Analiza Szeregów Czasowych Egzamin 12-06-2018 Zadanie 1: Zadanie 2: Zadanie 3: Zadanie 4: / 12 pkt. / 12 pkt. / 12 pkt. / 14 pkt. Projekt zaliczeniowy: Razem: / 100 pkt. / 50 pkt. Regulamin egzaminu 1. Przed przystąpieniem do pisania egzaminu należy podpisać wszystkie kartki pracy (na dole strony). Złożenie podpisu pod regulaminem oznacza jego akceptację. Do egzaminu mogą przystąpić osoby, które akceptują regulamin. 2. Każda zauważona próba ściągania kończy się odebraniem pracy i oceną niedostateczną. 3. Podczas egzaminu można korzystać z jednej własnoręcznie przygotowanej kartki formatu A4. 4. Posiadanie przy sobie innych materiałów niż wymienione w pkt.3 Regulaminu Egzaminu zostanie uznane za ściąganie. 5. Podczas egzaminu obowiązuje bezwzględny zakaz korzystania z telefonów komórkowych. 6. Warunkiem uzyskania oceny pozytywnej jest osiągnięcie min.25 pkt. z egzaminu oraz min. 25 pkt. z pracy zaliczeniowej. Regulamin zrozumiałam(em) Warszawa, 12-06-2018, podpis 1
Brudnopis 2
Zadanie 1 1. Badacz postanowił modelować tempo wzrostu PKB, zdefiniowane jako różnica logarytmów. Wykres 1. Logarytmiczna stopa wzrostu PKB Określić i uzasadnić czy w powyższym szeregu występuje trend i sezonowość (2 pkt.). Odpowiedź pkt.1: 3
2. Badacz przeprowadził następujące testy: dfuller wzrost, reg Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = 259 ---------- Interpolated Dickey-Fuller --------- Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) -10.810-3.459-2.880-2.570 MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.0000 D.wzrost Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] wzrost L1. -.6235504.0576814-10.81 0.000 -.7371389 -.5099619 _cons.0049047.0007292 6.73 0.000.0034687.0063407 reg d.wzrost l.wzrost Source SS df MS Number of obs = 259 -------------+------------------------------ F( 1, 257) = 116.86 Model.009932546 1.009932546 Prob > F = 0.0000 Residual.021843532 257.000084994 R-squared = 0.3126 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.3099 Total.031776078 258.000123163 Root MSE =.00922 D.wzrost Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] wzrost L1. -.6235504.0576814-10.81 0.000 -.7371389 -.5099619 _cons.0049047.0007292 6.73 0.000.0034687.0063407 bgodfrey, lags(1/4) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation ---- lags(p) chi2 df Prob > chi2 ---- 1 2.137 1 0.1438 2 5.311 2 0.0703 3 5.573 3 0.1343 4 5.821 4 0.2129 --------------------------------------------------------------------------- 4
kpss wzrost, notrend KPSS test for wzrost Maxlag = 5 chosen by Schwert criterion Autocovariances weighted by Bartlett kernel Critical values for H0: wzrost is level stationary 10%: 0.347 5% : 0.463 2.5%: 0.574 1% : 0.739 Lag order Test statistic 0.633 1.46 2.385 3.355 4.345 5.347 W jakim celu badacz przeprowadził powyższe testy? Zinterpretować uzyskane wyniki. Odpowiedź należy dokładnie uzasadnić powołując się na odpowiednie nazwy testów i statystyki. Jako poziom istotności przyjąć 1 (3 pkt.). Odpowiedź pkt.2 : 5
3. Następnie badacz uzyskał oszacowanie testu Ljunga-Boxa i funkcji ACF oraz funkcji PACF. corrgram wzrost, lag(24) -1 0 1-1 0 1 LAG AC PAC Q Prob>Q [Autocorrelation] [Partial Autocor] - 1 0.3764 0.3764 37.257 0.0000 --- --- 2 0.2152 0.0866 49.484 0.0000-3 0.0076-0.1176 49.499 0.0000 4-0.0791-0.0793 51.162 0.0000 5-0.1395-0.0792 56.364 0.0000-6 -0.0618 0.0464 57.388 0.0000 7-0.0439-0.0045 57.907 0.0000 8-0.0102-0.0047 57.935 0.0000 9 0.0854 0.0966 59.914 0.0000 10 0.0875 0.0195 62 0.0000 11 0.0377-0.0363 62.389 0.0000 12-0.1178-0.1770 66.203 0.0000-13 -0.1102-0.0205 69.55 0.0000 14-0.0793 0.0361 71.292 0.0000 15-0.0822-0.0515 73.171 0.0000 16 0.0440 0.1053 73.712 0.0000 17 0.0554-0.0019 74.573 0.0000 18 0.0884 0.0395 76.773 0.0000 19 0.0578-0.0081 77.717 0.0000 20 0.0620 0.0040 78.807 0.0000 21-0.0826-0.0974 80.752 0.0000 22-0.0619 0.0204 81.848 0.0000 23-0.0923-0.0298 84.297 0.0000 24-0.0300 0.0218 84.558 0.0000 Wykres 2. Funkcje ACF i PACF dla logarytmicznej stopy wzrostu PKB 6
W jakim celu badacz uzyskał oszacowanie testu Ljunga-Boxa i funkcji ACF oraz funkcji PACF? Odpowiedź należy dokładnie uzasadnić (2 pkt.). Odpowiedź pkt.3 : 7
4. Badacz oszacował następujące modele: Tabela 1. Oszacowanie modelu: model0 arima wzrost, arima(1,0, 2) Sample: 1947:2-2012:1 Number of obs = 260 Wald chi2(3) = 59.20 Log likelihood = 852.9431 Prob > chi2 = 0.0000 OPG wzrost Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] wzrost _cons.007777.0009873 7.88 0.000.0058419.0097121 ARMA ar L1..2557184.2377975 1.08 0.282 -.2103561.721793 ma L1..0899396.2377276 0.38 0.705 -.375998.5558771 L2..1702909.0818278 2.08 0.037.0099113.3306704 /sigma.0090964.0002922 31.13 0.000.0085238.0096691 est store model0 Tabela 2. Oszacowanie modelu: model1 arima wzrost, arima(1,0, 1) Sample: 1947:2-2012:1 Number of obs = 260 Wald chi2(2) = 65.99 Log likelihood = 851.1159 Prob > chi2 = 0.0000 OPG wzrost Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] wzrost _cons.0077788.0009976 7.80 0.000.0058236.0097341 ARMA ar L1..4904126.1362777 3.60 0.000.2233133.7575119 ma L1. -.1309908.1498699-0.87 0.382 -.4247305.1627489 /sigma.0091613.0002951 31.05 0.000.0085829.0097397 est store model1 8
Tabela 3. Wynik testu LR lrtest model0 model1, stats Likelihood-ratio test LR chi2(1) = 3.65 (Assumption: model1 nested in model0) Prob > chi2 = 0.0559 Akaike's information criterion and Bayesian information criterion ----------------------------------------------------------------------------- Model Obs ll(null) ll(model) df AIC BIC -------------+--------------------------------------------------------------- model1 260. 851.1159 4-1694.232-1679.989 model0 260. 852.9431 5-1695.886-1678.083 ----------------------------------------------------------------------------- Tabela 4. Oszacowanie modelu: model2 arima wzrost, arima(1,0, 0) ARIMA regression Sample: 1947:2-2012:1 Number of obs = 260 Wald chi2(1) = 58.51 Log likelihood = 850.5428 Prob > chi2 = 0.0000 OPG wzrost Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] wzrost _cons.0077877.0009309 8.37 0.000.0059632.0096121 ARMA ar L1..3762591.0491894 7.65 0.000.2798497.4726685 /sigma.0091822.0002939 31.24 0.000.0086062.0097583 est store model2 Tabela 5. Wynik testu LR lrtest model0 model2, stats Likelihood-ratio test LR chi2(2) = 4.80 (Assumption: model2 nested in model0) Prob > chi2 = 0.0907 Akaike's information criterion and Bayesian information criterion ----------------------------------------------------------------------------- Model Obs ll(null) ll(model) df AIC BIC -------------+--------------------------------------------------------------- model2 260. 850.5428 3-1695.086-1684.403 model0 260. 852.9431 5-1695.886-1678.083 ----------------------------------------------------------------------------- 9
Tabela 6. Oszacowanie modelu: model3 arima wzrost, arima(0,0, 0) ARIMA regression Sample: 1947:2-2012:1 Number of obs = 260 Wald chi2(.) =. Log likelihood = 830.6834 Prob > chi2 =. OPG wzrost Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] wzrost _cons.0078134.0006164 12.68 0.000.0066054.0090215 /sigma.0099133.0003347 29.62 0.000.0092573.0105694 est store model3 Tabela 7. Wynik testu LR lrtest model0 model3, stats Likelihood-ratio test LR chi2(3) = 44.52 (Assumption: model3 nested in model0) Prob > chi2 = 0.0000 Akaike's information criterion and Bayesian information criterion ----------------------------------------------------------------------------- Model Obs ll(null) ll(model) df AIC BIC -------------+--------------------------------------------------------------- model3 260. 830.6834 2-1657.367-1650.245 model0 260. 852.9431 5-1695.886-1678.083 ----------------------------------------------------------------------------- Czy słusznie badacz wybrał model ARIMA (1, 0, 0) na podstawie kryterium BIC i testu LR? Odpowiedź należy dokładnie uzasadnić (3 pkt.). Odpowiedź pkt.4 : 10
5. Następnie badacz uzyskał oszacowanie funkcji ACF, funkcji PACF i testu Ljunga-Boxa dla reszt. Wykres 3. Funkcje ACF i PACF dla reszt 11
-1 0 1-1 0 1 LAG AC PAC Q Prob>Q [Autocorrelation] [Partial Autocor] - 1-0.0320-0.0321.27 0.6033 2 0.1178 0.1169 3.937 0.1397 3-0.0494-0.0429 4.5848 0.2049 4-0.0472-0.0653 5.1787 0.2694 5-0.1236-0.1188 9.2595 0.0992 6-0.0017 0.0027 9.2603 0.1595 7-0.0267-0.0011 9.4526 0.2218 8-0.0318-0.0444 9.7264 0.2848 9 0.0797 0.0708 11.449 0.2462 10 0.0623 0.0638 12.506 0.2526 11 0.0635 0.0466 13.608 0.2554 12-0.1249-0.1476 17.896 0.1189-13 -0.0596-0.0891 18.875 0.1270 14-0.0201 0.0253 18.987 0.1654 15-0.0932-0.0812 21.405 0.1244 16 0.0703 0.0715 22.785 0.1196 17 0.0161 0.0108 22.857 0.1540 18 0.0681 0.0509 24.163 0.1498 19 0.0110 0.0068 24.197 0.1887 20 0.0932 0.0457 26.662 0.1451 Czy na podstawie przeprowadzonej diagnostyki można stwierdzić, że specyfikacja rzędów modelu ARIMA jest prawidłowa (2 pkt.)? Odpowiedź pkt.5 : 12
Zadanie 2 1. Dany jest proces: y y ( ) 0, ar( ) I. Zakładając, iż 1 lim y 0 udowodnić, że y jest procesem kowariancyjnie stacjonarnym (6 pkt.). Odpowiedź pkt. 1: 13
2. Dany jest proces: y y ( ) 0, ar( ) I. Udowodnić, że y jest procesem niestacjonarnym (6 pkt.). Odpowiedź pkt. 2: 14
Zadanie 3 1. Zdecydować na podstawie poniższych wykresów, które z przedstawionych szeregów czasowych są stacjonarne (według średniej i według wariancji), a które nie. Odpowiedź należy uzasadnić (4 pkt.). Szereg 1. Szereg 2. Szereg 3. Szereg 4. Odpowiedź pkt.1: Szereg 1: Szereg 2: Szereg 3: Szereg 4: 15
2. Na podstawie poniższych korelogramów (Wykres 1, Wykres 2, Wykres 3 i Wykres 4) dla 1000 obserwacji ocenić rząd sezonowego procesu AR/MA/ARMA dla modelu dla zmiennej i modelu dla zmiennej Z oraz rząd niesezonowego procesu AR/MA/ARMA dla modelu dla zmiennej W i modelu dla zmiennej. Odpowiedź uzasadnić (4 pkt.). Wykres 1. ACF i PACF dla zmiennej Odpowiedź Wykres 1: 16
Wykres 2. ACF i PACF dla zmiennej Z Odpowiedź Wykres 2: 17
Wykres 3. ACF i PACF dla zmiennej W Odpowiedź Wykres 3: 18
Wykres 4. ACF i PACF dla zmiennej Odpowiedź Wykres 4: 19
3. Na wykresie poniżej przedstawiono zmienną Total sales - miesięczne zużycie energii elektrycznej w Stanach Zjednoczonych, mierzone w milionach MWh, od stycznia 1990 do lipca 2005 roku. a. Określić i uzasadnić czy w powyższym szeregu występuje trend i sezonowość (2 pkt.). Odpowiedź pkt. 3a): 20
b. Czy wygładzenie wykładnicze jest odpowiednim narzędziem dla prognozowania tego szeregu? Odpowiedź uzasadnić (1 pkt.). Odpowiedź 3b): c. Czy i w jaki sposób średnia ruchoma pozwoli uzyskać składnik sezonowy dla tego szeregu? Odpowiedź uzasadnić (1 pkt.). Odpowiedź pkt. 3c): 21
22
Zadanie 4 Dysponujemy danymi rocznymi za okres 1960 2000 dla Stanów Zjednoczonych. Opis zmiennych: g poziom konsumpcji benzyny wyrażony jako wydatki na benzynę (w milionach dolarów); pg cena benzyny w dolarach za 1 galon. Przeprowadzono następujące regresje: Następnie oszacowano regresje (1) (2) (3) (4) (5) i uzyskano z niej reszty oraz. W kolejnym kroku przeprowadzono regresje. Uzyskano następujące wyniki: reg d.g l.g, noconst Source SS df MS Number of obs = 35 -------------+---------------------------------- F(1, 34) = 8.36 Model 639.407412 1 639.407412 Prob > F = 0.0066 Residual 2600.92123 34 76.4976833 R-squared = 0.1973 -------------+---------------------------------- Adj R-squared = 0.1737 Total 3240.32864 35 92.5808184 Root MSE = 8.7463 D.g Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] g L1..0186355.0064458 2.89 0.007.0055361.031735 bgodfrey, lag(1) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation --------------------------------------------------------------------------- lags(p) chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 1 3.291 1 0.0697 --------------------------------------------------------------------------- 23
reg d2.g l.d.g, noconst Source SS df MS Number of obs = 34 -------------+---------------------------------- F(1, 33) = 12.16 Model 952.531113 1 952.531113 Prob > F = 0.0014 Residual 2584.90686 33 78.3305109 R-squared = 0.2693 -------------+---------------------------------- Adj R-squared = 0.2471 Total 3537.43797 34 104.042293 Root MSE = 8.8505 D2.g Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] g LD. -.5470798.1568832-3.49 0.001 -.8662612 -.2278984 bgodfrey, lag(1) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation --------------------------------------------------------------------------- lags(p) chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 1 0.012 1 0.9112 --------------------------------------------------------------------------- reg d.pg l.pg, noconst Source SS df MS Number of obs = 35 -------------+---------------------------------- F(1, 34) = 1.37 Model.117433893 1.117433893 Prob > F = 0.2493 Residual 2.9063683 34.085481421 R-squared = 0.0388 -------------+---------------------------------- Adj R-squared = 0.0106 Total 3.0238022 35.086394348 Root MSE =.29237 D.pg Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] pg L1..0224173.0191259 1.17 0.249 -.0164512.0612858 bgodfrey, lag(1) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation --------------------------------------------------------------------------- lags(p) chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 1 5.152 1 0.0232 --------------------------------------------------------------------------- 24
reg d.pg l.pg l.d.pg, noconst Source SS df MS Number of obs = 34 -------------+---------------------------------- F(2, 32) = 3.52 Model.545882768 2.272941384 Prob > F = 0.0414 Residual 2.47779843 32.077431201 R-squared = 0.1805 -------------+---------------------------------- Adj R-squared = 0.1293 Total 3.0236812 34.0889318 Root MSE =.27826 D.pg Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] pg L1..0088978.0191387 0.46 0.645 -.0300865.047882 LD..394845.1680299 2.35 0.025.0525793.7371107 bgodfrey, lag(1) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation --------------------------------------------------------------------------- lags(p) chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 1 0.493 1 0.4824 --------------------------------------------------------------------------- reg d2.pg l.d.pg, noconst Source SS df MS Number of obs = 34 -------------+---------------------------------- F(1, 33) = 13.51 Model 1.02120968 1 1.02120968 Prob > F = 0.0008 Residual 2.49453453 33.075591955 R-squared = 0.2905 -------------+---------------------------------- Adj R-squared = 0.2690 Total 3.51574421 34.103404241 Root MSE =.27494 D2.pg Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] pg LD. -.5814525.1581957-3.68 0.001 -.9033039 -.259601 bgodfrey, lag(1) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation --------------------------------------------------------------------------- lags(p) chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 1 0.309 1 0.5785 --------------------------------------------------------------------------- 25
reg g pg Source SS df MS Number of obs = 36 -------------+------------------------------ F( 1, 34) = 49.41 Model 53066.8559 1 53066.8559 Prob > F = 0.0000 Residual 36516.761 34 1074.02238 R-squared = 0.5924 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.5804 Total 89583.6168 35 2559.53191 Root MSE = 32.772 g Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] pg 31.10752 4.42548 7.03 0.000 22.11386 40.10118 _cons 154.0304 11.61636 13.26 0.000 130.4231 177.6377 predict e, r reg d.e l.e, noconst Source SS df MS Number of obs = 35 -------------+------------------------------ F( 1, 34) = 3.72 Model 919.676979 1 919.676979 Prob > F = 0.0623 Residual 8414.46973 34 247.484404 R-squared = 0.0985 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0720 Total 9334.14671 35 266.689906 Root MSE = 15.732 D.e Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] e L1. -.1601764.0830912-1.93 0.062 -.329038.0086851 bgodfrey, lag(1) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation --------------------------------------------------------------------------- lags(p) chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 1 7.075 1 0.0078 --------------------------------------------------------------------------- H0: no serial correlation 26
reg d.e l.e l.d.e, noconst Source SS df MS Number of obs = 34 -------------+------------------------------ F( 2, 32) = 6.86 Model 2798.67616 2 1399.33808 Prob > F = 0.0033 Residual 6531.69844 32 204.115576 R-squared = 0.3000 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.2562 Total 9330.3746 34 274.422782 Root MSE = 14.287 D.e Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] e L1. -.2179522.0401774-5.42 0.000 -.3812681 -.0546362 LD..4531381.1510886 3.00 0.005.1453808.7608955 bgodfrey, lag(1) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation --------------------------------------------------------------------------- lags(p) chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 1 0.000 1 0.9825 ---------------------------------------------------------------------------- H0: no serial correlation Hipotezy testować na poziomie istotności 5. Wartości krytyczne dla testu integracji dla 40 obserwacji i poziomu istotności 5%: - bez wyrazu wolnego: -1,97; - z wyrazem wolnym: -2,96. Wartości krytyczne dla testu kointegracji dla 40 obserwacji i poziomu istotności 5%: - bez wyrazu wolnego w wektorze kointegrującym: -2,83; - z wyrazem wolnym w wektorze kointegrującym: -3,40. 27
Odpowiedzieć na następujące pytania: 1. Wyznaczyć rząd integracji dla zmiennych,. Czy w tym przypadku możliwa jest analiza kointegracji (5 pkt.)? Odpowiedź pkt.1: 2. Przeprowadzić test na kointegrację miedzy zmiennymi g i pg (4 pkt.). Odpowiedź pkt.2: 28
3. Na podstawie wyników uzyskanych w poprzednich podpunktach, jaki model mający rozwiązanie długookresowe można zastosować w tym przypadku? Zapisać postać tego modelu i zinterpretować jego elementy (3 pkt.). Odpowiedź pkt.3: 4. Zinterpretować wyniki regresji g na pg (2 pkt.). Odpowiedź pkt.4: 29
30