Sabina Nowak. Podstawy statystyki i ekonometrii Część I

Podobne dokumenty
Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyka Opisowa Wzory

CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (Parametry statystyczne) MIARY POŁOśENIA

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4

Matematyczne metody opracowywania wyników

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE

Podstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary średnie. Średnią arytmetyczną nazywamy sumę wartości zmiennej wszystkich jednostek badanej zbiorowości podzieloną przez liczbę tych jednostek.

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version WIII/1

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?

Statystyczna analiza danych przedziały ufności

STATYSTYKA EKONOMICZNA I SPOŁECZNA

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

INTERPRETACJA DANYCH STATYSTYCZNYCH

Elementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

mgr Anna Matysiak PODSTAWOWE POJĘCIA STATYSTYCZNE

Statystyka opisowa. Stawia się pytania: pytanie co? poprzedza pytanie jak?. Najpierw potrzebna jest miara, potem można badać zmiany tej miary.

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

STATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY

ZJAZD 1. STATYSTYKA OPISOWA wstępna analiza danych

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

Statystyczny opis danych - parametry

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

O testowaniu jednorodności współczynników zmienności

Miary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Pojęcie statystyki. Definicja. Wektorową funkcję mierzalną T: X T(X)=(T 1 (X),...,T k (X)) R k wymiarową statystyką. próby X nazywamy k

Statystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. Strona 1

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

Wyrażanie niepewności pomiaru

Średnia harmoniczna (cechy o charakterze ilorazu np. Prędkość, gęstość zaludnienia)

Plan: Wykład 3. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wstęp do probabilistyki i statystyki. Pojęcie zmiennej losowej

MATERIAŁY POMOCNICZE DLA STUDENTÓW DO NAUKI STATYSTYKI

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

Wykład ze statystyki. Maciej Wolny

Zmienna losowa X ma taki rozkład, jeśli przyjmuje wartości k=0,1,2,...,n z prawdopodobieństwami określonymi wzorem:

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

Materiały wspomagające wykład ze statystyki. Maciej Wolny

METODY OPISU STRUKTURY ZBIOROWOŚCI

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym

Estymacja to wnioskowanie statystyczne koncentrujące się wokół oszacowania wartości parametrów rozkładu populacji.

INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe.

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

STATYSTYKA OPISOWA. Statystyka. Losowanie (pomiar)

. Wtedy E V U jest równa

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

ANALIZA KORELACJI DEFINICJA ZALEŻNOŚCI KORELACYJNEJ, RODZAJE ZALEŻNOŚCI KORELACYJNYCH KLASYFIKACJA METOD ANALIZY ZALEŻNOŚCI STATYSTYCZNYCH

Statystyka powtórzenie (I semestr) Rafał M. Frąk

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE

Parametry zmiennej losowej

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Wyższe momenty zmiennej losowej

ZAJĘCIA 2. Metody opisu struktury i natężenia, metody opisu tendencji centralnej, klasyczne metody opisu dyspersji. i n

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

Identyfikacja i ocena ryzyka wykonania planu produkcji w przedsiębiorstwie górniczym

Indukcja matematyczna

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X

Średnia harmoniczna Za pomocą średniej harmonicznej obliczamy np. średnią prędkość jazdy samochodem.

Elementy arytmetyki komputerowej

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach

Matematyczny opis ryzyka

Przewodnik do ćwiczeń ze statystyki

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

Statystyka powtórzenie (II semestr) Rafał M. Frąk

Miary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

Typ może być dowolny. //realizacja funkcji zamiana //przestawiajacej dwa elementy //dowolnego typu void zamiana(int &A, int &B) { int t=a; A=B; B=t; }

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

Transkrypt:

Saba owa Podstawy statysty eoometr Część I Podyplomowe Studa Wycea eruchomośc Wydzał Zarządzaa Uwersytetu Gdańsego 7 weta 19 rou

1. Elemety teor badaa zborów statystyczych Statystycze metody badaa prawdłowośc charateryzujących badae zjawsa występują w forme opsu statystyczego oraz w forme wosowaa statystyczego. Ops statystyczy jest opsem lczbowym może być realzoway w postac daych lczbowych zestawoych w szereg tablce (tzw. ops tabelaryczy), w postac wyresów ujawających prawdłowośc (tzw. ops grafczy) oraz w postac charaterysty lczbowych, zwaych parametram, odoszących sę do różych prawdłowośc (tzw. ops parametryczy). Wosowae statystycze odos sę do metod mających a celu uogólee wyów badaa częśc zborowośc zwaej próbą a całą zborowość (populację), z tórej próba została wylosowaa. Uogólae to jest obarczoe pewym błędem, stąd też metody wosowaa statystyczego są oparte a rachuu prawdopodobeństwa. Wosowae statystycze wchodz w zares statysty matematyczej. Przedmot badaa statystyczego Realzacja oreśloego celu ażdorazowo wymaga zdefowaa przedmotu badaa. Przedmotem badaa statystyczego jest zborowość statystycza, tóra może sładać sę z osób, rzeczy lub zdarzeń. Zborowość statystycza mus być precyzyje oreśloa pod względem rzeczowym, przestrzeym czasowym. Zares badaa statystyczego Zares badaa jest podporządoway celow, jaemu badae ma służyć. Cel badaa przesądza bowem e tylo o tym, ja zbór jedoste (osób, rzeczy, zdarzeń) zajdze sę w badaej zborowośc statystyczej, ale taże, za pomocą jach cech będzemy te jedost opsywać. Cechy zmee są to te właścwośc, tórym poszczególe jedost statystycze różą sę mędzy sobą, przyjmując odmee waraty cechy. Istotym ryterum podzału cech zmeych jest sposób ch pomaru. Według tego ryterum wyodrębamy cechy jaoścowe (opsowe) cechy loścowe (lczbowe). Waraty cech jaoścowych wyrażamy opsowo (p. wyształcee podstawowe, średe, wyższe), atomast waraty cech loścowych wyrażamy za pomocą lczb pochodzących z pomaru (p. waga w logramach, czas w godzach) lub zlczaa (p. lczba osób w rodze). Prezetacja rozładu cechy Rozład cechy w zborowośc geeralej to aczej strutura tej zborowośc ze względu a daą cechę. Podstawowe lasy rozładów empryczych: 1) rozłady symetrycze asymetrycze, ) rozłady jedomodale welomodale, 3) rozłady spłaszczoe wysmułe.

Typy rozładów empryczych A B C D E F G H I J K L Zaobserwowae u poszczególych jedoste wartośc cechy mogą być przedstawoe w postac szeregu szczegółowego, bądź też po dooau grupowaa w postac szeregu rozdzelczego. Aalzując rozład cechy merzalej, ależy brać pod uwagę astępujące jego własośc: tedecję cetralą (przecęty pozom); dyspersję (zróżcowae); asymetrę (sośość); ocetrację (urtoza). Do ocey tych własośc służą charaterysty lczbowe zwae parametram rozładu. Rozróża sę parametry lasycze oblczae a podstawe wszystch obserwacj, oraz parametry pozycyje wyzaczae a podstawe ch mejsca w szeregu lub częstotlwośc występowaa. 3

Przyład 1 W wylosowaych do próby 167 agecjach eruchomośc a teree woj. pomorsego zbadao lczbę zawartych trasacj powyżej woty tys. zł w wetu 18 r. Lczba trasacj w badaym mesącu Lczba agecj eruchomośc 1 7 31 3 38 4 4 5 16 6 11 7 1 8 5 9 3 Razem 167 Scharateryzować rozład lczby zaweraych trasacj powyżej tys. zł w mesącu. Przyład Pewa eruchomość została wyceoa przez 1 espertów. Każdy z ch zazaczył szacuowy przedzał wartośc eruchomośc. Wartość eruchomośc (w tys. zł.) Lczba wyceających espertów 3, 46,5 46,5 6, 4 6, 84, 3 84, 9, 1 1 Przyład 3 Zebrao formacje a temat powerzch slepów w daym meśce. Przedzał Powerzcha w m Lczba slepów 1 1 3 49,9 9 5 69,9 19 3 7 89,9 3 4 9 19,9 14 5 11 19,9 9 6 13 149,9 7 Razem 81 4

MIARY POZIOMU WARTOŚCI (PRZECIĘTE) Mary średe mary lasycze mary pozycyje - średa arytmetycza - domata - średa harmocza - medaa - średa geometrycza - watyle Średa arytmetycza () jest lorazem sumy wartośc zmeej lczby obserwacj (lczebośc). średa arytmetycza zwyła Przyład 1 Lczba zaweraych trasacj w mesącu ( ) 1 Przyład 1 średa arytmetycza ważoa Lczba agecj ( ) 1 cum 1 7 7 7 31 6 58 3 38 114 96 4 4 96 1 5 16 8 136 6 11 66 147 7 1 84 159 8 5 4 164 9 3 7 167 Razem 167 596 X 596 3,57 trasacj 167 Wartość eruchomośc (w tys. zł) Lczba wyceających espertów 3, 46,5 76,5 88, 46,5 6, 4 13, 144, 6, 84, 3 16, 487,7 84, 9, 1 87, 77,1 1 59,5 83,8 1 59,5 1 59,5 tys. zł 5

Przyład 3 Przedzał Powerzcha w m Lczba slepów Środ przedzałów Iloczyy 1 1 3 49,9 9 4 36 5 69,9 19 6 114 3 7 89,9 3 8 184 4 9 19,9 14 1 14 5 11 19,9 9 1 18 6 13 149,9 7 14 98 Razem 81 68 1 68 83, 95m 81 Własośc średej arytmetyczej: 1) suma wartośc zmeej X jest rówa średej arytmetyczej pomożoej przez lczebość zborowośc: 1 ) suma odchyleń poszczególych wartośc zmeej X od średej arytmetyczej jest rówa zero: 1 ( ) 3) suma wadratów odchyleń poszczególych wartośc zmeej X od średej arytmetyczej jest ajmejsza: 1 ( ) m Średej arytmetyczej e moża lub e ależy oblczać w przypadu, gdy: szereg ma otwarte przedzały lasowe, w zborowośc występują wartośc sraje, rozład badaej cechy jest sraje asymetryczy lub welomodaly. Średe pozycyje Domata jest to wartość ajlczej reprezetowaa w daej zborowośc, wartość występująca z ajwęszą częstotlwoścą. Dla oreślea, jaa wartość cechy występuje z ajwęszą częstotlwoścą, ezbęde jest pogrupowae materału statystyczego, a w przypadu ewelej lczby obserwacj ch uporządowae. Przyład 1: Domata (moda) = 3 6

W szeregu rozdzelczym przedzałowym domatę ustala sę drogą terpolacj (szacuu) w gracach przedzału supającego ajwęszą lczbę obserwacj. Wyzaczając domatę, w perwszej olejośc odajdujemy przedzał ajlczejszy (ma), a astępe oblczamy jej wartość posługując sę wzorem terpolacyjym: D ( ) ( 1 1 c ) gdze: dola graca przedzału ajlczejszego; lczebość przedzału ajlczejszego; 1 lczebość przedzału poprzedzającego przedzał ajlczejszy; +1 lczebość przedzału astępego po przedzale ajlczejszym; c rozpętość przedzału ajlczejszego. Przyład 4. Rozład powerzch slepów 1 Powerzcha w m Lczba slepów 1 3 49,9 9 5 69,9 19 7 89,9 3 przedzał domaty 9 19,9 14 11 19,9 9 13 149,9 7 Stwerdzamy, że ajlczej jest reprezetoway przedzał 7 89,9 m. Dola graca tego przedzału = 7, lczebość przedzału ajlczejszego = 3, lczebośc sąsedch przedzałów 1 = 19, +1 = 14. Rozpętośc przedzałów są jedaowe wyoszą c =. Podstawając do wzoru otrzymamy: D 1 c ( 1) ( 1) = 319 7 m (319) (314) 76,. Medaa jest to wartość środowa cechy dzeląca zborowość a dwe rówe lczebe częśc. Wyzaczając medaę w szeregu szczegółowym, porządujemy obserwacje według rosących wartośc cechy wsazujemy obserwację środową, tóra jest medaą. Gdy szereg zawera parzystą lczbę obserwacj, medaę lczymy jao średą z dwóch środowych. Przyład 5 Dzesęć osób zapytao o czas, ja pośwęcają a dojazd do pracy. Otrzymao astępujące dae w m: 35, 5,, 15, 3, 1, 6,, 45, 6. Szereg ależy uporządować rosąco, a astępe zaleźć jego środe: 5, 1, 15,,, 3, 35, 45, 6, 6 3 Me 5 m. Ozacza to, że połowa badaych osób pośwęca a dojazd do pracy e węcej ż 5 mut, a druga połowa e mej ż 5 mut. 7

W odeseu do Przyładu 1: Medaa = 3 Przyładu 4 c.d. Powerzcha w m Lczba slepów Lczebośc sumulowae j () = s 3 49,9 9 9 5 69,9 19 8 7 89,9 3 51 9 19,9 14 65 11 19,9 9 74 13 149,9 7 81 Razem 81 poz. Me =,5( + 1) =,58 = 41 Operając sę a szeregu sumulowaym stwerdzamy, że 41. slep ależy do przedzału 7 89,9m. Dola graca = 7, lczebość przedzału = 3, rozpętość c =, a lczebośc sumulowae dwóch poprzedch przedzałów s 1 8. 1 Me s 1 c 811 7 8 3 81,3 A zatem połowa slepów ma powerzchę 81,3 m mejszą a druga połowa 81,3 m węszą. Przeprowadzając otrolę logczą stwerdzamy, że oblczoa wartość Me meśc sę we wsazaym przedzale: 7 < Me < 89,9. 81 s 41 3 6 Me9 1 15 Kwartylem perwszym azywamy tę wartość zmeej w rozładze empryczym, pożej tórej zajduje sę 5% jedoste zborowośc. 8

Kwartylem trzecm azywamy tę wartość zmeej w rozładze empryczym, pożej tórej zajduje sę 75% jedoste zborowośc. W odeseu do Przyładu 1: Kwartyl perwszy = Kwartyl trzec = 5 Mary rozproszea Mary rozproszea (zmeośc, dyspersj) są to tae charaterysty opsowe rozładów cechy merzalej, tóre służą do uogólającego pomaru zróżcowaa wartośc zmeej w obrębe badaej populacj. Obszar zmeośc (rozstęp) jest różcą pomędzy ajwęszą ajmejszą wartoścą zmeej: R ma Odchylee ćwartowe jest połową obszaru zmeośc 5% środowych jedoste zborowośc: Q Q Q 3 1 Waracja jest średą arytmetyczą odchyleń od średej podesoych do wadratu: S ( ) 1 m ( ) Odchylee stadardowe jest średą wadratową odchyleń od średej arytmetyczej: S ( ) 1 ( ) Odchylee stadardowe formuje o le przecęte odchylają sę poszczególe wartośc zmeej od średej arytmetyczej. Przyładu 4 c.d. Powerzcha w m Lczba slepów Środ przedz. Oblczea pomoccze 1 ( ) 3 49,9 9 4 36 44 17 44 1 6 14 4 5 69,9 19 6 1 14 4 1 944 3 6 68 4 7 89,9 3 8 1 84 4 368 6 4 147 9 19,9 14 1 1 4 16 3 584 1 14 11 19,9 9 1 1 8 34 11 664 14 4 19 6 13 149,9 7 14 98 56 1 95 19 6 137 Razem 81 6 8 65 936 636 8 9

1 Średa arytmetycza: 68 83,95 84m. 81 ( ) 1 Waracja: s 814,m 65936 81 lub (oblczea oparte a mometach zwyłych) s 1 Odchylee stadardowe: s s 814,1 8,53 m. W odeseu do Przyładu : m. 6368 (83,95) 814,1 81 83,8 s s 8,38 15,1 1 Ocey espertów dotyczące wartośc eruchomośc odchylają sę przecęte od średej ocey o 15,1 tys. zł. Współczy zmeośc - względa mara rozproszea Przyład 6: Staż pracy pracowów w dwóch różych populacjach: Populacja I średa arytmetycza = 4 lata odchylee stadardowe = 3 lata Populacja II średa arytmetycza = lata odchylee stadardowe = 6 lat Współczy zmeośc (V): V s 1 1 Q V 1 ME Współczy zmeośc pozwala oceć atężee zróżcowaa badaej cechy w zborowośc. Jego wartość blsa zeru śwadczy, że badaa zborowość jest jedoroda, a m bardzej zróżcowaa jest zborowość, tym węszy jest współczy zmeośc. W odeseu do Przyładu 4: s 8,53 Współczy zmeośc: V ( s) 1 1 34%. 84 Powerzcha poszczególych slepów róż sę od średej arytmetyczej średo o 8,53 m. Współczy zmeośc poazuje, że zróżcowae jest umarowae. 1

Mary asymetr (sośośc) rozładu cechy W szeregu symetryczym lczebośc są rówomere rozłożoe po obu stroach średej arytmetyczej. W środu rozładu zajdują sę róweż domata medaa. Relacja mędzy średm jest astępująca: = Me = D. W rozładze o asymetr dodatej obserwacje supają sę przy wartoścach cechy ższych od średej arytmetyczej, a zatem różca D >. Relacja średch w tym wypadu jest: D < Me <. Z ole w rozładze o asymetr ujemej relatywe lcze są jedost posadające wartośc cechy wyższe od średej arytmetyczej, a zatem różca D <. Relacja średch jest astępująca: < Me < D. D Me Me D Klasyczą marą asymetr jest momet trzec względy. Stosujemy go w aalze szeregów rozdzelczych putowych przedzałowych, gdy możlwe jest oblczee średej arytmetyczej. W perwszej olejośc lczymy momet trzec cetraly: 1 3 ( ) 3 Mara ta poazuje am erue asymetr astępująco: 3 = szereg symetryczy; 3 > szereg o asymetr dodatej, w tórym odchylea dodate przeważają ad ujemym; 3 < szereg o asymetr ujemej, gdze odchylea ujeme przeważają ad dodatm. Słę erue asymetr oceamy, oblczając momet trzec względy, będący lorazem mometu trzecego cetralego odchylea stadardowego podesoego do trzecej potęg: 3 3 3 s Mara ta może przyjmować wartośc z przedzału < 3 <, poza przypadam srajej asymetr. 11