AUTOMATYKA 2009 Tom 13 Zeszyt 3 Joanna Kwiecieñ*, Bogus³aw Filipowicz* Problemy przydzia³u w transporcie lotniczym 1. Wprowadzenie Rosn¹ce natê enie ruchu lotniczego stanowi istotny problem dla osób odpowiedzialnych za sprawne planowanie i zarz¹dzanie w transporcie powietrznym. Poprawa organizacji ruchu lotniczego jest przedmiotem wielu prac, g³ównie ze wzglêdu na korzyœci finansowe. Aby usprawniæ funkcjonowanie transportu lotniczego, zwiêkszyæ przepustowoœæ, podnieœæ poziom komfortu i bezpieczeñstwa pasa erów nale y wykorzystaæ miêdzy innymi metody badañ operacyjnych. Do istotnych problemów na które napotykaj¹ linie lotnicze i porty lotnicze nale ¹ problemy przydzia³u, które w z³o onym procesie organizacji ruchu lotniczego wystêpuj¹ wielokrotnie. Czas przebywania samolotu na lotnisku, czasy dotarcia pasa era do samolotu i przejœcia przez bramki mo na zminimalizowaæ dziêki racjonalnemu przydzieleniu zasobów. Prawid³owe przydzielenie za³ogi samolotu czy pasów startowych pozwala równie zminimalizowaæ koszty. Proces organizacji transportu lotniczego dostarcza wielu problemów, które mo na sprowadziæ do matematycznego modelu problemu przydzia³u. Problemy te posiadaj¹ szereg ograniczeñ, które musi spe³niaæ rozwi¹zanie dopuszczalne. Do ich rozwi¹zania stosowane s¹ zarówno algorytmy dok³adne, jak i metody heurystyczne. W pracy przedstawiono najczêœciej wystêpuj¹ce problemy przydzia³u, takie jak problem przydzia³u bramek na lotnisku, problem przydzia³ pasów startowych do odpowiednich lotów oraz zmodyfikowany przez autorów przydzia³ cz³onków za³ogi do tablicy lotów. 2. Problem przydzia³u bramek na lotnisku Poprzez wykorzystanie przydzia³u bramek lotniczych do zaplanowanych lotów w oparciu o dane o pasa erach oraz miejsca docelowe lotów, mo na usprawniæ dzia³anie linii lotniczych i przep³yw pasa erów. Przydzia³ minimalizuj¹cy ca³kowit¹ odleg³oœæ, jak¹ musz¹ przebyæ pasa erowie w okreœlonym przedziale czasu, poprawia znacznie jakoœæ obs³ugi pasa erów. Na ca³kowit¹ drogê przejœcia pasa era sk³ada siê kilka typów odleg³oœci: * Katedra Automatyki, Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie 1425
1426 Joanna Kwiecieñ, Bogus³aw Filipowicz dystans miêdzy zdaniem baga u a bramk¹ odlotu (w przypadku osób rozpoczynaj¹cych podró ), odleg³oœæ miêdzy bramkami (dla osób przesiadaj¹cych siê w trakcie ca³ej podró- y), odleg³oœæ miêdzy bramk¹ przylotu i miejscem odbioru baga y (dla pasa erów koñcz¹cych podró ). Istnieje kilka modeli przydzia³u bramek na lotnisku [1 3]. Jednym z nich jest kwadratowy problem przydzia³u bramek [5]. Niech ZL okreœla zbiór lotów, ZB zbiór bramek, f ij przep³yw pasa erów miêdzy lotami i oraz j, w k,l odleg³oœæ miêdzy bramkami k oraz l, t i czas i-tego przylotu lub odlotu, T i œredni czas wsiadania lub wysiadania pasa era i-tego lotu, A i czas miêdzy zajêciem bramki a rozpoczêciem wsiadania/wysiadania pasa erów i-tego lotu, B i czas miêdzy zakoñczeniem wsiadania/wysiadania pasa erów i zwolnieniem bramki przypisanej dla i-tego lotu, D odpowiednio du ¹ liczbê dodatni¹, x oraz z zmienne decyzyjne: x ik / x jl 1 lot i/ j jest przydzielony do bramki k/ l 0 w przeciwnym przypadku z ijk 1 loty i oraz j przydzielone do bramki k, lot i wykorzystuje bramkê przed j 0 w przeciwnym przypadku Kwadratowa funkcja celu ma postaæ [5]: = (1) fcelu fijwkl xik xjl i ZL j ZLk ZBl ZB przy ograniczeniach: przydzielenia ka dego lotu do jednej bramki: k ZB x ik = 1 (1.1) zmienna decyzyjna z przyjmuje wartoœæ zerow¹, gdy loty nie s¹ przydzielone do bramki: z ijk x ik ; z ijk x jk (1.2) j ZL i ZL zale noœæ miêdzy liczb¹ przydzielonych lotów i liczb¹ zmiennych decyzyjnych z ustawionych dla tej bramki: xlk 1+ zijk (1.3) l ZL i ZL j ZL wymuszenie u ycia bramki tylko przez jeden lot, przy czym lot i oraz j s¹ przylotami w zmiennej z ijk : ti + Ai + Ti fil + Bi tj + D(1 zijk) l ZL (1.4)
Problemy przydzia³u w transporcie lotniczym 1427 wymuszenie u ycia bramki tylko przez jeden lot, przy czym lot i jest przylotem, natomiast lot j jest odlotem: (1.5) t i + A i + T i il i j j i nj (1 ijk) l ZL f + B t A T n ZL f + D z + B j wymuszenie u ycia bramki tylko przez jeden lot, przy czym lot j jest przylotem, natomiast lot i jest odlotem w zmiennej z ijk : t t + D(1 z ) (1.6) i j ijk wymuszenie u ycia bramki tylko przez jeden lot, przy czym lot i oraz j s¹ odlotami w zmiennej z ijk : ti tj Aj Ti fnj + D(1 zijk ) + B n ZL j (1.7) Poprzez wprowadzenie dodatkowej zmiennej decyzyjnej okreœlaj¹cej równoczeœnie przydzia³ dwóch ró nych lotów do dwóch ró nych bramek oraz wprowadzenie dodatkowych ograniczeñ, kwadratowy problem przydzia³u mo na sprowadziæ do postaci liniowej. Istnieje kilka metod, które z powodzeniem mog¹ byæ stosowane do rozwi¹zania problemu przydzia³u bramek. Do nich nale ¹ m.in. metody programowania liniowego [1], symulowane wy arzanie [2], algorytmy genetyczne [3] czy tabu search [5]. 3. Problem przydzia³u przylotów do pasów l¹dowania Problem polegaj¹cy na przydzieleniu odpowiedniego pasa dla nadlatuj¹cego samolotu, obliczeniu sekwencji l¹duj¹cych samolotów oraz ustaleniu dok³adnych czasów l¹dowania jest bardzo wa ny dla kontrolerów z wie y kontroli lotów. Najwczeœniejszy moment l¹dowania okreœlony jest poprzez odleg³oœæ od pasa i maksymaln¹ prêdkoœæ, z jak¹ mo na wykonaæ manewr l¹dowania. NajpóŸniejszy moment l¹dowania musi uwzglêdniaæ zapasy paliwa w samolocie oraz procedury reguluj¹ce maksymalny czas oczekiwania na l¹dowanie. Wa nym ograniczeniem jest zachowanie bezpiecznych odleg³oœci pomiêdzy samolotami, które zabezpieczaj¹ przed turbulencjami czy wypadkami [4]. W celu przedstawienia matematycznego modelu problemu przydzia³u wprowadÿmy kilka oznaczeñ: LS liczba samolotów oczekuj¹cych na l¹dowanie, LPL liczba pasów l¹dowania, NM i najwczeœniejszy moment l¹dowania samolotu i, T i czas docelowy (moment l¹dowania samolotu i przy najbardziej ekonomicznej prêdkoœci), OM i najpóÿniejszy moment l¹dowania samolotu i, MOCS ij minimalny odstêp czasu miêdzy samolotami i oraz j, przy czym i l¹duje przed j na tym samym pasie, MOCI ij minimalny odstêp czasu miêdzy samolotami i oraz j, gdzie i l¹duje przed j na innym pasie, D odpowiednio du a liczba
1428 Joanna Kwiecieñ, Bogus³aw Filipowicz dodatnia, x i moment l¹dowania samolotu i. Zmienne decyzyjne zwi¹zane z l¹dowaniem samolotów na pasach przyjmuj¹ postaæ: l ir 1 gdysamolot i ( i LS) wybiera pas r ( r ZPL) α ij 1 gdysamolotyi oraz j ( i, j LS) wybieraj¹ tensampas = β ij 1 samolot i przed samolotem j ( i, j LS) Oznaczaj¹c przez o i = x i T i oraz preferuj¹c najwczeœniejszy moment l¹dowania samolotu, funkcja celu przyjmuje postaæ [4]: gdzie: fcelu LP = max O (2) i i= 1 2 oi dla oi 0 Oi 2 + oi dla oi < 0 przy ograniczeniach: okna czasu, w jakim musi wyl¹dowaæ samolot: NMi xi OMi (2.1) ustawienia porz¹dku l¹dowania oraz przypisania pasów do dwóch ró nych samolotów: β ij +β ji = 1, α ij =α ji (2.2) wymuszenia bezpiecznego odstêpu miêdzy l¹duj¹cymi samolotami: x x + MOCS α + MOCI (1 α ) Dβ (2.3) j i ij ij ij ij ij przypisania ka dego samolotu do dok³adnie jednego pasa l¹dowania: LPL l r= 1 ir = 1 (2.4)
Problemy przydzia³u w transporcie lotniczym 1429 uwzglêdnienia relacji przypisania dwóch ró nych samolotów do tego samego pasa l¹dowania oraz przypisania ka dego z tych samolotów do pasa l¹dowania: α l + l 1, i< j (2.5) ij ir jr W pracy [4] przedstawiono równie liniowy model funkcji celu uwzglêdniaj¹cy czas docelowy l¹dowania samolotów. Do rozwi¹zanie problemu przydzia³u pasów l¹dowania mo na stosowaæ ewolucyjne heurystyki populacyjne, takie jak algorytmy genetyczne czy przeszukiwanie rozproszone scatter search [4]. 4. Problem przydzia³u za³ogi Kolejnym problemem, z jakim borykaj¹ siê linie lotnicze, jest racjonalny przydzia³ cz³onków za³ogi samolotu, który pozwala na ustalenie prawid³owego harmonogramu lotów z w³aœciw¹ liczb¹ cz³onków za³ogi, spe³niaj¹c przy tym regulacje i przepisy prawa pracy. Istnieje kilka podejœæ do tego problemu. Jednym z nich jest przydzielenie do sekwencji segmentów (marszrut) lotów osobno ka dego z cz³onków za³ogi. Problem przydzia³u za³ogi mo e byæ wtedy rozwi¹zany w dwóch nastêpuj¹cych etapach [6]: 1) Tworzenie sekwencji segmentów lotów, przy czym ka dy z planowanych segmentów wystêpuje w co najmniej jednej sekwencji. Wszystkie wygenerowane sekwencje lotów musz¹ spe³niaæ szereg ograniczeñ dotycz¹cych miêdzy innymi czasu trwania lotu, czasu po³¹czenia, czasu odpoczynku miêdzy kolejnymi lotami itd. 2) Przypisanie za³ogi do sekwencji lotów wed³ug okreœlonego kryterium (np. minimalizacji kosztów). Przydzia³ ten musi spe³niaæ narzucone ograniczenia w tym sk³ad za³ogi, kwalifikacje cz³onków za³ogi, dzienne czy miesiêczne liczby godzin lotu, liczbê dni wolnych od pracy, urlopy i dni konieczne na doszkolenie za³ogi itd. Czêœæ z ograniczeñ mo e byæ jednak naruszona, np. liczba godzin pracy, kosztem poniesienia dodatkowych wydatków zwi¹zanych z nadgodzinami czy dodatkami do pensji. W pracy [6] zaproponowano 3 grupy personelu za³ogi: pilotów, oficerów i instruktorów. Za³ogê tworz¹ pilot i oficer, natomiast instruktor mo e pe³niæ zarówno funkcjê pilota jak i oficera, przy czym za³ogê tworzy tylko dwóch cz³onków. W niniejszej pracy zmodyfikowano problem przydzia³u cz³onków za³ogi. Przyjêto, e za³oga sk³ada siê z 3 cz³onków: pierwszego pilota, drugiego pilota i nawigatora. W zale noœci od potrzeb dodatkowo instruktorzy mog¹ pe³niæ rolê pierwszego lub drugiego pilota. Niech F reprezentuje zbiór segmentów lotów przypisanych do jednej za³ogi, S zbiór wygenerowanych wczeœniej dopuszczalnych sekwencji lotów, S(f) zbiór sekwencji zawieraj¹cy segment lotu f, S(m) miesiêczne zbiory sekwencji, I zbiór instruktorów, DP zbiór drugich pilotów, PP zbiór pierwszych pilotów, N zbiór nawigatorów, L s listê par sekwencji s, które nie mog¹ byæ wykonane przez tê sam¹ za³ogê (np. ze wzglêdu na wykonywanie segmentu lotu w tym samym czasie), I idp (I ii, I ipp, I dppp, I in, I ppn, I dpn ) zbiór par
1430 Joanna Kwiecieñ, Bogus³aw Filipowicz instruktor-drugi pilot (instruktor-instruktor, instruktor-pierwszy pilot, drugi pilot-pierwszy pilot, instruktor-nawigator, pierwszy pilot-nawigator, drugi pilot-nawigator) nie mog¹cych byæ w jednej za³odze, BT s liczbê godzin lotu w sekwencji segmentów s, CT s liczbê punktów (godzin) za dodatkowe loty w sekwencji, T max, m maksymaln¹ dozwolon¹ dla pracownika miesiêczn¹ liczbê godzin lotu, T g minimaln¹ gwarantowan¹ liczbê punktów przyznawan¹ pracownikowi, NH pp (NH i, NH n, NH dp ) ca³kowit¹ liczbê punktów przydzielon¹ pierwszemu pilotowi (instruktorowi, nawigatorowi, drugiemu pilotowi) przekraczaj¹c¹ T g (nadgodziny). Zmienne decyzyjne wykorzystywane w problemie przydzia³u za³ogi przyjmuj¹ nastêpuj¹ce wartoœci [6]: x dpf 1 gdy drugi pilot dp jest przypisany do segmentu lotu f y ppf 1 gdy pierwszy pilot pp jest przypisany do segmentu lotu f z if 1 gdy instruktor i jest przypisany do segmentu lotu f w nf 1 gdy nawigator n jest przypisany do segmentu lotu f X dps 1 gdy drugi pilot dp jest przypisany do sekwencji lotów s Y pps 1 gdy pierwszy pilot pp jest przypisany do sekwencji lotów s Z is 1 gdy instruktor i jest przypisany do sekwencji lotów s W ns 1 gdy nawigator n jest przypisany do sekwencji lotów s 0 w innym przypadku
Problemy przydzia³u w transporcie lotniczym 1431 Funkcja celu polegaj¹ca na minimalizowaniu nadgodzin przyjmuje postaæ: (3) fcelu = min NHpp + NHdp + NHi + NHn pp PP dp DP i I n N przy ograniczeniach: jeœli cz³onek za³ogi przydzielony jest do segmentu lotu to musi byæ przydzielony do dok³adnie jednej sekwencji lotów zawieraj¹cej dany segment: dpf ppf if nf s S( f) dps pps is ns = (3.1) ( x y z w ) (odpowiednio X Y Z W ) 0, f F liczby cz³onków za³ogi oraz odpowiedniego sk³adu za³ogi: x + y + z + w = 3, dp dpf pp ppf i if n nf x 1, y 1, z 2, w 1, f F dp dpf pp ppf i if n nf (3.2) przydzielenie cz³onków za³ogi obs³uguj¹cych dany lot do tej samej sekwencji lotów: X + Y Z + W 0, dp dps pp pps i is n ns X Y + Z + W 0, dp dps pp pps i is n ns X + Y + Z + W 0, s S dp dps pp pps i is n ns (3.3) maksymalna dozwolona liczba godzin lotu (miesiêczna): ( BT X ) T, ( BT Y ) T, s S( m) s dps max, m s S( m) s pps max, m ( BT Z ) T, ( BT W ) T s S( m) s is max, m s S( m) s ns max, m (3.4) wykluczaj¹ce siê przydzia³y pracownika do sekwencji lotów wykonywanych w tym samym czasie lub zbyt krótkim odstêpie czasu: X + X 1, Y + Y 1, Z + Z 1, W + W 1, ( s, s') L (3.5) dps dps ' pps pps ' is is ' ns ns' s wykluczenie osób, które nie mog¹ byæ w jednej za³odze (I idp, I ii, I ipp, I dppp, I in, I ppn, I dpn ): Xdps + Ypps 1, Zis + Xdps 1, Zis + Ypps 1, Zis + Zi ' s 1, Zis + Wns 1, Ypps + Wns 1, Xdps + Wns 1 (3.6)
1432 Joanna Kwiecieñ, Bogus³aw Filipowicz miesiêcznej liczby dodatkowych punktów (nadgodzin) dla ka dego pracownika: ( CT X ) T + NH, ( CT Y ) T + NH, s S( m) s dps g dp s S( m) s pps g pp ( CT Z ) T + NH, ( CT W ) T + NH s S( m) s is g i s S( m) s ns g n (3.7) narzucenie binarnoœci zmiennych decyzyjnych (x dpf, y ppf, z if, w nf, X ps, Y os, Z is, W ns ) i wartoœci ca³kowitych nieujemnych zmiennym NH pp, NH i, NH dp, NH n : { } { } { } { } xdpf 0,1, yppf 0,1, zif 0,1, wnf 0,1, { } { } { } { } Xdps 0,1, Ypps 0,1, Zis 0,1, Wns 0,1, (3.8) NH pp 0, NHi 0, NHdp 0, NHn 0 5. Rozwi¹zanie wybranego problemu przydzia³u Do rozwi¹zania rozpatrywanych problemów przydzia³u mo na zastosowaæ metody programowania liniowego. W celu rozwi¹zania problemów przydzia³u mo na skorzystaæ z komercyjnego oprogramowania ILOG CPLEX, wykorzystywanego miêdzy innymi przez linie lotnicze Lufthansa [7]. W niniejszej pracy do rozwi¹zania problemu przydzia³u za³ogi zastosowano pakiet GLPK [8], wykorzystuj¹cy po³¹czenie metody podzia³u i ograniczeñ z metod¹ ciêæ Gomory ego dla problemów ca³kowitoliczbowych. W innym przypadku stosowany jest zrewidowany algorytm simpleks z metod¹ prymalno-dualn¹ punktu wewnêtrznego. Ka dy lot opisany zosta³ poprzez podanie portów lotniczych pocz¹tkowych i docelowych oraz czasów odlotu/przylotu. Badania zosta³y wykonane dla problemów o ró nym stopniu z³o onoœci, gdzie liczba pracowników by³a zawarta w przedziale [10, 25], natomiast liczba lotów w przedziale [15, 30]. W tabeli 1 przedstawiono przyk³adowe wyniki eksperymentów. ¹czna liczba pilotów, instruktorów i nawigatorów Tabela 1 Wyniki badañ problemu przydzia³u za³ogi Liczba lotów Przybli ony czas wykonania eksperymentu [s] 10 15 1 15 15 1,8 20 15 3,2 10 20 1,2 10 30 1,5 25 30 5,6
Problemy przydzia³u w transporcie lotniczym 1433 Czas rozwi¹zania problemów przydzia³u za³ogi (CPU 1,86 GHz, RAM 1024 MB) jest zadawalaj¹cy. Liczba ograniczeñ dla problemów z³o onych z 10 pracowników i 15 lotów wynosi³a 185, natomiast dla 25 pracowników i 30 lotów 440. 6. Podsumowanie Przedstawione w pracy modele przydzia³u stanowi¹ istotne problemy wystêpuj¹ce w transporcie lotniczym. Do ich rozwi¹zania stosowane mog¹ byæ metody programowania liniowego b¹dÿ heurystyki populacyjne. Istniej¹ gotowe narzêdzia stosowane do rozwi¹zania tego typu zagadnieñ. Przyk³adowy problem przydzia³u za³ogi zosta³ rozwi¹zany przy wykorzystaniu pakietu GLPK. Dalsze prace ukierunkowane bêd¹ na zastosowaniu algorytmów sztucznej inteligencji do rozwi¹zania problemu przydzia³u za³ogi, problemu uniwersalnego we wszystkich ga³êziach transportu. Literatura [1] Bihr R.A., A conceptual solution to the aircraft gate assignment problem using 0.1 linear programming. Computers and Industrial Engineering, 19, 1990, 280 284. [2] Ding H., Lim A., Rodrigues B., Zhu Y., New heuristics for the over-constrained airport gate assignment problem. Journal of the Operational research Society, 32, 2005, 1867 1880. [3] Gu Y., Chung C., Genetic algorithm approach to aircraft gate reassignment problem. Journal of Transportation Engineering, 125, 1999, 384 389. [4] Pinol H., Beasley J.E., Scatter Search and Bionomic Algorithms for the aircraft landing problem. European Journal of Operational Research, 171, 2006, 439 462. [5] Xu J., Bailey G., The airport gate assignment problem: mathematical model and a tabu search algorithm. Proceedings of the 34th Hawaii International Conference on System Sciences, 3, 2001, 10 19. [6] Zeghal F.M., Minoux M., Modeling and solving a Crew Assignment Problem in air transportation. European Journal of Operational Research, 175, 2006, 187 209. [7] http://www.ilog.com/products/cplex/index.cfm. [8] http://www.gnu.org/software/glpk/glpk.html.