, 05 68 / 143
Kapitalizacja zgodna z doªu - kilka wzorów F v = P v (1 + r) t st d roczn stop oprocentowania wyznaczamy ze wzoru ilo± okresów bazowych r = t Fv P v 1 t = ln ( ) F v P v ln(1 + r) Ile wynosi staªe roczne oprocentowanie obligacji skarbowych, w których za 100zª otrzymujemy 116,42zª w ci gu dwóch lat. Mamy st d P v = 100zª, F v = 116.42zª, t = 2 r = 116.42 100 1 = 7.9% 69 / 143
Kapitalizacja zgodna z doªu - kilka wzorów F v = P v (1 + r) t st d roczn stop oprocentowania wyznaczamy ze wzoru ilo± okresów bazowych r = t Fv P v 1 t = ln ( ) F v P v ln(1 + r) Ile wynosi staªe roczne oprocentowanie obligacji skarbowych, w których za 100zª otrzymujemy 116,42zª w ci gu dwóch lat. Mamy st d P v = 100zª, F v = 116.42zª, t = 2 r = 116.42 100 1 = 7.9% 70 / 143
Podwojenie kapitaªu - kapitalizacja roczna t = ln ( ) F v P v ln(1 + r) t = ln 2 ln(1 + r) Reguªa 70 Przy rocznej stopie r (wyra»onej w %) i rocznym okresie kapitalizacji kapitaª podwaja si w czasie t = 70 r. Dla stopy r = 15% okres podwojenia kapitaªu wynosi t = 70 = 4, 67 - okoªo 15 pi ciu lat. 71 / 143
Podwojenie kapitaªu - kapitalizacja roczna t = ln ( ) F v P v ln(1 + r) t = ln 2 ln(1 + r) Reguªa 70 Przy rocznej stopie r (wyra»onej w %) i rocznym okresie kapitalizacji kapitaª podwaja si w czasie t = 70 r. Dla stopy r = 15% okres podwojenia kapitaªu wynosi t = 70 = 4, 67 - okoªo 15 pi ciu lat. 72 / 143
Podwojenie kapitaªu - kapitalizacja roczna t = ln ( ) F v P v ln(1 + r) t = ln 2 ln(1 + r) Reguªa 70 Przy rocznej stopie r (wyra»onej w %) i rocznym okresie kapitalizacji kapitaª podwaja si w czasie t = 70 r. Dla stopy r = 15% okres podwojenia kapitaªu wynosi t = 70 = 4, 67 - okoªo 15 pi ciu lat. 73 / 143
Kapitalizacja podokresowa k cz stotliwo± kapitaliacji oznacza ile razy odsetki sa kapitalizowane w ci gu roku i k stopa podokresowa wedªug której odsetki sa dopisywane na koniec ka»dego podokresu m k czas oprocentowania wyra»ony w podokresach, suma podokresów musi by równa dªugo±ci roku Kapitaª ko«cowy odsetki F v = P v (1 + i k ) m k I = F v P v = P v [(1 + i k ) m k 1] 74 / 143
Przykªad Zaªo»ono w banku lokat terminow w wysoko±ci 8000zª. Jaka b dzie warto± tej lokaty po upªywie 9 miesi cy, je»eli miesi czna stopa procentowa wynosi 4% a odsetki naliczane s miesi cznie? Mamy st d P v = 8000zª, i 12 = 4%, m 12 = 9 F v = P v [(1 + i k ) m k 1] = 8000 [ (1 + 0.04) 9] = 8000 1.43 = 11386.49 75 / 143
Stopa nominalna Stop nominaln ( nominaln stop oprocentowania podokresowego) nazywamy roczn stop proporcjonaln do podokresowej i k. r = ki k 76 / 143
Wzory zapisane przy u»yciu stopy nominalnej Je»eli zamienimy czas oprocentowania m k wyra»onego w podokresach na czas wyra»ony w latach m k = tk to u»ywaj c stopy nominalnej mo»emy zapisa wzór na kapitaª ko«cowy odsetki F v = P v ( 1 + r k ) tk [ (1 r ) ] tk I = P v + 1 k 77 / 143
Przykªad Obliczmy warto± ko«cow kapitaªu 1000zª oraz odsetki po 2 latach, je±li warunki oprocentowania skªadanego s okre±lone przez nominalna stop 24% i okres o dªugo±ci rocznej, póªrocznej, kwartalnej. Mamy P v = 1000zª, r = 24%, t = 2 1 cz stotliwo± kapitalizacji k = 1, wi c ( r ) tk F v = P v 1 + = 1000(1 + 0.24) 2 = 1537.60 [ k (1 r ) ] tk I = P v + 1 = 1000 [ (1 + 0.24) 2 1 ] = 537.60 k 2 cz stotliwo± kapitalizacji k = 2, wi c ( r ) ( tk F v = P v 1 + = 1000 1 + 0.24 ) 2 2 = 1573.52 k 2 I = F v P v = 573.52 3 cz stotliwo± kapitalizacji k = 4, wi c ( r ) ( tk F v = P v 1 + = 1000 1 + 0.24 ) 2 4 = 1593.85 k 4 I = F v P v = 593.85 78 / 143
Przykªad Obliczmy warto± ko«cow kapitaªu 1000zª oraz odsetki po 2 latach, je±li warunki oprocentowania skªadanego s okre±lone przez nominalna stop 24% i okres o dªugo±ci rocznej, póªrocznej, kwartalnej. Mamy P v = 1000zª, r = 24%, t = 2 1 cz stotliwo± kapitalizacji k = 1, wi c ( r ) tk F v = P v 1 + = 1000(1 + 0.24) 2 = 1537.60 [ k (1 r ) ] tk I = P v + 1 = 1000 [ (1 + 0.24) 2 1 ] = 537.60 k 2 cz stotliwo± kapitalizacji k = 2, wi c ( r ) ( tk F v = P v 1 + = 1000 1 + 0.24 ) 2 2 = 1573.52 k 2 I = F v P v = 573.52 3 cz stotliwo± kapitalizacji k = 4, wi c ( r ) ( tk F v = P v 1 + = 1000 1 + 0.24 ) 2 4 = 1593.85 k 4 I = F v P v = 593.85 79 / 143
Przykªad Obliczmy warto± ko«cow kapitaªu 1000zª oraz odsetki po 2 latach, je±li warunki oprocentowania skªadanego s okre±lone przez nominalna stop 24% i okres o dªugo±ci rocznej, póªrocznej, kwartalnej. Mamy P v = 1000zª, r = 24%, t = 2 1 cz stotliwo± kapitalizacji k = 1, wi c ( r ) tk F v = P v 1 + = 1000(1 + 0.24) 2 = 1537.60 [ k (1 r ) ] tk I = P v + 1 = 1000 [ (1 + 0.24) 2 1 ] = 537.60 k 2 cz stotliwo± kapitalizacji k = 2, wi c ( r ) ( tk F v = P v 1 + = 1000 1 + 0.24 ) 2 2 = 1573.52 k 2 I = F v P v = 573.52 3 cz stotliwo± kapitalizacji k = 4, wi c ( r ) ( tk F v = P v 1 + = 1000 1 + 0.24 ) 2 4 = 1593.85 k 4 I = F v P v = 593.85 80 / 143
Przykªad Obliczmy warto± ko«cow kapitaªu 1000zª oraz odsetki po 2 latach, je±li warunki oprocentowania skªadanego s okre±lone przez nominalna stop 24% i okres o dªugo±ci rocznej, póªrocznej, kwartalnej. Mamy P v = 1000zª, r = 24%, t = 2 1 cz stotliwo± kapitalizacji k = 1, wi c ( r ) tk F v = P v 1 + = 1000(1 + 0.24) 2 = 1537.60 [ k (1 r ) ] tk I = P v + 1 = 1000 [ (1 + 0.24) 2 1 ] = 537.60 k 2 cz stotliwo± kapitalizacji k = 2, wi c ( r ) ( tk F v = P v 1 + = 1000 1 + 0.24 ) 2 2 = 1573.52 k 2 I = F v P v = 573.52 3 cz stotliwo± kapitalizacji k = 4, wi c ( r ) ( tk F v = P v 1 + = 1000 1 + 0.24 ) 2 4 = 1593.85 k 4 I = F v P v = 593.85 81 / 143
Zadania 1 Rodze«stwo w wieku 8 i 10 lat otrzymaªo w spadku kwot 500 tys.zª, zªo»on w banku, który stosuje kapitalizacj roczn przy rocznej stopie procentowej 20%. yczeniem spadkodawcy byªo takie podzielenie spadku, aby w momencie osi gni cia przez dzieci 21 lat warto±ci przyszªe cz ±ci spadku ka»dego dziecka byªy takie same. Jak nale»y podzieli spadek? 2 Bank przyjmuje kapitaª w depozyt, pªac c odsetki i udziela kredytu, pobieraj c za t usªug odsetki. Stopy procentowe pªaconych odsetek s ni»sze od stóp procentowych pobieranych odsetek. St d odsetki pobierane przez bank z tytuªu udzielanego kredytu s na ogóª wy»sze od odsetek wypªacanych za lokat. Ró»nica tych odsetek nosi nazw mar»y odsetkowej (mar»y bankowej ) i stanowi podstawowe ¹ródªo dochodu banku. Obliczy dochód banku uzyskany w ci gu 5 lat, który przyj ª w depozyt kwot 10 tys. jp wedªug rocznej stopy procentowej 15% i udzieliª kredytu tej wysoko±ci wedªug rocznej stopy procentowej 20%. Bank stosuje kapitalizacj roczn. 3 Rozwa»my weksel ze slajdu poprzedniego. Weksel Przewiduje si,»e weksel zostanie wykupiony z czteromiesi cznym opó¹nieniem. Odsetki karne s równe 0.14%/dzie«. Jak b dzie koszt wykupienia weksla? 82 / 143
Zadania 1 Rodze«stwo w wieku 8 i 10 lat otrzymaªo w spadku kwot 500 tys.zª, zªo»on w banku, który stosuje kapitalizacj roczn przy rocznej stopie procentowej 20%. yczeniem spadkodawcy byªo takie podzielenie spadku, aby w momencie osi gni cia przez dzieci 21 lat warto±ci przyszªe cz ±ci spadku ka»dego dziecka byªy takie same. Jak nale»y podzieli spadek? 2 Bank przyjmuje kapitaª w depozyt, pªac c odsetki i udziela kredytu, pobieraj c za t usªug odsetki. Stopy procentowe pªaconych odsetek s ni»sze od stóp procentowych pobieranych odsetek. St d odsetki pobierane przez bank z tytuªu udzielanego kredytu s na ogóª wy»sze od odsetek wypªacanych za lokat. Ró»nica tych odsetek nosi nazw mar»y odsetkowej (mar»y bankowej ) i stanowi podstawowe ¹ródªo dochodu banku. Obliczy dochód banku uzyskany w ci gu 5 lat, który przyj ª w depozyt kwot 10 tys. jp wedªug rocznej stopy procentowej 15% i udzieliª kredytu tej wysoko±ci wedªug rocznej stopy procentowej 20%. Bank stosuje kapitalizacj roczn. 3 Rozwa»my weksel ze slajdu poprzedniego. Weksel Przewiduje si,»e weksel zostanie wykupiony z czteromiesi cznym opó¹nieniem. Odsetki karne s równe 0.14%/dzie«. Jak b dzie koszt wykupienia weksla? 83 / 143
Zadania 1 Rodze«stwo w wieku 8 i 10 lat otrzymaªo w spadku kwot 500 tys.zª, zªo»on w banku, który stosuje kapitalizacj roczn przy rocznej stopie procentowej 20%. yczeniem spadkodawcy byªo takie podzielenie spadku, aby w momencie osi gni cia przez dzieci 21 lat warto±ci przyszªe cz ±ci spadku ka»dego dziecka byªy takie same. Jak nale»y podzieli spadek? 2 Bank przyjmuje kapitaª w depozyt, pªac c odsetki i udziela kredytu, pobieraj c za t usªug odsetki. Stopy procentowe pªaconych odsetek s ni»sze od stóp procentowych pobieranych odsetek. St d odsetki pobierane przez bank z tytuªu udzielanego kredytu s na ogóª wy»sze od odsetek wypªacanych za lokat. Ró»nica tych odsetek nosi nazw mar»y odsetkowej (mar»y bankowej ) i stanowi podstawowe ¹ródªo dochodu banku. Obliczy dochód banku uzyskany w ci gu 5 lat, który przyj ª w depozyt kwot 10 tys. jp wedªug rocznej stopy procentowej 15% i udzieliª kredytu tej wysoko±ci wedªug rocznej stopy procentowej 20%. Bank stosuje kapitalizacj roczn. 3 Rozwa»my weksel ze slajdu poprzedniego. Weksel Przewiduje si,»e weksel zostanie wykupiony z czteromiesi cznym opó¹nieniem. Odsetki karne s równe 0.14%/dzie«. Jak b dzie koszt wykupienia weksla? 84 / 143
Zadania 1 Jan Kowalski wpªaciª do banku kwot 2000zª. Jaki b dzie stan jego konta po upªywie 1 dwóch lat przy rocznej kapitalizacji odsetek i oprocentowaniu rocznym 6% 2 dwóch lat przy rocznej kapitalizacji odsetek i stopie nominalnej 6% i kapitalizacji póªrocznej 3 roku przy kwartalnej kapitalizacji odsetek i oprocentowaniu 0.4% miesi cznie 4 póª roku, przy miesi cznej kapitalizacji i oprocentowaniu 5% rocznie 85 / 143
Zadania 1 Jan Kowalski wpªaciª do banku kwot 2000zª. Jaki b dzie stan jego konta po upªywie 1 dwóch lat przy rocznej kapitalizacji odsetek i oprocentowaniu rocznym 6% 2 dwóch lat przy rocznej kapitalizacji odsetek i stopie nominalnej 6% i kapitalizacji póªrocznej 3 roku przy kwartalnej kapitalizacji odsetek i oprocentowaniu 0.4% miesi cznie 4 póª roku, przy miesi cznej kapitalizacji i oprocentowaniu 5% rocznie 86 / 143
Zadania 1 Jan Kowalski wpªaciª do banku kwot 2000zª. Jaki b dzie stan jego konta po upªywie 1 dwóch lat przy rocznej kapitalizacji odsetek i oprocentowaniu rocznym 6% 2 dwóch lat przy rocznej kapitalizacji odsetek i stopie nominalnej 6% i kapitalizacji póªrocznej 3 roku przy kwartalnej kapitalizacji odsetek i oprocentowaniu 0.4% miesi cznie 4 póª roku, przy miesi cznej kapitalizacji i oprocentowaniu 5% rocznie 87 / 143
Zadania 1 Jan Kowalski wpªaciª do banku kwot 2000zª. Jaki b dzie stan jego konta po upªywie 1 dwóch lat przy rocznej kapitalizacji odsetek i oprocentowaniu rocznym 6% 2 dwóch lat przy rocznej kapitalizacji odsetek i stopie nominalnej 6% i kapitalizacji póªrocznej 3 roku przy kwartalnej kapitalizacji odsetek i oprocentowaniu 0.4% miesi cznie 4 póª roku, przy miesi cznej kapitalizacji i oprocentowaniu 5% rocznie 88 / 143
Zadania 1 Jan Kowalski wpªaciª do banku kwot 2000zª. Jaki b dzie stan jego konta po upªywie 1 dwóch lat przy rocznej kapitalizacji odsetek i oprocentowaniu rocznym 6% 2 dwóch lat przy rocznej kapitalizacji odsetek i stopie nominalnej 6% i kapitalizacji póªrocznej 3 roku przy kwartalnej kapitalizacji odsetek i oprocentowaniu 0.4% miesi cznie 4 póª roku, przy miesi cznej kapitalizacji i oprocentowaniu 5% rocznie 89 / 143
Zmienne stopy Przyszªa warto± kapitaªu, gdy stopy procentowe s zmienne wynosi F v = P v (1 + r 1) t1 (1 + r 2) t2 +... + (1 + r m) tm a odsetki wynosz [ I = P v (1 + r1) t1 (1 + +r 2) t2 +... + (1 + r m) tm 1 ] Stopa procentowa r i i czas t i musz by wyra»one zawsze dla tych samych okresów czasu. 90 / 143
Zmienne stopy Przyszªa warto± kapitaªu, gdy stopy procentowe s zmienne wynosi F v = P v (1 + r 1) t1 (1 + r 2) t2 +... + (1 + r m) tm a odsetki wynosz [ I = P v (1 + r1) t1 (1 + +r 2) t2 +... + (1 + r m) tm 1 ] Stopa procentowa r i i czas t i musz by wyra»one zawsze dla tych samych okresów czasu. 91 / 143
Zadania 1 Jak kwot nale»y ulokowa w banku, aby po 16 miesi cach otrzyma 1000zª odsetek? W pierwszym roku roczne oprocentowanie wynosi 3.6%, przy czym w pierwszym póªroczu kapitalizacja jest kwartalna, a w drugim dwumiesi czna. W drugim roku stopa spadnie o 10%, a kapitalizacja b dzie miesi czna. 2 Jakiej wielko±ci kredyt udzieliª bank, je±li po upªywie roku zwrócono kwot 35 250zª? Przez pierwsze pi miesi cy roczne oprocentowanie wynosiªo 18% a nast pnie zostaªo obni»one do 15%. Kapitalizacja kwartalna. 3 Po jakim czasie kwota zdeponowana na kwartalnie kapitalizowanej lokacie bankowej wzro±nie o 40%, je±li stopa procentowa wynosi 3,5% rocznie? Jak dªugo trwaªaby ta lokata, ale bez kapitalizacji? 4 Wyznacz roczn nominaln stop procentow, na jak nale»y zdeponowa w banku 2000zª aby po 2 latach kwartalnej kapitalizacji uzyska 2165,28zª. 92 / 143
Zadania 1 Jak kwot nale»y ulokowa w banku, aby po 16 miesi cach otrzyma 1000zª odsetek? W pierwszym roku roczne oprocentowanie wynosi 3.6%, przy czym w pierwszym póªroczu kapitalizacja jest kwartalna, a w drugim dwumiesi czna. W drugim roku stopa spadnie o 10%, a kapitalizacja b dzie miesi czna. 2 Jakiej wielko±ci kredyt udzieliª bank, je±li po upªywie roku zwrócono kwot 35 250zª? Przez pierwsze pi miesi cy roczne oprocentowanie wynosiªo 18% a nast pnie zostaªo obni»one do 15%. Kapitalizacja kwartalna. 3 Po jakim czasie kwota zdeponowana na kwartalnie kapitalizowanej lokacie bankowej wzro±nie o 40%, je±li stopa procentowa wynosi 3,5% rocznie? Jak dªugo trwaªaby ta lokata, ale bez kapitalizacji? 4 Wyznacz roczn nominaln stop procentow, na jak nale»y zdeponowa w banku 2000zª aby po 2 latach kwartalnej kapitalizacji uzyska 2165,28zª. 93 / 143
Zadania 1 Jak kwot nale»y ulokowa w banku, aby po 16 miesi cach otrzyma 1000zª odsetek? W pierwszym roku roczne oprocentowanie wynosi 3.6%, przy czym w pierwszym póªroczu kapitalizacja jest kwartalna, a w drugim dwumiesi czna. W drugim roku stopa spadnie o 10%, a kapitalizacja b dzie miesi czna. 2 Jakiej wielko±ci kredyt udzieliª bank, je±li po upªywie roku zwrócono kwot 35 250zª? Przez pierwsze pi miesi cy roczne oprocentowanie wynosiªo 18% a nast pnie zostaªo obni»one do 15%. Kapitalizacja kwartalna. 3 Po jakim czasie kwota zdeponowana na kwartalnie kapitalizowanej lokacie bankowej wzro±nie o 40%, je±li stopa procentowa wynosi 3,5% rocznie? Jak dªugo trwaªaby ta lokata, ale bez kapitalizacji? 4 Wyznacz roczn nominaln stop procentow, na jak nale»y zdeponowa w banku 2000zª aby po 2 latach kwartalnej kapitalizacji uzyska 2165,28zª. 94 / 143
Zadania 1 Jak kwot nale»y ulokowa w banku, aby po 16 miesi cach otrzyma 1000zª odsetek? W pierwszym roku roczne oprocentowanie wynosi 3.6%, przy czym w pierwszym póªroczu kapitalizacja jest kwartalna, a w drugim dwumiesi czna. W drugim roku stopa spadnie o 10%, a kapitalizacja b dzie miesi czna. 2 Jakiej wielko±ci kredyt udzieliª bank, je±li po upªywie roku zwrócono kwot 35 250zª? Przez pierwsze pi miesi cy roczne oprocentowanie wynosiªo 18% a nast pnie zostaªo obni»one do 15%. Kapitalizacja kwartalna. 3 Po jakim czasie kwota zdeponowana na kwartalnie kapitalizowanej lokacie bankowej wzro±nie o 40%, je±li stopa procentowa wynosi 3,5% rocznie? Jak dªugo trwaªaby ta lokata, ale bez kapitalizacji? 4 Wyznacz roczn nominaln stop procentow, na jak nale»y zdeponowa w banku 2000zª aby po 2 latach kwartalnej kapitalizacji uzyska 2165,28zª. 95 / 143
Kapitalizacja w podokresach Dla kapitaªu pocz tkowego P v = 1000zª i stopie nominalnej r = 10%, mamy Przy ustalonej stopie nominalnej, warto± kapitaªu ro±nie tym szybciej, im krótszy jest podokres kapitalizacji 96 / 143
Kapitalizacja w podokresach Dla kapitaªu pocz tkowego P v = 1000zª i stopie nominalnej r = 10%, mamy Przy ustalonej stopie nominalnej, warto± kapitaªu ro±nie tym szybciej, im krótszy jest podokres kapitalizacji 97 / 143
Kapitalizacja ci gªa Je»eli cz stotliwo± kapitalizacji zwi ksza si nieograniczenie, czyli k, to mówimy o ci gªej kapitalizacji odsetek. ( r ) [ nk ( r ) ] k n lim k Pv 1 + = Pv lim 1 + = P v e rc n k k k Przy kapitalizacji ci gªej kapitaª pocz tkowy P v zwi ksza si po okresie n do warto±ci ko«cowej F v = P v e rc n a odsetki wynosz I = P v (e rc n 1) Okres n nie musi by wielokrotno±ci roku, kwartaªu, miesi ca itp. e 2.718281828459 2.71 98 / 143
Kapitalizacja ci gªa Je»eli cz stotliwo± kapitalizacji zwi ksza si nieograniczenie, czyli k, to mówimy o ci gªej kapitalizacji odsetek. ( r ) [ nk ( r ) ] k n lim k Pv 1 + = Pv lim 1 + = P v e rc n k k k Przy kapitalizacji ci gªej kapitaª pocz tkowy P v zwi ksza si po okresie n do warto±ci ko«cowej F v = P v e rc n a odsetki wynosz I = P v (e rc n 1) Okres n nie musi by wielokrotno±ci roku, kwartaªu, miesi ca itp. e 2.718281828459 2.71 99 / 143
Kapitalizacja ci gªa Je»eli cz stotliwo± kapitalizacji zwi ksza si nieograniczenie, czyli k, to mówimy o ci gªej kapitalizacji odsetek. ( r ) [ nk ( r ) ] k n lim k Pv 1 + = Pv lim 1 + = P v e rc n k k k Przy kapitalizacji ci gªej kapitaª pocz tkowy P v zwi ksza si po okresie n do warto±ci ko«cowej F v = P v e rc n a odsetki wynosz I = P v (e rc n 1) Okres n nie musi by wielokrotno±ci roku, kwartaªu, miesi ca itp. e 2.718281828459 2.71 100 / 143
Kapitalizacja ci gªa Je»eli cz stotliwo± kapitalizacji zwi ksza si nieograniczenie, czyli k, to mówimy o ci gªej kapitalizacji odsetek. ( r ) [ nk ( r ) ] k n lim k Pv 1 + = Pv lim 1 + = P v e rc n k k k Przy kapitalizacji ci gªej kapitaª pocz tkowy P v zwi ksza si po okresie n do warto±ci ko«cowej F v = P v e rc n a odsetki wynosz I = P v (e rc n 1) Okres n nie musi by wielokrotno±ci roku, kwartaªu, miesi ca itp. e 2.718281828459 2.71 101 / 143
102 / 143
Przykªad Jak kwot ulokowano w banku, je»eli po 10 miesi cach otrzymano 6714.05zª? Póªroczna stopa procentowa wynosiªa 1.944%, a odsetki byªy kapitalizowane w sposób ci gªy. Mamy F v = 6714.05zª, r = 1.944%(póªroczna), t = 10 miesi cy St d stopa miesi czna wynosi Warto± wpªaconej lokaty r miesieczna = 1.944%/6 = 0.324% F v = P v e rn P v = Fv P v = e rn 6714.05 = 6500, 001 e10 0.00324 103 / 143
Przykªad Jak kwot ulokowano w banku, je»eli po 10 miesi cach otrzymano 6714.05zª? Póªroczna stopa procentowa wynosiªa 1.944%, a odsetki byªy kapitalizowane w sposób ci gªy. Mamy F v = 6714.05zª, r = 1.944%(póªroczna), t = 10 miesi cy St d stopa miesi czna wynosi Warto± wpªaconej lokaty r miesieczna = 1.944%/6 = 0.324% F v = P v e rn P v = Fv P v = e rn 6714.05 = 6500, 001 e10 0.00324 104 / 143
Zmienne stopy procentowe Przyszªa warto± kapitaªu, gdy stopy procentowe s zmienne wynosi F v = P v e r 1n1+r2n2+...+r mn m a odsetki wynosz I = P v (e r 1n1+r2n2+...+r mn m 1) 105 / 143
Przykªad Oblicz warto± odsetek uzyskanych od lokaty 2800zª, z ci gª kapitalizacja odsetek. Czas trwania lokaty jest równy 15 miesi cy a jej oprocentowanie wynosi w pierwszym roku wynosi 1.053% kwartalnie, a w drugim zostaªo obni»one o 0.243pp. Mamy P v = 2800zª, r 1 = 1.053%, r 2 = 1.053% 0.243 = 0.81% Warto± odsetek t 1 = 4 kwartaªy, t 2 = 1 kwartaª I = P v (e r 1n1+r2n2 1) I = 2800(e 0.01053 4+0.0081 1 1) I = 2800(e 0.05022 1) = 2800 (1.051502401 1) = 2800 0.051502401 I = 144.21 106 / 143