Fakulta biomedicínského inženýrství Teoretická elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhlíř, CSc. Léto 2017
5 1. Obvody druhého řádu frekvenční a časová analýza Širokopásmový obvod Rezonanční obvod 1
RC obvod druhého řádu Řešení časové odezvy složitějšího obvodu U U 2 X U 2 R1 100 L1 10m L1 10m U 1 R2 1k L2 0.1 I 1 R1 100 R2 1k L2 0.1 Dvě diferenciální rovnice pro dvě nezávislá napětí u x a u 2 vytvořená skokem napětí u 1 = 1(t)U 2
Pro u x (t) při nulových počátečních podmínkách platí I 1 = u 1 = u x + 1 R 1 R 1 L (u x u 2 )dt 1 0 Laplaceův obraz U x (p) odvodíme z Laplaceovy transformace uvedené diferenciální rovnice: t U x (p) = U 2(p)R 1 + U 1 (p)pl 1 R 1 + pl 1 Pro u 2 (t) při nulových počátečních podmínkách platí t u 2 + 1 R 2 L u 2dt + 1 2 0 L (u 2 u x )dt = 0 1 0 Dosazením obrazu U x (p) do obrazu druhé diferenciální rovnice a s použitím obrazu pro u 1 (t) ve tvaru U 1 (p) = U 1 p dostaneme Laplaceův obraz pro U 2 (p) t U 2 (p) = U L 2 L 1 1 p 2 + p ( R 1 L 2 R 2 L 1 + L 2 L 1 + 1 ) + R 1 L 1 3
Pro nalezení časového průběhu je třeba nalézt k uvedenému Laplaceovu obrazu odpovídající předmět U 2 (p) = U R 2 1 L 1 p 2 + p ( R 1 L + R 2 1 L + R ) 2 2 L + R 1 R 2 1 L 1 L 2 U 2 (p) = R 2 L 1 U (p λ 1 )(p λ 2 ) u 2 (t) = R 2 L 1 U (λ 1 λ 2 ) ( e λ 1 t e λ 2t ) Pro dané hodnoty L 1 = 10mH, L 2 = 100mH, R 1 = 100Ω, R 2 = 1kΩ, dostaneme hodnoty λ 1 = 119160, λ 2 = 840 4
Obvod druhého řádu HUS širokopásmový obvod (zjednodušený model transformátoru) R 1 L 1 Û 1 L 2 R 2 Û 2 L 1 rozptylová indukčnost L 2 hlavní indukčnost R 1 odpor vinutí R 2 přetransformovaný odpor zátěže a ztráty v jádře 5
Ẑ 1 = R 1 + jωl 1, Ẑ 2 = jωl 2R 2 R 2 + jωl 2, Û 2 = Û 1 Ẑ 2 Ẑ 1 + Ẑ 2 a odtud Û 2 = Û 1 1 ( 1 + R 1 R 2 + L 1 L 2 ) j ( 1 ωτd ωτ i ). kde τ d = L 2 R a τ 1 i = L 1 R jsou časové konstanty pro derivační a integrační 2 charakter frekvenční závislosti přenosu. 6
U 2m = U 1m 1 (1 + R 1 R 2 + L 1 L 2 ) 2 + ( 1 ωτd ωτ i ) 2. Jestliže budeme považovat fázi vstupního napětí za nulovou, pak můžeme pro fázi výstupního napětí najít frekvenční závislost ve tvaru ( ) ( ) 1 Im(H(jω)) ωτd ωτ i ϕ(ω) = arctg = ( Re(H(jω)) 1 + R 1 R + L ). 1 2 L 2 Kvalitní transformátor vykazuje R 1 R 2 a L 1 L 2. Potom v určitém pásmu kmitočtů, kde ϕ 0 bude U 2m U 1m. Pro takový transformátor platí τ i τ d a lze přibližně určit šířku přenášeného pásma, t.j. frekvenční interval, ve kterém je fáze ϕ = ±45 ω 1/τ i 1/τ d 7
Nízkofrekvenční (audio) transformátor 5 0-5 -10-15 -20 10 100 1K 10K 100K db(v(1)) F (Hz) 150 100 50 0-50 -100 10 100 1K 10K 100K ph(v(1)) (Degrees) F (Hz) L 1 = 10 mh, L 2 = 200 mh, R 1 = 50 Ω, R 2 = 1kΩ, f 16kHz 8
Sériový rezonanční obvod RLC ve frekvenční oblasti Û Î R L 2,533 C 1 µf Î = Û R + jωl + 1 jωc jωc = Û (1 ω 2 LC) + jωrc označíme 1 LC = ω2 r, kde ω r = 1 LC = 2πf r je rezonanční kmitočet. 9
Û U m sin ωt Î I m sin(ωt + ϕ) ωc I m = Î = U m (1 ω 2 LC) 2 + (ωrc) 2 ϕ = arctg ( 1 ω 2 LC ωrc ) když ω = ω r = 1 LC, bude obvod naladěn do rezonance: ωc I m = Î = U m = U m (1 ω 2 LC) 2 + (ωrc) 2 R ϕ = arctg ( 1 ω 2 LC ωrc ) = 0 10
RLC obvod frekvenční charakteristika log(i/i0) [db] (i0 = -15-30 -45-60 -75-90 Q < 0, 5 Q = 4 Q = 40 100 ϕ [ ] 50 0-50 -100 10 100 1K logf [Hz] 11
Napětí na induktoru Û L = jωlî = Û ω 2 LC (1 ω 2 LC)+jωRC Při rezonanci Û L = jû 1 ω r RC = jq Û kde Q = ω 1 r RC = R 1 LC je činitel jakosti obvodu U Lm = U m Q ϕ = π/2 50 V ULm 40 V 30 V 20 V 10 V 0 V 70 Hz 100 Hz 140 Hz U m = 1 V Q = 40 log(f) 12
Šířka pásma mezní kmitočty ϕ = ±45, U Rm /U m = 3dB Û R = Û ωrc jωrc ω 2 LC+1 ϕ = ±45 = 1 ω2 LC ωrc = ±1 U Rm [db] Pro Q > 5 ω 1,2 = ω r (1 ± 1 2Q ) = Q = 7,5 0,0-7,5 ω r ω 1 ω 2 = f r / f(3db) -3 db -15,0-22,5-30,0 98,75Hz 101,25 Hz f 100 Hz =2,50 Hz 13
Přechodný děj při sinusovém buzení rezonančního obvodu zdrojem napětí U m = 1V, f = 100Hz, Q = 40. R1 60 RLC-HUS.cir 39.5 1u C1 40 20 V1 2.533 L1 0-20 -40 0m 100m 200m 300m 400m 500m v(3) (V) T (Secs) Napětí na svorkách induktoru 14
Obvod druhého řádu odezva na skok širokopásmový obvod (zjednodušený model transformátoru) R 1 pl 1 R 2 U 1 (p) = 1 pl p U 2 U 2 L 1 rozptylová indukčnost L 2 hlavní indukčnost R 1 odpor vinutí R 2 přetransformovaný odpor zátěže a ztráty v jádře 15
S použitím obrazu pro u 1 (t) ve tvaru U 1 (p) = U 1 p dostaneme Laplaceův obraz pro U 2 (p) U 2 (p) = U R 2 1 L 1 p 2 + p ( R 1 L + R 2 1 L + R ) 2 2 L + R 1 R 2 1 L 1 L 2 U 2 (p) = R 2 L 1 U (p λ 1 )(p λ 2 ) u 2 (t) = R 2 L 1 U (λ 1 λ 2 ) Pro dané hodnoty ( e λ 1 t e λ 2t ) L 1 = 10mH, L 2 = 100mH, R 1 = 100Ω, R 2 = 1kΩ, dostaneme hodnoty λ 1 = 119160, λ 2 = 840 16
Řešení integrodiferenciální rovnice s konstantními koeficienty s použitím Laplaceovy transformace nalezlo vzorec popisující časovou funkci vybrané obvodové veličiny, tedy řešení v analytickém tvaru. Simulační programy pro dané parametry obvodových prvků využívají numerické řešení obvodových rovnic a vedou k získání průběhu napětí a proudů v konkrétním obvodu, aniž je potřeba znát analytické výrazy, které je popisují. 17
Na obrázku je srovnání výstupu z Matlabu a Microcapu 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 Matlab 0 1 2 3 x 10-4 1. MicroCap 0.75 0.50 0.25 0. 0.u 60.u 120.u 180.u 240.u 300.u L1 = 0.01; L2 = 0.1; R1 = 100; R2 = 1000; t = [0 : 1e 6 : 3e 4]; U = 1; lambda = roots([1 R1/L1 + R2/L2 + R2/L1 R1 R2/(L1 L2)]); u2 = (R2/L1) (1/(lambda(1) lambda(2))) (exp(t lambda(1)) exp(t lambda(2))); plot(t, u2) 18
Sériový rezonanční obvod RLC v časové oblasti i(t) R U 0 L 2,533 H C 1 µf 19
Obvod popisuje integrodiferenciální rovnice Ri + L di dt + 1 C t 0 i(τ)dτ = U 0 pro t > 0 a u C (0+) = 0 připomeňme rezonanční kmitočet a činitel jakosti 1 LC = ω2 r, Q = 1 R L C = ω rl R = 1 ω r RC, které doplníme o činitel tlumení α = R 2L = ω r 2Q 20
Laplaceův obraz rovnice popisující proud v obvodu při nulových počátečních I(p) = U 0 L podmínkách je ( I(p) R + pl + 1 ) pc 1 (p 2 + 2αp + ωr 2 ) = U 0 L = U 0 p 1 (p λ 1 )(p λ 2 ) Pokud λ 1 λ 2, pak je časový průběh dán vztahem i(t) = U 0 L(λ 1 λ 2 ) kde λ 1,2 = α ± ( e λ 1 t e λ 2t ) α 2 ω 2 r 21
Pokud α = ω r, je I(p) = U 0 L 1 (p 2 + 2αp + α 2 ) = U 0 L a tomu odpovídající časový průběh 1 (p + α) 2 i(t) = U 0 L t e αt Pokud λ 1,2 jsou dvě reálná čísla (α > ω r ), bude časový průběh i(t) = 2L U 0e αt α 2 ω 2 r ( e t α 2 ωr 2 e t ) α 2 ωr 2 Pokud λ 1,2 jsou dvě komplexně sdružená čísla (α < ω r ), bude i(t) = 2jL U 0e αt ω 2 r α 2 ( e jt ω 2 r α2 e jt ω 2 r α2) = = U 0e α t ( ) L ω sin t ω 2 r 2 α 2 r α 2 22
Odezva RLC obvodu (R = 3500 Ω) na skok napětí (U 0 = 10 V) 2.5mA 2 1.5 t=[0:0.0001:0.02]; 1 U=10; R=3500; C=1e-6; 0.5 L=2.533; alfa=r/(2*l) 0 omegar=1/sqrt(l*c) fr=omegar/(2*pi) 0 20ms i=(u*exp(-alfa*t)/(2*l*sqrt(alfa^2-omegar^2))). *(exp(t*sqrt(alfa^2-omegar^2))-exp(-t*sqrt(alfa^2-omegar^2))); plot(t,i) ω r = 628.32 [rad/s] (f r = 100 [Hz]) α = 691 [1/s] 23
Odezva RLC obvodu (R = 400 Ω) na skok napětí (U 0 = 10 V) 6mA 5 4 3 2 1 t=[0:0.0001:0.1 ]; 0 U=10; R=400; -1 C=1e-6; -2 L=2.533; -3 alfa=r/(2*l) omegar=1/sqrt(l*c) -4mA fr=omegar/(2*pi) 100ms i=(u*exp(-alfa*t)/(2*l*sqrt(alfa^2-omegar^2))). *(exp(t*sqrt(alfa^2-omegar^2))-exp(-t*sqrt(alfa^2-omegar^2))); plot(t,i) ω r = 628.32 [rad/s] (f r = 100 [Hz]) α = 79 [1/s] 24
Pro α = ω r je obvod na mezi aperiodicity. Odezva nemá překmit proudu opačné polarity. Přechodný děj je nejkratší možný: i(t) = U 0 L t e αt 25mA 0 0 20ms 25
5 2. Vedení 26
Homogenní vedení vedení se ztrátami R/2 L/2 L/2 R/2 C G bezeztrátové vedení L/2 L/2 C 27
Model bezeztrátového vedení L/2 L L L L L L/2 C C C C C C 28
Dlouhé vedení se chová na obou koncích jako obvod s impedancí Z 0. Jde však o obvod, kterým se šíří vlna, která postupně energii ukládá do bezeztrátových prvků L a C a na konci vedení ji odevzdává do zátěže. Pro charakteristickou impedanci platí Z 0 = L C, [ Ω ] kde L je indukčnost a C je kapacita vedení na jednotku délky. Zpoždění na jednotku délky je dáno vztahem t d = L C. [ s ] 29
Vlastnosti některých vedení L [nh/m] C [pf/m] Z 0 [Ω] t d [ns/m] vodič ve vzduchu kroucená dvoulinka plochý kabel koax. kabel 2000 6 600 500-1000 500-1000 50-100 50-100 250 100 50 80-120 80-120 3,5 5-10 5-10 5 30
Úplný obvod s dlouhým vedením R 0 Z 0 t d u 0 u A u B R z 31
Pro popis chování obvodu zavedeme dva koeficienty odrazu ρ A = R 0 Z 0 R 0 + Z 0 a ρ B = R z Z 0 R z + Z 0. Je-li na vstup v čase t = 0 zaveden impuls o velikosti U = u 0 (0) platí u A (0) = U následující vztahy Z 0 Z 0 + R 0, u B (0) = 0. Potom u B (t d ) = u A (0)(1 + ρ B ) u A (2t d ) = u A (0)(1 + ρ B + ρ B ρ A ) u B (3t d ) = u A (0)(1 + ρ B + ρ B ρ A + ρ B ρ A ρ B ) u A (4t d ) = u A (0)(1 + ρ B + ρ B ρ A + ρ B ρ A ρ B + ρ B ρ A ρ B ρ A ) u B ( ) = u A ( ) = U R z R z + R 0. 32
Přechodný děj na vedení Z 0 = 50 Ω, R 0 = 5 Ω, R z = 500 Ω. 15 10 5 0 15 10 5 0-5 20 10 0-10 0ns 5ns 10ns 15ns 20ns 25ns 30ns 35ns 40ns 0ns 5ns 10ns 15ns 20ns 25ns 30ns 35ns 40ns 0ns 5ns 10ns 15ns 20ns 25ns 30ns 35ns 40ns u 0 u A u B 33
Obvod s periodickým impulsním signálem Z 0 = 100Ω t d = 100ns u 0 = 5V R 0 = 30Ω t i = 250ns t p = 500ns R z = 2kΩ ub ua u0 7,5 6,0 4,5 3,0 1,5 0,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0-2,0 20,0 15,0 10,0 5,0 0,0-5,0 0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 t 34
Podmínky pro zakončování vedení ρ B = 0, tedy tehdy, kdy R z = Z 0. Vedení je na svém konci impedančně přizpůsobeno a napětí se na výstupu ustálí okamžitě po uplynutí doby t d. Na vstupu je napětí odpovídající ustálenému stavu okamžitě s příchodem vrcholu vstupního impulsu a již se nezmění. ρ A = 0 a ρ B = 1, tedy tehdy, kdy R 0 = Z 0 a současně R z. Vedení je impedančně přizpůsobeno ke zdroji signálu a na výstupu je naprázdno (častý případ spojení obvodů CMOS). V tomto případě se na vstupu vedení vytvoří nejprve napětí poloviční než má zdroj impulsu, takový impuls se šíří vedením, na jehož konci se při odrazu zdvojnásobí na hodnotu shodnou s napětím zdroje a když odražená vlna dorazí zpět na vstup, ustálí se vstupní napětí na vrcholu vstupního impulsu. 35
ρ A = 0 a ρ B = 1, tedy tehdy, kdy R 0 = Z 0 a současně R z = 0. Vedení je přizpůsobeno na vstupu a na konci je zkrat. Na vstupu vedení se vytvoří napětí poloviční než je napětí zdroje U. Vlna s touto výškou se šíří ke konci vedení a odrazí se s opačnou polaritou (na zkratu je nulové napětí) a za dobu 2t d se na vstupu vedení vytvoří ustálené nulové napětí. Takto lze generovat na vstupu vedení krátké, poměrně přesně časově definované impulsy.
Všechny zdroje signálu jsou zatíženy charakteristickými impedancemi připojených vodičů. To se však projevuje jen v době, kdy se ze zdroje šíří dopředná vlna a na vstupních svorkách nepůsobí odražené vlny. Pokud se napětí na vedeních mění tak pomalu, že se zpětná vlna vrátí dříve než se vstupní signál výrazně změní, pak lze s bezeztrátovým vedením počítat jako s vodičem o nulovém odporu a na vstupu vedení počítat s vlastnostmi obvodu, ke kterému vedení vede. Pro posouzení nutnosti řešit spoj s ohledem na odrazy a související defekty v napět ových úrovních platí empirický vztah t r 2 t d l, který říká, že vedení o délce l ovlivní významně přenos impulsů, pokud impulsy mají trvání čela kratší, než je dvojnásobek doby zpoždění. Např. pro kroucený pár se zpožděním t d = 10 ns/m a impulsy s časem t r = 2 ns, začne být vliv odrazů významný již od délky spoje 10 cm. 36
Odrazy na vedení - grafická konstrukce (Bergeronův diagram) R 0 i u z Rz Z0 u u 0 37