Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie i sposoby opisu funkcji, odczytywanie z wykresu oraz określanie na podstawie równania dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych, przedziałów, w których funkcja jest dodatnia, ujemna, rosnąca, malejąca, stała. Odczytywanie z wykresu rozwiązań równań i nierówności. 1. Podaj dziedzinę i miejsca zerowe funkcji opisanych wzorem: a) f(x) = x 2 x 1 25 b) f ( x) 6 x c) f(x) = 2x 3 2. Dla funkcji przedstawionych na poniższych wykresach podaj: 1. Dziedzinę 2. Zbiór wartości 3. Miejsca zerowe 4. Przedziały, w których funkcja jest: a) rosnąca b) malejąca c) stała d) dodatnia e) ujemna f) przyjmuje wartości większe od -2. 3. Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem y = x 2 + 1 dla x {-5, -1, 0, 4} 4. Mając dany wykres funkcji omów własności: A. dziedzinę, B. zbiór wartości funkcji, C. miejsca zerowe funkcji, D. przedziały argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne, E. przedziały w których funkcja rośnie, F. wartość największą funkcji, G. wartość funkcji dla argumentu x = 5 H. argumenty dla których wartości funkcji wynosi y = 4. 5. Oblicz miejsce zerowe funkcji danej wzorem f(x) = 1 2 x + 3. 7. Wyznacz zbiór wartości funkcji f, jeśli f(x) = x 4, a D f = { 4; 2; 0; 1 1 ; 3}. Zapisz funkcję za pomocą 3 tabeli oraz narysuj jej wykres. II. Funkcja liniowa Zadania na egzamin poprawkowy dla klas II - przygotowali nauczyciele matematyki ZSEK w Zielonej Górze Strona 1 z 5
Sporządzanie wykresów funkcji liniowej, interpretacja współczynników liczbowych we wzorze funkcji liniowej, interpretacja geometryczna układu równań liniowych, Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej przechodzącej przez dane dwa punkty, lub gdy dany jest punkt i kierunek. Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji liniowej. 1. Oblicz współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych. Sporządź wykresy funkcji: a) y = 2x 4, b) y = 1 x + 3. Określ jej monotoniczność. 2 2. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostą równoległą do wykresu funkcji f i przechodzi przez punkt A, gdy f(x) = 3x + 2 i A = (2, 2) 3. Napisz wzór funkcji liniowej f(x) = ax + b, której wykresem jest prosta przechodząca przez punkty A i B, gdy a) A = ( 4, 0), B = (0, 4) b) A = ( 1, 1), B = (1, 3) 4. Miejscem zerowym funkcji f(x) = 3x + b jest 2. Oblicz b. III. Geometria analityczna stosować wzór na długość i środek odcinka w zadaniach, zna pojęcia środkowej i symetralnej 1. Mając dane współrzędne punktów A = (0,0), B = (2, 1), C = (4,3): a) Oblicz długości odcinków AB, BC, AC, b) Czy trójkąt ABC jest równoboczny lub prostokątny? (uzasadnij obliczeniami dlaczego), c) Oblicz obwód i pole trójkąta ABC, d) Napisz równanie symetralnej boku BC, e) Napisz równanie prostej zawierającej środkową poprowadzoną z wierzchołka A, 2. Oblicz obwód czworokąta o wierzchołkach A = ( 2, 1), B = (1, 5), C = (4, 1), D = (1, 3). 3. Oblicz obwód i pole prostokąta o wierzchołkach A = ( 1; 0), B = (1; 4), C = (7; 1), D = (5; 3) obliczając wcześniej długości jego boków. 4. Dane są dwa przeciwległe wierzchołki kwadratu A = (1, 3), C = ( 5, 1). Wyznacz obwód i pole tego kwadratu. 5. Punkty A = (2,1), B = (6,3) i C = (7,6) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Oblicz współrzędne wierzchołka D = (x, y). IV. Funkcja kwadratowa narysować wykres funkcji kwadratowej i omówić jej podstawowe własności, zna postać ogólną, kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej, potrafi rozwiązać równanie i nierówność kwadratową 1. Mając daną funkcję kwadratową określoną wzorem y = x 2 6x + 5: a) Oblicz jej miejsca zerowe (jeśli istnieją). b) Wyznacz współrzędne jej wierzchołka. c) Określ postać kanoniczną funkcji. d) Zapisz przedział, w którym funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Zadania na egzamin poprawkowy dla klas II - przygotowali nauczyciele matematyki ZSEK w Zielonej Górze Strona 2 z 5
e) Wyznacz współrzędne punktu przecięcia z osia OY. f) Sporządź odpowiedni rysunek. g) Oblicz wartość funkcji dla x = 1 2. 2. Mając daną funkcję kwadratową określoną wzorem f(x) = 2x(x 4): a) Wyznacz współrzędne punktów przecięcia z osią OX. b) Naszkicuj wykres funkcji g określonej wzorem g(x) = f(x) 6. c) Określ przedział, w którym funkcja rośnie. d) Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale < 1,5 >. 3. Mając daną funkcję kwadratową określoną wzorem g(x) = 3(x 2) 2 6: a) Określ współrzędne wierzchołka W. b) Wyznacz równanie osi symetrii paraboli. c) Określ zbiór wartości funkcji. d) Napisz wzór funkcji f w postaci ogólnej. e) Podaj przykład równania prostej y = a, która nie ma punktów wspólnych z parabolą. 4. Rozwiąż równanie a) 3(x 4) (x + 1 3 ) = 0 b) 2x 2 + 6 = 0 c) y 2 66 = 15 d) x 2 + 10x + 25 = 0 e) x 2 + 4x 5 = 0 f) x(5x 1) = x(x 9) g) (x 1) 2 = 4 h) (2x 3)(2x + 3) = (x + 5) 2 9 5. Rozwiąż nierówność a) x 2 4 0. b) 2x 2 3x 2 > 0 c) x 2 81 d) x 2 + 6x 6 3x 3 e) (x 3) 2 > (x 3)(2x + 9) POZIOM ROZSZERZONY I. Wyrażenia algebraiczne i wzory skróconego mnożenia zastosować w zadaniach wzory na sześcian sumy i różnicy dwóch wyrażeń oraz sumę i różnicę sześcianów dwóch wyrażeń 1. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci a) (x 1) 3 (x + 4) 3, b) (x 2 x + 1)(x + 1) (2x 1) 3 + (3 2x)(3 + 2x) 10 2. Usuń niewymierność z mianownika 3. 2 1 3. Oblicz wartość wyrażenia x 2 + 1, gdy x 1 = 10 x 2 x II. Działania na przedziałach Zadania na egzamin poprawkowy dla klas II - przygotowali nauczyciele matematyki Strona 3 z 5
Wyznaczyć sumę, różnicę i iloczyn zbiorów, przedziałów 1. Mając dane zbiory wyznacz A B, A B, A B i B A a) A = {1,2,3,4,5}, B = { 2, 1,0,1,2} b) A zbiór liczb naturalnych, B zbiór liczb całkowitych c) A = ( 2,7, B = 0,10 d) A = 3,1, B = 1,6 III. Równania i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą Rozwiązać równania liniowe z parametrem, rozwiązać równanie z wartością bezwzględną, rozwiązać układy nierówności, narysować funkcje przedziałami liniową 1. Liczbę zapisz w prostszej postaci (bez użycia znaku wartości bezwzględnej). Następnie oceń, czy jest to liczba wymierna, czy niewymierna. 2. Określ liczbę rozwiązań równania mx + m = 2 w zależności od wartości parametru m. 3. Rozwiąż równanie a) (x 2) 2 = 3. b) x 3 > 1 c) x + 1 = 3 d) x + 4 5 e) f) x 3 1 x 5 4. Narysuj w układzie współrzędnych zbiór punktów, które są rozwiązaniem układu nierówności 5. { y 1 x 3 2 x 6 x + 1 dla x 2 6. Narysuj funkcję f(x) = { 3 dla x < 2 IV. Twierdzenie Talesa zastosować twierdzenie Talesa do rozwiazywania zadań V. Równania i nierówności stopnia drugiego Zastosować wzory Viete a w zadaniach, rozwiązać równania kwadratowe z parametrem, Zadania na egzamin poprawkowy dla klas II - przygotowali nauczyciele matematyki Strona 4 z 5
1. Dla jakiej wartości parametru m równanie mx 2 + 4mx m + 1 = 0 ma jedno rozwiązanie? 2. Oblicz wartości parametru m, dla których równanie: a) x 2 8x m = 0 ma dwa pierwiastki dodatnie. b) 2x 2 + x + 4 6m = 0 ma dwa pierwiastki ujemne. 3. Zbadaj, dla jakich wartości parametru p równanie 4px 2 (2p 1)x + 0,25p = 0 ma a) dwa rozwiązania b) jedno rozwiązanie c) nie ma rozwiązań Zadania na egzamin poprawkowy dla klas II - przygotowali nauczyciele matematyki Strona 5 z 5