Kinemayka opianie ruchu. Co o je ruch? Ruch je zjawikiem powzechnym. Poruzają ię gwiazdy i planey, poruza ię woda i powierze, zwierzęa i rośliny. Poruzaz ię Ty. Poruzają ię najmniejze cząki maerii. Słowem poruza ię wzyko. Co o je ruch? Jak go zdefiniować? Jeśli idę ulicą, mijam coraz o inne domy, coraz o innych ludzi zmieniam woje położenie. Zaem ruch o zmiana położenia poruzającego ię ciała. Czy o wyarczy? Wyobraź obie ciało w zupełnie puej przerzeni. Cały wzechświa o o jedno ciało. Czy ono ię poruza? Czy można o jakoś prawdzić, koro wokół nie ma nic, do czego można byłoby odnieść położenie ciała? Nie można byłoby w żaden poób określić położenia. A koro położenia o i jego zmian. Jane je, że nie można byłoby wedy odróżnić ruchu od poczynku. Nie można byłoby wierdzić, że ciało ię poruza. Dlaego należałoby nazą definicję uzupełnić. Ruch o zmiana położenia względem innych ciał. Jeśli idę ulicą, o zmieniam położenie względem ulicy, jakichś jej charakeryycznych punków. Poruzam ię względem ulicy. Kiężyc poruza ię względem Ziemi zmienia położenie w ounku do niej, ale poruza ię również względem Słońca; inaczej niż względem Ziemi. Samochód poruza ię względem jezdni lub przydrożnych drzew. Przykładów je mnówo. Jeżeli ciało nie zmienia wego położenia, nie poruza ię, mówimy że je w poczynku.. Co o je układ odnieienia? Już wiecie, że by można było mówić o ruchu, należy go rozparywać w odnieieniu do innych ciał. Takie ciało (lub układ ciał), kóre uznajemy w nazych rozważaniach za nieruchome i w ounku do niego określamy zarówno położenie jak i ruch innych ciał nazywamy układem odnieienia. Układem odnieienia względem kórego opiujemy ruch na co dzień, je na ogół naza poczciwa Ziemia, ale częo inne ciała wybieramy jako układ odnieienia. Pojęcie o najławiej zrozumieć na przykładach. Oo one. Ruch Względem jakiego układu odnieienia je rozparywany Układem odnieienia je oczywiście Słońce, ale Ziemia poruza ię również względem Jowiza, Saurna id. Każda z ych plane eż może być Ziemia krąży wokół Słońca układem odnieienia. Względem Słońca ruch Ziemi będzie ię przedawiał najprościej i na ym polega przewaga ego układu odnieienia nad innymi. Nauralnym układem odnieienia je ziemia i nieruchome względem niej obieky (drzewa, domy). To względem ziemi rozparujemy ruch amochodu, jego or, jego prędkość. Ale można opiywać jego ruch względem Samochód jedzie. innego układu, np. innego amochodu Nauralnym układem odnieienia je wagon, ale można opiywać jego ruch względem innego układu odnieienia np. ziemi. Naz ąiad z przedziału będzie porzegał naz ruch względem wagonu, a koś ko oi na Paażer idzie w wagonie peronie będzie na oberwował naz ruch z punku widzenia układu odnieienia związanego z ziemią Cechą charakeryyczną je o, że en am ruch może być rozparywany z punku widzenia różnych układów odnieienia. 3. Jakie ciało należy wybrać na układ odnieienia? Teoreycznie każde. Nie ma uniweralnego wyboru. W prakyce należy kierować ię wygodą. Jeśli chcemy opiać ruch elekronu w lampie kinekopowej elewizora, o nie będziemy go raczej opiywać z punku widzenia Słońca, Kiężyca czy przejeżdżającego amochodu, choć w zaadzie mogłyby o być układy odnieienia. Najlepzym kandydaem na układ odnieienia je w ym przypadku elewizor. Ruch elekronu je względem akiego układu odnieienia najprozy. Je o najwygodniejzy układ odnieienia. Jeżeli amochód jedzie z Warzawy do Krakowa, o nie będziemy umiezczać układu odnieienia na Jowizu, bo o bardzo niewygodny układ odnieienia w ym przypadku. Najlepzym je Ziemia.
4. Po co wprowadza ię układ wpółrzędnych? W codziennym życiu by opiać położenie lub ruch jakiegoś ciała nie porzeba wielkiej dokładności. Gdy zukamy acji kolejowej wyarcza nam informacja, że rzeba iść na lewo jakieś pół kilomera, poem proo do naępnego krzyżowania i na koniec na krzyżowaniu w prawo a amąd widać już ację. W fizyce i naukach echnicznych aki opi położenia je o wiele za mało dokładny. Muimy być precyzyjni. Takiemu precyzyjnemu określaniu położenia i ruchu ciał łuży układ wpółrzędnych. Pojęcie o znacie z lekcji maemayki. Układ wpółrzędnych na płazczyźnie o dwie oie nawzajem proopadłe a w przerzeni rzy proe proopadłe przecinające ię w jednym punkcie. Na każdej z oi zaznaczono jednokę kórą odmierza ię długość. Punk przecięcia ię oi nazywamy począkiem układu wpółrzędnych. Wygląda o ak: dwuwymiarowy układ wpółrzędnych y rójwymiarowy układ wpółrzędnych z x x y Jak określa ię położenie punku (albo bardzo małego ciała) w akim układzie wpółrzędnych? Zróbmy o na przykładzie układu dwuwymiarowego. y 4 3 P 3 4 5 x Punk P ma wpółrzędne x = 4, y = 3. Zapiujemy o: P(4,3). Czyamy: punk P ma wpółrzędne 4, 3. Wpółrzędna x-owa je zawze na pierwzym, a y-owa na drugim miejcu. W en poób określiliśmy położenie ciała za pomocą liczb. Gdy ciało będzie ię poruzać liczby będące jego wpółrzędnymi będą ię zmieniać. Wykrycie prawa według jakiego zmieniają ię wpółrzędne ciała w rakcie jego ruchu je jednym z głównych zadań kinemayki. Podumujmy o, co do ej pory zrobiliśmy. Żeby opiać ruch jakiegoś ciała wybieramy ciało, względem kórego będziemy rozparywać jego ruch. Je o wybór układu odnieienia. Dla precyzyjnego opiu egoż ruchu z układem odnieienia wiążemy zywno układ wpółrzędnych kierując oie ak, jak nam wygodnie. Przykład. Chcemy opiać ruch owada w klaie. Układem odnieienia będzie klaa, jej podłoga i ściany. Krawędzie wzdłuż kórych ykają ię ściany w nauralny poób wyznaczają oie układu wpółrzędnych. Jezcze ylko wybór jednoki na oiach (może o być jeden mer) i możemy opiywać precyzyjnie ruch owada podając jak zmieniają ię jego wpółrzędne z upływem czau.
5. Co o je or ruchu? Tor ruchu orzymamy, jeśli połączymy linią kolejne położenia ciała. Inaczej mówiąc je o linia jaką zakreśla ciało w rakcie wego ruchu. Ze względu na kzał oru ruchy możemy podzielić na prooliniowe jeśli orem je linia proa i krzywoliniowe jeśli ciało poruza ię po jakiejś krzywej. or prooliniowy or krzywoliniowy 6. Co o znaczy, że ruch je względny? To znaczy, że w zależności od ego jaki wybierzemy układ odnieienia, o amo ciało może być w poczynku lub poruzać ię. W zależności od wyboru układu odnieienia ruch ego amego ciała może wyglądać bardzo różnie. Najlepiej zobaczyć o na przykładach. 7. Podaj przykład względności ruchu. Przykład. W przedziale jadącego wagonu iedzą paażerowie, a na peronie oi pracownik PKP. Rozparzmy ruch jednego z iedzących paażerów z punku widzenia iedzącego w wagonie innego paażera i z punku widzenia człowieka z peronu. To będą naze dwa układy odnieienia. Co powie paażer o woim owarzyzu podróży? Oczywiście powie, że z jego punku widzenia paażer poczywa. Inne zdanie będzie miał człowiek z peronu. Swierdzi, że paażer poruza ię (wraz z pociągiem). Opinie wygłazane z różnych punków widzenia o ruchu ego amego paażera ą jak widać różne. To je przykład pokazujący względność ruchu. Przykład. Przykład będzie nieco zuczny, ale pokazuje on wyraźnie jak różny może być ruch ego amego ciała z względem różnych układów odnieienia. Wyobraźmy obie gramofon, na kórym leży obracająca ię płya, umiezczony w poruzającej ię w górę windzie o przezroczyych ściankach (można am zajrzeć z zewnąrz). Po płycie wzdłuż promienia idzie biedronka. Owada oberwuje rzech oberwaorów: jeden ojący na płycie, drugi w windzie obok gramofonu, a rzeci poza zybem windy. Ruch biedronki dla ych rzech oberwaorów będzie zupełnie inny. Zupełnie inne będą zaoberwowane ory biedronki. Poparz na ryunek. Taki or zobaczy oberwaor ojący na płycie Taki or zaoberwuje człowiek ojący obok gramofonu A aki or zauważy koś ojący poza windą To amo ciało poruza ię zupełnie inaczej, w zależności od ego, z jakiego punku widzenia (układu odnieienia) je oberwowane.
8. Co o je zybkość ciała? Je o po prou droga jaką ciało przebyło podzielona przez cza przebycia ej drogi. Bardzo podobną wielkością je prędkość. Czym ię różni zybkość od prędkości napizę poniżej. droga zybkość = cza jej przebycia Po o by yle nie piać, definicje i prawa w fizyce zapiuje ię w poaci wzorów. Zapizmy w akiej króowej formie określenie zybkości. = zybkość droga cza przebycia drogi. Szybkość, jak ławo ię możez domyślić, mówi nam czy ciało poruza ię zybko czy wolno. Możez pokać ię jezcze z pojęciem średniej zybkości. Nie muiz ię ym zczególnie przejmować. Je o po prou ounek całkowiej przebyej drogi do całkowiego czau ruchu. Nie różni ię o więc od podanej wyżej definicji. 9. Jaka je jednoka zybkości? Podawową jednoką zybkości je mer na ekundę. Częo zapiuje ię o ak: [ ] = m. Czyamy o: jednoką zybkości je jeden mer na ekundę. Ciało poruzające ię z aką zybkością przebywa w każdej ekundzie drogę jednego mera. Częo używamy innych jednoek na przykład kilomerów na godzinę. Jak zamienić kilomer na godzinę na mery na ekundę? Wyjaśnijmy o na przykładzie. km Przykład. Zamień 36 na mery na ekundę. Wiemy, że w kilomerze mieści ię 000 m. W godzinie je 60 h minu a w każdej minucie je 60 ekund, zaem w godzinie je 60 60 = 3600. km 000 m 0 m m 36 = 36 = 36 = 0. By zamienić kilomery na godzinę na mery na ekundę należy kilomery zamienić na mery a godziny na h 3600 36 ekundy. 0. Czym charakeryzuje ię wielkość wekorowa? Pewne wielkości fizyczne mają ylko warości liczbowe. Żeby poznać jaka je emperaura, maa, długość, wyarczy podać jedną liczbę. Inne oprócz warości mają eż kierunek i zwro. Przykładem je iła czy prędkość. Ciała mogą ię różnić wą zybkością, mogą być zybze lub wolniejze, ale by w pełni charakeryzować ich ruch należy jezcze powiedzieć w kórą ronę ciało ię poruza. Podobnie je z iłą. Można nią działać mocniej lub łabiej, ale by wiedzieć o ym działaniu więcej, muimy jezcze wiedzieć w kórą ronę działa iła. Takie wielkości, kóre mają warość, kierunek i zwro nazywamy wekorowymi. Można je przedawić graficznie w poaci rzałki. Długość akiej rzałki reprezenuje warość wekora, kierunek wekora o kierunek proej na kórej leży rzałka, a zwro oznaczony je groem (o je koniec wekora). Począek wekora mówi nam jakiego ciała doyczy wielkość wekorowa. Jeśli na przykład wekor oznacza iłę przyłożoną do jakiegoś ciała, o począek ego wekora je właśnie w ym ciele. wekor koniec wekora począek wekora Po co wprowadzać wekory do fizyki? Czy nie wyarczy uzupełnić informacji o warości danej wielkości informacją o ym jak je kierowana? Nie wyarczy. Załóżmy, że pewne ciało ma maę 3 kg. Jeżeli dołożymy jezcze kg, o razem na pewno będą mieć maę 5 kg. May dodają ię jak zwykłe liczby. Czy prędkości lub iły dodają ię w en poób? Oóż nie! Jeżeli na krzeło podziałam iłą 4 N a poem dodakowo jezcze 3 N, o całkowia iła działająca na krzeło wcale nie mui wynoić 7 N. Tak je ylko w ym zczególnym przypadku, gdy iły ą zgodnie kierowane (mają en am kierunek i zwro). W innych wypadkach całkowi-
a iła będzie miała inną warość zależną od ego jak iły ą względem iebie kierowane. Siły nie dodają ię jak liczby. To amo doyczy prędkości i innych wielkości fizycznych, kóre poznaz w rakcie dalzej nauki. Dlaego wprowadza ię wielkości wekorowe. One nie dodają ię jak liczby. A jak? Poparzmy na ryunek. o je uma czarnych wekorów By dodać dwa wekory budujemy z nich równoległobok, aki jak na ryunku. Suma wekorów je ą przekąną równoległoboku, kóra ma począek am, gdzie dodawane wekory. Tak dodaje ię wekory. Okazuje ię, że ak amo dodają ię prędkości i iły. Wekory oznaczamy lierą ze rzałką u góry, albo pogrubioną czcionką. Np. ar lub a.. Jak je określony wekor przeunięcia (inaczej: przemiezczenia)? Wyobraź obie, że ię poruzaz. Sarujez z punku A kończyz w punkcie B. Te dwa punky, począkowy i końcowy można połączyć wekorem. Wekor, kóry łączy począkowe i końcowe położenie poruzającego ię ciała nazywamy wekorem przeunięcia (albo przemiezczenia). Oznaczamy go wekor przeunięcia położenie począkowe położenie końcowe Po co nam wekor przeunięcia? Po o żeby móc napiać określenie wekora prędkości (parz punk ). Warość wekora przeunięcia o po prou odległość między począkowym i końcowym położeniem ciała. Mierzy ię w jednokach długości (merach, cenymerach id.). Jeśli ciało poruzało ię po linii proej, warość wekora przeunięcia je równa po prou przebyej drodze.. Co o je prędkość? Definicja wekora prędkości wykorzyuje wekor przeunięcia, kóry przed chwilą zdefiniowaliśmy. Prędkość o ounek wekora przeunięcia do czau w kórym o przeunięcie naąpiło. Wielkość ę oznaczamy ymbolem r. wekor przeunięcia prędkość = cza ego przeunięcia r r = Tak określona prędkość mówi nam nie ylko jak zybko ię ciało poruza (o ym informuje na warość prędkości), ale eż o kierunku ruchu ciała. Wekor prędkości wkazuje w kórą ronę poruza ię ciało. Z ego wynika, że wekor prędkości je yczny do oru, po kórym poruza ię ciało. o je wekor prędkości yczny do oru r. u znajduje ię eraz poruzające ię ciało or Podawową jednoką prędkości je mer na ekundę. Inne o kilomer na godzinę, cenymer na minuę id. 3. Jaka je różnica między zybkością i prędkością?
Prędkość o wekor, naomia zybkość o warość ego wekora. Szybkość informuje na ylko jaką drogę przebywa ciało w jednoce czau, naomia prędkość mówi nam oprócz ego w jakim kierunku ię ciało poruza. 4. Na czym polega ruch jednoajny prooliniowy? Ruch prooliniowy o aki, kórego orem je linia proa. Zaś jednoajny o aki, w kórym zybkość je ała. W ruchu jednoajnym prooliniowym ciało nie przypieza, nie zwalnia, ani nie kręca. 5. Naryuj wykre zależności prędkości od czau w ruchu jednoajnym prooliniowym. Szybkość w akim ruchu je ała, niezależna od czau. Jak wygląda wykre ałej funkcji? Wiecie o z lekcji maemayki. To proa poprowadzona poziomo w układzie wpółrzędnych. Widziz aki wykre na poniżzym ryunku. u możemy odczyać, jak zybko ię ciało poruza u możemy odczyać, jak długo ię ciało poruza 6. Jak obliczyć drogę ciała poruzającego ię ruchem jednoajnym? Je o bardzo proe. Wyarczy zybkość ciała pomnożyć przez cza przebywania drogi. droga = zybkość cza = Jeśli amochód poruza ię z zybkością 80 km/h i z aką zybkością jedzie przez 4 h (godziny), o przebędzie drogę km = 80 4 h = 30 km h Muiz pamięać: powyżzy wzór je prawdziwy ylko dla ruchu jednoajnego. Gdy ciało przypieza lub zwalnia, nie wolno z niego korzyać! 7. Jak wygląda wykre zależności drogi przebyej w ruchu jednoajnym od czau? Wzór = mówi nam jak rośnie przebya droga, gdy upływa cza. Szybkość je ała w ruchu jednoajnym, można więc powiedzieć, że droga je proporcjonalna do czau. Jak wygląda wykre proporcjonalności? To powinniście znać z lekcji maemayki. Wykre en wygląda ak:
...możez odczyać przebyą drogę dla dowolnego momenu... Czy z akiego wykreu można odczyać zybkość ciała? Ależ ak. Wyarczy odczyać na wykreie drogę (je o pokazane na ryunku) i odpowiadający jej cza (o eż widzimy na ryunku) i podzielić drogę przez cza. Zauważ, że im więkzy je ką nachylenia ego wykreu do oi poziomej, ym więkza je zybkość. 8. Co o je przypiezenie? W poprzednim odcinku mówiłem o ruchu jednoajnym. Je o najprozy możliwy ruch. Nie zachodzi on jednak zby częo a i o jedynie w przybliżeniu. Najczęściej prędkość ciała zmienia ię czy o co do warości czy co do kierunku. Przypiezenie je wielkością fizyczną, kóra je miarą zmiany prędkości. Co ię może zmieniać? Warość prędkości, czyli zybkość (ciało przypieza lub zwalnia), oraz kierunek prędkości (ciało kręca). Wzykie e rodzaje zmian prędkości ą opiywane przez jedną wielkość fizyczną przypiezenie. Nie może na zadowolić akie określenie przypiezenia. Muimy mieć precyzyjną definicję, aką, kóra pozwoli nam je obliczyć. Oo ona: Przypiezenie o ounek zmiany (przyrou) prędkości do czau, w kórym a zmiana naąpiła. Przyroy czy zmiany oznaczamy w fizyce grecką lierą (dela). Zaem definicję przypiezenia możemy ymbolicznie zapiać ak: () a = o zmiana prędkości, a cza (odęp, albo przedział czau), w kórym naąpiła zmiana prędkości. Zwróćcie uwagę, że zmiana prędkości, ak amo jak prędkość, je wielkością wekorową. Jeśli ciało poruza ię po linii proej, czyli nie zmienia ię kierunek jego ruchu, o przypiezenie wiąże ię jedynie ze zwiękzaniem lub zmniejzaniem zybkości. Jak w akim wypadku obliczyć w prakyce warość przypiezenia? W przypadku ruchu po proej, wekorowy charaker przypiezenia nie ma wielkiego znaczenia. Definicję przypiezenia możemy uprościć: () a = =
9. Jaka je jednoka przypiezenia? Jednoka przypiezenia wynika z jego definicji. Powórzmy ę definicję: a = Zmiana prędkości je wyrażona w merach na ekundę, a cza w ekundach. Wobec ego jednoką przypiezenia je mer na ekundę i jezcze raz na ekundę. Krócej: mer na ekundę kwadra. Zapizmy o ymbolicznie. m [ a ] = m Co o znaczy, że przypiezenie wynoi? To znaczy, że w każdej ekundzie prędkość ciała zwiękza ię o m. 0. Jak obliczyć warość przypiezenia w ruchu prooliniowym? Przykład Ciało w pewnym momencie poruzało ię z zybkością = m/, a 5 ekund później z zybkością = m/. Z jakim przypiezeniem poruzało ię ciało? Rozwiązanie: Wyarczy zaoować definicję () przypiezenia. m/ m/ 0 m/ m a = = = = 5 5. Jaki ruch nazywamy jednoajnie przypiezonym? Najkrócej można powiedzieć, że aki, w kórym przypiezenie je ałe, a zybkość rośnie. Inaczej: aki ruch, w kórym zybkość ciała wzraa równomiernie. Wyobraź obie, że jedziez amochodem i co noujez zybkość amochodu. Wyniki umiezczaz w abeli. Oo a abela: Cza od począku ruchu () 0 4 6 8 0 Szybkość (m/) 0 3 4 5 Widzimy, że co każde zybkość rośnie o m/. Rośnie równomiernie. Czy umiez na podawie ej abeli obliczyć przypiezenie pojazdu? To proe: bierzemy jakiś przedział czau np. między 4 i 8, odczyujemy jakie zybkości odpowiadają ym momenom ( m/ i 4 m/), obliczamy zmianę zybkości odejmując od późniejzej warości zybkości warość wcześniejzą i dzielimy przez cza jaki upłynął między ymi dwoma momenami. 4 m/ m/ m a = = 0,5. Przekonaj ię robiąc analogiczne obliczenia, że przypiezenie obliczone dla innych przedziałów czau je dokładnie akie amo. Przypiezenie je po prou ałe, a ruch je jednoaj- 4 nie przypiezony. Przykładem ruchu jednoajnie przypiezonego je padanie ciał. Ciała, niezależnie od may, padają z przypiezeniem g = 9,8m/ (przypiezenie oznacza ię u nieypowo lierą g, żeby wyróżnić o zczególne przypiezenie). W zadaniach zkolnych częo przyjmuje ię przybliżoną warość przypiezenia ziemkiego (ak ię je nazywa) g = 0 m/. Oznacza o, że padające ciało zwiękza wą zybkość o 0 m/ w ciągu każdej kolejnej ekundy.. Jak zmienia ię zybkość w ruchu jednoajnie przypiezonym? Zależność zybkości od czau w ruchu jednoajnie przypiezonym opiuje proy wzór: zybkość= przypiezenie cza ruchu ymbolicznie : = a. Przykład: Ciało poruzało ię przez 5 ekund z przypiezeniem m/. Jaką zybkość oiągnęło ciało po ych 5?
Rozwiązanie: Korzyamy z przyoczonego wzoru. m = a = 5 0 = m. Zwróć uwagę na rachunek jednoek. 3. Jaką drogę przebywa ciało w ruchu jednoajnie przypiezonym? Drogę przebywaną w ruchu jednoajnie przypiezonym można obliczyć ze wzoru: a =, gdzie droga a przypiezenie cza ruchu. Przykład Oblicz drogę przebyą przez ciało poruzające ię ruchem jednoajnie przypiezonym z przypiezeniem a = 3 m/. Cza ruchu wynoi = 4. Rozwiązanie: Korzyamy z nazego wzoru. ( 4 ) 3 m/ = a = = 4 m. Trzeba u jezcze wpomnieć o czymś, czego w zaadzie nie muiz wiedzieć, ale możez. Czaami je ak, że ciało zaczyna poruzać ię ruchem jednoajnie przypiezonym mając już jakąś prędkość. Tę prędkość nazywamy prędkością począkową i oznaczamy zwykle 0. Problem polega na ym, że wzory na zybkość i drogę racą w ej yuacji wą akualność. Jeśli mamy do czynienia z ruchem jednoajnie przypiezonym z prędkością począkową, zybkość i drogę liczymy ze wzorów (nieco bardziej komplikowanych): = 0 + a a = 0 + 4. Na czym polega ruch jednoajnie opóźniony? Ruch jednoajnie opóźniony je podobny do jednoajnie przypiezonego w ym, że w obydwu ruchach przypiezenie je ałe. Różnica polega na ym, że w ruchu jednoajnie opóźnionym zybkość równomiernie maleje. Na przykład ak, jak w poniżzej abeli zależności zybkości od czau. Cza od począku ruchu () 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Szybkość (m/) 0 8 6 4 0 8 6 4 0 Ruch kończy ię zarzymaniem ię ciała ak wynika z abeli. 5. Naryuj wykre zależności przypiezenia od czau w ruchu jednoajnie przypiezonym. Wiemy, że w ruchu jednoajnie przypiezonym przypiezenie je ałe. Wiemy eż jak wygląda wykre ałej funkcji. No o w czym problem? Ryujemy. a
6. Jak wygląda wykre zależności zybkości od czau w ruchu jednoajnie przypiezonym? = a. Czy pamięaz jak wygląda wykre pro- Szybkość w akim ruchu rośnie proporcjonalnie do czau: porcjonalności? Tak? To dobrze. Ką nachylenia ego wykreu do poziomej oi je zależny od przypiezenia. Im więkze przypiezenie, ym więkzy ką. Z wykreu ławo możemy odczyać, że zybkość równomiernie rośnie. Jeśli podzielimy oś czau na równe części, o przekonamy ię, że odpowiadają im równe przyroy zybkości. 7. Jak wygląda wykre zależności zybkości od czau w ruchu jednoajnie opóźnionym? W ym ruchu zybkość równomiernie maleje. Wykre będzie więc prooliniowy i będzie opadał. O ak: o je zybkość począkowa po ym czaie ciało zarzymuje ię 8. Jak odczyać drogę z wykreu zależności zybkości od czau? To dość ławe. Najpierw zaanówmy ię, jak o zrobić dla ruchu jednoajnego. W akim ruchu zybkość je ała, a wykre ryowałem w poprzednim odcinku. Drogę w akim ruchu liczy ię (o eż było) mnożąc zybkość przez cza ruchu. Załóżmy, że chcemy znać drogę przebyą między momenami i. Obliczenie drogi wymaga pomnożenia zybkości ciała przez przedział czau między i. A jaka je geomeryczna inerpreacja akiego iloczynu? To po prou pole powierzchni prookąa. Jakiego? Takiego jak na poniżzym ryunku.
Tak je nie ylko dla ruchu jednoajnego. Je o prawda dla dowolnego ruchu: drogę można obliczyć licząc pole powierzchni figury pod wykreem zależności zybkości od czau. W przypadku ruchu jednoajnie przypiezonego z prędkością począkową będzie o ak: 0 9. Jak obliczyć drogę w ruchu jednoajnie zmiennym, jeśli dany je cza ruchu i prędkości: począkowa i końcowa? Można ją obliczyć poługując ię powyżzym ryunkiem. Figura pod wykreem zybkości o rapez. Wiez jak obliczyć pole rapezu? To dobrze. Podawami rapezu ą zybkości począkowa 0 i końcowa, a wyokością je cza ruchu. a + b Prapezu = h 0 + = I o je en wzór, o kóry chodziło. 30. Jaka je zależność między drogami przebywanymi w kolejnych ekundach, jeśli ruch je jednoajnie przypiezony? Chodzi o drogi przebywane w pierwzej, drugiej, rzeciej id. ekundzie. Oóż ounki ych dróg mają ię ak do iebie jak kolejne liczby nieparzye. : : : K : 3 : 5 : 7 :K : 3 4 = Nie będę ego dowodził. Trzeba jezcze wiedzieć, że ak je o ile począkowa zybkość ciała ma warość zero. Przykład Ciało ruzyło z miejca ruchem jednoajnie przypiezonym i w pierwzej ekundzie ruchu przebyło drogę m. Jaką drogę przebyło w drugiej, rzeciej, czwarej i piąej ekundzie? Rozwiązanie: Skorzyajmy z podanej wyżej właściwości ruchu jednoajnie przypiezonego. Wynika z niej, że droga przebya w drugiej ekundzie je rzy razy dłużza niż w pierwzej, w rzeciej pięć razy dłużza niż w pierwzej id. Zaem
3 4 5 = 3 m = 6 m = 5 m = 0 m = 7 m = 4 m = 9 m = 8 m 3. Na czym polega ruch jednoajny po okręgu? Króko: o aki ruch, kórego orem je okrąg, a warość prędkości je ała. Nie je naomia ały kierunek prędkości, bo być nie może, koro orem je linia krzywa. 3. Co o je okre ruchu po okręgu? Ciało krążące po okręgu po pewnym czaie wraca do punku wyjścia. W ruchu jednoajnym regularnie powraca do egoż punku. Cza, jaki zajmuje ciału jedno pełne okrążenie nazywamy okreem ruchu i oznaczamy T. 33. Jak można obliczyć zybkość w ruchu po okręgu? Szybkość w ruchu po okręgu o (ak jak w innych przypadkach) ounek drogi i czau. Załóżmy, że cza o okre ruchu, czyli cza, w kórym ciało wykonuje pełny obró. Jaka droga emu odpowiada? Je o oczywiście długość okręgu. Czy wiez jak obliczyć długość okręgu? To oczywiście = πr. Zaem zybkość wynoi πr =. T 34. Czy w jednoajnym ruchu po okręgu przypiezenie je równe zero? Co za pyanie! Jane, że je zero, przecież założyliśmy, że ruch je jednoajny! No cóż, o wcale nie je oczywie. Ruch je jednoajny, więc warość prędkości je ała. Ale o nie znaczy, że ały je jej kierunek. Przeciwnie, w ruchu po okręgu kierunek ruchu, a więc i prędkości, nieuannie ię zmienia. Wekor przypiezenia je miarą zmian prędkości i o nie ylko warości prędkości, ale eż i kierunku. Oznacza o, że nawe w jednoajnym ruchu po okręgu przypiezenie będzie różne od zera. Przypiezenie akie można obliczyć. Z akim obliczeniem zapoznaz ię w liceum. Tu przyoczę ylko jego wynik: a = R zybkość ciała w ruchu po okręgu R promień okręgu. Trzeba jezcze dodać, że wekor akiego przypiezenia je ale kierowany do środka okręgu, więc przypiezenie akie nazywa ię dośrodkowym. ZADANIA. Wjechałeś na drogę zybkiego ruchu. Traa ma długość 00 km. Przy wjeździe oi aki oo znak. Maz świeny amochód i marzyz o ym, by rochę pozaleć. Nieey na 40 kilomerze łapie cię policjan i wlepia ci manda wierdząc, że przekroczyłeś dozwoloną prędkość. Na zczęście (albo i nie) wój nowoczeny amochód ma yem rejerujący, jaką drogę przebyłeś w zależności od czau jazdy. Ta zależność je widoczna na wykreie.
droga (w kilomerach) 00 90 80 70 60 50 Cza wypiywania mandau (amochód nie poruza ię). Tu łapie cię policjan 40 30 0 0 0 0 30 40 cza (w minuach) A. Manda doałeś niełuznie, bo woja średnia zybkość na całej raie wynioła 00 km/h. B. Słuznie doałeś manda, bo woja zybkość w momencie gdy zauważył cię policjan przekraczała dozwoloną. C. Manda doałeś nieprawiedliwie, ponieważ w momencie pomiaru policyjnym radarem miałeś poniżej 00 km/h na liczniku D. Manda ci ię nie należał, bo woja średnia zybkość, zanim cię zarzymano, wynioła poniżej 00 km/h. Rozwiązanie Na raie nie wolno przekraczać 00 km/h. Przede wzykim zauważmy, że policjan nie ma żadnej możliwości by zmierzyć zybkość średnią na długim odcinku drogi już przebyej. Mierzy on zybkość jaką ma kierowca w momencie pomiaru. Zmierzenie naomia średniej zybkości na raie kóra dopiero ma być przebya, wykracza poza czyjekolwiek możliwości. Zaem manda płaci ię za przekroczenie dozwolonej zybkości w momencie pomiaru. Ani wcześniej, ani później. Co z ego wynika? To, że odpowiedzi A i D ą nieprawidłowe. Pozoaje więc odpowiedzieć, jaką zybkość miałeś na niezczęnym czerdzieym kilomerze. Oóż aką amą jak na 40 kilomerze zybkość miałeś już od dzieiąego kilomera ray. Dlaczego? Odpowiedni kawałek wykreu je prooliniowy. Wykre zależności drogi od czau je linią proą dla ruchu jednoajnego, czyli zachodzącego ze ałą zybkością. Obliczmy zybkość amochodu między 0 a 40 kilomerem. Wyarczy (zgodnie z definicją) podzielić przebyą drogę przez cza jej przebycia. Z wykreu odczyujemy, że droga wynoi 40 km 0 km = 30 km, a cza o 30 min 0 min = 0 min = h. 6 30 km km = = 80! h h 6 No mój drogi, manda o bardzo łagodna kara za akie piracwo drogowe! Poprawna je odpowiedź B.. Koniec wkazówki zegarowej poruza ię po okręgu. Kóra ze rzałek poprawnie przedawia wekor prędkości końca wkazówki? I IV 50 60 II III A. I B. II C. III D. IV Rozwiązanie Wekor prędkości o króki poób zapiania rzech informacji: kóre ciało ię poruza (mówi o ym punk zaczepienia wekora), jak zybko (o jego długość) i w kórą ronę (kierunek i zwro). Chcemy znać kierunek wekora prędkości koniuzka wkazówki zegarowej. Taki punk poruza ię (ak jak i pozoałe punky wkazówki) po okręgu. Jeśli coś poruza ię po okręgu o oczywiście nieuannie zmienia kierunek ruchu. Ale w danym momencie kierunek ruchu
wkazówki je yczny do oru, czyli w ym wypadku okręgu. Mamy dwa wekory yczne do okręgu. Są o wekory I i III. Kóry z nich je ym właściwym? Wzycy wiemy w kórą ronę obracają ię wkazówki. Je o więc wekor III. Poprawna je odpowiedź C. 3. W wyścigu rowerowym biorą udział: Arek, Barek, Czarek i Darek. Oo parę informacji o ym wyścigu. Arek przejeżdżał średnio 540 merów w ciągu minuy. Barek w ciągu ekundy przebywał średnio merów. Czarkowi zajmowało 5 ekund przejechanie 80 m. km Darek jechał z zybkością 36. h Kóry z zawodników przyjechał na meę jako pierwzy? A) Arek B) Barek C) Czarek D) Darek Rozwiązanie W zadaniu ym ćwiczymy liczenie zybkości z definicji i zamianę jednoek drogi i czau. Nie będzie żadną rewelacją, jeśli powiem, że wygra en, kóry ma najwiękzą zybkość. Trzeba więc obliczyć zybkości każdego z zawodników i wybrać najwiękzą. Porównywanie zybkości (i innych wielkości fizycznych) ma en jedynie wedy, gdy wyrażone ą w ych amych jednokach. Niech o będą mery na ekundę. No o liczmy. Arek. 540 m 540 m m = = = 9. min 60 Barek. m m = = Czarek. 80 m m 3 = = 5 Darek. km 000 m m 4 = 36 = 36 = 0. h 3600 Widać z ych obliczeń, że zwycięzcą był Czarek. Prawidłowa je odpowiedź C. km = 000m m = km 000 min = 60 h = 3600 = 3600 h 4. Janek robił doświadczenie z ruchem na orze powierznym. Oberwował ruch wózka i noował przebyą drogę (licząc od począku ruchu), oraz cza jej przebycia w paru momenach. Wpiał wyniki pomiarów do abelki. Cza ruchu w ekundach 3 4 5 Przebya droga w merach 0,3 0,6 0,9,,5 Na podawie danych z abeli można powiedzieć, że: A) Ruch był przypiezony a średnia zybkość wynoiła 0,6 m/ B) Ruch był jednoajny a zybkość wynoiła 0,3 m/ C) Ruch był przypiezony a średnia zybkość wynoiła 3 m/ 3 D) Ruch był jednoajny a zybkość wynoiła 3 m/. 3 Rozwiązanie Ćwiczymy czyanie abel. Jedno rzuca ię w oczy: co każdą ekundę przybywa yle amo drogi. Jaki ruch ma ę właność? Ruch jednoajny. To w akim ruchu droga naraa równomiernie. Wiemy już, że odpowiedzi rzeba zukać wśród C i D. By rozrzygnąć kóra z nich je prawdziwa, należy obliczyć zybkość wózka. To obliczmy.
,5 m m = = = 0,3. 5 Zwrócę jezcze uwagę, że nie ma znaczenia kóry odęp czau i odpowiadającą mu drogę wezmę do obliczeń zybkości. wychodzi zawze o amo. I ak powinno być. W ruchu jednoajnym zybkość je ała. zależność drogi od czau w ruchu jednoajnym zależność zybkości od czau w ruchu jednoajnym - droga (w merach) - cza (w ekundach) - zybkość (w merach na ekundę) - cza (w ekundach) 5. Michał podlewał kwiaki ojące na parapecie. Podcza podlewania porącił jedną z doniczek i a padła z V pięra. Kóry z wykreów przedawia zależność prędkości doniczki od czau jej padania? Opór powierza je na yle niewielki, że możemy go pominąć. A B C D - prędkość - cza Jakim ruchem je wobodne padanie ciał? Oczywiście jednoajnie przypiezonym (o ile opór powierza je znikomo mały). Kóry wykre przedawia ruch jednoajnie przypiezony? Wiemy jakim wzorem wyraża ię prędkość w ruchu jednoajnie przypiezonym: = a. Jakiego ypu je o funkcja? Cza i prędkość o zmienne, zaś przypiezenie je ałe. Je o więc funkcja poaci y = ax, czyli funkcja liniowa. Wykreem akiej funkcji je wykre A. Albo inaczej. W ruchu jednoajnie przypiezonym prędkość rośnie równomiernie. Znaczy o, że w ciągu każdej kolejnej ekundy prędkość rośnie o yle amo. W kórym przypadku ak je? Na wykreie D prędkość je ała, nie rośnie. Wykre C pokazuje malejącą prędkość ym bardziej o nie o. Wzro prędkości w czaie pokazują wykrey A i B, ale ylko w przypadku A je o wzro jednoajny, równomierny. Zwróćcie uwagę, że na ryunku B wzro prędkości je z począku powolny, a poem przybywa ej prędkości coraz więcej. Niezależnie od ego jakie rozumowanie przeprowadzimy, odpowiedź je jedna padek doniczki opiuje wykre A. 6. Oo wykrey zależności drogi od czau dla dwóch poruzających ię jednoajnie ciał.
droga (w merach) 0 9 8 7 6 5 4 3 I II 4 6 8 cza (w ekundach) 0 Pewien fizyk wypowiedział kilka zdań na ema ego wykreu.. Ciało II poruza ię wolniej niż ciało I.. Pierwze ciało wyarowało o czery ekundy wcześniej niż drugie. 3. Ruch ciał rwał równie długo. 4. Ciała pokały ię po 6 ekundach. Kóre z ych zdań ą prawdziwe? A. i 4 B. Wzykie C. Tylko D., 3 i 4 Rozwiązanie Muimy po prou przeanalizować wzykie wypowiedzi fizyka i zobaczyć kóre ą prawdziwe.. Policzmy zybkości obu ciał a będziemy wiedzieć kóre poruza ię zybciej. Z wykreu możemy odczyać, że pierwze ciało w ciągu 0 ekund przebyło drogę 0 m. Jego zybkość wynoi więc m/. Drugie w czaie ych amych 0 przebyło drogę A no właśnie. Zauważmy, że punk aru drugiego ciała nie pokrywał ię z punkem aru pierwzego. Drugie ciało zaczęło wój ruch w odległości (odczyujemy o na pionowej oi) 4 m od pierwzego. Końcowa odległość na jaką zawędrowało drugie ciało wynoi 7 m. Zaem przebya droga wynoi 7 m 4 m = 3 m. Szybkość ego 3 m m ciała wynoi więc = 0,3. Pierwze ciało je wyraźnie zybze niż drugie opinia fizyka je prawdziwa. Powiem 0 Wam coś jezcze. Tak naprawdę nie muimy nic liczyć. Wyarczy pojrzeć na wykrey. Ławo udowodnić (próbujcie o zrobić ami), że im bardziej romy je wykre zależności drogi od czau, ym więkza je zybkość. Bardziej romy je pierwzy wykre. Szybkość pierwzego ciała je więkza.. Cza je odczyywany na poziomej oi. Wykrey obydwu ruchów zaczynają ię od = 0. Nie ma żadnego opóźnienia drugiego ciała względem pierwzego wyarowały równocześnie. Fizyk kłamał (nie wierzymy, że ego nie wiedział). 3. Jak już powiedziałem, ruchy zaczynają ię w momencie = 0. Kończą ię naomia w czaie = 0. Z czego naychmiaowy wnioek, że rwają ak amo długo. Fizyk miał rację. 4. Spokanie oznacza, że ciała w pewnej chwili znajdują ię w ym amym miejcu. W ym amym miejcu, czyli w ej amej odległości od ualonego punku, na przykład od punku aru pierwzego ciała. Taki punk inieje. Je o punk odległy o 6 m od miejca gdzie począkowo było pierwze ciało. To je miejce pokania. Sało ię o po 6 od począku ruchu. Fizyk znów miał rację. Podumowując: prawdziwe ą zdania, 3 i 4. Zaznaczamy odpowiedź D. ZADANIA OTWARTE. Samochód ruzył z miejca i w ciągu 0 oiągnął zybkość 7 km/h. Jakie było średnie przypiezenie amochodu? Jaką drogę przejechał amochód w ym czaie? Rozwiązanie
Pierwzą czynnością wępną będzie doprowadzenie do zgodnych jednoek. Zamieńmy kilomery na godzinę na mery na ekundę. 000 m m 7 km/h = 7 = 0. 3600 By obliczyć warość przypiezenia korzyamy z jego definicji. a =. Przyro zybkości o 0 m/. Samochód rozpędził ię od zera do akiej właśnie zybkości. Cza w jakim o zrobił o 0. Obliczenie przypiezenia je już ławe. m 0 m a a = =. Przebyą drogę obliczamy ze wzoru =. Dlaczego ego? Dlaego, że o je właśnie wzór na 0 drogę w ruchu jednoajnie przypiezonym w yuacji, gdy prędkość począkowa je równa zeru. Należy uważać, by dooować wzór na drogę do rodzaju ruchu. Mamy już wzykie dane by obliczyć drogę w nazym zadaniu. m ( 0 ) m = = 00 = 00 m m Odpowiedź: Przypiezenie pojazdu wynioło, przebya droga o 00 m. W ruchu jednoajnie przypiezonym przypiezenie je ałe co do warości i kierunku. Jeśli prędkość począkowa je równa zero, o zależność prędkości od czau w akim ruchu wyraża ię wzorem: = a, a drogi od czau a =.. Na ryunku dany je wykre zależności prędkości od czau dla ruchu anek jadących wzdłuż zbocza górki i później po płakim erenie. prędkość (w merach na ekundę) 4 3 4 6 8 0 cza (w ekundach) Wiadomo, że pole pod wykreem zależności prędkości od czau je równe przebyej drodze. Na wykreie mamy właśnie zależność prędkości od czau. Wyarczy obliczyć pole pod wykreem, by mieć odpowiedź na naze pyanie. Kóre pole? Poparzmy na ryunek. prędkość (w merach na ekundę) 4 3 4 6 8 0 cza (w ekundach) a + b Liczymy pole rapezu. Pamięacie wzór? P = h. + 6 m = P = 3 = 7 m. Tak przy okazji: jakim ruchem poruzają ię anki? Ruch je dwueapowy. W pierwzych 6 ekundach zybkość równomiernie rośnie ruch je jednoajnie przypiezony. Później zybkość anek ię nie zmienia ruch je jednoajny. Spróbujcie obliczyć drogę oując odpowiednie wzory. Czy wyzło o amo? Drogę w dowolnym ruchu orzymamy licząc pole powierzchni pod wykreem zależności prędkości od czau.
Sprawdzian.. Ciało poruzało ię ruchem jednoajnie przypiezonym bez prędkości począkowej. Przypiezenie ego ciała wynoiło a, ruch rwał ekund. Przebya droga wyraża ię wzorem =. Cza porzebny na przebycie ej drogi wyno- a i więc: A) = a B) = C) = D) = a a a. Pociąg jedzie z prędkością 0 m/. W wagonie chodzi am i z powroem z prędkością m/ zdenerwowany paażer. Jaką prędkość paażera zmierzyłby (gdyby mu ię chciało) ojący na peronie pracownik PKP? A) 0 m/ niezależnie od kierunku ruchu paażera. B) 8 m/ jeśli paażer idzie zgodnie z kierunkiem jazdy pociągu, m/ jeśli idzie w ronę przeciwną. C) m/ jeśli paażer idzie zgodnie z kierunkiem jazdy pociągu, 8 m/ jeśli idzie w ronę przeciwną. D) m/ niezależnie od kierunku ruchu paażera. 3. W abeli Zbyzek zanoował wyniki pomiarów prędkości wózka w paru momenach. Cza () 0 3 4 Prędkość (m/) 0 8 6 4 Z jakim ruchem mamy do czynienia? A) Zmiennym z malejącym przypiezeniem B) Jednoajnym C) Jednoajnie przypiezonym D) Jednoajnie opóźnionym. 4. Samochód ruza z miejca, rozpędza ię, jedzie jakiś cza ze ałą prędkością, a naępnie równomiernie hamuje i zarzymuje ię. Kóry z wykreów najlepiej przedawia zależność prędkości amochodu od czau? A) B) C) D) 5. Policjan zauważył pędzącego amochodem z prędkością 30 m/ pozukiwanego liem gończym przeępcę. Przeępca ma 00 m do wojej kryjówki. Policjan naychmia wiada do amochodu i ruza w pościg dając z iebie (i amochodu) wzyko. Samochód ma makymalne przypiezenie m/, a jego makymalna prędkość w danych warunkach wynoi 40 m/. Czy policjan dogoni przeępcę? A) Nie, nie dogoni go B) Tak dogoni go w połowie drogi C) Tak, dogoni go na progu kryjówki D) Dane zadania nie pozwalają odpowiedzieć na o pyanie. 6. Turya przejechał rowerem 36 kilomerów w ciągu godzin. Szybkość aka wydała mu ię opymalna i z aką amą poanowił konynuować podróż. Jaką drogę przebył w czaie naępnych 3 godzin? A) 54 km B) 7 km C) 36 km D) 8 km Sławomir Jemieliy