METODA OBLICZEŃ TRWAŁOŚCI ZMĘCZENIOWEJ ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH Z ZASTOSOWANIEM DWUPARAMETRYCZNYCH CHARAKTERYSTYK ZMĘCZENIOWYCH Bogdan LIGAJ *, Grzegorz SZALA * * Katedra Podstaw Konstrucji Maszyn, Wydział Mechaniczny, Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy, ul. S. Kalisiego 7, 85-789 Bydgoszcz bogdanj@utp.edu.pl, gszala@utp.edu.pl Streszczenie: W obliczeniach trwałości zmęczeniowej elementów onstrucyjnych poddanych w warunach esploatacji obciążeniom losowym o szeroim widmie należy przyjąć odpowiednią hipotezę sumowania uszodzeń oraz odpowiednią charaterystyę zmęczeniową materiału. W pracy przedstawiono algorytm obliczeń trwałości zmęczeniowej oparty na dwuparametrycznej charaterystyce zmęczeniowej. Opis metody i algorytm obliczeń zilustrowano przyładem obliczeń elementu onstrucyjnego wyonanego ze stopu aluminium D6CzATW.. WPROWADZENIE Metoda obliczeń trwałości zmęczeniowej elementów onstrucyjnych dla obciążeń losowych z wyorzystaniem charaterysty jednoparametrycznych sprawdza się jedynie dla obciążeń o dominującej liczbie cyli z zaresu współczynnia asymetrii cylu mieszczącego się w przedziale R, czyli dla obciążeń stacjonarnych o wąsim widmie (Kocańda i Szala, 997). W przypadu obciążeń stacjonarnych o szeroim widmie i niestacjonarnych o zmiennej w czasie wartości średniej, dla tórych zares zmienności współczynnia asymetrii cylu mieści się w zaresie - R, wymieniona metoda daje niedoładne wynii (Szala i Szala, 2). Celem pracy jest przedstawienie algorytmu obliczeniowego opartego na dwuparametrycznej charaterystyce zmęczeniowej oraz dwuparametrycznym modelu obciążenia losowego. W pracy zostanie przedstawiony przyład obliczeń trwałości zmęczeniowej elementu onstrucyjnego w warunach obciążeń esploatacyjnych. 2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU Elementy onstrucyjne maszyn w warunach esploatacji poddawane są obciążeniom, tórych charater jest zazwyczaj losowy wyniający z wielu czynniów natury probabilistycznej. Prowadzenie obliczeń trwałości zmęczeniowej dla wymienionych warunów obciążenia wymaga stosowania taich metod, tórych wynii są tożsame, w znaczeniu statystycznym, z wyniami badań esperymentalnych. Suteczną metodą obliczeń w tych warunach może być metoda oparta na dwuparametrycznych charaterystyach zmęczeniowych. Problem obliczeń trwałości zmęczeniowej dotyczy trzech zagadnień. Pierwszym z nich jest zagadnienie opisu własności zmęczeniowych w uładzie N(σ m, σ a ). Drugie zagadnienie związane jest z opracowaniem modeli obciążenia esploatacyjnego opisujących cyle sinusoidalne dwoma parametrami σ m i σ a lub σ min i σ max, natomiast trzecie zagadnienie dotyczy doboru odpowiednich hipotez umulacji uszodzeń zmęczeniowych. Wymienione zagadnienia są ścieżami ujętymi w algorytmie obliczeń trwałości zmęczeniowej (rysune ). Opracowanie dwuparametrycznej charaterystyi zmęczeniowej dla elementu onstrucyjnego wiąże się z przeprowadzeniem badań w warunach statycznego rozciągania celem wyznaczenia podstawowych własności tj. R e, R m, E, itd. oraz w warunach obciążeń zmiennych stałoamplitudowych charateryzujących się zmiennym współczynniiem asymetrii cylu R (R=σ min i/σ max j, j=, 2, 3,..., jest numerem przedziału dla wartości loalnych masimów, i=, 2, 3,..., jest numerem przedziału dla wartości przedziału dla wartości loalnych minimów rysune 3). Wyznaczenie wymienionych własności daje możliwość opracowania dwuparametrycznej charaterystyi zmęczeniowej elementu onstrucyjnego. Przebieg obciążenia esploatacyjnego uzysany np. w wyniu pomiaru nie daje się wprost zastosować w obliczeniach. Wymaga przeprowadzenia działań związanych z tzw. schematyzacją mającą na celu wyznaczenie cyli i (lub) półcyli sinusoidalnych opisanych wartościami σ m i σ a lub σ min i σ max. Metody schematyzacji zostały opisane w pracy Kocańdy i Szali (997). Dwuparametryczny model obciążenia może przyjmować postać wyresu rozładu gęstości prawdopodobieństwa (Kocańda i Szala, 997) lub tablicy orelacyjnej w uładzie σ min i σ max lub σ m i σ a (Szala i Ligaj, 25a). Trzecim, niezbędnym, elementem potrzebnym do przeprowadzenia obliczeń jest przyjęcie hipotezy umulacji uszodzeń zmęczeniowych. Ze znanych hipotez, tóre zostały szeroo przedstawione w pracy Szali (998), do obliczeń przyjęto liniową hipotezę Palmgrena-Minera. 47
Bogdan Ligaj, Grzegorz Szala Metoda obliczeń trwałości zmęczeniowej elementów onstrucyjnych z zastosowaniem dwuparametrycznych charaterysty zmęczeniowych I Element onstrucyjny Wyznaczenie własności w warunach obciążeń statycznych tj. R e, R m, E, A, Z Wyznaczenie własności w warunach obciążeń zmiennych tj. wyres trwałości zmęczeniowej dla R = - i R =, granicę zmęczenia Z () Opracowanie dwuparametrycznej charaterystyi zmęczeniowej II Obciążenie losowe (esploatacyjne) Opracowanie zbioru cyli sinusoidalnych (schematyzacja obciążenia) Dwuparametryczny model obciążenia w uładzie σ a -σ m lub σ min -σ max III Przyjęcie hipotezy sumowania uszodzeń zmęczeniowych 3. PRZYKŁAD OBCIĄŻEŃ I JEGO OPRACOWANIE Do badań, jao obciążenie esploatacyjne przyjęto standaryzowany przebieg zmian naprężeń Falstaff nr 3, przedstawiony na rysunu 2 (Description of a Fighter Aircraft Loading Standard for Fatigu)..8.6.4.2 Naprężenie σ i /σ max σ max j Obliczenia Wyni obliczeniowej trwałości zmęczeniowej Rys.. Algorytm obliczeń trwałości zmęczeniowej elementu onstrucyjnego na podstawie dwuparametrycznej charaterystyi zmęczeniowej σ min i Czas, s -.2 Rys. 2. Wyres przebiegu esploatacyjnego wg Falstaff a (nr 3) (Description of a Fighter Aircraft Loading Standard for Fatigue), przez σ max j oznaczono wartość loalnego masimum naprężenia (piu), σ min i oznaczono wartość loalnego minimum naprężenia Wartości naprężeń σ min i /σ max Wartości naprężeń σmin i /σmax.96.92.88.84.8.76.72.68.64.6.56.52.48.44.4.36.32.28.24.2.6.2.8.4.96.92.88.84.8.76.72.68.64.6.56.52.48.44.4.36.32.28.24.2.6.2.8.4 -.4 -.8 -.2 -.6 -.2 -.24 -.4 -.8 -.2 -.6 -.2 -.24 -.28 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 22 23 24 25 26 27 28 29 3 3 32.96.96.96.92 2 A b G 2.96.92.92.88 3 3.92.88.88.84 4 4.88.84.84.8 5 a 5.84.8.8.76 6 2 2 6.8.76.76.72 7 7.76.72.72.68 8 2 8.72.68.68.64 9 3 9.68.64.64.6 2 4.64.6.6.56 2 2 4 2.6.56.56.52 2 2 2 2.56.52.52.48 3 2 5 4 3 3 3.52.48.48.44 4 4 2 2 2 4.48.44.44.4 5 2 2 3 2 5.44.4.4.36 6 2 4 5 3 3 6.4.36.36.32 7 5 4 9 4 4 5 7.36.32.32.28 8 2 2 3 6 4 8.32.28.28.24 9 2 2 2 2 9.28.24.24.2 2 2 4 3 9 6 6 2.24.2.2.6 2 2 2 4 4 3 6 D 2.2.6.6.2 22 5 4 6 2 22.6.2.2.8 23 E 3 4 2 3 2 3 5 4 6 23.2.8.8.4 24 2 2 4 2 3 3 6 6 H F 24.8.4.4 25 2 2 25.4 -.4 26 26 -.4 -.4 -.8 27 27 -.4 -.8 -.8 -.2 28 b 28 -.8 -.2 -.2 -.6 29 29 -.2 -.6 -.6 -.2 3 C 3 -.6 -.2 -.2 -.24 3 c K B 3 -.2 -.24 -.24 -.28 32 32 -.24 -.28 granicy przedziaіu 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 22 23 24 25 26 27 28 29 3 3 32.96.92.88.84.8.76.72.68.64.6.56.52.48.44.4.36.32.28.24.2.6.2.8.4. -.4 -.8 -.2 -.6 -.2 -.24.96.92.88.84.8.76.72.68.64.6.56.52.48.44.4.36.32.28.24.2.6.2.8.4. -.4 -.8 -.2 -.6 -.2 -.24 -.28 σ m i R = - Wartości naprężeń σmax j /σmax σ a i Rys. 3. Tablica orelacyjna w uładzie σ minii /σ max - σ max j /σ max Wartości naprężeń σ max j /σ max 48
Wynii opracowania losowych obciążeń (rysune 2) zestawiono w tablicy orelacyjnej w uładzie wartości standaryzowanych σ minii /σ max - σ max j /σ max (rysune 3). Budowę i właściwości tablicy omówiono w pracy Szali i Ligaja (25a). W wymienionym opracowaniu zastosowano metodę obwiedni (rainflow counting method) (Kocańda i Szala, 997), tóra stosowana jest do opracowania przebiegów losowych o szeroim widmie obciążenia. Rozład półcyli w tablicy mieszczący się w szeroim zaresie zmienności wartości σ minii /σ max i σ max /σ max wsazuje, iż analizowane obciążenie jest obciążeniem o szeroim widmie. Liczby umieszczone w poszczególnych polach tablicy odpowiadają cylom o odpowiednich wartościach σ minii /σ max i σ max j /σ max. Dla wyznaczenia wyresu trwałości zmęczeniowej N(σ max ) analizowanego elementu onstrucyjnego obliczenia prowadzi się dla różnych wartości naprężeń σ max. Dla przyjętych wartości σ max obliczamy dla poszczególnych pól tablicy wartości σ max j i σ min i, a z tych wartości odpowiednio: σmax j σmini σ a = () 2 oraz σmax j + σmini σ m =. (2) 2 Potrzeba stosowania w obliczeniach dwuparametrycznych charaterysty zmęczeniowych związana jest z dużym zaresem zmienności wartości współczynnia asymetrii cylu R charateryzującego poszczególne cyle sinusoidalne. W rozpatrywanym przypadu dominująca część cyli charateryzuje się współczynniiem asymetrii cylu z zaresu <R<, co odpowiada polu tablicy: dla półcyli rosnących AHG i dla półcyli malejących AHE. W polach: GDH i EHC znajdują się półcyle z zaresu <R<, DHF i CHK półcyle z zaresu <R< oraz FHB i KHB znajdują się cyle z zaresu <R<. 4. WYBÓR CHARAKTERYSTYKI DWUPARAMETRYCZNEJ Sinusoidalne cyle obciążenia wyznaczone z obciążenia esploatacyjnego posiadają różne amplitudy i wartości średnie, co zostało zasygnalizowane w pobieżnej analizie w puncie powyżej. W związu z tym obliczenia trwałości zmęczeniowej elementu onstrucyjnego wymagają przyjęcia charaterystyi zmęczeniowej z uwzględnieniem zmienności σ a i σ m w szeroich granicach. Znanych jest wiele opisów tego rodzaju charaterysty zmęczeniowych (Kocańda i Szala, 997; Szala i Szala, 2). Z analizy wymienionych prac wynia, że w przypadu ograniczonej liczby danych z badań zmęczeniowych dobrą zgodność wyniów obliczeń z wyniami badań uzysuje się stosując charaterystyę według modelu II (Szala i Szala, 2). Model II polega na przyjęciu płaszczyzny przechodzącej przez gałąź ograniczonej trwałości wyresu zmęczeniowego wyznaczonego przy R=-, i punt o wartości R m lub R e na osi σ m. Płaszczyzna ta opisana jest zależnością: Zrc σm m N = N [ ( )] dla σ max Zrc (3) σa R m N dla σ max < Zrc gdzie: N całowita liczba cyli obciążenia sinusoidalnego o parametrach σ a i σ m do pęnięcia zmęczeniowego, N liczba cyli z wyresu zmęczeniowego Wöhlera (rysune 5) odpowiadająca granicy zmęczenia Z rc, m wyładni w równaniu wyresu zmęczeniowego. 5. HIPOTEZA SUMOWANIA USZKODZEŃ ZMĘCZENIOWYCH Ja wsazano w p.2 w przyładzie obliczeń trwałości zmęczeniowej elementu onstrucyjnego poddanego działaniu obciążenia esploatacyjnego o szeroim widmie, przyjęto liniową hipotezę sumowania uszodzeń zmęczeniowych Palmgrena-Minera. Ja wiadomo, uszodzenie zmęczeniowe według tej hipotezy dla charaterystyi zmęczeniowej jednoparametrycznej N(σ a ) obliczamy ze wzoru: i ni Ni D = (4) gdzie: D i jest uszodzeniem po n i cylach naprężenia o amplitudzie σ aii, N i jest liczbą cyli do pęnięcia zmęczeniowego (np. odczytaną z wyresu zmęczeniowego Wöhlera) dla naprężenia o amplitudzie σ a i, D = dla n i = oraz D N =. dla n i =N i. W przypadu obciążenia esploatacyjnego o szeroim widmie, tórego opracowanie daje liczby cyli n o zmiennych wartościach σ a i σ m (podane np. w tablicy orelacyjnej), a z charaterystyi dwuparametrycznej otrzymujemy N cyli do pęnięcia zmęczeniowego, uszodzenie D oblicza się ze wzoru: n D =. (5) N Całowite uszodzenie zmęczeniowe spowodowane wszystimi cylami zawartymi w tablicy orelacyjnej wynosi: D = D =. (6) i= j= i= j= n N Trwałość zmęczeniową w liczbie cyli obliczamy ze wzoru: N c = n (7) D i= j= gdzie: n i j we wzorach (4), (5) i (6) oznacza liczbę cyli w polu tablicy orelacyjnej oznaczonej numerami i oraz j. 49
Bogdan Ligaj, Grzegorz Szala Metoda obliczeń trwałości zmęczeniowej elementów onstrucyjnych z zastosowaniem dwuparametrycznych charaterysty zmęczeniowych 6. PRZYKŁAD OBLICZEŃ Obiet obliczeń i badań stanowił płasowni usztywniony za pomocą ątownia (rysune 4) odzwierciedlający fragment strutury nośnej samolotu. Płasowni z ątowniiem połączony został za pomocą pięciu nitów. Całość wyonana została ze stopu aluminium D6CzATW. Sład chemiczny stopu aluminium zamieszczono w tabeli, a statyczne własności mechaniczne w tabeli 2. Tab.. Sład chemiczny stopu aluminium D6CzATW Cu Mg Mn Zn (*) Fe (*) Si (*) Inne % 3,8-4,9,2,8,3,9,,3,2,5 (*) wartości masymalne Tab. 2. Własności statyczne stopu D6CzATW R e R m E A Z MPa MPa MPa % % Wartość średnia 336 46 68 42 25,2 28,7 Odchylenie stand. 3,, 9,4,6 4 2 39,5 32 Zauwi nitów 39,5 Główi nitów φ4 5 22 29 35,8 44 3,85 25 37 255 Rys. 4. Obiet badań wraz z głównymi wymiarami elementów sładowych 8,2 5 Naprężenie σ max, MPa 4 T O 3 2 Z rc W R=- T E N 8 6.E+3.E+4.E+5.E+6.E+7.E+8 Liczba cyli N Rys. 5. Wynii obliczeń trwałości zmęczeniowej elementu onstrucyjnego: W R=- trwałość zmęczeniowa dla obciążenia cylicznego R= (wyres Wöhlera), T E trwałość zmęczeniowa dla obciążenia esploatacyjnego, T O wynii obliczeń trwałości zmęczeniowej 5
Z badań w warunach obciążenia cylicznego (sinusoidalnego) elementu onstrucyjnego otrzymano następujące wynii: wyres zmęczeniowy Wölhera (R = ) log σ max = -,794 logn + 3,398 (8) granica zmęczenia ma wartość Z rc = 76,5 MPa, wyładni potęgi m = 5.57. Podstawiając wymienione wartości do wzoru (3) otrzymuje się dwuparametryczną charaterystyę zmęczeniową w postaci: 5.57 7 76,5 σm N = (9) σa 46 dla - < R <, i σ max Z rc. Do obliczeń przyjęto zares naprężeń masymalnych σ max w przebiegu obciążeń esploatacyjnych: od 2 do 42MPa. Przyjmując dane do obliczeń z rysunu 3 i wzór (9) opisujący dwuparametryczną charaterystyę zmęczeniową, ze wzorów (4), (5) i (6) obliczamy trwałość zmęczeniową w liczbie cyli. Znając liczbę cyli przypadającą na jednostę czasu lub lot, można wyznaczyć trwałość w godzinach lub liczbie lotów. Wynii obliczeń trwałości zmęczeniowej przedstawiono na rysunu 5. Na rysunu 5 zamieszczono ponadto wyres trwałości wyznaczony doświadczalnie oraz wyres zmęczeniowy Wölhera dla R =. 7. PODSUMOWANIE Z porównania wyresów trwałości zmęczeniowej uzysanych w wyniu obliczeń i badań doświadczalnych wynia dobra zgodność wyniów w zaresie naprężeń masymalnych (σ max ) od 2 do 3MPa. Obliczona trwałość zmęczeniowa dla naprężeń masymalnych powyżej 3MPa jest mniejsza od trwałości doświadczalnej. Zaistniałe różnice mogą wyniać z zaresu przyjętych naprężeń masymalnych, tórych wartość jest więsza od granicy plastyczności dla stopu aluminium D6CzATW. Pomimo zaistniałych różnic, przedstawiona metoda obliczeń oparta na dwuparametrycznej charaterystyce zmęczeniowej daje zadowalające wynii trwałości w warunach obciążeń losowych o szeroim widmie. LITERATURA. Kocańda S., Szala J. (997), Podstawy obliczeń zmęczeniowych, Wydawnictwo Nauowe PWN, Warszawa. 2. Szala J., Ligaj B. (25a), Tablice orelacyjne dla obciążeń esploatacyjnych budowa, właściwości i zastosowanie, X Jubileuszowy Kongres Esploatacji Maszyn i Urządzeń, Stare Jabłoni, 53-542. 3. Szala J., Ligaj B. (25b), Trwałość zmęczeniowa elementów onstrucyjnych w warunach obciążeń esploatacyjnych i programowanych, Problemy Esploatacji, 4/25, Instytut Technologii Esploatacji, 29-3. 4. Szala J., Szala G. (2), Dwuparametryczne charaterystyi zmęczeniowe sformułowanie problemu, Problemy Esploatacji, 3/2, Instytut Technologii Esploatacji, 287-295. 5. Szala J. (998), Hipotezy sumowania uszodzeń zmęczeniowych, Uczelniane Zeszyty Aademii Techniczno- Rolniczej, Bydgoszcz. 6. Description of a Fighter Aircraft Loading Standard for Fatigue, ICAF, 976. A FATIGUE LIFE CALCULATION METHOD OF CONSTRUCTIONAL ELEMENTS WITH A USE OF TWO - PARAMETRIC FATIGUE CHARACTERISTICS Abstract: Suitable damage accumulation hypothesis and suitable fatigue life characteristics of a material should be assumed in fatigue life calculations of constructional elements in servis conditions under random loading with a wide-band spectrum. The paper presents the algorithm of fatigue life calculations based on two-parametric fatigue life characteristics. Description of the method and the algorithm was performed on the example of fatigue life calculations of a constructional element made of D6CzATW aluminum alloy. 5