MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2017 nr 64, ISSN 1896-771X ANALIZA STANU NIEUSTALONEGO PRZENOŚNIKA WYKORZYSTUJĄCEGO EFEKT ELIMINACJI DYNAMICZNEJ FRAHMA Witold Surówka a, Piotr Czubak 1b 1 Katedra Mechaniki i Wibroakustyki, AGH University of Science and Technology a surowkawitold@gmail.com, b czubak@agh.edu.pl Streszczenie W niniejszej pracy przedstawiono zagadnienie dynamiki przenośników wibracyjnych, antyrezonansowych. Autorzy skupili się głównie na stanie nieustalonym pracy przenośnika w czasie rozruchu. Porównano amplitudy sił przekazywanych na podłoże przenośnika działającego na zasadzie eliminacji Frahma z klasycznym wibroizolowanym przenośnikiem. Zbadano również wpływ zmiany parametrów przenośników na siły przenoszone na podłoże przez badane przenośniki. Słowa kluczowe: drgania, przenośnik wibracyjny, eliminator Frahma, stan nieustalony, reakcje dynamiczne UNSTEADY STATE ANALYSIS OF THE VIBRATORY CONVEYOR THAT WORKS DUE TO FRAHM S EFFECT Summary Problems of dynamics of vibratory antiresonance conveyors are discussed in the hereby paper. The authors focused mainly on non-stationary states of work of the conveyor during its start-up. Amplitudes of forces transmitted to the foundation by the conveyor operating on the bases of the Frahm s elimination are compared with the classic vibroinsulated conveyor. The influence of the conveyor parameter changes on forces transmitted to the foundation by the tested conveyors was also investigated. Keywords: vibration, vibratory conveyor, Frahm s eliminator, non-stationary state, dynamic reaction 1. Wstęp Wśród urządzeń do transportu materiałów sypkich istotną grupą są przenośniki wibracyjne. Ich niewielka wydajność rekompensowana jest innymi zaletami, takimi jak łatwość utrzymania czystości rynny, możliwość przenoszenia materiałów żrących czy też gorących, jak również możliwość wykonania drugiej czynności technologicznej w trakcie transportu, takiej jak np. schłodzenie nadawy czy też jej posortowanie. Ponieważ główną wadą przenośników wibracyjnych są wysokie siły dynamiczne przekazywane na podłoże, a systemy aktywnej lub semiaktywnej wibroizolacji są rzadko stosowane do redukcji sił przekazywanych na podłoże przez maszyny tego typu, w przemyśle zaczęto stosować stosunkowo nowe konstrukcje przenośników działające na podstawie dynamicznej eliminacji drgań (podobnie jak eliminator Frahma [9]). W takim przenośniku rama wibroizolująca jest wzbudzana do drgań, a rynna stanowi eliminator [5,10,13]. Przenośniki lub podajniki te mają szerokie zastosowanie w przemyśle do transportu nadawy o niewielkiej masie. Do nowszych prac zajmujących się tą tematyką należy między innymi publikacja [12]. Autorzy analizowali zachowanie przenośnika wokół założonej częstości wymuszenia (wynikającej z pracy jako tłumik wibroizolacyjny Frahma). Zauważyli, że w tego typu przenośnikach z powodu zaczepienia układu wymuszenia do masy, która w teorii nie drga, zwiększa się żywotność zawieszenia przenośnika. Autorzy we wstępie publikacji mylnie stwierdzili, że pierwszą tego typu konstrukcję badał Liu J. wraz ze współautorami 96
Witold Surówka, Piotr Czubak [14,15] nazywając go anti-rezonance, czego dowodem mogą być wcześniejsze patenty tego typu konstrukcji [1,18] nazywane base-excited lub rezonance conveyor. Faktem jest, że duże zainteresowanie tego typu konstrukcjami nastąpiło dopiero na początku XXI wieku, czyli po publikacji prac [14,15]. W pracy [16] badano możliwość sterowania częstością wymuszenia wokół punktu pracy, natomiast w pracy [24] badano przenośnik z częstością sterowaną sterownikiem PID, uzależnioną od amplitudy drgań ramy wibroizolującej, otrzymując bardzo dobre wyniki. Podobne badania przeprowadzono w pracach [7,8,20], gdzie sterowano częstością wymuszenia podajnika. W pracy [17] badano wpływ nadawy na przenośnik działający na zasadzie eliminatora Frahma. Autor zastąpił model przenośnika, w którym nadawa porusza się na kierunku ruchu rynny, modelem dwumasowym z nadawą oddziałującą w pionie. Autor wysnuł wniosek, że masa nadawy ma wpływ na siłę przekazywaną na podłoże, a jej wartość musi być mała dla prawidłowej pracy przenośnika. Szczegółowe badania, dotyczące wpływu masy nadawy na pracę tego typu przenośnika, przeprowadził jeden z autorów niniejszej pracy w artykule [4], podając zależność pozwalającą na wyznaczenie częstości wymuszenia w zależności od masy nadawy i wartości współczynnika podrzutu. Autorom niniejszej pracy nie są znane opublikowane prace analizujące kwestię stanów nieustalonych podczas rozruchu przenośników działających na podstawie efektu wibroizolacji Frahma, co w praktycznych przypadkach, gdy przenośnik pracuje w trybie przerywanym, ma bardzo duże znaczenie. Prace takie prowadzone są w Katedrze Mechaniki i Wibroakustyki AGH, w zespole profesora J. Michalczyka, ale efekty tych prac są dopiero w trakcie procesu publikacyjnego. W niniejszej pracy przedstawiono porównawczą analizę symulacyjną analizowanego przenośnika, działającego na podstawie dynamicznej eliminacji drgań i przenośnika klasycznie wibroizolowanego. Zbadano wpływ charakterystyki silnika oraz nastrojenia przenośnika na przejście przez fazę rozruchu. 2. ZASADA DZIAŁANIA Na rys. 1. przedstawiony jest typowy przenośnik wibracyjny, działający na zasadzie eliminatora Frahma. Zbudowany jest z rynny (1) połączonej z wibroizolowaną ramą (6) na zawieszeniu sprężystym (3). W takim układzie przenośnik wzbudzany jest do drgań przez dwa przeciwbieżne wibratory inercyjne (2) zamontowane do ramy, a nie jak w klasycznym przenośniku - do rynny. Na skutek samosynchronizacji wibratorów siła wymuszająca jest harmoniczna i ma stały kierunek działania. Rys. 1. Typowy przenośnik antyrezonansowy [22] Przy pewnej częstości kołowej wymuszenia,,ω rama przenośnika wygasza swoje oscylacje, natomiast rynna drga z pewną amplitudą, wywołując przy niskim współczynniku tłumienia w swoim zawieszeniu, siły przeciwne do siły wymuszenia ramy [3,6]. Drgania ramy zanikają dla następującego warunku: gdzie: ω częstość wymuszenia, k τ sztywność, mr masa rynny. Należy zaznaczyć, że efekt eliminacji drgań Frahma jest częstokroć w literaturze mylnie nazywany rezonansowym, zwłaszcza w anglojęzycznym nazewnictwie przenośników wykorzystujących eliminację drgań. Tymczasem przenośnik ten pracuje w tzw. kotlinie antyrezonansowej pomiędzy obszarami rezonansowymi na zboczu narastającym przed drugą strefą rezonansową. Można to zaobserwować, analizując charakterystykę częstotliwościową [5] tego typu przenośnika, przedstawioną w dalszej części pracy. 3. MODELE PRZENOŚNIKÓW W celu analizy pracy przenośnika działającego na zasadzie eliminacji dynamicznej zbadano układ przedstawiony na rys. 2. Przy założeniu, że wypadkowa siły wymuszającej jest prostoliniowa i przechodzi przez środek zawieszenia i środek ciężkości rynny oraz ramy przenośnika, układ przedstawiony na rys. 1 można zastąpić modelem fizycznym [2]. przedstawionym na rys. 2. Rys. 2. Uproszczony model fizyczny przenośnika antyrezonansowego. 97
ANALIZA STANU NIEUSTALONEGO PRZENOŚNIKA DZIAŁAJĄCEGO ( ) Modelowi temu odpowiada następujący układ równań. W celu porównania amplitud podczas przejścia przez strefę rezonansową przenośnika działającego jak eliminator dynamiczny Frahma, z amplitudami generowanymi podczas rozruchu przenośnika klasycznie wibroizolowanego - analizowano równolegle układ przedstawiony na rys. 3. Rys. 4. Krzywe prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego silnika, w funkcji czasu Porównywane przenośniki miały podobne parametry transportowe, co w praktyce oznacza podobną amplitudę i częstość drgań rynny. 4. WYNIKI SYMULACJI Rys. 3. Uproszczony model fizyczny przenośnika klasyczniewibroizolowanego Przenośnik ten różni się miejscem przyłożenia siły wymuszającej (została przyłożona klasycznie do rynny, a nie do ramy). Wówczas równania opisujące układ są następujące: Ponieważ modele fizyczne zawierają siłę wymuszającą, reprezentującą inercyjne wibratory, aby wyznaczyć amplitudy podczas rozruchu zaproponowano następujące równanie opisujące siłę: Powyższa funkcja osiąga nominalną wartość amplitudy i nominalną częstość wymuszenia w sposób odwzorowujący rozruch wibratora, napędzanego silnikiem asynchronicznym. Wstawiając następujące parametry: u =2 [s] - stała czasowa, ec =0,04 [m] - mimośród masy wibratora, mw =10 [kg] - masa wibratora, ω =157 [rad/s] - częstość wymuszenia wibratora w stanie ustalonym, otrzymano krzywe przedstawiające prędkość i przyspieszenie kątowe wibratorów (rys.4). Przejście badanego przenośnika, jak również przenośnika klasycznego, przez stan nieustalony, zostało przedstawione w postaci trzech charakterystyk: amplitudowo-czasowej, siłowo-czasowej (siły dynamicznej przekazywanej do podłoża, od czasu) oraz siłowoczęstotliwościowej (amplitudy siły przekazywanej na podłoże, dla przypadku rezonansu stacjonarnego, od częstości kołowej silnika). Współczynnik wibroizolacji siłowej określony jest wzorem ηr=r0/f0, gdzie R0 jest amplitudą siły dynamicznej przekazywanej do podłoża, natomiast F0 jest amplitudą siły wymuszającej. Porównując wyniki symulacji obu rodzajów przenośników, należy zauważyć, że ten w układzie eliminatora Frahma jest wzbudzany większą siłą wymuszającą (aby uzyskać tę samą amplitudę drgań rynny) niż przenośnik wibroizolowany klasycznie. Zatem przenośnik antyrezonansowy nie tylko przekazuje wielokrotnie niższe siły dynamiczne na podłoże, ale jednocześnie posiada wyższy współczynnik wibroizolacji siłowej. Na rys. 5. przedstawiono amplitudy drgań rynny i ramy przenośnika działającego na zasadzie eliminacji dynamicznej Frahma, dla następujących parametrów: mw =10 kg - masa inercyjna, k τ =200 157 2 N/m - współczynnik sprężystości ks =10 7 N/m - współczynnik sprężystości b τ =600 N s/m - współczynnik tłumienia. 98
Witold Surówka, Piotr Czubak Siła przenoszona na podłoże w punkcje pracy jest niewielka, co zostało wykazane we wcześniejszych pracach [5,21]. Z tego wykresu można również oszacować częstości rezonansowe badanego obiektu. Pierwsza wynosi około 94 rad/s, natomiast druga 185 rad/s i znajduje się za punktem pracy przenośnika. Dla porównania przedstawiono charakterystyki przenośnika wibroizolowanego ramą. Przenośniki, tytułowy działający jak eliminator Frahma i wibroizolowany ramą, zostały tak zaprojektowane, aby jednocześnie posiadać identyczne masy i nominalną częstość kołową wymuszenia, jak również takie same amplitudy drgań rynny w stanie ustalonym, co gwarantuje podobne prędkości przenoszenia nadawy. Na rys. 7. przedstawiono przemieszczenie rynny i ramy w czasie rozruchu i w stanie ustalonym, przenośnika klasycznie wibroizolowanego dla następujących parametrów: Rys. 5. Przemieszczenie rynny (jasnoszary), oraz ramy (ciemnoszary) przenośnika antyrezonansowego, w funkcji czasu Na wykresie zauważalne jest przejście przez rezonans w trzeciej sekundzie. Należy zauważyć, co jest bardzo istotne z punktu widzenia rozruchu takiej maszyny, że przenośnik wykorzystujący efekt Frahma przechodzi przez jedną strefę rezonansową. Przenośnik pracując w antyrezonansie (w tym przypadku częstość antyrezonansowa wyniosła 157 rad/s), pracuje za pierwszym obszarem rezonansowym, a przed drugim obszarem. Znajduje to potwierdzenie w zależności siły przenoszonej na podłoże, od częstości wymuszenia przenośnika wykorzystującego efekt eliminacji dynamicznej (rys. 6.). Charakterystykę sporządzono dla przypadku rezonansu stacjonarnego. mw =6 kg - masa inercyjna, k τ =1,633 10 6 N/m - współczynnik sprężystości ks =10 7 N/m - współczynnik sprężystości b τ =600 N s/m - współczynnik tłumienia Rys. 7. Przemieszczenie rynny (jasnoszary), oraz ramy (ciemnoszary) przenośnika klasycznie wibroizolowanego ramą, w funkcji czasu Rys. 6. Charakterystyka amplitudowa przenośnika antyrezonansowego, dla przypadku rezonansu stacjonarnego Na powyższym wykresie wyraźnie widać przejście układu przez dwie strefy rezonansowe, ponieważ punkt pracy znajduje się za tymi strefami. Potwierdza to wykres (rys. 8), przedstawiający zależność siły przekazywanej na podłoże, przenośnika wibroizolowanego klasycznie, dla przypadku rezonansu stacjonarnego. Na rysunkach strzałką zaznaczono punkt pracy maszyny. Rys. 8. Charakterystyka amplitudowa przenośnika wibroizolowanego masywną ramą, dla przypadku stacjonarnego Przy porównaniu amplitud drgań ramy wibroizolującej dwóch przenośników (rysunki 5 i 7) widać, że w punkcie pracy (po ustabilizowaniu się układu, po około 9 sekundach) drgania ramy przenośnika działa- 99
ANALIZA STANU NIEUSTALONEGO PRZENOŚNIKA DZIAŁAJĄCEGO ( ) jącego na zasadzie eliminacji dynamicznej są 8 razy mniejsze niż przenośnika klasycznego, a co za tym idzie, taki przenośnik przekazuje zdecydowanie mniejszą siłę na podłoże [21]. Bardzo istotną kwestią są amplitudy drgań ram wibroizolujących przenośników, podczas przejścia przez strefę rezonansu w fazie rozruchu. Widać, że amplituda drgań przenośnika klasycznie wibroizolowanego jest zbliżona do amplitudy drgań przenośnika działającego na podstawie efektu Frahma. Zagrożeniem w przypadku przenośnika klasycznie wibroizolowanego jest konieczność przejścia przez drugi rezonans, który występuje przy wyższej częstości wymuszenia, kiedy przyspieszenie kątowe wibratora maleje. Na wykresie (rys. 9) porównano siły przekazywane na podłoże przez dwa przenośniki przy przejściu przez strefę rezonansu i w stanie ustalonym. Na wykres naniesiono również przyspieszenie kątowe silnika. 5. PRZESTROJENIE PRZENOŚNIKÓW W przenośnikach klasycznie wibroizolowanych można obniżyć amplitudę sił przenoszonych w czasie przejścia przez rezonans oraz w stanie pracy ustalonej, poprzez przestrojenie układu na niższe częstości własne, zmieniając sztywność zawieszeń na bardziej podatne [11,19]. W celach porównawczych autorzy analizowali również przestrojony przenośnik działający na zasadzie eliminacji dynamicznej. W tego typu przenośniku obniżenie sztywności również wpływa korzystnie na obniżenie sił przekazywanych na podłoże. Przeprowadzono symulacje porównawcze dla przestrojonych przenośników, w których wszystkie sprężyny (oprócz przenośnika antyrezonansowego, ze względu na konieczność spełnienia warunku 1) zostały zmienione na trzykrotnie bardziej podatne. Masa wibratorów wymuszających została tak dobrana, aby zachować taką samą amplitudę drgań rynny w stanie ustalonym. Rys. 9. Siła oddziałująca na podłoże; funkcja przyspieszenia kątowego wałka wibratora, w funkcji czasu Zaletą przenośnika antyrezonansowego jest pojedyncze przejście przez częstość rezonansową. Należy również zauważyć, że przejście przez rezonans występuje przy niskiej częstości wymuszenia, przy której przyspieszenie silnika jest duże, co skraca czas przejścia przez strefę rezonansową, a co za tym idzie drgania nie zdążą się wzbudzić. To zmniejsza zagrożenie utknięcia maszyny w rezonansie. Analizując wykres drgań przenośnika klasycznego wibroizolowanego ramą, widać, że siła przekazywana na podłoże jest większa przy przejściu przez drugą strefę rezonansową, mimo że jest to rezonans związany z częstością bliską częstości drgań rynny na swoim zawieszeniu, a nie całego przenośnika na zawieszeniu ramy, z którą związana jest pierwsza częstość drgań. Powodem tego jest niższa wartość przyspieszenia wibratora wymuszającego w tej strefie. Przenośnik wibroizolowany ramą parametry symulacji II: mw =9 kg - masa inercyjna, k τ =5,478 10 5 N/m - współczynnik sprężystości ks =3,(3) 10 6 N/m - współczynnik sprężystości b τ =200 N s/m - współczynnik tłumienia. Przenośnik antyrezonansowy parametry symulacji II: mw =10 kg - masa inercyjna, k τ =200 157 2 N/m - współczynnik sprężystości ks =3,33 10 6 N/m - współczynnik sprężystości b τ =200 N s/m - współczynnik tłumienia. Na wykresach (rys. 10 i 11) przedstawione są zależności siły przenoszonej na podłoże od częstości wymuszenia, przestrojonych przenośników dla rezonansu stacjonarnego. 100
Witold Surówka, Piotr Czubak wibroizolowany. Po zmniejszeniu sztywności zawieszenia siła przekazywana na podłoże w stanie ustalonym przez przenośnik działający na zasadzie eliminacji Frahma jest czterokrotnie mniejsza niż przenośnika klasycznie wibroizolowanego. 6. PODSUMOWANIE Rys. 10. Charakterystyka amplitudowa przestrojonego przenośnika klasycznie wibroizolowanego, dla przypadku rezonansu stacjonarnego. Rys. 11. Charakterystyka amplitudowa przestrojonego przenośnika antyrezonansowego, dla przypadku rezonansu stacjonarnego Korzyścią wynikającą z oddalenia stref rezonansowych od punktu pracy jest czterokrotne obniżenie wartości siły w rezonansie, jak również dziesięciokrotne w stanie ustalonym, dla obydwu rodzajów przenośników (rys.12). Porównując podobnie skonstruowane przenośniki wibracyjne, o zbliżonych parametrach, stwierdzić można: 1. W stanie ustalonym, niezależnie od sztywności wibroizolującej, przenośnik działający na podstawie efektu Frahma przenosi wielokrotnie niższe siły na podłoże, w stosunku do sił przenoszonych przez przenośnik klasycznie wibroizolowany. 2. Zaletą przenośnika działającego na podstawie efektu Frahma jest konieczność przejścia tylko przez jedną strefę rezonansową. 3. W przypadku sztywniejszych zawieszeń ramy dynamiczne reakcje przekazywane na podłoże obydwu przenośników są zbliżone w trakcie rozruchu. 4. Przy zawieszeniach o obniżonej sztywności przenośnik działający jak eliminator Frahma przenosi mniejsze siły na podłoże przy przejściu przez strefę rezonansową, w stosunku do przenośnika wibroizolowanego klasycznie. Wydane w ramach działalności statutowej nr.11.11.130.955 Rys. 12. Siła oddziałująca na podłoże, po przestrojeniu przenośników; funkcja przyspieszenia kątowego wałka wibratora, w funkcji czasu Na wykresie widać, że w stanie nieustalonym przenośnik antyrezonansowy przenosi na podłoże około 1,5 razy niższe siły dynamiczne niż przenośnik klasycznie 101
ANALIZA STANU NIEUSTALONEGO PRZENOŚNIKA DZIAŁAJĄCEGO ( ) Literatura 1. Carmichael D.: Excited frame, Vibratory conveying apparatus for moving particulate Material. US Pat 4,313,535, 1982. 2. Czubak P.: Mass optimisation of the vibroinsulating frame of a short vibratory conveyer. Mechanics 2006, Vol. 25, p. 33-40. 3. Czubak P.: Equalization of the transport velocity in a new two-way vibratory conveyor. Archives of Civil and Mechanical Engineering 2011, Vol. XI, p. 573-586. 4. Czubak P.: Reduction of forces transmitted to the foundation by the conveyor or feeder operating on the basis of the Frahm s eliminator, at a significant loading with feed. Archives of Mining Sciences 2012, Vol. 57 Iss. 4, s. 1121 1136. 5. Czubak P.: Wybrane zagadnienia dynamiki przenośników wibracyjnych. Kraków: Wyd. AGH, 2013. ISBN 978-83-7464-582-9, 6. Czubak P.: Vibratory conveyor of the controlled transport velocity with the possibility of the reversal operations. Journal of Vibroengineering 2016, Vol. 18, Iss. 6, p. 3539 3547. 7. Despotovic Z., Stojiljkovic Z.: Power converter control circuits for two-mass vibratory conveying system with electromagnetic drive: simulations and experimental results. IEEE Transactions on Industrial Electronics 2007, Vol. 54, No. 1, p. 453-466. 8. Despotovic Z.. Stojiljkovic Z.: PSPICE simulation of two mass vibratory conveying system with electromagnetic Drive. International Conference Computer as a tool, EUROCON, 2005. 9. Frahm H.: Device for damping vibrations of bodies. US Patent No.989958, 1909. 10. Gilman D.: Vibratory conveyor. US pat. 6,079,550, 2000. 11. Goździecki, Świątkiewicz.: Przenośniki. WNT Warszawa 1979. 12. Jiao C., Liu J., Wang Q.: Dynamic analysis of nonlinear anti-resonance vibration machine based on general finite element method. Advanced Materials Research 2012, Vol. 443. p.694-699. 13. Klemiato M, Czubak P.: Event driven control of vibratory conveyors operating on the Frahm's eliminator basis. Archives of Metallurgy and Materials 2015, Vol. 60, Iss. 1, p. 19 25. 14. Liu J, Sun G.: Theory of anti-resonant vibrating machine with application. Journal of Northeastern University (Natural Science) 1995, Vol. 16, No. 1, p. 82-86. 15. Liu J., Sun G., Tang B., Wen B.: Application of antiresonant theory in vibration utilization engineering. Proceeding of Ninth World Congress on the Theory of Machine and Mechanism 1995, Vol. 8, p. 1093-1097. 16. Liu J, LI Y., LIU Jintao, Xu H.: Dynamical analysis and control of driving point anti-resonant vibrating machine based on amplitude stability. Chinese Journal of Mechanical Engineering 2006, Vol. 1. 17. Liu Q.: The material of the resonant vibration impact motivates the influence of and the simulation analysis. Advanced Materials Research 2012, Vol. 510, p. 261-265. 18. Long G, Tsuchiya T.: Vibratory conveyors. US pat 2,951,581, 1960. 19. Michalczyk J., Bednarski Ł., Graniczne przypadki rozruchu przenośnika wibracyjnego. Procesy wibroakustyczne w technice i środowisku. Praca zbiorowa pod red. W. Batki i Z. Dąbrowskiego, Kraków 2006, s. 181-191 20. Ribic A.: High-performance feedback control of electromagnetic. Vibratory Feeder Industrial Electronics, 2010, Vol. 57, No. 9, p. 3087-3094. 21. Surówka W.: Analysis of vibratory conveyor working on the Frahm s eliminator basis. Praca inżynierska. Kra- feeder. Advanced ków: AGH, 2016. 22. www.mayer-industries.com. 23. Xia J., Wang Y.: Solution to the outlet curve and optimal vibration parameters of vibrating Materials Research 2012, Vol. 479-481, p. 791-796. 24. Zhao B,. Gao H.: Amplitude Control for a driving point antiresonant vibrating screen based on fuzzy self-tuning ID control. Journal of Liaoning Provincial College of Communications 2009. Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska. http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl 102