Dynamika relatywistyczna

Dynamika relatywistyczna Fizyka I (Mechanika) Wykład VIII: relatywistyczna definicja pędu ruch pod wpływem stałej siły relatywistyczna definicja energii, zasady zachowania transformacja Lorentza dla energii i pędu masa niezmiennicza i układ środka masy zderzenia elastyczne foton i efekt Dopplera

Wprowadzenie Zagadnienia ruchu ciał w mechanice nierelatywistycznej (Newtona/Galileusza) rozwiazywaliśmy w oparciu o Równania ruchu Ruch ciała jest zadany przez działajace na nie siły zewnętrzne + warunki poczatkowe lub d p(t) dt Zasady zachowania = F( r, v, t) + F R r(t 0 ) = r 0 v(t 0 ) = v 0 Dla układu izolowanego i ruchu pod wpływem sił zachowawczych P = i m i v i = const p i = m i v i E = E p + E k = E p + m i vi 2 = const Ek,i = m ivi 2 i 2 2 Czy podejścia te można też wykorzystać w przypadku relatywistycznym? A.F.Żarnecki Wykład VIII

Pęd czastki Granice podejścia klasycznego Elektron w kondensatorze (najprostszy akcelerator czastek): q<0 Potrafimy wytwarzać pola elektryczne E 0 MV/m = 0 7 V/m Dla elektronu: m e = 9. 0 3 kg = 0.5 MeV/c 2 q e e =.6 0 9 C a 20 m c 2 2 0 8 m/s 2 Klasycznie: U + m a = F = q E W podejściu klasycznym elektron powinien osiagn ać prędkość światła już po przebyciu x 2.5 cm!!! konieczność modyfikacji praw ruchu A.F.Żarnecki Wykład VIII 2

Pęd czastki Uogólnienie praw ruchu Załóżmy, ze chcemy zachować klasyczna definicję siły oparta na II prawie Newtona F = d p dt Oznacza to jednak, że musimy zmienić definicję pędu, bo Newtonowska definicja p = m v ogranicza wartość pędu od góry (v < c) a przecież wciaż moga działać siły... Ale może definicja pędu jest OK, a definicję siły trzeba zmienić? Doświadczenie myślowe Zderzenie dwóch kul o jednakowej masie m: v y v x V V Pędy obu kul sa równe co do wartości ale przeciwnie skierowane Y X A.F.Żarnecki Wykład VIII 3

Pęd czastki Doświadczenie myślowe Przejdźmy do układu w którym jedna z kul porusza się tylko wzdłuż osi Y: V V,y V 2,x V 2 V 2,y Pędy wzdłuż osi Y powinny być równe. Dwia kule dwa układy odniesienia Wybór jednej z kul łamie symetrię zagadnienia! Y X Przesunięcia wzdłuż osi Y nie zmieniaja się w transformacji Lorentza, ale zmienia się czas w jakim nastęuja. Prędkość wzdłuż osi Y pierwszej kuli: V,y = γ V y Prędkość wzdłuż osi Y drugiej kuli: Czyli: V 2,y = β = V x c V y γ( + β 2 ) γ = vx 2/c2 m V,y m V 2,y A.F.Żarnecki Wykład VIII 4

Pęd czastki Doświadczenie myślowe Układ w którym jedna z kul porusza się tylko wzdłuż osi Y: V 2,x Prędkość wzdłuż osi Y drugiej kuli jest zmniejszona na skutek dylatacji czasu: V 2,y = V,y γ γ = V 2 2,x /c 2 V V,y V 2 V 2,y Y X Przyjmijmy, że V y c, ale V x c, wtedy: γ V,y = γ 2 V 2,y γ = γ 2 = V2 2/c2 Zasadę zachowania pędu możemy w naszym przypadku uratować modyfikujac definicję: Z dodawania prędkości: V 2,x = 2V x γ( + β 2 ) p = m γ v Czy tak zdefiniowany pęd jest zachowany w ogólnym przypadku? A.F.Żarnecki Wykład VIII 5

Pęd czastki Wyrażenie na pęd dla czastek relatywistycznych możemy też wyprowadzić z zasady względności (+ relatywistyczne składanie prędkości) Wyobraźmy sobie dwie identyczne kule lecace (w układzie O) z prędkościami V i V 2 wzdłuż osi X: 0 2 t O V V 2 3 x Przyjmijmy, że w którymś momencie ciało dogania ciało 2 i zlepia się z nim. Jaka będzie prędkość ciał po zlepieniu? O 0 2 3 t x Klasycznie byłoby to V c = V +V 2 2, co wynikało właśnie z zasady zachowania pędu... Vc A.F.Żarnecki Wykład VIII 6

Pęd czastki Przejdźmy do układu odniesienia O zwiazanego z powstajacym zlepkiem. O t 0 2 3 x V Ponieważ kule sa identyczne z symetrii zagadnienia oczekujemy, że w układzie tym będa miały prędkości równe co do wartości, lecz przeciwnie skierowane. Wiemy już jednak jak składaja się prędkości! Prędkości w układzie O wyrażaja się przez V i V 2, oraz prędkość O względem O ( V c ) Ze wzoru na składanie prędkości: V = V V c V V V = 2 V c V c c 2 V 2V c c 2 (wartość ujemna prędkości odpowiada zwrotowi przeciwnemu do osi X) Rozwiazujemy ten układ równań, dla uproszczenia wprowadzajac prędkości względne: β = V c, β 2 = V 2 c, β c = V c c A.F.Żarnecki Wykład VIII 7 V

Pęd czastki Ostatecznie otrzymujemy: (pomijajac dość żmudne przekształcenia) β c = β γ + β 2 γ 2 γ + γ 2 Prędkość zlepionych kul poruszajacych się poczatkowo z prędkościami β i β 2. Dla symetrii pomnóżmy licznik i mianownik po lewej stronie przez γ c : β c γ c = β γ + β 2 γ 2 γ c γ + γ 2 Wartość ułamka nie zmienia się jeśli licznik i mianownik pomnożymy przez ta sama liczbę (M dla lewej i m dla prawej strony): β c γ c M γ c M = β γ m + β 2 γ 2 m γ m + γ 2 m A.F.Żarnecki Wykład VIII 8

Pęd relatywistyczny Ale M i m sa dowolne! Możemy zawsze tak dobrać stosunek ich wartości, żeby także liczniki i mianowniki po obu stronach równania były sobie równe: β c γ c M = β γ m + β 2 γ 2 m γ c M = γ m + γ 2 m Wychodzac z bardzo ogólnych założeń otrzymalismy dwa prawa zachowania! Symetria + zasada względności + właściwy dobór współczynników M i m Uogólniajac na dowolna liczbę czastek w stanie poczatkowym (ini) i końcowym (f in): i ini β i γ i m i = i ini γ i m i = j fin j fin Czy możemy zidentyfikować poszczególne człony? β j γ j m j γ j m j A.F.Żarnecki Wykład VIII 9

Pęd relatywistyczny W granicy małych prędkości (β, γ = ) równania te sprowadzaja sie do c i β i m i = i m i V i = const i m i = const Þ Þ ÓÛ Ò Ô Ù Þ Þ ÓÛ Ò Ñ Ý Jak poprzednio dochodzimy do wniosku, że relatywistyczne wyrażenie na pęd czastki to p = m c γ β = m γ V Wprowadzone współczynniki m sa miara bezwładności ciał i nazywamy je masa. Jedna z mas mogliśmy ustalić dowolnie - wybór wzorca masy. Masy pozostałych czastek można następnie wyznaczyć w oddziaływaniu ze wzorcem (z wyprowadzonych praw zachowania). A.F.Żarnecki Wykład VIII 0

Ruch pod wpływem stałej siły Równanie ruchu Chcemy zachować klasyczna definicję siły oparta na II prawie Newtona: Þ F = d p dt p = m γ v = mc γ β γ = β 2 W przypadku ruchu prostoliniowego F = d (mc γ β) dt = mc γ 3 dβ dt przyspieszenie maleje jak γ 3! Rozwiazanie ruchu pod wpływem stałej siły elektrycznej F = qe: dβ = qe dt mc ( β2 ) 3/2 dβ qe ( β 2 = ) 3/2 mc dt Całkujemy podstawiajac β = sin u: przyjmujac, że cz du cos 2 u = qe mc tan u = qe Tożsamość trygonometryczna: sin u = dt mc t astka spoczywała w t = 0 tan u + tan 2 u A.F.Żarnecki Wykład VIII

Ruch pod wpływem stałej siły Otrzymujemy rozwiazanie w postaci: Þ β(t) = α = qe mc αt + (αt) 2 β 0.8 0.6 0.4 0.2 W naszym przykładzie (e w polu 0 MV α 6 0 9 s, α 0.7 ns W granicy α t : β(t) 2α 2 t 2 nigdy nie osiagniemy β = Ale: p(t) = mc α t rośnie t! m ) -β 0 0-3 0-2 0-0 0-0 -2 0-3 0-4 0-5 0-6 0-3 0-2 0-0 t [ns] t [ns] A.F.Żarnecki Wykład VIII 2

Ruch pod wpływem stałej siły Rozwiazuj ac dalej otrzymujemy: dx dt = c αt + (αt) 2 x(t) = dx = c αt d(αt) α + (αt) 2 = c ( ) + (αt) 2 α W granicy α t : x(t) c t c α W naszym przykładzie: światło wyprzedzi elektron tylko o 5 cm!!! x(t) [m] x(t) - ct [m] 0 2 0 0-0 -2 0-3 0-4 0-5 0-6 0-3 0-2 0-0 0-0. 0-3 0-2 0-0 t [ns] t [ns] A.F.Żarnecki Wykład VIII 3

Energia relatywistyczna Dla ruchu ciała pod wpływem stałej siły otrzymaliśmy: x(t) = c ( ) + (αt) 2 α αt β(t) = α = F + (αt) 2 Þ mc Można zauważyć, że: γ(t) = β 2 (t) = + (αt) 2 x(t) = mc2 (γ ) F Energia kinetyczna jest równa pracy wykonanej przez siłę: E k (t) = F x(t) = m c 2 (γ(t) ) A.F.Żarnecki Wykład VIII 4

Energia relatywistyczna Uzyskana zasadę zachowania: i γ i m i c 2 = const możemy więc przepisać w postaci: [ mi c 2 (γ i ) + m i c 2] = const i [ Ek,i + E 0,i ] = const Gdzie: E k = m c 2 (γ ) E 0 = m c 2 i - energia kinetyczna - energia spoczynkowa ciała Konieczność wprowadzenia energii spoczynkowej wynika z otrzymanej postaci zasady zachowania energii! Energia całkowita: E = E k + E 0 = γ m c 2 A.F.Żarnecki Wykład VIII 5

Energia relatywistyczna Wyrażenie na energię kinetyczna E k = m c 2 (γ ) = m c 2 β 2 W granicy małych prędkości (β ) korzystamy ze wzorów na rozwinięcie w szereg: γ = + ε + 2 ε 8 ε2 +... + ε ε+ε2 +... β 2 + 2 β2 E k = m c 2 (γ ) = ( + 2 β2 ) = 2 m c2 β 2 = 2 m V 2 Odtwarzamy klasyczne wyrażenie na energię kinetyczna A.F.Żarnecki Wykład VIII 6

Zasady zachowania energii i pędu Energia całkowita ciała: E = γ m c 2 pęd ciała: p = γ m V c p = β γ m c 2 Wychodzac z reguły składania prędkości (zasada bezwładności + zasada względności), wykorzystujac symetrię rozważanego zagadnienia (zasada względności) oraz możliwość doboru współczynników opisujacych bezwładność ciała (masę) otrzymaliśmy: i E i = i γ i m i c 2 = const Þ Þ ÓÛ Ò Ò Ö β = V c i p i = i γ i m i Vi = const Þ Þ ÓÛ Ò Ô Ù Zasady te wyprowadziliśmy dla procesu zderzenia, ale okazuje się, że sa one dużo bardziej ogólne. Zasady te obowiazuj a we wszystkich znanych nam procesach!!! A.F.Żarnecki Wykład VIII 7

Zasady zachowania energii i pędu Zasada zachowania energii ma jednak swoja cenę Z zasady zachowania energii: V V E c = E + E 2 M c 2 = γ m c 2 + γ m c 2 M = 2 γ m Masa zlepka jest większa niż suma mas czastek! M > m + m W świecie relatywistycznym przestaje obowiazywać zasada zachowania masy! Energia kinetyczna zderzajacych się czastek została zamieniona na energię wewnętrzna, co jest równoważne ze wzrostem masy (energii spoczynkowej) zlepka. A.F.Żarnecki Wykład VIII 8

Jednostki q>0 E Energia relatywistyczna Naturalna jednostka w fizyce czastek jest elektronowolt ev - energia jaka zyskuje czastka o ładunku e (ładunek elementarny) przy przejściu różnicy potencjału V. U + E = U q e =.6 0 9 C ev =.6 0 9 J Jednostki pochodne: kev = 0 3 ev, MeV = 0 6 ev, GeV = 0 9 ev. Jednostkę energii możemy też przyjać za jednostkę masy (E = mc 2 ; c ) ev/c 2 ev =.8 0 36 kg elektron e 5 kev (9. 0 3 kg) proton p 938 MeV (.7 0 27 kg) neutron n 940 MeV kwark t 73 GeV bozon W ± 80.4 GeV Z 9.2 GeV A.F.Żarnecki Wykład VIII 9

Energia relatywistyczna Transformacja Energia spoczynkowa czastki: E = m c 2 Możemy zauważyć, że: Energia całkowita: E = E + E k = m c 2 γ E = γ E p c = β γ E Wyrażenie na pęd: p = m c β γ W układzie własnym czastki: p = 0 Zgodnie z definicja układu środka masy. Jeśli czastka porusza się wzdłuż osi X: c p x E = γ E = β γ E c p y = 0 c p z = 0 A.F.Żarnecki Wykład VIII 20

Energia relatywistyczna Transformacja Formalnie możemy zapisać: (p = p,x = p,y = p,z = 0) E c p x c p y c p z = γ E + γ β c p,x γ β E + γ c p,x c p,y c p,z = γ γ β 0 0 γ β γ 0 0 0 0 0 0 0 0 E c p,x c p,y c p,z Okazuje się, że energia i pęd podlegaja, przy zmianie układu odniesienia, transformacji Lorenza identycznej z transformacja czasu i położenia. Zamiast transformować niezależnie energię i pęd układu, należy rozważać czterowektor energii-pędu: E = (E, c p) = (E, cp x, cp y, cp z ) A.F.Żarnecki Wykład VIII 2

Masa niezmienicza Niezmiennik transformacji Z definicji czynnika Lorenza γ = β 2 γ 2 β 2 γ 2 = γ 2 ( β 2 ) = γ 2 E 2 β 2 γ 2 E 2 = E 2 E 2 c 2 p 2 = m 2 c 4 niezależnie od prędkości czastki, czyli niezależnie od układu odniesienia Wyrażenie: s = M 2 c 4 = E 2 c 2 p 2 jest niezmiennikiem transformacji Lorenza dla dowolnego układu fizycznego (nie zależy od wyboru układu odniesienia) M s - masa niezmienicza układu (masa inwariantna) Kluczowa wielkość w opisie zderzeń relatywistycznych... A.F.Żarnecki Wykład VIII 22

Transformacja Lorenza Energia relatywistyczna Transformacja Lorenza ma zastosowanie do wszystkich czterowektorów: czterowektor położenia (w czasoprzestrzeni): (ct, x, y, z) czterowektor energii-pędu ( czteropęd ): (E, cp x, cp y, cp z ) czteropotencjał pola elektromagnetycznego: (Φ, A x, A y, A z ) E = Ö Φ c A t B = ÖÓØA różnica dwóch czterowektorów (np. odstęp między zdarzeniami, przekaz czteropędu...) Niezmiennikiem transformacji Lorenza jest kwadrat każdego czterowektora A (4) 2 = A 2 0 A 2 = A 2 0 A2 x A 2 y A 2 z zmiana położenia interwał: s AB = ( t) 2 ( x) 2 ( y) 2 ( z) 2 energia-pęd masa niezmiennicza: M 2 = E 2 p 2 x p 2 y p 2 z A.F.Żarnecki Wykład VIII 23

Transformacja energii-pędu Przykład Rakieta lecaca w kierunku Ziemi z prędkoscia v = 0.6 c wystrzeliwuje w jej kierunku wiazkę protonów o energii E = 00 GeV. Masa protonu m = GeV/c 2. Jaka energię protonów zmierzy obserwator na Ziemi? Pęd protonu w układzie rakiety (z definicji masy niezmienniczej): pc = E 2 m 2 c 4 = 99.9950GeV pc E = 00GeV Współczynniki transformacji: Energia w układzie Ziemi: β = 0.6 γ = =.25 βγ = 0.75 β2 E = γe + βγpc (γ + βγ)e = 2E = 200GeV A.F.Żarnecki Wykład VIII 24

Masa niezmiennicza Przykład Jaka jest masa czastki, która poruszajac się z energia kinetyczna E k =.6 GeV ma pęd p = 2.4 GeV/c? Z definicji masy niezmienniczej dla pojedynczej czastki: m 2 c 4 = E 2 p 2 c 2 Energię całkowita wyrażamy przez energię kinetyczna: Otrzymujemy: m 2 c 4 = (mc 2 + E k ) 2 p 2 c 2 m 2 c 4 = m 2 c 4 + 2E k mc 2 + E 2 k p2 c 2 mc 2 = p2 c 2 E 2 k 2E k = (pc + E k)(pc E k ) 2E k = 4GeV 0.8GeV 2.6GeV = GeV A.F.Żarnecki Wykład VIII 25

Dynamika relatywistyczna Układ środka masy Energia układu czastek: E = i E i Pęd układu czastek: P = i p i Otrzymujemy zwiazki na wspólczynniki transformacji do układu środka masy: Masa niezmiennicza: M Jak znaleźć układ środka masy P = 0? Wiemy, że w CMS E = M, P 0 Energia i pęd wiaż a się z E i P przez transformacje Lorentza: β = c P E γ = E M c 2 β γ = P M c E = γ M c P = β γ M obowiazuj a zarówno dla pojedyńczej czastki jak i dowolnego układu czastek A.F.Żarnecki Wykład VIII 26

Przykład Dynamika relatywistyczna Z jaka prędkościa porusza się elektron o energii E = GeV (m e 0.5MeV )? γ = β 2 = E m = 2000 c β 2 = γ 2 = m2 E 2 Widać, że β, policzmy więc różnicę: + β 2 β = β2 + β 2 γ 2 = m2 =.25 0 7 2 E2 Pęd elektronu: Energia kinetyczna: p = βγm = βe E E k = (γ )m = E m E E p = ( β)e 0 7 E E E k = m = γ E = 5 0 4 E Przybliżenie ultrarelatywistyczne: γ, E m E pc E k A.F.Żarnecki Wykład VIII 27

Zderzenia relatywistyczne W przypadku nierelatywistycznym zderzenia dzieliliśmy na: zderzenia elastyczne Zachowany pęd i energia kinetyczna. zderzenia nieelastyczne Zachowany pęd. Energia kinetyczna zamieniana (częściowo) na inne formy energii (zazwyczaj ciepło). W przypadku relatywistycznym energia całkowita i pęd sa zawsze zachowane! Musimy zmodyfikować klasyfikację zderzeń: Zderzenia elastyczne 2 2 Czastki po zderzeniu takie same jak czastki zderzajace się. W szczególności: m = m i m 2 = m 2 np. e + e e + e Zderzenia nieelastyczne Gdy czastki w stanie końcowym sa inne niż przed zderzeniem. np. e + e µ + µ A.F.Żarnecki Wykład VIII 28

Zderzenia relatywistyczne Rozpraszanie elastyczne Rozważmy zderzenie pocisku o masie m i energii E z tarcza o masie m 2. m m 2 E V V =0 2 Dla układu dwóch ciał mamy: (c ) E = E + E 2 = E + m 2 P = P = E 2 m2 Transformacja do układu środka masy: β = P E = E 2 m2 E + m 2 γ = E M = E + m 2 2 E m 2 + m 2 + m2 2 βγ = P M = E 2 m2 2 E m 2 + m 2 + m2 2 M 2 = E 2 P 2 = (E + m 2 ) 2 P 2 = m 2 + m2 2 + 2 E m 2 A.F.Żarnecki Wykład VIII 29

Zderzenia relatywistyczne Rozpraszanie elastyczne Pęd obu ciał w układzie środka masy: p = p 2 = βγ m 2 = P M m 2 (p ) 2 = (E 2 m2 ) m2 2 m 2 + m2 2 + 2 E m 2 Energie w układzie środka masy: E 2 = γ m 2 = E M m 2 = (E + m 2 )m 2 2 E m 2 + m 2 + m2 2 E = M E 2 = E m 2 + m 2 2 E m 2 + m 2 + m2 2 Jeśli spełniona ma być zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii to tak jak w przypadku klasycznym: p = p 2 = p = p 2 W układzie środka masy wartości pędów nie ulegaja zmianie. Warunek: m = m i m 2 = m 2!!! Rozpraszanie elastyczne A.F.Żarnecki Wykład VIII 30

m = m 2 Dla zderzeń czastek o równej masie: E = E + m P = P = E 2 m2 Zderzenia relatywistyczne M 2 = E 2 P 2 = 2 E m + 2 m 2 współczynniki transformacji: Energia i pęd obu ciał w układzie środka masy: (z transformacji Lorenza dla spoczywajacego ciała) p = γ β m E = γ m (p ) 2 = 2 m (E m) γ = E + m 2m (E ) 2 = 2 m (E + m) y β = E m E + m β γ = E m p* Θ x 2m p* 2 A.F.Żarnecki Wykład VIII 3

Zderzenia relatywistyczne m = m 2 W układzie opisuje kat θ : y x p,x p,y środka masy rozproszenie p* p Θ Θ p 2 Θ 2 = γ β m cos θ = γ β m sin θ E = γ m Transformacja do układu laboratoryjnego: p,x = γ p,x + γ β E = γ 2 β m ( + cos θ ) = γ β m sin θ p,y γ 2 β m = 2 P Możliwe wartości p,x i p,y spełniaja: γ 2 p 2,y + ( p,x P 2 ) 2 = ( ) P 2 elipsa transformacja Lorenza spłaszcza rozkład pędów wzdłuż kierunku ruchu pocisku. A.F.Żarnecki Wykład VIII 32 2

Zderzenia relatywistyczne m = m 2 Katy rozproszenia mierzone w LAB: tan θ = tan θ 2 = Kat pomiędzy czastkami: tan(θ + θ 2 ) = sin θ γ( + cos θ ) sin θ γ( cos θ ) 2γ sin θ (γ 2 ) 2 γ sin θ 0 γ Ð Dla rozproszenia z θ = π 2 p* tan θ = γ < Θ p Θ Θ 2 p θ + θ 2 < π 2 2 W granicy ultrarelatywistycznej rozproszenie zachodzi pod bardzo małymi katami A.F.Żarnecki Wykład VIII 33

Przykład Zderzenia relatywistyczne Elektron o energii E = 0 GeV rozprasza się elastycznie na spoczywajacym elektronie (m e = 0.5 MeV). Jaki kat rozproszenia zostanie zmierzony w układzie laboratoryjnym jeśli w CMS rozproszenie nastapiło pod katem prostym? Masa niezmiennicza układu M = 2 E m + 2 m 2 2 E m = 00MeV Współczynnik transformacji: γ = E + m M E = 00 β β 5 0 5 M Energia i pęd w CMS: E = γm = 50MeV p E Transformacja do LAB: (p x = 0, p y = p ) p x = βγe + γp x γe tan θ = p y p x = γ p y = p y E = 0.0 θ 0.6 A.F.Żarnecki Wykład VIII 34

Zderzenia relatywistyczne m E m 2 Rozważmy zderzenie elastyczne z ciężka tarcza lekkiego pocisku (m m 2 ) o wysokiej energii (E m 2 ) m m 2 E V V 2=0 Sytuacja z jaka często mamy do czynienia w zderzeniach fizyki czastek (rozpraszanie elektonów, mionów lub neutrin na tarczach jadrowych). Pomijajac wyrazy z m mamy: E = E + m 2 P = E 2 m2 E M 2 = m 2 + m2 2 + 2 E m 2 2 E m 2 + m 2 2 A.F.Żarnecki Wykład VIII 35

Zderzenia relatywistyczne m E m 2 Współczynniki transformacji do układu środka masy: (m 0) Transformacja rozproszonego pocisku do układu laboratoryjnego: γ = β = E + m 2 2E m 2 + m 2 2 E E + m 2 p,x = γ p,x + γ β E = γ p (β + cos θ ) = p sin θ p,y Możliwe wartości p,x i p,y spełniaja: β γ = E 2E m 2 + m 2 2 p = β γ m 2 E = m 2 2E m 2 + m 2 2 ( γ p,y ) 2 + ( p,x γ β p ) 2 = ( γp ) 2 elipsa W granicy β (E m 2 ) pocisk rozprasza się zawsze do przodu! (p,x 0) A.F.Żarnecki Wykład VIII 36

Zderzenia elastyczne Nierelatywistyczne W granicy m m 2 tarcza przejmuje bardzo niewielka część energii pocisku. Rozproszony pocisk ma praktycznie niezmieniona energię i wartość pędu. Relatywistyczne Nawet dla m m 2, jeśli E m 2 pocisk może przekazać tarczy znaczna część swojej energii. y x p* Θ p Θ V V 2=0 p 2 Θ 2 V CM Rysunek dla E = 3 m 2, m = 0. V Dla E m 2 nawet bardzo lekka sonda może wybić czastkę tarczy... Rysunek dla m 2 = 0 m A.F.Żarnecki Wykład VIII 37

Zderzenia relatywistyczne Przykład Elektron o energii E e = 50 GeV rozprasza się na spoczywajacym protonie (m p = GeV). Jaka jest maksymalna energia jaka może uzyskać proton? Masa niezmiennicza układu M = 2 E e m p + m 2 p 2 E e m p = 0GeV 0.05GeV Współczynnik transformacji: γ = E e + m p = 5. 5.075 βγ = p e M M = 5 4.975 Energia i pęd protonu w CMS: E p = γm p = 5. GeV p = βγm = 5 GeV Transformacja do LAB: (maksymalna energia gdy p x = p ) E = γe + βγp x = γ 2 m p + β 2 γ 2 m p 5 GeV 50.50 GeV A.F.Żarnecki Wykład VIII 38

Odkrycie fotonu Zjawisko fotoelektryczne Odkryte przypadkowo przez Hertza w 887 r. Światło padajac na metalowa płytkę powoduje uwalnianie elektronów przepływ pradu. ν Opis falowy przewidywał, że prad zależy wyłacznie od natężenia światła, a nie zależy od częstości! Zjawisko fotoelektryczne wyjaśnił Einstein (905) wprowadzajac kwanty światła FOTONY V A Energia foto-elektronów: E e = E γ W = h ν W Doświadczenia wskazały, że energia uwalnianych elektronów zależy wyłacznie od częstości światła (długości fali) i materiału katody. W - praca wyjścia, minimalna energia potrzebna do uwolnienia elektronu z metalu. A.F.Żarnecki Wykład VIII 39

Natura światła Odkrycie fotonu Fotony to kwanty promieniowania elektromagnetycznego. Przenosza oddziaływania między czastkami naładowanymi. Maja naturę korpuskularno-falowa: fala elektromagnetyczna, opisana równaniami Maxwella c = ǫ µ podlega interferencji, dyfrakcji, załamaniu czastka o ustalonej energii i pędzie, ale zerowej masie m γ 0 β może zderzać się z innymi czastkami, być pochłaniana lub rozpraszana Im wyższa częstość (mniejsza długość fali) promieniowania, tym wyższa energia pojedyńczego fotonu wyraźniejsze efekty korpuskularne E γ = p γ c = h ν = hc λ λ ν = c W zjawisku fotoelektrycznym, foton zderza się z elektronem, γ + e e (proces typu 2 ), i przekazuje mu energię konieczna do opuszczenia metalu. A.F.Żarnecki Wykład VIII 40

Efekt Dopplera Klasycznie mamy dwa przypadki: Ruchome źródło Źródło o częstości ν poruszajace się z prędkościa v względem ośrodka. Częstość dźwięku mierzona przez nieruchomego obserwatora ν = ν + v c Ruchomy obserwator Obserwator porusza się z prędkościa v względem ośrodka i źródła dżwięku Mierzona częstość: ( ν = ν v c ) Jeśli źródło i/lub obserwator poruszaja się z dużymi prędkościami należy uwzględnić dylatację czasu γ = = β 2 ( β)( + β) Pełna symetria! ν = ν β + β A.F.Żarnecki Wykład VIII 4

Ñ ÖÞÓÒ Ñ ØÓÛ Ò Efekt Dopplera Przypadek ogólny z h t y v A O Θ l B x O z y x λ /λ 0 β = 0.9 β = 0.8 β = 0.6 β = 0.3 Przesunięcie długości fali: λ λ = T T = γ ( β cosθ) Θ - rejestrowany w O kat lotu fotonu (!) (π Θ) - kierunek obserwacji 0 50 00 50 Θ [ o ] Zmiana częstości także dla Θ = 90!!! Klasycznie nie ma zmiany częstości... A.F.Żarnecki Wykład VIII 42

Efekt Dopplera Alternatywne podejście Wyrażenia na relatywistyczny efekt Dopplera (dla światła) wynikaja wprost z transformacji Lorenza! z y β h ν Θ x z y x Foton o energii E = hν emitowany jest pod katem θ w układzie O. p x = E cos θ p y = E sin θ W układzie O z transformacji Lorenza: hν = E = γ E + β γ p x = hν γ ( + β cos θ ) Dla θ = 0 mamy: ν = ν + β = ν + β β 2 β częstość (energia) rośnie Dla θ = π mamy: ν = ν β = ν β β 2 + β częstość (energia) maleje A.F.Żarnecki Wykład VIII 43

Rozkłady katowe Zależność częstości od kata emisji Efekt Dopplera Obserwowany kat lotu fotonu: ν/ν l 4 β = 0.9 β = 0.8 cos θ = p x E = β + cos θ + β cos θ 3 β = 0.6 β = 0.2 Θ 3 β = 0.99 β = 0.9 β = 0.8 2 2 β = 0.6 β = 0.2 0 0 2 3 Θ l Dla θ = π 2 ν = γ ν > ν poprzeczny efekt Dopplera 0 0 2 3 Θ l Dla θ = π 2 cos θ = β θ < π 2 Izotropowe promieniowanie szybko poruszajacego się ciała jest skolimowane w kierunku ruchu... A.F.Żarnecki Wykład VIII 44

Efekt Dopplera Rozkłady katowe Mamy: Zależność częstości od kata detekcji ν = ν γ ( + β cos θ ) Możemy jednak zastosować odwrotna transformację Lorenza (β β) energia w funkcji kata detekcji: ν/ν l 4 3 β = 0.9 β = 0.8 β = 0.6 β = 0.2 ν = ν γ ( β cos θ) 2 Fotony rejestrowane pod katem θ = π 2 maja częstość: ν = ν γ < ν!!! 0 0 2 3 Θ A.F.Żarnecki Wykład VIII 45

Projekt Fizyka wobec wyzwań XXI w. współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego