Marzec 2019 Laboratorium Optyki Falowej Instrukcja do ćwiczenia pt: Filtracja optyczna Opracował: dr hab. Jan Masajada
Tematyka (Zagadnienia, które należy znać przed wykonaniem ćwiczenia): 1. Obraz fourierowski (widmo fourierowskie), układ 4f, widmo, częstości przestrzenne, filtr optyczny, Zadania do wykonania: - justowanie układu - określenie położenia płaszczyzny fourierowskiej - określenie płaszczyzny obrazowej układu - testy z wybranymi filtrami optycznymi Wstęp do ćwiczenia Obraz klasyczny a obraz fourierowski Klasyczny układ optyczny można traktować jak rodzaj filtru, który wybiera promienie wychodzące z poszczególnych punktów przedmiotu i obrazuje je w postaci małych dysków na detektorze, przy czym dyski te zachowują geometrię układu punktów przedmiotu. Jedyną zmianą może być powiększenie lub pomniejszenie wyjściowego rozkładu punktów. Wszystkie inne zamiany traktujemy jako pochodne wad układu optycznego. Rysunek (1) pokazuje najprostszy klasyczny układ optyczny, czyli kamerę otworkową. Rysunek 1. Odwzorowanie przez kamerę otworkową Podobną rolę pełni soczewka lub obiektyw (rys. 2)
Rysunek 2. Odwzorowanie przez soczewkę Przy okazji postaraj się odpowiedzieć na następujące dwa pytania Pytanie 1: Dlaczego zastępujemy tanie otworki złożonymi i drogimi obiektywami. Pytanie 2: Jakie wady ma obiektyw w porównaniu z otworkiem Klasyczny układ obrazując z obiektywem pracuje między tzw. płaszczyznami sprzężonymi, które w przybliżeniu paraksjalnym spełniają znane ze szkoły równanie 1 1 1 x y f Tutaj f to ogniskowa obiektywu, x położenie płaszczyzny przedmiotowej (przedmiotu) a y to położenie płaszczyzny obrazowej (ekranu). Gdy przesuniemy ekran do ogniska soczewki zmieni się charakter otrzymanego odwzorowania (rys. 3). 1 Rysunek 3. Z płaszczyzny przedmiotowej wybrane jest pięć punktów świecących, z których światło przechodzi przez soczewkę o ogniskowej f. Płaszczyzna obrazowa znajduje się w odległości ogniskowej. Z każdego pęku promieni zostały wybrane dwa promienie pod zadanymi kątami. Jedna seria promieni wyróżniona jest kolorem czerwonym, a druga kolorem niebieskim. Obie serie tworzą zbiór promieni równoległych, czyli wyróżniają dwie fale płaskie. Obrazem fali płaskiej, w płaszczyźnie ogniskowej, otrzymanym przez idealną nieograniczoną soczewkę jest punkt. W przypadku rzeczywistej soczewki punkt ten jest rozmyty przez efekty dyfrakcyjne wynikające z ograniczonych rozmiarów soczewki oraz jej aberracje. Nie mniej widać, że soczewka tworzy w płaszczyźnie ogniskowej kątowy obraz przedmiotu, to znaczy, że wszystkie promienie rozchodzące się pod tym samym kątem tworzą plamkę rozmycia charakterystyczną dla odpowiadającej im fali płaskiej. Obraz taki nazywamy obrazem fourierowskim.
W takim układzie równoległe wiązki promieni będą skupiane w osobnych punktach (małych dyskach), tworząc tzw. obraz fourierowski (inna nazwa to widmo fourierowskie). Nazwa obraz fourierowski wzięła się stąd, że obraz przedmiotu płaskiego (na przykład przeźrocza) uzyskany przez soczewkę w płaszczyźnie jej ogniska może być reprezentowany poprzez transformatę Fouriera funkcji transmitancji tegoż przeźrocza (pod warunkiem, że przeźrocze oświetlona jest falą płaską poosiową). Obraz fourierowski (widmo fourierowskie) zależne jest od współrzędnych kątowych (a nie liniowych x, y, jak to jest w przypadku obrazu geometrycznego). Współrzędne kątowe określają kąt nachylenia wiązko promieni równoległych (rys. 3) w stosunku do osi x (kąt x ) i y (kąt y ) (współrzędne x i y określone są w płaszczyźnie soczewki). W samej transformacji Fouriera współrzędnymi są wspomniane kąty dzielone przez długość fali. f x f y x y Wielkości f x i f y nazywamy częstościami przestrzennymi 1a 1b Obrazy fourierowskie są najlepszej jakości gdy zarówno płaski obiekt jak i obraz znajdują się w ogniskach soczewki (obiektywu), jak to pokazuje rysunek (4). Rysunek 4. Schemat podstawowej konfiguracji dyfraktometru optycznego W ćwiczeniu wykorzystamy układ przedstawiony na rysunku (5), który daje gorsze jakościowo wyniki ale dla potrzeb ćwiczenia jest wystarczający. W układzie tym przezrocze (lub inny płaski przedmiot) znajduje się możliwie blisko obiektywu (ale za obiektywem). Rysunek 5. Zmodyfikowany układ do obserwacji widma dyfrakcyjnego
Rysunek (6a) pokazuje przykład widma fourierowskiego (czyli obrazu fourierowskiego). Poszczególne punkty odpowiadają różnym kątom wiązek promieni równoległych przedstawionych na rysunku (3). Filtracji optycznej dokonujemy wkładając w płaszczyznę obrazu fourierowskiego płaskie elementy korygujące poszczególne składowe widma. Filtry mogą blokować dane częstości przestrzenne, obniżać ich amplitudę lub przesuwać fazę. Rysunek 6. Z lewej układy otworków, z prawej odpowiednie obrazy fourierowskie Tak zmodyfikowane widmo ulega rekonstrukcji, które możemy dokonać za pomocą drugiej soczewki, na przykład w klasycznym układzie 4f (rys. 7) Rysunek 7. W ćwiczeniu wykorzystamy prostszy układ (rys. 8) wykorzystujący tylko jedną soczewkę (obiektyw)
Rysunek 8. Zmodyfikowany układ do filtracji optycznej. Pojedyncza soczewka (obiektyw) tworzy obraz fourierowski i tradycyjny. Do najprostszych filtrów należą filtry w postaci otworu lub krążka. Filtr w postaci otworu nazywa się filtrem dolnoprzepustowym, gdyż przepuszcza niskie częstości (małe wartości x i y, wzór (1)), filtr w postaci krążka nazywa się filtrem górnoprzepustowym, gdyż przepuszcza wysokie częstości (duże wartości x i y, wzór (1)). Rysunek (9) pokazuje przykład działania tych dwóch filtrów. Rysunek 9. Z lewej przeźrocze, następnie filtr górnoprzepustowy (ciemny krążek) na tle widma przeźrocza i efekt jego działania, następnie filtr dolnoprzepustowy (otwór) na tle widma przeźrocza i efekt jego działania Jak widać filtr górnoprzepustowy blokuje tło obrazka (za tło odpowiadają niskie częstości w widmie) a filtr dolnoprzepustowy blokuje ostre linie przepuszczając tło (za ostre linie odpowiadają wysokie częstości w widmie). Inny przykład działania filtru dolnoprzepustowego pokazuje rysunek (10)
Rysunek 10. Z lewej przeźrocze uzyskane z grafiki rastrowej (z gazety). Za pikselizacje przeźrocza odpowiadają drobne kropki, z użyciem których powstał obraz. Te kropki są najdrobniejszymi szczegółami zdjęcia. Po zastosowaniu filtru dolnoprzepustowego, który blokuje najwyższe częstości odpowiadające za kropki uzyskujemy zdjęcie oczyszczone z pikselizacji. Przebieg ćwiczenia: - Zestawić układ według rysunku (8) - Wyznaczyć położenie płaszczyzny fourierowskiej - Wykonać filtrację obiektów wskazanych przez prowadzącego, przy użyciu filtrów wskazanych przez prowadzącego. Przeanalizować zakres działania poszczególnych filtrów.