Modele i metody automatyki. Układy automatycznej regulacji UAR



Podobne dokumenty
Automatyka i sterowania

Podstawy Automatyki. wykład 1 ( ) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. Wykład 7 - obiekty regulacji. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Przekształcanie schematów blokowych. Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia:

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania

Rys. 1 Otwarty układ regulacji

1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI

Obiekt. Obiekt sterowania obiekt, który realizuje proces (zaplanowany).

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Automatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy

Podstawy Automatyki. Wykład 4 - algebra schematów blokowych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 4 - algebra schematów blokowych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Procedura modelowania matematycznego

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

Ćwiczenie 3 Badanie własności podstawowych liniowych członów automatyki opartych na biernych elementach elektrycznych

Podstawy Automatyki. Wykład 4 - algebra schematów blokowych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

M10. Własności funkcji liniowej

Laboratorium z automatyki

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Systemy. Krzysztof Patan

Modele i metody automatyki

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

Całkowanie numeryczne

Rozwiązywanie równań nieliniowych

II. STEROWANIE I REGULACJA AUTOMATYCZNA

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

1. Regulatory ciągłe liniowe.

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

ELEMENTY AUTOMATYKI PRACA W PROGRAMIE SIMULINK 2013

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

III. DOŚWIADCZALNE OKREŚLANIE WŁAŚCIWOŚCI UKŁADÓW POMIAROWYCH I REGULACYJNYCH

13. Równania różniczkowe - portrety fazowe

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

Rachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski

Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

4. Właściwości eksploatacyjne układów regulacji Wprowadzenie. Hs () Ys () Ws () Es () Go () s. Vs ()

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

Transmitancje układów ciągłych

Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

Politechnika Warszawska Instytut Automatyki i Robotyki. Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny PODSTAWY AUTOMATYKI

Regulacja dwupołożeniowa.

Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych

Wymagania edukacyjne z matematyki

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY PIERWSZEJ

Definicje i przykłady

Instrukcja do ćwiczenia 6 REGULACJA TRÓJPOŁOŻENIOWA

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Podstawy automatyki. Energetyka Sem. V Wykład 1. Sem /17 Hossein Ghaemi

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

Sztuczna Inteligencja Tematy projektów Sieci Neuronowe

WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

Funkcja liniowa - podsumowanie

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Automatyka i robotyka

Mgr Kornelia Uczeń. WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa VII-Szkoła Podstawowa

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH

ĆWICZENIE 6 OBWODY NIELINIOWE PRĄDU STAŁEGO Podstawy teoretyczne ćwiczenia

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Przedmiotowy system oceniania

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Automatyka i Regulacja Automatyczna Laboratorium Zagadnienia Seria II

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

Regulatory o działaniu ciągłym P, I, PI, PD, PID

Dobór parametrów regulatora - symulacja komputerowa. Najprostszy układ automatycznej regulacji można przedstawić za pomocą

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

Transkrypt:

Modele i metody automatyki Układy automatycznej regulacji UAR

Możliwości i problemy jakie stwarzają zamknięte układy automatycznej regulacji powodują, że stały się one głównym obiektem zainteresowań automatyków. Opracowano pewne klasyczne algorytmy regulacji, które znalazły szerokie zastosowanie. Do doboru regulatora i jego dostrojenia potrzebna jest znajomość cech statycznych i dynamicznych obiektu, oraz kryterium pozwalające oceniać i porównywać uzyskane wyniki. Istotny jest również charakter działających na układ zakłóceń. Błąd regulacji powstaje w wyniku działania zakłóceń wpływających na obiekt, lub zmian wielkości wzorcowej. Reakcja układu zależy od miejsca ingerencji zaburzenia i dla optymalnego zwalczania błędu w poszczególnych przypadkach regulator powinien być inaczej dostrojony.

Uwzględniając ten fakt rozróżniamy trzy typy układów: 1. Układ stabilizacyjny, w którym wielkość x(t) = x0 jest stała. Głównym zadaniem układu jest zwalczanie wpływu zakłóceń działających na obiekt. 2. Układ nadążny (śledzący) x(t) - jest zmienna. Głównym zadaniem układu jest wymuszanie nadążania wielkości wyjściowej za nieznanymi wcześniej zmianami wzorca. 3 Układ programowy, w którym błędy regulacji mogą wynikać ze zmienności x(t) i z(t), ale zmienność x(t) jest znaną funkcją czasu i fakt ten można wykorzystać do poprawy jakości regulacji. (Można wprowadzić do regulatora zmodyfikowany sygnał wzorcowy, uwzględniający wynikające z dynamiki układu opóźnienie w formowaniu pożądanej wielkości wyjściowej.).

Istnieją układy regulacji nie objęte powyższym podziałem. Realizują one inaczej postawione zadania, co wynika z niemożności przyjęcia przytoczonych założeń, nazywamy je układami specjalnymi (niekonwencjonalnymi, ekstremalnymi, adaptacyjnymi). Nawet przy spełnieniu omówionych założeń w przypadku wysokich wymagań jakościowych i obiektów zbyt trudnych do regulacji, ze względu na dynamikę, popularne algorytmy regulacji mogą nie dać zadawalających wyników. Stosowane są wówczas, na ogół realizowane cyfrowo, algorytmy specjalne. W układach ze sprzężeniem zwrotnym bardzo istotne jest opóźnienie występujące w dopływie do regulatora informacji o reakcji obiektu na zmiany sterowania. Opóźnienia te powodują, że regulator wypracowuje korektę sterowania na podstawie zdezaktualizowanej informacji. Prowadzi to do wolnego zaniku błędu regulacji, a w skrajnym przypadku do teoretycznie nieograniczonego wzrostu błędu, co określamy jako utratę stabilności przez układ regulacji.

Cechy statyczne elementów UAR. Linearyzacja. Względy praktyczne (możliwość korzystania z zasady superpozycji) powodują, że jeżeli jest to tylko możliwe posługujemy się modelami liniowymi. Założenie liniowości zawsze obowiązuje z pewnymi ograniczeniami. Opis cech statycznych (związków niezależnych od czasu) obiektów, czyli matematyczny model ujmujący związki pomiędzy interesującymi nas wielkościami w stanach ustalonych prowadzi się z większą dokładnością niż cech dynamicznych. Statyczne błędy regulacji nie przekraczają kilku procent, natomiast błędy dynamiczne sięgają 100% ale mają charakter przejściowy. Przy opisie cech dynamicznych możemy sobie pozwolić na większa tolerancję i staramy się zlinearyzować występujące zależności. Technologia wymaga aby na etapie doboru nominalnego punktu pracy obiektu uwzględniać nieliniowy charakter zależności statycznych y = f (u), które ewentualnie później będzie można zlinearyzować.

Rozróżniamy wiele typów nieliniowości charakterystyk statycznych i często nie będzie ich można zlinearyzować. Dotyczy to wystąpienia w interesującym nas zakresie charakterystyki nieciągłości funkcji, niejednoznaczności, nieciągłości pierwszej pochodnej. Znacznie lepiej nadają się do linearyzacji funkcje gładkie.

Stosowane są dwie metody linearyzacji. Jeżeli tak jak w układzie stabilizacyjnym, istnieje punkt pracy od którego stan nie powinien się znacznie oddalać to stosujemy metodę stycznej. Jeżeli natomiast przewidujemy pracę w pewnym przedziale zmienności zmiennej niezależnej to stosujemy metodę siecznej.

Metoda stycznej polega na przybliżeniu funkcji nieliniowej linią prostą styczną do niej w przyjętym punkcie nominalnym. Jeżeli zależność nieliniowa podana jest w formie analitycznej to stosujemy rozwinięcie funkcji w szereg Taylora wokół przyjętego punktu pracy i uwzględniamy tylko dwa pierwsze wyrazy.: Następnym krokiem w zadaniach automatyki jest przesunięcie początku Następnym krokiem w zadaniach automatyki jest przesunięcie początku układu współrzędnych do punktu styczności (y 0, u 0 ), przez podstawienie: y=y 0 +y*;u=u 0 +u*.pozbędziemysięwtensposóbwyrazuwolnego:

Metoda stycznej interpretacja graficzna

Metoda siecznej polega na zastąpieniu krzywej w zadanym przedziale prostą przecinającą krzywą w wybranych dwóch punktach (lepsze przybliżenie można uzyskać stosując metodę minimum całki z kwadratu odchyłki między krzywą, a przyjętą prostą). Przy funkcji podanej analitycznie mamy: Po przesunięciu układu współrzędnych do punktu ( y 1, u 1 ), przez podstawienie: y = y 1 + y*; u = u 1 + u* pozbędziemy się wyrazu wolnego:

Metoda siecznej interpretacja graficzna

Linearyzacja elementów UAR. Jeżeli w UAR występują człony nieliniowe to chcąc je zlinearyzować musimy na wstępie określić punkty (przedziały) ich nominalnej pracy. Wymaga to określenia nieliniowych zależności pomiędzy zmiennymi układu. W układzie mogą wystąpić trzy podstawowe sytuacje połączenia bloków nieliniowych: szeregowe, równoległe i ze sprzężeniem zwrotnym. Nieliniowe zależności statyczne między sygnałami najczęściej podane są w formie graficznej i wypadkowe charakterystyki zastępcze wyznacza się graficznie. Połączenie szeregowe. W połączeniu przykładowym dysponujemy charakterystykami a = f 1 (u) i y = f 2 (a). Charakterystyki te możemy umieścić na wspólnym wykresie i kolejno dla poszczególnych wartości u wyznaczać punkty charakterystyki wypadkowej jak na rysunku przykładowym zgodnie z relacją:

Połączenie równoległe. Wspólny sygnał po przejściu przez dwa bloki jest w zależności od znaków stojących przy sumatorze dodawany lub odejmowany. Operację tę ilustruje rysunek poniżej, zgodnie z relacją:

Połączenie bloków ze sprzężeniem zwrotnym. Szukamy funkcji y = f(u). Wielość sygnałów po stronie u powoduje, że łatwiej jest wyznaczyć funkcje odwrotną u = f -1 (y). W ten sposób możemy przyjmując kolejne wartości y wyznaczyć odpowiadające im wartości po czym uzyskaną zależność trzeba znów odwrócić. Zamiast dwukrotnego odwracania funkcji wystarczy na czas operacji zmienić role osi odciętych i rzędnych i przyjmując kolejne wartości y odczytać każdorazowo wartość a z funkcji y = f 1 (a) i b z krzywej y = f -1 2 (b). Czyli tylko funkcję f 2 trzeba odwrócić. Zauważmy, że ze względu na typ i jednostki sygnału b i y, w podanym układzie współrzędnych możemy narysować tą zależność tylko jako odwróconą. Aby układ mógł działać poprawnie uzyskane zależności muszą być jednoznaczne. Mając w układzie zadaną konkretną wartość wejściową, korzystając z przytoczonych przekształceń, wyznaczamy odpowiadającą jej wartość wielkości wyjściowej i punkty pracy wszystkich bloków. Następnie charakterystyki poszczególnych bloków linearyzujemy metodą stycznych wokół punktów pracy. W przypadku przewidywanej zmienności wielkości wejściowej w pewnym przedziale, stosujemy metodę siecznych.

Modele dynamiki. Potrzeba szybkiej minimalizacji pojawiających się na skutek działania zakłóceń błędów regulacji wymaga odpowiedniego dobrania i dostrojenia pod kątem dynamicznym elementów automatyki. W tym celu musimy przede wszystkim określić dynamikę obiektu. Istnieją dwa czynniki opóźniające stabilizację sygnału wyjściowego na nowym poziomie równowagi, po zmianie wartości wielkości wejściowej: opóźnienie transportowe(czas martwy) i bezwładność obiektów. Opóźnienie transportowe spowodowane jest skończoną prędkością nośników informacji. Przy szybkim nośniku informacji i krótkich trasach jej transportu opóźnienie transportowe może być niezauważalnie małe, ale nawet tak szybki nośnik informacji jakim jest światło w skali kosmicznej daje równie kosmiczne opóźnienia. W zadaniach technologicznych opóźnienia o charakterze transportowym mogą być na tyle duże, że uniemożliwią sprawne działanie UAR.

Duże opóźnienia mają miejsce gdy dotyczą transportu masy (np. ciecz o zmienianym składzie chemicznym transportowana jest na znaczną odległość). Opóźnienia utrudniające, lub uniemożliwiające działanie UAR wynikają często z trudności w szybkim pozyskaniu informacji o zmianach wielkości regulowanej. Opóźnienie transportowe wywołuje przesunięcie sygnału w czasie, które zapisujemy: f (t - τ) i wynosi ; gdzie: l jest długością drogi jaką pokonuje sygnał z prędkością v. Bezwładność wynika z faktu, że nowy stan równowagi wymaga zmiany poziomu napełnienia znajdujących się w obiekcie magazynów energii. Prędkość przepływu energii pomiędzy magazynami jest ograniczana przez opory i zależy na ogół od różnicy stanu ich napełnienia, więc w trakcie wyrównywania poziomów prędkość ta ulega zwolnieniu.

Jeżeli w obiekcie występują tylko skupione magazyny energii i obowiązują wcześniej przyjęte założenia liniowości i stacjonarności obiektu to zależność wielkości wyjściowej od sterowania możemy opisać jednym równaniem różniczkowym n-tego rzędu. Gdzie n jest równe ilości uwzględnianych w obiekcie magazynów energii.: Znak = rozdziela skutki od przyczyny. Z tego faktu wynika, że w realnym Znak = rozdziela skutki od przyczyny. Z tego faktu wynika, że w realnym układzie n>m. Opis układu w którym n = m choć często przyjmowany, jest już tylko modelowym przybliżeniem rzeczywistości bo zakłada równoczesność reakcji z pobudzeniem. Postać lewej strony równania wynika z budowy obiektu, a prawej zależy od miejsca i sposobu sterowania obiektem i przyjęcia zgodnie z naszymi zainteresowaniami określonego sygnału wyjściowego.

W układach automatyki występuje z reguły większa ilość członów dynamicznych w połączeniach: szeregowych, równoległych i w pętlach sprzężenia zwrotnego. Poszczególne sygnały podlegają w nich obróbce, z tego względu bardzo istotną jest możliwość algebraizacji równań różniczkowych jakie daje przekształcenie Laplace a. Równanie, przy założeniu zerowych warunków początkowych, (co w większości zadań rozwiązywanych w badaniu UAR nie jest istotnym ograniczeniem), po zastosowaniu przekształcenia Laplace`a przyjmie postać:

Wprowadzimy się pojęcie transmitancji, która w dziedzinie zmiennej s opisuje obróbkę sygnału w danym obiekcie. czyli Transmitancja obiektu reprezentującego tylko opóźnienie transportowe f (t - τ)ma postać:

W układach liniowych można dokonywać zmian konfiguracji układu blokowego, przestrzegając jedynie aby sygnał na swojej drodze pomiędzy wejściem, a interesującym nas wyjściem był tak samo obrobiony. Z tego punktu widzenia nieistotna jest kolejność usytuowania poszczególnych bloków oraz to czy przez dany blok przechodzą równocześnie inne sygnały. W UAR mogą wystąpić trzy elementarne połączenia członów: szeregowe, równoległe i z pętlą sprzężenia zwrotnego. Odpowiednie transmitancje zastępcze można łatwo wyznaczyć.

Szeregowe połączenie członów: Zgodnie z oznaczeniami jak na rysunku powyżej wyliczmy transmitancję wypadkową: Zastępcza transmitancja szeregowo połączonych członów, równa jest iloczynowi transmitancji.

Równoległe połączenie członów: Zastępcza transmitancja równolegle połączonych członów, równa jest sumie transmitancji.

Połączenie członów w układzie ze sprzężeniem zwrotnym: Zgodnie z oznaczeniami jak na rysunku, z sumatora wynika związek:

Ostatecznie otrzymujemy wzór na transmitancję zastępczą: Każde przekształcenie schematu blokowego liniowego UAR da się sprowadzić do powyższych trzech przypadków elementarnych.

Korzystając z powyższych przekształceń UAR możemy przedstawić w zwięzłej formie, jak na rysunku poniżej, wyróżniając tylko dwa bloki. Obiekt reprezentuje część technologiczną układu, a regulator elementy automatyki. Zwraca się tu uwagę na dwa sygnały wejściowe w i z ingerującewpracęukładuidwawyjściayiε. Sygnał y ma istotne znaczenie technologiczne, a sygnał błędu ε wykorzystywany jest do oceny jakościowej pracy układu.