Ekonometria. Model nieliniowe i funkcja produkcji. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Ekonometria Model nieliniowe i funkcja produkcji Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 1 / 23

Agenda 1 2 3 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 2 / 23

Outline 1 2 3 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 3 / 23

Ogólna postać: gdzie y to zmienna objaśniana, β to wektor parametrów strukturalnych, x to wektor zmiennych objaśniających, ε to składnik losowy. y = g (β, x) + ε (1) Szczególne przypadki: Modele liniowe względem parametrów y = β 0 + β 1f 1 (x 1) +... + β k f k (x k ) + ε (2) Modele liniowe względem zmiennych Przykład: y = β 0 + β 1β 2x 1 + β β 4 3 x 2 + ε (3) Problem identyfikacji strukturalnych parametrów. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 4 / 23

Przykłady modeli nieliniowych względem zmiennych, ale liniowych względem parametrów: Model wielomianowy: Model hiperboliczny: Model logarytmiczny: Model z interakcjami (iloczynami): y = β 0 + β 1x 1 + β 2x 2 1 +... + β k x k 1 + ε. (4) y = β 0 + β2 x 1 + ε. (5) y = β 0 + β 1 ln (x 1) + ε. (6) y = β 0 + β 1x 1 + β 2x 2 + β 3x 1x 2 + ε. (7) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 5 / 23

Efekty krańcowe oraz elastyczności cząstkowe Efekt krańcowy Efekt krańcowy = y x i. (8) Interpretacja: o ile wzrośnie y jeżeli x i wzrośnie o jedną jednostkę. Model liniowy: stały efekt krańcowy równy β i. Elastyczność cząstkowa Elastyczność cząstkowa = y/y x i/x. (9) Interpretacja: o ile % wzrośnie y jeżeli x i wzrośnie o 1%. Model liniowy: elastyczność cząstkowa zależna od bieżacych wartości x i y i równa β ix i/y Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 6 / 23

Modele linearyzowane Linearyzacja modeli Wybrane modele nieliniowe można sprowadzić do postaci liniowej. Wybrane własności logarytmu naturalnego ln(x) < ln(y) dla 0 < x < y, ln(xy) = ln(x) + ln(y) dla x, y > 0, ln(x a ) = a ln(x) dla x, a > 0, ln(e x ) = x oraz e ln(x) = x dla x > 0. Model wykładniczy: y = e β 0+β 1 x 1 +...+β k x k +ε. Po obustronnym zlogarytmowaniu: ln (y) = β 0 + β 1 x 1 +... + β k x k + ε. (11) Model funkcji Cobba-Douglasa: y = β 0 x β 1 1... x β k k ε. (12) Po obustronnym zlogarytmowaniu: ln (y) = ln (β 0 ) + β 1 ln (x 1 ) +... + β k ln (x k ) + ln (ε). (13) Uwaga: założenie ln (ε) N (0, σ) nie implikuje, że ε jest z rozkładu normalnego. (10) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 7 / 23

Interpretacja przekształceń logarytmicznych 1 Relacja typu poziom - poziom, tj. y = α + βx. (14) Wzrost x o jednostkę odpowiada wzrostowi y o β jednostek. 2 Relacja typu poziom - logarytm, tj. Wzrost x o 1% odpowiada wzrostowi y o 3 Relacja typu logarytm - poziom, tj. y = α + β ln x. (15) β 100 jednostek. ln y = α + βx. (16) Wzrost x o jednostkę odpowiada wzrostowi y o 100β % jednostek. 4 Relacja typu logarytm - logarytm, tj. ln y = α + β ln x. (17) Wzrost x o 1% odpowiada wzrostowi y o β % jednostek. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 8 / 23

Estymacja parametrów strukturalnych modeli nieliniowych 1 Model linearyzowane/ liniowe względem parametrów: Metoda estymacji: standardowa dla modeli liniowych (np. MNK). W przypadku MNK standardowe testowanie własności statystycznych składnika losowego (autokorelacja, heteroskedastycznośc, normalność). Uwaga: w przypadku modeli linearyzowanych należy pamiętać o przekształceniach, aby odpowiednio interpretować wyniki oszacowań. 2 Model ściśle nieliniowe Metoda estymacji: nieliniowa MNK (non-linear least squares). min β ei 2 (18) gdzie e = y g(x, β). Zagadanienie optymalizacji nieliniowej: wybór wartości początkowych, możliwość uzyskania minimum lokalnego. Analogiczne sprawdzanie własności składnika losowego. i Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 9 / 23

Identyfikacja nieliniowości w modelu nieliniowym Test poprawnej specyfikacji RESET. Problem autokorelacji/ heteroskedastyczności składnika losowego może wskazywać na błędną specyfikację modelu. Test liniowych restrykcji Walda: Uwzględnienie kwadratów, sześcianów czy interakcji zmiennych objaśniających oraz testowanie ich łącznej istotności. Przykład: i hipoteza zerowa y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 2 1 + β 4x 2 2 + β 5x 1 x 2 + ε, (19) H 0 : β 3 = β 4 = β 5 = 0. (20) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 10 / 23

Funkcja logistyczna Funckja logistyczna względem czasu: y t = Własności funkcji logistycznej: lim t y t = α (tzw. punkt nasycenia); y 0 = α(1 + β); punkt przegięcia: t = ln (β/γ). α + εt. (21) 1 + β exp( γt) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 12 / 23

Transformacja Boxa-Coxa Model Boxa-Coxa jest przykładem funkcji ściśle nieliniowej: ( ) x λ 1 y = β 0 + β 1 + ε (22) λ gdzie y to zmienna objaśniana, x to zmienna objaśniająca, β 0, β 1, λ to parametry strukturalne, a ε to składnik losowy. Kluczowym parameterem jest λ. Szczególne przypadki: λ 1 to wtedy model liniowy: λ 0 to wtedy model liniowy typu poziom-logarytm. λ 1 to wtedy model hiperboliczny. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 13 / 23

Funkcje Törnquista Funkcje Törnquista ilustrują relację między wydatkami (y) a dochodami konsumentów (x). I - dobra niższego rzędu: α (x δ) y = x + β, (23) gdzie α > 0, δ > 0, β < δ, 0 x δ. II - dobra pierwszej potrzeby: y = αx x + β, (24) gdzie α > 0, β > 0, 0 x. III - dobra wyższego rzędu: gdzie α > 0, δ > 0, β > 0, x δ. IV - dobra luksusowe: y = y = gdzie α > 0, δ > 0, β > 0, x δ. α (x δ) x + β, (25) αx (x δ), (26) x + β Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 14 / 23

opisuje zależność pomiędzy wykorzystanymi czynnikami wytwórczymi a efektem procesu produkcji. Najczęściej: Czynniki produkcji: praca (L) i kapitał (K). Y = F(K, L). (27) Aksjomaty neoklasycznej funkcji produkcji 1 Dodatnia produktywność czynników wytwórczych: F(K, L) F(K, L) MPK(K, L) = > 0 oraz MPL(K, L) = > 0, (28) K L gdzie MPK(K, L) = F K oraz MPL(K, L) = F L. 2 Malejąca produktywność czynników wytwórczych: MPK(K, L) K < 0 i K 2 MPL(K, L) 3 Komplementarność czynników wytwórczych: L < 0. (29) L 2 MPK(K, L) L 4 Stałe korzyści skali: K L > 0 i MPL(K, L) K L K > 0. (30) F (λk, λl) = λf (K, L) (31) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 16 / 23

Przychody względem skali Stałe korzyści skali Rosnące korzyści skali F (λk, λl) = λf (K, L) (32) F (λk, λl) > λf (K, L) (33) Malejące korzyści skali F (λk, λl) < λf (K, L) (34) Funkcja homogeniczna r-tego stopnia F (λk, λl) = λ r F (K, L) (35) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 17 / 23

Analiza graficzna funkcji produkcji Izokwanta (wartswica) to krzywa łącząca kombinację nakładów czynników wytwórczych pozwalająca uzyskać ten sam poziom produktu: Y (K, L) = Y 0. (36) Przykład #1: liniowa funkcja produkcji Y = F(K, L) = K + L (37) Izokwanty dla 0 < α < β można zapisać jako: L = α K L = β K L (0, β) (0, α) α = K + L β = K + L (α, 0) K (β, 0) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 18 / 23

Analiza graficzna funkcji produkcji (cd.) Przykład #2: funkcja produkcji Leontiefa L Y = F(K, L) = min(k, L) (38) Izokwanty dla 0 < α < β, Czynniki produkcji, tj. praca i kapitał, są komplementarne. β α α = min(k, L) β = min(k, L) α β K Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 19 / 23

Analiza graficzna funkcji produkcji (cd.) Przykład #3: funkcja produkcji Cobba-Douglasa Y = F(K, L) = K 0.5 L 0.5 (39) β 2 L Izokwanty dla 0 < α < β można zapisać jako: L = α2 K L = β2 L α 2 α 2 β = K 0.5 L 0.5 α = K 0.5 L 0.5 β 2 K Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 20 / 23

Dodatkowe definicje i charakterystyki funkcji produkcji Teczniczne uzbrojenie pracy: iloraz kapitału i pracy K/L. Krańcowa stopa substytucji: Elastyczność substytucji: KSS = F L MPL(K, L) = F K MPK(K, L). σ = (K/L) KSS KSS (K/L) (40) (41) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 21 / 23

Funkcja Cobba-Douglasa gdzie A > 0 oraz α, β (0, 1). F(K, L) = AK α L β (42) Dodatnia produkcynojść krańcowa czynników, tj. MPK(K, L), MPL(K, L) > 0: MPK(K, L) = Y K = αak α 1 L β = α A K }{{}}{{} α 1 L }{{} β + + + }{{} + Malejąca krańcowa produktywność czynników, tj. F KK < 0 oraz F LL < 0: MPK(K, L) K > 0 (43) = 2 Y K 2 = (α 1)αAK α 2 = (α 1) αak }{{} α 2 < 0 (44) }{{} + Komplementarność czynników wytwórczych, tj. F KL > 0 oraz F LK > 0: MPK(K, L) L = 2 Y K L = αβak α 1 L β 1 > 0 (45) Stałe elastyczności cząstkowe. W tym przypadku: α dla K oraz β dla L: el(y /K) = Y /Y K/K = αak 1 α L β K Y = α AK α L β AK α L β = α (46) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 22 / 23

Krańcowa stopa substytucji pracy względem kapitału: MPL(K, L) KSS = MPK(K, L) = βak α L β 1 αak α 1 L β = β K AK α L β α L AK α L β = β K α L (47) Jednostkowa elastyczność substytucji: σ = (K/L) KSS KSS (K/L) = α β (β/α)(k/l) (K/L) = 1. (48) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 23 / 23