Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
3. Funkcję postaci f(x) = ax + b, gdzie a, b R nazywamy funkcją liniową. Jeśli a > 0, to funkcja liniowa jest rosnąca. Jeśli a < 0, to funkcja liniowa jest malejąca. Jeśli a = 0, to funkcja liniowa jest stała. Wykresem funkcji liniowej jest prosta. a = tg α, gdzie α jest kątem nachylenia prostej do osi OX a współczynnik kierunkowy y f(x)=ax+b a>0 0 x b b a y b f(x)=ax+b a<0 0 x b a 3.1. Równanie linowe ax + b = 0 Gdy a 0, to równanie ma jedno rozwiązanie x = b a (równanie oznaczone) Gdy a = 0, b = 0, to rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista (równanie tożsamościowe) Gdy a = 0, b 0, to brak rozwiązania (równanie sprzeczne) 3.. Nierówności liniowe ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b 0, ax + b 0 3.3. Układ równań liniowych Układ równań { a1 x + b 1 y = c 1 a x + b y = c gdzie a 1 +b 1 0 oraz a +b 0 nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. I sposób Metoda podstawiania Z jednego równania wyliczamy jedną niewiadomą w zależności od drugiej i otrzymaną zależność wstawiamy do drugiego równania. 11
II sposób Metoda przeciwnych współczynników Mnożymy równania układu przez tak dobrane liczby, aby następnie po dodaniu pomnożonych równań stronami otrzymać równanie z jedną niewiadomą. III sposób [ Metoda ] wyznaczników a1 b W = det 1 = a a b 1 b a b 1 wyznacznik główny układu Jeśli W 0, to x = W x W, y = W y W, gdzie [ ] [ ] c1 b W x = det 1 a1 c, W c b y = det 1 a c Jeśli W = 0 i W x 0, W y 0, to układ nie ma rozwiązania (układ sprzeczny). Jeśli W = 0 i W x = W y = 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. 3.4. Wartość bezwzględna { x dla x 0, Wartością bezwzględną (modułem) liczby x R nazywamy wielkość x = x dla x < 0. Własności: Jeśli a, b R, to a 0 a = a, a a a a b = a b, a b = a b dla b 0, a + b a + b, a b a b a + b. Jeśli a 0, to x a a x a. Jeśli a 0, to x a x a x a. { x a dla x a, x a = (x a) dla x < a. 3.5. Przykładowe zadania 1. Rozwiązać równanie 7x + 6 = 5x. Na lewą stronę przenosimy zmienne, a na prawą stałe. 7x 5x = 6, zatem x = 4 Odpowiedź: x = 4.. Rozwiązać nierówność 3x 1 6x + 5. Na lewą stronę przenosimy zmienne, a na prawą stałe. 3x 6x 5 + 1, czyli 3x 6, zatem x (przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną, zmieniamy znak nierówności na przeciwny). Odpowiedź: x. 1
3. Rozwiązać układ równań I sposób { 3x + y = 6 7x 4y = 1 Z pierwszego równania wyliczamy x i podstawiamy do drugiego 3x = 6 y, stąd x = 3 y 7( 3y) 4y = 1 14 14 3 y 4y = 1 6 3 y = 13, czyli y = 3 Zatem x = 3 3 = 1 II sposób Pierwsze równanie mnożymy przez { 6x + 4y = 1 7x 4y = 1 i dodajemy równania stronami. Zatem x = 1 Teraz drugie równanie mnożymy przez 3 7 { 3x + y = 6 3x + 1 7 y = 3 7 i dodajemy równania stronami. Zatem y + 1 7 y = 6 3 7, stąd y = 3. III sposób [ ] 3 W = det = 3 ( 4) 7 = 1 14 = 6 7 4 [ ] 6 W x = det = 6 ( 4) 1 = 4 = 6 1 4 [ ] 3 6 W y = det = 3 1 6 7 = 3 4 = 39 7 1 x = W x W = 6 6 = 1, y = Wy W Odpowiedź: x = 1, y = 3. 4. Rozwiązać układ nierówności = 39 6 = 3 { 3x 1 < 5 1 < x + y 3 Pierwsza nierówność jest równoważna nierówności x < Druga nierówność jest równoważna nierówności x 1 < y x + 3 13
5. Narysować funkcję y = x. Rysujemy wykres funkcji y = x i symetrycznie odbijamy względem osi OX tę część, która jest pod osią. 0 x y 6. Narysować funkcję y = x +. Rysujemy wykres funkcji y = x+ i symetrycznie odbijamy względem osi OX tę część, która jest pod osią. 7. Narysować funkcję y = x 1. Rysujemy wykres funkcji y = x i dokonujemy translacji o wektor [0, 1]. 8. Narysować zbiór będący rozwiązaniem nierówności x + y < 1. Dla x 0, y 0 mamy x + y < 1, czyli y < x + 1 Dla x 0, y < 0 mamy x y < 1, czyli y > x 1 Dla x < 0, y 0 mamy x + y < 1, czyli y < x + 1 Dla x < 0, y < 0 mamy x y < 1, czyli y > x 1 y 1-1 0 1 x -1 9. Rozwiązać równanie x 3 = x. Rozpatrujemy dwa przypadki: a) x 3 < 0, czyli x < 3 Wówczas (x 3) = x, stąd x = 1. Sprawdzamy, czy obliczony x należy do przedziału (, 3). b) x 3 0, czyli x 3 Wtedy równanie przyjmuje postać x 3 = x, czyli x = 3 [3, + ). Odpowiedź: x = 1. 14
10. Rozwiązać równanie x + x + 1 = 8. { { x dla x < 0, (x + 1) dla x < 1, x = x + 1 = x dla x 0. x + 1 dla x 1. Dzielimy zbiór liczb rzeczywistych na przedziały, których końcami są liczby 1 i 0. Rozpatrujemy trzy przypadki: a) x < 1 Wtedy x = x, x + 1 = (x + 1) Zatem x x 1 = 8, czyli x = 9, należy do przedziału (, 1). b) 1 x < 0 Wtedy x = x, x + 1 = x + 1 Zatem x + (x + 1) = 8, czyli 1 = 8, zatem otrzymaliśmy sprzeczność. c) x 0 Wtedy x = x, x + 1 = x + 1 Zatem x + x + 1 = 8, czyli x = 7, należy do przedziału [0, + ). Odpowiedź: x = 9 x = 7. 11. Rozwiązać nierówność 3x 1 < 5. 5 < 3x 1 < 5 4 < 3x < 6 4 3 < x < Odpowiedź: x ( 4 3, ). 1. Rozwiązać nierówność 5x + 3. 5x + 3 5x + 3 5x 1 5x 5 x 1 5 x 1 Odpowiedź: x (, 1] [ 1 5, + ). 13. Rozwiązać nierówność x 1 5 x. { { (x 1) dla x < 1, (5 x) dla x > 5 x 1 = 5 x =, x 1 dla x 1. 5 x dla x 5. Dzielimy zbiór liczb rzeczywistych na przedziały, których końcami są liczby 1 i 5. Rozpatrujemy trzy przypadki: a) x < 1 Wówczas 5 x = 5 x, x 1 = (x 1). Nierówność przyjmuje wtedy postać x + 1 5 x. Zatem x 4. Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy, że x (, 1). b) 1 x < 5 15
Wówczas 5 x = 5 x, x 1 = x 1. Nierówność przyjmuje wtedy postać x 1 5 x, zatem x. Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy, że x [1, ]. c) x 5 Wówczas 5 x = (5 x), x 1 = x 1. Nierówność przyjmuje wtedy postać x 1 5 + x, zatem x 4. Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy, że x [4, + ). Rozwiązaniem jest suma przedziałów x (, 1) lub x [1, ] lub x [4, + ). Odpowiedź: x (, ] [4, + ). 3.6. Zadania 1. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkty: A = (1, ), B = (4, 6).. Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) = (3 m 1 )x + 4 jest rosnąca? 3. Dla jakich wartości parametru m wykres funkcji liniowej f(x) = (m + 1)x 1 jest nachylony do osi OX pod kątem 45? 4. Dla jakich wartości parametru m funkcja liniowa określona wzorem f(x) = ( m)x 3m jest malejąca? 5. Wyznaczyć wzór funkcji liniowej, której wykres: a) przechodzi przez punkty: A = (1, 1), B = (5, 4), b) przechodzi przez punkt P (1, 1) i jest równoległy do wykresu funkcji f(x) = 3x 10, c) przechodzi przez punkt P (, 1) i jest prostopadły do wykresu funkcji f(x) = x 4. 6. Dana jest funkcja f(x) = x + 10. Rozwiązać równanie f(f(x)) = x + 100. Sporządzić wykres funkcji: 7. f(x) = x + 1 + x 1. 8. f(x) = x 4. 9. f(x) = x 3 + x + 1. 10. f(x) = 1 ( x + 1 + x 1 ). 11. f(x) = 1 x 1 + x. 13. f(x) = x + x + 1. 14. f(x) = x. 15. f(x) = x. 16. f(x) = x x + 1. 17. f(x) = x x. 1. f(x) = x 1 + 3. Rozwiązać równanie: 18. 5 (7 10x) = 9x. 19. 9 [8 (7 x)] =. 0. 8(3x 5) = 5(x 8) = 0 + 4x. 1. 6x [x (30 3x)] = 38.. ( x) (x ) = 6. 4. x + 3 = x + 1. 5. 3x + 1 = x + 1. 6. x 1 + 3 = 6. 7. x + 1 + x 1 = 3. 8. x 3 = 1. 3. (x + 3)(x 3) = x(x + 9) 9(x + 1). 16
9. x 3 = 11. 30. x 7 + x = 1. 31. x + x 3 = 10. 3. x 1 + x + x + 1 + x + = 6. 33. x + x 3 = 3x 1. 34. 3 x 1 = x. 35. x = x. 36. 3 3 x = 3. 37. x + x = x + 1. 38. x + 9 = x 3 x + 4. Rozwiązać nierówność: 39. 6(4 3x) 5(x + 7) 7x 1. 40. x 3 4 1. 41. x 3 x + x > 3. 4. x 1 + x + 3 >. 43. x 4 8. 44. 3x + 5 > 14. 45. x + 1 x + 3 <. 46. x 1 + x < 4. 47. x + 1 4 6. 48. x 3 3 <. 49. 3x + x < 10. 50. 1 3x x + 3 3. Podać liczbę rozwiązań równania (nierówności) w zależności od parametru m: 51. ( m)x = 3 + x. 5. (4x + 1)m = 3m + mx. 53. 3x + m = 3 6mx. 54. 4x + 3 = mx m. 55. 3x m = mx 3. 56. x + 1 + x + 3 < m. Rozwiązać układ równań (algebraiczne i graficzne): 57. 58. 59. { 4x y = 3 x y = 5 { 3x + y = 10 x y = { x x + y = 4 3 x y = 4 61. 6. 63. { 3x + y = 5 x y = 3 { 1 x y = 5 x = 4 + y { 1 3 (x y + 4) = y y + 3 = 4x 65. 66. { x y x+y 4 = 1 x+y 3 x+y = 0 { x 1 + y+1 3 = 3 x+1 3 y 6 = { x + y + 1 = 4 { 3x + y = 3 60. 3x y = 5 64. y + = 1 (1 3x) Podać liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru m: { x + y m = 0 { x 3y = 6 { x(m + 1) y = 67. x + y 1 = 0 70. x my = 1 73. 3x y = m + 1 { x + my = 3 { 3x + my = { (m )x 3y = m 68. mx + 4y = m 71. 3x + y = 3 74. 3x + y = { x my = m { x + 3my = 1 + m { mx (m + )y = 3m 69. mx y = m 7. 3mx + y = (1 m) 75. (m 1)x my = 3(m 1) 17
76. 77. 78. Rozwiązać graficznie układ nierówności: y x < x + 3y 6 < 0 x < 1 x + y 4 x y + 4 > 0 x 0 x + y x y + > 0 y + 0 x + y 79. y x + > 0 x + 0 y + x 8 80. x y + 5 > 0 y 0 { x y < x + y 81. x + y 4 x + y 1 8. 1 + x y 1 x y { x + y < 1 83. x + y 1 { y x + 1 <> 0 84. x y x 3y 6 < 0 85. x y < 1 x = y x + y 0 86. y + 5x 0 5x y 10 0 87. Dla jakich wartości parametru m pierwiastek równania 6x 5m = 3(m + 1) x jest większy od 3? 18