Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego /9 Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego Chodzi o wyznaczenie pochodnych cząstowych funcji błędu E względem parametrów elementów uładu RozwaŜania dla liniowego obwodu rezystancyjnego Często uŝywana funcja błędu to: m E= ΣW ( φ φ), gdzie: φ : - ty sygnał na wyjściu, φ : nominalna wielość na wyjściu = oraz W współczynni wagi Poszuiwane są pochodne cząstowe E / x j, j =,,,n Gradient funcji salarnej jest zdefiniowany jao wetor o sładowych: E E E =,, x x n Zmiany funcji błędu E rzędu pierwszego moŝna wyrazić za pomocą gradientu: E E E= x x = E x n x x n Funcję błędu moŝna zapisać w postaci macierzowej: E= ( UJ U J) WJ( UJ U J) ( I E I E) WE( I E IE) Wsaźnii J, E - odnoszą się do niezaleŝnych źródeł prądowych i napięciowych, na tórych oreślamy sygnał wyjściowy Wybór wielości wyjściowej następuje w macierzy wag Stosując przybliŝenie rzędu pierwszego : ( ) ( ) E = U U W U I I W I J J J J E E E E Równanie wyniające z twierdzenia ellegena (podane wcześniej): I p U p U p I p = I g U g U g I g dla źródeł niezaleŝnych U E = 0 oraz I J = 0, a równanie przybiera postać : I J U J U E I E ) = I g U g U g I g Porównując dwa poprzednie równania moŝna stwierdzić, Ŝe zmiany pierwszego rzędu funcji błędu dadzą się wyrazić za pomocą sładniów wraŝliwościowych : E = I U U I wtedy, gdy odpowiednio dobierzemy pobudzenia uładu dołączonego: g g g g ( ) ( ) IJ = W J UJ U J oraz UE = WE I E IE Procedura postępowania: Analiza uładu N Wyznaczenie elementów I E oraz U J będących wielościami wyjściowymi Wyznaczenie tych prądów i napięć gałęziowych, tóre są zmiennymi niezaleŝnymi Wyznaczenie pobudzenia uładu dołączonego N Analiza uładu dołączonego i wyznaczenie prądów i napięć gałęziowych tych samych gałęzi 3 Obliczenie prawej strony ostatniego równania, np na podstawie tabeli podanej wcześniej 4 Wyznaczenie sładowych gradientu E 04 KMGawrylczy
Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego /9 Przyład Dla obwodu poazanego na rysunu napięcia wyjściowe mają być równe : U = V oraz U = V, a współczynnii wag W = W = Dobierane będą rezystancje o nominalnych wartościach Ω i 4Ω Wyznaczyć E Przyjmijmy, Ŝe w celu wyznaczenia prądu I 4 wprowadzono źródło napięcia o zerowej wydajności, a w celu wyznaczenia napięcia U J źródło prądu o zerowej wydajności Dla I j = - oraz I j = 0 otrzymuje się następujące wynii: I 8 g =,, -,, J =, 3 3 3 3 U 3 3 Pobudzenia uładu dołączonego są równe : 8 I J = =, I J = = 3 3 3 3 Analiza uładu dołączonego dostarcza wartości prądów : 7 5 Ig = -,,, - 8 8 8 8 Korzystając z tabeli otrzymuje się : 7 7 E= - R R, a gradient -, = 8 3 8 3 E 54 7 04 KMGawrylczy
Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego 3/9 Rozwiązanie zadania przy pomocy SPICE a Pierwsze trzy iteracje [ ] [ ] [ ] I = 03333, 06667,,, U = 06667, 667, I = -00554, 0389,, g J g Wartość funcji błędu wynosi: E = 05 (03333 06667 ) = 0777 E = 0085,0593 Poszuujemy minimum na ierunu wyznaczonym przez E Metodą Newtona-Raphsona Ŝądamy, aby E została zminimalizowana: E E R = 0 = E- E E λ λ jest przesunięciem salarnym na ierunu - E realizującym minimalizację funcji błędu na tym ierunu Z wzoru tego moŝna wyznaczyć λ E 0777 λ = = = 4 ( E ) ( 0085) ( 0593) Oznacza to, Ŝe wartości rezystorów zostaną sorygowane na ierunu przeciwnym do gradientu o salar λ : - R 54 0, R = λ 4, R = E = = 7-07 7 Nowe rezystancje: R = 0, = [ Ω] a jej gradient: [ ] R = 4 07 = 93[ Ω] 04 KMGawrylczy
Pierwsza iteracja Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego 4/9 [ 065, 0,734,, ] [ ] [-037, 0075,, ] I =, U = 0558, 5, I = g J g Pobudzenia uładu dołączonego wynoszą: I ( ) I ( ) = 0558 = 0,44; = 5 = 05 ; J J Wartość gradientu błędu i funcji błędu: 0 09 E= [- 0084, 00 ], E = 0 5 ( 0 44 0 5) = 0 09, λ= = 4 6 ; 0084 00 Nowe rezystancje: R = 46 0084 = 333[ Ω] R = 93 46 00 = 64[ Ω] 04 KMGawrylczy
Druga iteracja Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego 5/9 [ ] [ ] [ ] I = 00, 0,779,, U = 0734, 058, I = -079, -0088,, g J g Pobudzenia uładu dołączonego wynoszą: I J = ( 0734 ) = 066; I J = ( 058 ) = 0058 ; Wartość gradientu błędu i funcji błędu: 0 037 E= [- 00394, 004 ], E = 0 5 ( 0 66 0 058) = 0 037, λ= = 8 ; 00394 004 Nowe rezystancje: R = 333 8 00394 = 404[ Ω] R = 64 8 004 = 304[ Ω] 04 KMGawrylczy
Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego 6/9 rzecia iteracja [ ] [ ] [ ] I = 03, 0,768,, U = 0939, 334, I = 00355, 0375,, g J g Pobudzenia uładu dołączonego wynoszą: I J = ( 0939 ) = 006; I J = ( 334 ) = 0334 ; Wartość gradientu błędu i funcji błędu: 0 058 E= [- 000836, 0 84 ], E = 0 5 ( 0 06 0 334) = 0 058, λ= =, 6; 0, 03497 Nowe rezystancje: R = 404,6 000836 = 4,05[ Ω] R = 64,6 084 =,93[ Ω] 04 KMGawrylczy
Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego 7/9 Wyni po 0 iteracjach wyonanych za pomocą Mathcad a E = 0008[W], E = [000, 0038 ] [A ] Wartości rezystancji R oraz R dla olejnych iteracji Wyni doładny Minimalizacja funcji błędu E w olejnych iteracjach Funcja celu dla róŝnych R i przebieg algorytmu 04 KMGawrylczy
Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego 8/9 Wyznaczanie gradientu błędu w dziedzinie częstotliwości Prądy i napięcia mają teraz wartości zespolone i będą obliczane dla wielu częstotliwości ω, ω,, ω m Funcja błędu i gradient zostaną przyjęte jao suma sładowych dla poszcz ω : Sładowe E mają postać : m E= E, E= E m = = E = ( j J ) J( j ) J( j W ω U ω U ω i i i ) i W ( jω) I E( jω) I E( jω Ei i i ) = i * * = ( U U J J) WJ( U U J J) ( I I E E) WE( I I E E) W J i W E są macierzami rzeczywistymi diagonalnymi współczynniów wagi Analogicznie, ja poprzednio otrzymuje się równania : * * (( U U) W U ( I I) W I) E = Re J J J J E E E E ( ) I = W U U ( ) U = W I I E = Re Procedura obliczania sładowych gradientu : * J J J J * E E E E ( I U U I g g g g) Analiza AC uładu N dla częstotliwości ω i dla danych wymuszeń - wyznaczenie U J i I E oraz potrzebnych prądów i napięć gałęziowych Wyznaczenie pobudzenia uładu N dla wybranych współczynniów wag Analiza AC uładu N i wyznaczenie wszystich napięć i prądów gałęziowych 3 Obliczenie prawej strony ostatniego równania na podstawie tabeli Wyznaczenie E Opisana procedura jest powtarzana dla wszystich częstotliwości 04 KMGawrylczy
Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego 9/9 Wyznaczanie gradientu błędu w dziedzinie czasu Funcja błędu w dziedzinie czasu : tf () [ () () ] ( () [ () () E= w t u t u t w t i t i t J J J E E ]) dt i i i = Ei i i i i 0 tf = ( [ u() ()] ()[ () ()] [ () ()] ()[ () () J t uj t wj t uj t uj t ie t ie t we t ie t ie t] ) dt 0 Analogiczne ja poprzednio równania w dziedzinie czasu są następujące : tf E= ( [ u() ()] () () [ () ()] () () J t uj t wj t uj t ie t ie t we t ie t) dt 0 t f f = [ i () τ u() t u () τ i() t] dt= i () τ u() t u () τ i() t dt J J E E τ=t g g g g f t τ=t t 0 0 ( [ ]) i () τ = - w() t u() t u() t J J J J ( [ ]) u () τ = w() t i() t i() t E E E E t τ=tf t τ=tf t f tf E = i () () () () g τ ug t ug τ ig t dt τ=t t Procedura obliczania gradientu błędu w dziedzinie czasu : 0 Analiza czasowa uładu N w przedziale czasu 0 t t f Wyznaczenie wielości wyjściowych, czyli i E (t) oraz u J (t) oraz potrzebnych napięć i prądów gałęziowych Wyznaczenie pochodnych napięć lub prądów dla gałęzi pojemnościowych lub inducyjn Analiza czasowa uładu w przedziale czasu 0 τ t f przy zerowych warunach początowych dla elementów reatancyjnych i pobudzeń oreślonych pow wzorami Współczynnii wag naleŝy przyjąć równe zeru dla i E (t) oraz u J (t) nie będących zmiennymi wyjściowymi Wyznaczenie u (τ) oraz i (τ) dla gałęzi rezystancyjnych, u (τ) dla pojemnościowych oraz i (τ) dla inducyjnych 3 Obliczenie prawej strony ostatniego równania według tabeli Wyznaczenie E f 04 KMGawrylczy