Matematické modelování elmg. polí 2. kap.: Magnetostatika

Matematické modelování elmg. polí 2. kap.: Magnetostatika Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/ Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni

Matematické modelování elmg. polí Magnetostatika Osnova Magnetostatika Modelová úloha 2d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků Párování konečných a hraničních prvků 3d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků

Magnetostatika popisuje magnetická (silová) pole stacionárních proudů. Zákon zachování náboje Úbytek náboje v objemovém elementu odpovídá toku náboje z povrchu elementu: ρ(x) ρ(x)v(x) n(x) ds(x) = dv (x), t Ω kde v je rychlost toku náboje (rychlost elektronů), t je čas. Označme j(x) := ρ(x)v(x) hustotu elektrického proudu. Pak Gaussova věta dává div(j(x)) = ρ(x). t Označme dále tok elektrického náboje trubicí o průřezu Σ jako elektrický proud I(Σ) := j(x) n(x) ds(x) = konst. Σ Ω

Magnetostatika Lorentzova síla je síla působící na pohybující se náboj nebo na proudovodič. PSfrag B replacements B q v l j, I F Σ F = qv B F = j(x) B(y) ds(x) dl(y) = l Σ(y) kde B je pole magnetické indukce. l I(y)n(y) B(y) dl(y),

Magnetostatika Neexistují magnetické náboje. B(x) n(x) ds(x) = 0 Gaussova věta dává: Ω div(b(x)) = 0 pro x R 3. Ampérův zákon (ve vakuu) Magnetické pole rotuje kolem budících proudů: B(x) dl(x) = µ 0 j(x) n(x) ds(x), Σ kde µ 0 = 4π 0 7 je permeabilita vakua, přičemž ε 0 µ 0 = /c 2, kde c je rychlost světla. Stokesova věta dává: rot(b(x)) = µ 0 j(x) pro x R 3. Σ

Příklad 5: Pole dlouhého vodiče B(x) dl(x) = µ 0 j(x) n(x) ds(x) Σ B(r)2πr = µ 0 I B(r) = µ 0I 2πr Σ Magnetostatika B B r B B Σ PSfrag replacements I Příklad 6: Pole dlouhé cívky B(x) dl(x) = µ 0 j(x) n(x) ds(x) Σ Σ Bl = µ 0 nli B = µ 0 ni, kde n je hustota závitů. B = 0 Σ PSfrag replacements I, n B I, n

Ampérův zákon ve feromagnetiku Magnetostatika Ve feromagnetických materiálech se po vložení do magnetického pole vytvoří vrstvy zmagnetizovaných proudových smyček orientovaných v souladu s vnějším polem tak, že magnetické pole zesilují. Označme j mag (x) = rot(m(x)) hustotu magnetizovaných dipólů, kde M je magnetizace. rot(b(x)) = µ 0 (j(x) + j mag (x)) ( ) ( rot B(x) := rot B(x) M(x) ) = µ 0 j(x), µ r µ 0 kde µ r je relativní permebailita. Označme H(x) := µ 0 µ r (x) B(x) magnetickou intenzitu: B PSfrag replacements B rot(h(x)) = j(x) pro x R 3.

Magnetický vektorový potenciál Magnetostatika Energie proudové smyčky: W = I B(x) n(x) ds(x). Σ Definujme magnetický vektorový potenciál A: rot(u(x)) = B(x). Stokesova věta dává W = I rot(u(x)) n(x) ds(x) = I u(x) dl(x). Σ Σ B n I PSfrag replacements I Σ I u je nejednoznačný, nebot B(x) = rot(u(x)) = rot(u(x) + φ(x)) Jednoznačnost můžeme vynutit např. Coulombovskou kalibrační podmínkou: div(u(x)) = 0 a poklesem v nekonečnu u(x) 0 pro x.

Podmínky na rozhraní Magnetostatika PSfrag replacements Γ Γ, j Γ B Ω µ µ µ 2 µ Σ 2 n n H B 2 H 2 Ω B(x) n(x) ds(x) = 0 (B (x) B 2 (x)) n (x) = 0 pro x Γ. Σ H(x) dl(x) = µ 0 Σ j(x) n(x) ds(x) (H (x) H 2 (x)) n (x) = j Γ (x) pro x Γ.

3d geometrie, redukce do 2d Modelová úloha Ω r x 2 Ω back j PSfrag replacements x 2 Ω left j Ω Ω + x Ω r x Ω front j Ω right j x 3 Ω +... kladná proudová hustota j, Ω... záporná proudová hustota j, Ω r... feromagnetikum µ r

Modelová úloha 3d matematický model Hledáme u 0 : Ω 0 R 3 a u r : Ω r R 3 tak, že rot(rot(u r (x))) = 0, x Ω r, rot(rot(u 0 (x))) = µ 0 j(x), x Ω 0 := R 3 \ Ω r, div(u k (x)) = 0, x Ω k, k {0, r}, ( (u 0 (x) u r (x)) ) n r (x) = 0, x Ω r, rot(u 0 (x)) µ r rot(u r (x)) n r (x) = 0, x Ω r, u 0 (x) 0, x, kde j(x) := (0, 0, j) pro x Ω left j, j(x) := ( j, 0, 0) pro x Ω front j, j(x) := (0, 0, j) pro x Ω right j, j(x) := (j, 0, 0) pro x Ω back j, j(x) := 0 jinde.

Modelová úloha 2d matematický model Hledáme u 0 : Ω 0 R a u r : Ω r R tak, že u r (x) = 0, x Ω r, u 0 (x) = µ 0 j(x), x Ω 0 := R 2 \ Ω r, u 0 (x) u r (x) = 0, x Ω r, u 0 (x)/ n(x) µ r u r (x)/ n(x) = 0, x Ω r, u 0 (x) 0, x, kde Magnetická indukce je pak tato: j(x) := B(x, x 2, x 3 ) = rot(0, 0, u(x, x 2 )) = j, x Ω, j, x Ω +, 0, jinde. ( u(x, x 2 ), u(x ), x 2 ), 0. x 2 x

Ořezání výpočetní oblasti Variační formulace Uvažujme d := 2, Ω R 2 pokrývající Ω r a Ω j a necht u(x) = 0 pro x Ω. Neuvažujeme tedy nadále neomezenou oblast. Dopuštíme se tím chyby v modelování! Zjednodušme zápis geometrie, konstanty µ r a řešení takto: { { µ 0 µ r, x Ω r, u r (x), x Ω r, µ(x) := u(x) = µ 0, x R 2 \ Ω r, u 0 (x), x Ω 0 := Ω \ Ω r. Greenova věta Pro spoj. dif. funkce q, v : ω R a pěkné ω R d s vnější jedn. normálou n(x) platí: q(x) v(x) dx = q(x) v(x) dx + q(x) v(x) n i (x) ds(x). x i x i ω ω ω

Odvození variační formulace Variační formulace Vezměme diferencovatelnou funkci v : Ω R, v(x) = 0 pro x Ω. Z první rovnice Ω r µ 0 µ r (x) u r(x) v(x) dx = 0 a aplikací Greenovy věty dostáváme Ω r µ 0 µ r (x) u r(x) v(x) dx Ω r µ 0 µ r (x) u r (x) n(x) v(x) ds(x) = 0. Podobně přenásobíme v a /µ 0 druhou rovnici, zintegrujeme ji a z Greenovy věty u 0 (x) u 0 (x) v(x) dx v(x) ds(x) = j(x) v(x) dx. Ω 0 µ 0 Ω 0 µ 0 n(x) Ω j

Variační formulace Odvození variační formulace (pokrač.) Sečteme předchozí rovnice s vědomím, že normály k Ω r a k Ω 0 na Ω r Ω 0 jsou opačné u 0 (x) u(x) v(x) dx v(x) ds(x)+ Ω µ(x) Ω µ 0 n(x) ( u0 (x) + Ω r µ 0 n(x) ) u r (x) v(x) ds(x) = j(x) v(x) dx. µ r (x) n(x) Ω Použijeme v = 0 na Ω a definice j(x), µ(x) a u(x) a dostáváme variační rovnici u(x) v(x) dx = j(x) v(x) dx. µ(x) Ω Řešení u i testovací funkce v bereme z prostoru V 0 := H 0(Ω) := C 0 (Ω)., kde v := Ω v(x)2 + v(x) 2 dx. Ω

Variační formulace Ω Variační formulace Hledáme u V 0 tak, že u(x) v(x) dx = µ(x) Ω j(x) v(x) dx v V 0. Pro tuto úlohu lze dokázat existenci jednoznačného řešení a jeho spojitou závislost na změnách geometrie Ω i materiálové funkce ε. Energetická formulace K variační formulaci lze dojít i z principu minima elektrostatické energie ϕ(v) := 2 µ(x) v(x) 2 dx j(x) v(x) dx. Ω Minimum ϕ nastane ve stacionárním bodě u V 0, tj. v V 0 : ϕ ϕ(u + tv) ϕ(u) (u, v) := lim = u(x) v(x) dx t 0 t µ(x) Ω Ω Ω j(x) v(x) dx = 0.

Diskretizace oblasti Metoda konečných prvků Necht d := 2. Diskretizujme Ω do m trojúhelníků tak, že sousedé mají společnou hranu nebo bod, hrany zachytí hranice podoblastí a nejostřejší úhel je zdola omezený Ω = m k=t k, T i T j = pro i j, 6 4 2 x2 0 2 4 PSfrag replacements 6 x 6 4 2 0 2 4 6

MKP báze Metoda konečných prvků Nad každým uzlem diskretizace x i, i =, 2,..., n definujeme konečně prvkovou bázovou funkcí e h i (x) : Ω R tak, že i k : e h i (x) T k = a k i + b k i x + c k i x 2 a e h i (x j ) = δ ij := {, i = j, 0, i j, kde a k i, bk i, ck i R. Máme aproximaci V h := e h (x),..., e h n(x) prostoru V := H (Ω). MKP aproximace Neumannovy úlohy MKP aproximace formulace bez okrajové podmínky by byla tato: hledáme ũ h (x) = n ũ j e h j (x): j= Ã ũ = b, kde (Ã) ij := a(e h j, e h i ), ( b) i := b(e h i ), kde a(u, v), resp. b(v), je bilineární, resp. lineární, forma na levé, resp. pravé, straně variační rovnice. Řešení této tzv. Neumannovy úlohy není jednoznačé.

Sestavení MKP matic a vektorů Metoda konečných prvků Iterujeme přes trojúhelníky a sčítáme lokální matice a vektory pravých stran, tj. např. m m Ã = G k (A k ), b = H k (b k ), k= kde A k R 3 3, b k R 3 a G k : R 3 3 R n n, zobrazuje lokální matice na globální, H k : R 3 R n zobrazuje lokální vektory na globální. Lokální příspěvky jsou tyto: k= A k := ( ) B k T µ k B k det(r k ), 2 b k := j k det(rk ), 2 2 kde µ k := µ(x) T k, j k := j(x) T k, R k := ( x k 2 x k, x k 3 x k ) a x k, x k 2, x k 3 jsou uzly trojúhelníku T k uspořádané v pravotočivém smyslu.

Metoda konečných prvků MKP aproximace homogenní Dirichletovy úlohy Bud I := {i, i 2,..., i p } množina indexů uzlů neležících na hranici Ω. Pak Galerkinovská aproximace naší homogenní Dirichletovy úlohy je: hledáme u h (x) := n 0 k= u k e i k(x) V h 0 : a(u h, e i k) = b(e i k) i k I a odpovídající soustava lineárních rovnic vznikne restrikcí předchozí soustavy na I A u = b, kde A := ÃI,I, b := b I a u := (u, u 2..., u p ).

Numerické řešení u a B Metoda konečných prvků Volba µ r := 5000, J := 0.25, Ω := ( 6, 6) ( 6, 6), Ω := ( 3, 2) ( 3, 3), Ω + := (2, 3) ( 3, 3), Ω r := ( 2, 2) ( 4, 4), s diskretizačním parametrem h := 0.25 vede na n := 240 uzlů a m := 4608 trojúhelníků. 6 x 0 7 6 4 4 2 2 x2 0 0 2 2 4 4 PSfrag replacements 6 6 x 6 4 2 0 2 4 6

Hraniční integrální formulace Metoda potenciálů Uvažujme d := 2 a přeškálujme geometrii tak, že diam (Ω r Ω Ω + ) <. Hledáme řešení pomocí poteciálů jednoduché vrstvy u r (x) := w r (y) g(x, y) dl(y), x Ω r, Γ r ( ) u 0 (x) := w 0 (y) g(x, y) dl(y) + µ 0 j g(x, y) dy g(x, y) dy, x Ω 0, Γ r Ω + Ω kde Ω 0 := R 2 \ Ω r Ω + Ω, Γ r := Ω r, Γ + := Ω +, Γ := Ω, g(x, y) := 2π ln x y je fundamentální řešení Laplaceovy rovnice a kde w r, w 0 : Γ r R, w + : Γ + R a w : Γ R jsou neznámé hustoty potenciálů. Řešení splňuje u r (x) = 0, x Ω r, u 0 (x) = j(x), x Ω 0 a u 0 (x) C, x, kde C = 0 díky symetrii úlohy. Zbývá splnit podmínky přechodu.

Hraniční integrální formulace Vlastnosti potenciálu jednoduché vrstvy Pro po částech spojité w r je Γ r w r (y) g(x, y) dl(y) harmonická funkce v Ω r a v R 2 \Ω r. Pro x Γ r bod spojitosti w r, v jehož okolí je Γ hladká, platí, že pro Ω r x x Γ r : w r (y) g( x, y) dl(y) w r (y) g(x, y) dl(y), Γ r Γ r n r (x) x w r (y) g( x, y) dl(y) Γ r 2 w g(x, y) r(x) + w r (y) Γ r n(x) dl(y). přičemž / n(x) je derivace podle vnější jednotkové normály k Ω r. Podobně platí pro spojité w 0 a Ω 0 x x Γ r : w 0 (y) g( x, y) dl(y) w 0 (y) g(x, y) dl(y), Γ r Γ r n r (x) x w 0 (y) g( x, y) dl(y) Γ r 2 w g(x, y) 0(x) + w 0 (y) Γ r n(x) dl(y).

Vlastnosti Newtonova potenciálu Hraniční integrální formulace Newtonův objemový potenciál je spojitý i se svou normálovou derivací nezávisle, zda se k hranici blížíme zevnitř, či zvenku, tedy pro Γ r x x Γ r : g( x, y) dl(x) g(x, y) dl(x), Ω ± Ω ± g(x, y) n r (x) x g( x, y) dl(x) Ω ± Ω ± n(x) dl(x)

Formulace Hraniční integrální formulace Pro x R 2, resp. x Γ r (až na rohy), zaved me operátory [V r w](x) := w(y) g(x, y) dl(y), [K r w](x) := w(y) Γ r Γ r a funkce ( ) N(x) := µ 0 j g(x, y) dy g(x, y) dy, Ω + Ω ( ) g(x, y) M(x) := µ 0 j Ω + n(x) dy g(x, y) Ω n(x) dy Pak podmínky přechodu dávají následující hraniční integrální formulaci { V r w r V r w 0 = N, x Γ r, µ r ( 2 I + K r) w r ( 2 I + K r) w 0 = M, x Γ r, kde I značí identické zobrazení. g(x, y) n(x) dl(y)

Diskretizace hranic Diskretizujme Γ r do disjunktních úseček Metoda hraničních prvků m r k= S k r = Γ r a uvažujme po úsečkách konstantní bázové funkce f i r tak, že f i r(x) S j r = δ ij pro i, j =,..., m r. Hledáme souřadnice neznámých hustot w r, w 0 R m w r (x) := m r k= w rk f i r(x), w 0 (x) := m r k= w 0k f i r(x).

Metoda hraničních prvků Kolokační metoda Rovnice splníme pouze ve středech úseček x k r Sr k ( ) ( V r,r V r,r µ r 2 I ) r + K r,r 2 I r K r,r ( wr w 0 ) = ( ) N, () M kde I r R m r m r je jednotková matice a kde (V r,r ) ij := S j r g(xi r, y) dl(y), (K r,r ) ij := S j r xg(x i r, y) n j r dl(y), (N) i := N(x i r), (M) i := M(x i r), přičemž n j r značí jednotkovou normálu k S j r směřující ven z Ω r.

Výpočet prvků vektorů N Metoda hraničních prvků Prvky matic V r,r a K r,r vypočteme stejně jako v kapitole Elektrostatika. Při výpočtu N použijeme následující integrál: b d a kde c ln x y 2 dy 2 dy = F (a) F (b) F 2 (a, c)+f 2 (a, d)+f 2 (b, c) F 2 (b, d)+ + F 3 (a, c) F 3 (a, d) F 3 (b, c) + F 3 (b, d) 3(b a)(d c), F (y ) := π 2 sgn(y x ) y (y 2x ) (sgn(c x 2 ) sgn(d x 2 )), F 2 (y, y 2 ) := ( (y x ) 2 (y 2 x 2 ) 2) arctg y x y 2 x 2, F 3 (y, y 2 ) := (y x )(y 2 x 2 ) ln x y 2

Výpočet prvků vektorů M Při výpočtu M použijeme tento integrál: b d Metoda hraničních prvků b d (x y) n x ln x y n dy 2 dy = dy a c a c x y 2 2 dy = G (a) G (b)+ +G 2 (a, c) G 2 (a, d) G 2 (b, c)+g 2 (b, d) G 3 (a, c)+g 3 (a, d)+g 3 (b, c) G 3 (b, d), kde G (y ) := π 2 y x n (sgn(d x 2 ) sgn(c x 2 )), G 2 (y, y 2 ) := ((y x )n (y 2 x 2 )n 2 ) arctg y x y 2 x 2, G 3 (y, y 2 ) := 2 ((y x )n 2 + (y 2 x 2 )n )) ln x y 2.

Numerické řešení w r a w 0 Metoda hraničních prvků Volba µ r := 5000, J := 0.25, Ω := ( 0.06, 0.06) ( 0.06, 0.06), Ω := ( 0.03, 0.02) ( 0.03, 0.03), Ω + := (0.02, 0.03) ( 0.03, 0.03), Ω r := ( 0.02, 0.02) ( 0.04, 0.04), h := 0.0025 vede na m r := 96 úseček. w x 0 8 3 2 0 2 3 4 0.05 PSfrag replacements 0 x 2 0.05 0.03 0.02 0.0 x 0 0.0 0.02 0.03

Numerické řešení u a B Metoda hraničních prvků Volba µ r := 5000, J := 0.25, Ω := ( 0.06, 0.06) ( 0.06, 0.06), Ω := ( 0.03, 0.02) ( 0.03, 0.03), Ω + := (0.02, 0.03) ( 0.03, 0.03), Ω r := ( 0.02, 0.02) ( 0.04, 0.04), h := 0.0025 vede na m r := 96 úseček. 0.06 x 0 0 2 0.04.5 0.02 0.5 x2 0 0 0.5 0.02 0.04 PSfrag replacements.5 0.06 x 0.06 0.04 0.02 0 0.02 0.04 0.06 2

Odvození formulace Párování konečných a hraničních prvků Základem párování je následující variační rovnice na oblasti Ω r : u r (x) u r (x) v(x) dx = u r (x) v(x) dx v(x) dl(x) = 0, µ r Ω r Ω r µ r Γ r µ r n(x) v níž nahradíme tok u r přes Γ r tokem u 0 Ω r µ r u r (x) v(x) dx u 0 (x) Γ r n(x) v(x) dl(x) = 0. Řešení u 0 hledáme opět v následujícím tvaru ( ) u 0 (x) := w 0 (y) g(x, y) dl(y) + µ 0 j g(x, y) dy g(x, y) dy, Γ r Ω + Ω kde x R 2 \ Ω r. Zbývá zaručit spojitost řešení u r (x) u 0 (x) = 0, x Γ r.

Odvození formulace Párování konečných a hraničních prvků S využitím symbolů V r, K r, jeho skoku a definic N a M: hledáme u r V r := H (Ω r ) a w 0 : Γ r R tak, že { ar (u r, v) b r (( 2 I + L r) w0, v ) = b r (M, v) v V r, u r V r w 0 = N x Γ r, kde I je identita a kde a r (u r, v) := Galerkinova formulace úlohy Ω r µ r u r v dx, b r (u, v) := Γ r u v dl(x). Zaved me W r := H /2 (Γ r ) Sobolevův prostor stop na Γ r. Hledáme u r V r a w 0 W r : { ar (u r, v) b r (( 2 I + L r) w0, v ) = b r (M, v) v V r, b r (u r, q) b r (V r w 0, q) = b r (N, q) q W r.

Párování konečných a hraničních prvků Konečně prvková diskretizace Diskretizace V r metodou konečných prvků vede na triangulaci Ω r do m r trojúhelníků T k, v jejichž uzlech x i, i {, 2,..., n r }, definujeme konečně prvkové bázové funkce e h i. Máme aproximaci V h r V r. Bilineární forma a r (.,.) vede na matici A r R n r n r. 0.04 0.03 0.02 0.0 x2 0 0.0 0.02 0.03 PSfrag replacements 0.04 0.05 0 0.05 x

Párování konečných a hraničních prvků Hraničně prvková diskretizace Diskretizace prostoru W r metodou hraničních prvků je indukována předchozí triangulací Ω r. To vede na s r hraničních úseček Sr i a p r hraničních uzlů x i,..., x, ip r kde i k {, 2,..., n r }. Nad úsečkami Sr i definujeme hraničně-prvkové nespojité po částech konstantní bázové funkce fr, i jejichž lineární obal nám dá prostor Wr h W r. Při diskretizaci MHP bilineární formy b r (.,.) použijeme nejhrubší kvadraturní formuli, a to obdélníkové pravidlo f(x) dx f(x k r ) Sr k, S k r kde x k r je střed úsečky Sr k a Sr k je její délka. To nám umožní využít již napočítané prvky matic V r,r, K r,r a vektorů N, M.

Párování konečných a hraničních prvků Galerkinova metoda Párováním vede na ( ) ( ) ( ) Ar B r ur br =. C r D r w 0 c r kde řádky B r R n r s r a složky b R n r jsou (B r ) i, := 2 ( ) 2 Si r 2 I r K r,r, (b r ) i := 2 Si r k= i k, 2 (M) ik. k= přičemž i, i 2 {, 2,..., p r } jsou hraniční indexy uzlů S i r. Dále C r R s r n r (C r ) i,j := { 2 Si r, pokud x j, j {, 2,..., n r }, je jeden ze dvou uzlů S i r, 0, jinak. Konečně matice D r R s r s r a vektor c r R s r jsou definovány po řádcích takto: (D r ) i, := S i r (V r,r ) i,, (c r ) i := S i r (N) i.

Párování konečných a hraničních prvků Numerické řešení u a B Volba µ r := 5000, J := 0.25, Ω r := ( 0.02, 0.02) ( 0.04, 0.04), Ω := ( 0.03, 0.02) ( 0.03, 0.03), Ω + := (0.02, 0.03) ( 0.03, 0.03), h := 0.0025 vede na n r := 544 MKP uzlů a s r := 96 MHP úseček. 0.06 x 0 0 2 0.04.5 0.02 0.5 x2 0 0 0.5 0.02 0.04.5 PSfrag replacements 0.06 x 0.06 0.04 0.02 0 0.02 0.04 0.06 2

Ořezání výpočetní oblasti Variační formulace Uvažujme d := 3, Ω R 2 pokrývající Ω r a Ω j a necht u(x) n(x) = 0 pro x Ω. Neuvažujeme tedy nadále neomezenou oblast. Dopuštíme se tím chyby v modelování! Zjednodušme zápis geometrie, konstanty µ r a řešení takto: { { µ 0 µ r, x Ω r, u r (x), x Ω r, µ(x) := u(x) = µ 0, x R 2 \ Ω r, u 0 (x), x Ω 0 := Ω \ Ω r.

Greenova věta ω Variační formulace Pro spoj. dif. funkce ϕ, ψ : ω R a pěkné ω R d s vnější jedn. normálou n(x) platí: ϕ(x) ψ(x) dx = ϕ(x) ψ(x) dx + ϕ(x) ψ(x) n i (x) ds(x). x i x i ω Opakovaným použitím si odvodíme analogii Greenovy formule pro operátor rot [( w3 rot(w) v = w ) ( 2 w v + w ) ( 3 w2 v 2 + w ) ] v 3 = Ω Ω x 2 x 3 x 3 x x x [( ) ( ) ( 2 )] v v v 2 v 2 v 3 v 3 = w 3 w 2 + w w 3 + w 2 w + Ω x 2 x 3 x 3 x x x 2 + [(w 3 n 2 w 2 n 3 ) v + (w n 3 w 3 n ) v 2 + (w 2 n w n 2 ) v 3 ] = Ω = w ( rot(v)) (w n) v = w rot(v) + w (v n). Ω Ω Ω ω Ω

Odvození variační formulace Variační formulace Vezměme dif. funkci v : Ω R 3, v(x) n(x) = 0 pro x Ω. Z první rovnice Ω r µ 0 µ r (x) rot(rot(u r(x))) v(x) dx = 0 a aplikací Greenovy věty dostáváme Ω r µ 0 µ r (x) rot(u r(x)) v(x) dx Ω r µ 0 µ r (x) rot(u r(x)) (v(x) n(x)) ds(x) = 0. Podobně přenásobíme v a /µ 0 druhou rovnici, zintegrujeme ji a z Greenovy věty rot(u 0 (x)) v(x) dx rot(u 0 (x)) (v(x) n(x)) ds(x) = j(x) v(x) dx. Ω 0 µ 0 Ω 0 µ 0 Ω j

Variační formulace Odvození variační formulace (pokrač.) Sečteme předchozí rovnice s vědomím, že normály k Ω r a k Ω 0 na Ω r Ω 0 jsou opačné rot(u(x)) rot(v(x)) dx + rot(u 0 (x)) (v(x) n(x)) ds(x)+ Ω µ(x) Ω µ (( 0 + rot(u 0 (x)) ) ) Ω r µ 0 µ r (x) rot(u r(x)) n(x) v(x) ds(x) = j(x) v(x) dx. Ω Použijeme v n = 0 na Ω a definice j(x), µ(x) a u(x) a dostáváme variační rovnici rot(u(x)) rot(v(x)) dx = j(x) v(x) dx. µ(x) Ω Řešení u i testovací funkce v bereme z prostoru V 0 := H 0 (rot; Ω) := C 0 (Ω)3. rot, kde v rot := Ω v(x) 2 + rot(v(x)) 2 dx. Ω

Variační formulace Odvození variační formulace (pokrač.) Potenciál u je jednoznačný až na libovolné gradientní pole ϕ. Minimalizujme E(v) := 2 µ(x) rot(v(x)) 2 dx j(x) v(x) dx, Ω jehož nekonečně mnoho stacionárních bodů ũ = u + ϕ V 0 jsou řešením rovnice E (u + ϕ, v) = 0 v V 0. Jednoznačnost dodá Coulombova kalibrační podmínka: hledáme u V 0 tak, že v V 0 : E(u) E(v) vzhledem k div(u) = 0, přičemž kalibrační podmínku chápeme ve slabém smyslu. Hledáme u V 0 a λ V 0 := H0(Ω) tak, že { Ω µ rot(u) rot(v) + Ω λ v = Ω j v v V 0, Ω u ϕ = 0 ϕ V 0. Ω

Diskretizace oblasti Metoda konečných prvků Necht d := 3. Diskretizujme Ω do m čtyřstěnů tak, že sousedé mají společnou stěnu, hranu, nebo bod, stěny zachytí hranice podoblastí a nejostřejší úhel je zdola omezený Ω = m k=t k, T i T j = pro i j.

MKP aproximace V := H (Ω) Metoda konečných prvků Nad každým uzlem diskretizace x i, i =, 2,..., n definujeme konečně prvkovou bázovou funkcí e h i (x) : Ω R tak, že { i k : e h i (x) T k = a k i + b k i x + c k i x 2 + d k i x 3 a e h, i = j, i (x j ) = δ ij := 0, i j, kde a k i, b k i, c k i, d k i R. Máme aproximaci V h := e h (x),..., e h n(x) prostoru V.

PSfrag replacements Metoda konečných prvků Lokální bázové funkce V h Zobrazme T s vrcholy (uzly) x, x 2, x 3 a x 4 na T k s vrcholy x k, x k 2, x k 3 a x k 4 x := R k ( x) := R k x + x k, kde R k := ( x k 2 x k, x k 3 x k, x k 4 x ) k. x 3 x 4 R k x 3 x k 4 x 2 x 0 x x3 x 2 x k x 2 x k 3 x x k 2 Pak e k i(x) := ê i ( x) pro i {, 2, 3, 4} a x T při substituci x := R k ( x), kde ê ( x) := x x 2 x 3, ê 2 ( x) := x, ê 3 ( x) := x 2, ê 4 ( x) := x 3.

Gradient uzlové báze Metoda konečných prvků Pro smíšenou bilineární formu Ω u ϕ potřebujeme spočítat gradienty bázových funkcí, pro něž lze ukázat platnost analogického vzorce jako ve 2 dimenzích B k := ( e k (x), e k 2 (x), e k 3 (x), e k 4 (x) ) = ( R k) T 0 0 0 0, 0 0 kde matice (R k ) T obsahuje derivace vnitřní funkce, tedy afinního zobrazení R k, a sloupce druhé matice jsou gradienty referenčních bázových funkcí.

Metoda konečných prvků Nédélecova MKP aproximace V := H(rot; Ω) Nad každou orientovanou hranou E i : x i x i 2, i {, 2,..., n e } diskretizace definujeme konečně prvkovou bázovou funkci, kde t j := ( x j 2 x ) j / x j 2 x j, ξ i (x) T k = a i k + b i k x a ξ i (x) t j dl(x) = δ ij, E j x 3 x R k 3 Ê 5 Ê 3 E k 6 Ê 6 Ê 2 E k 0 Ê x 2 Ê 4 E k 3 E k 5 E k 2 x 2 E k 4 x x

Metoda konečných prvků Lokální bázové funkce V h Uvažujme ref. čtyřstěn s orientovanými hranami Ê : x x 2, Ê 2 : x x 3, Ê 3 : x x 4, Ê 4 : x 2 x 3, Ê 5 : x 3 x 4, Ê 6 : x 4 x 2 a ref. bázové funkce 0 ξ ( x) := 0 + x, ξ 0 2 ( x) := + 0 x, 0 0 0 ξ3 ( x) := 0 + x, ξ 0 4 ( x) := 0 x, 0 0 ξ5 ( x) := 0 x, ξ6 ( x) := x. 0 0 Jim odpovídající konečně prvkové bázové funkce jsou tyto: ξ k i (x) = sign k (E k i ) ( { R k) T ξ( x), signk (E k i, orientace E k i shodná s ) :=, orientace E k i opačná k Êi.

Rotace hranové báze Potřebujeme rotace hranových funkcí Metoda konečných prvků B k rot := ( rot(ξ ), rot(ξ 2 ), rot(ξ 3 ), rot(ξ 4 ), rot(ξ 5 ), rot(ξ 6 ) ) 0 2 2 0 2 0 = det(r k ) Rk 2 0 2 0 0 2 diag ( sign k (E k i ) ) 6 2 2 0 2 0 0 Potřebujeme hodnoty bázových funkcí v těžišti x k c := (/4) 4 i= xk i čtyřstěnu T k B k Id := ( ξ (x k c), ξ 2 (x k c), ξ 3 (x k c), ξ 4 (x k c), ξ 5 (x k c), ξ 6 (x k c) ) = ( R k) T 4 2 0 2 0 2 0 diag ( sign k (E k i ) ) 6 i=. i=.

Lokální matice a vektory Metoda konečných prvků Lokální příspěvek do matice bilineární formy Ω (/µ)rot(u) v je A k := ( ) B k T µ k rot B k det(r k ) rot, 6 kde µ k := µ(x) T k. Lokální příspěvek do matice bilineární formy Ω u ϕ je B k := ( ) B k T B k det(r k ) Id. 6 Lokální příspěvek vektoru lineární formy Ω j v je kde j k := j(x) T k. b k := ( ) B k T Id j k det(rk ), 6

Globální matice a vektory m Ã := G k (A k ), k= Metoda konečných prvků m B := L k (B k ), k= m b := H k (b k ), kde G k : R 6 6 R n e n e, L k : R 4 6 R n n e a H k : R 6 R n e zobrazují lokální hranové matice, uzlově hranové matice, resp. lokální hranové vektory na globální. A := ÃI e,i e, B := B I,I e, b := b I e, kde I e := { i e, i e 2,..., i e p e } a I := {i, i 2,..., i p } jsou indexy hran a uzlů mimo Ω. MKP aproximace ( ) A B T B 0 ( ) u λ = ( ) b, 0 kde u h (x) := p e k= u k ξ ie k (x), B h (x) T k = B k rot u k, kde u k je lokální vektor řešení doplněný o nuly pro hrany čtyřstěnu T k ležící na Ω. k=

Numerické řešení B := rot(u) Metoda konečných prvků Volba geometrie Ω := ( 6, 6) 3, Ω j := ( 3, 3) 3 \ ( 2, 2 3, 3 2, 2 ), Ω r := ( 2, 2) ( 4, 4) ( 2, 2), h := vede na n := 240 uzlů a m := 4608 trojúhelníků.