PEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI I RACHUNKU OPERATOROWEGO W TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH

Podobne dokumenty
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI

1 Przekształcenie Laplace a

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska

Analiza funkcjonalna 1.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań liniowych

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

O pewnym twierdzeniu S. Łojasiewicza, J. Wloki, Z. Zieleżnego

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

13 Układy równań liniowych

1 Macierze i wyznaczniki

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

1 Zbiory i działania na zbiorach.

Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.

TRANSFORMATA FOURIERA

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Podstawowe struktury algebraiczne

Przestrzenie wektorowe

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej. 2. Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Model pajęczyny: Równania modelu: Q d (t)=α-βp(t) Q s (t)=-γ+δp(t-1) Q d (t)= Q s (t) t=0,1,2. α,β,γ,δ>0

CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA?

Przykładowe zadania z teorii liczb

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

Sekantooptyki owali i ich własności

MODEL RACHUNKU OPERATORÓW DLA RÓŻ NICY WSTECZNEJ PRZY PODSTAWACH

METODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój

1 Elementy logiki i teorii mnogości

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan

Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

Matematyka dyskretna

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)

Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3

Własności wyznacznika

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Równania różniczkowe liniowe II rzędu

Twierdzenie spektralne

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

Matematyka 2. Metoda operatorowa Transformata Laplace a

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Algebra liniowa. 1. Macierze.

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

1. Liczby zespolone i

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

Zadania egzaminacyjne

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

Układy równań i nierówności liniowych

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Zaawansowane metody numeryczne

Matematyka dyskretna

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.

Transmitancje układów ciągłych

Transkrypt:

PEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI I RACHUNKU OPERATOROWEGO W TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH WŁADYSŁAW KIERAT Oliver Heaviside w latach 1893-1899 opublikował trzytomową monografię: Elektromagnetic Theory, w której przedstawił algebraiczną metodę rozwiązywania problemów elektrodynamiki. Heaviside nie podał przekonującej argumentacji dla swojej metody. Wielu matematyków wyrażało zastrzeżenia dotyczące poprawności teorii Heavisidea, o czym świadczy niżej przedstawiony list. Anonymous Fellow of the Royal Society to Sir Edmund T. Whittaker: There was a sort of tradition that a Fellow to the Royal Society could print almost anything in the Proceedings untroubled by referees: but then Heaviside had published two papers on his symbolic methods, we felt the line had to be drawn somewhere, so we put a stop to it. Celem tej notatki jest przedstawienie pojęć i twierdzeń teorii równań różniczkowych, na powstanie których miały wpływ idee Heavisidea. Istnieją trzy istotnie różne sposoby uzasadniania poprawności rachunku operatorowego O. Heaviside a: 1) Teoria transformacji Laplace a, 2) Teoria dystrybucji Schwartza, 3) Rachunek operatorów Mikusińskiego. 1. Rachunek operatorów Mikusińskiego W zbiorze C [, ) wprowadzamy działania: (1.1) (f + g)(t) = f(t) + g(t), (1.2) (f g)(t) = (f g)(t) = f(t τ)g(τ)dτ. Twierdzenie 1.1. C [, ) jest przemiennym pierścieniem bez jedności względem działań (1.1) i (1.2). Twierdzenie 1.2 (Titchmarsh). Jeśli f, g C [, ) i (f g)(t) = dla t [, T ], T >, to istnieją liczby T 1, T 2, T 1 + T 2 T, takie że f(t) = dla t [, T 1 ] i g(t) = dla t [, T 2 ]. Wniosek 1.1. Jeśli (f g)(t) = dla t, to f(t) = dla t lub g(t) = dla t. Twierdzenie 1.3. C [, ) jest przemiennym pierścieniem bez jedności i bez dzielników zera. Niech M będzie ciałem ułamków dla pierścienia C [, ). Definicja 1.1. Elementy ciała M nazywamy operatorami Mikusińskiego. 1

2 WŁADYSŁAW KIERAT Funkcje f C [, ) będziemy również oznaczać symbolem {f(t)}. Symbol f(t) oznacza wartość funkcji f w punkcie t. Twierdzenie 1.4. a) C [, ) M, f {1}f {1}, b) C(R) M, α {α} {1}. Przyjmijmy l =: {1}, wtedy (lf)(t) = f(τ)dτ. Operator l nazywamy operatorem całkowym. Operator s := 1 l nazywamy operatorem różniczkowym. Twierdzenie 1.5. Dla f C (n) [, ) zachodzi następująca równość: (1.3) f (n) = s n f f (n 1) () sf (n 2) () s n 1 f(). Wniosek 1.2. Jeśli f() = f (1) = = f (n 1) () =, to f (n) = s n f. 2. Zastosowanie rachunku operatorów do liniowych równań różniczkowych o współczynnikach stałych (2.1) x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 x (1) + a x =, a i C, R (2.2) x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 x (1) + a x = f, f C [, ) Niech γ = (γ,..., γ n 1 ), γ i = x(i) (), i =,..., n 1, (2.3) x (i) () = γ i, i =,..., n 1, p(s) = s n + a n 1 s n 1 + + a 1 s + a, n N. Twierdzenie 2.1. Rozwiązanie x C (n) [, ) równania (2.2) spełniające warunki (2.3) ma postać: (2.4) x = β n 1s n 1 + + β 1 s + β p(s) gdzie + f p(s), (2.5) β n 1 s n 1 + + β 1 s + β = γ =. Przyjmijmy (2.6) x = β n 1s n 1 + + β 1 s + β, x f = f p(s) p(s). Zauważmy, że x jest ogólnym rozwiązaniem równania (2.1) i x f jest szczególnym rozwiązaniem równania (2.2) spełniającym warunek γ =. 1 Funkcja p(s) = {w (t)} jest szczególnym rozwiązaniem równania (2.1) spełniającym (2.7) w () =,..., (w ) (n 2) () =, (w ) (n 1) () = 1.

PEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI... 3 3. Funkcja impulsu dla liniowego równania różniczkowego (3.1) x (n) (t) + a n 1 (t)x (n 1) (t) + + a 1 (t)x (1) (t) + a (t)x(t) =, (3.2) x (n) (t) + a n 1 (t)x (n 1) (t) + + a 1 (t)x (1) (t) + a (t)x(t) = f(t) Definicja 3.1. K : (a, b) (a, b) R a) Funkcje K(, ) są rozwiązaniami równania (3.1) dla (a, b) spełniającymi K(, ) =, (1,) K(, ) =,..., (n 2,) K(, ) =, (n 1,) K(, ) = 1. b) Funkcje K, (1,) K,..., (n,) K C (a,b) (a,b). Funkcję K nazywamy funkcją impulsu dla równania (3.1). Niech v = [v 1,..., v n ] będzie fundamentalnym układem rozwiązań dla równania (3.1) i niech W będzie macierzą Wrońskiego. Twierdzenie 3.1. (3.3) K(t, ) = [v 1 (t),..., v n (t)] [W1n 1 1 (),..., Wnn ()] T, gdzie [W1n 1 1 (),..., Wnn ()] T jest ostatnią kolumną macierzy W 1 () odwrotnej do macierzy Wrońskiego W (). Wtedy (3.4) x(t) = v(t)w 1 ()γ + gdzie x() = γ, x(1) () = γ 1,... x(n 1) () = γ n 1. K(t, τ)f(τ)dτ, Zauważmy, że x (t) = v(t)w 1 ()γ jest rozwiązaniem równania (3.1) spełniającym natomiast x f () = x () = γ, x(1) () = γ 1,..., x(n 1) () = γ n 1, K(t, τ)f(τ)dτ jest rozwiązaniem równania (3.2) spełniającym x f () = x (1) f () = = x(n 1) f () =. Załóżmy, że współczynniki równań (3.1) nie zależą od zmiennej t. Twierdzenie 3.2. K(t, τ) = W (t τ) dla (t, τ) D = {(t, τ) : τ t}, x(t) = v(t)w 1 ()γ + W (t τ)f(τ)dτ dla t, gdzie W 1 jest macierzą odwrotną do macierzy Wrońskiego wyznaczoną przez układ fundamentalny v.

4 WŁADYSŁAW KIERAT 4. Zastosowanie rachunku operatorów do układów równań o stałych współczynnikach Rozważmy układ: (4.1) x = Ax + f, A = [a ij ] n n, x = [x 1,..., x n ] T, x = [x 1,..., x n] T, f = [f 1,..., f n ] T, (4.2) (A si)x = x() f. Wtedy mamy (4.3) x = (A si) 1 x() (A si) 1 f, (4.4) R(s, A) := (A si) 1 = [W ij (t)] n n. Twierdzenie 4.1. a )R(s, A) = {W (t)} jest macierzą Wrońskiego, W () = I. b) Funkcja x(t) = W (t)x() W (t τ)f(τ)dτ jest rozwiązaniem równania (4.1). 5. Funkcja impulsu dla układu równań różniczkowych (5.1) x = Ax, A(t) = [a ij (t)] n n (5.2) x = Ax + f Definicja 5.1. K(, ) : (a, b) (a, b) R n2 a) Dla ustalonego (a, b) każda kolumna macierzy K(, ) jest rozwiązaniem układu (5.1) i K(, ) = I. b) Funkcje K, i (1,) K, C (a,b) (a,b). Funkcję K nazywamy funkcją impulsu dla układu (5.1). Twierdzenie 5.1. a) K(t, ) = W (t)w 1 (), gdzie W jest macierzą Wrońskiego dla równania (5.1). b) Funkcja x(t) = K(t, )x() + K(t, τ)f(τ)dτ jest rozwiązaniem równania (5.2). c) Jeśli współczynniki a ij nie zależą od zmiennej t, wtedy x(t) = W (t )x() gdzie {W (t)} = R(s, A). W (t τ)f(τ)dτ dla t,

PEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI... 5 więc Zauważmy, że R(s, A) = (A si) 1 = l(i la) 1, R(s, A) = l + l 2 A + l 3 A 2 + + l n+1 A n +..., R(s, A) = {I + t 1! A + t2 2! A2 + + tn n! An +... } = {e At }, x(t) = e A(t ) x() + e A(t τ) f(τ)dτ (postać wykładnicza). 6. Funkcje impulsu i rozwiązania podstawowe (6.1) x (n) (t) + a n 1 (t)x (n 1) (t) + + a 1 (t)x (1) (t) + a (t)x(t) =, a i C ( ) (a, b), i =,..., n 1, (6.2) x (t) = A(t)x(t), A(t) = [a ij ] n n a ij C ( ) (a, b) E(t, τ) := E(, ) { K(t, τ) dla a < τ t < b dla a < t < τ < b - rozwiązanie podstawowe Twierdzenie 6.1. a) Jeśli K(, ) jest funkcją impulsu dla równania (6.1), to (D n + a n 1 D n 1 + + a 1 D + a )E(, ) = δ. b) Jeśli K(, ) jest funkcją impulsu dla równania (6.2), to (DI A)E(, ) = δ I. c) Jeśli współczynniki a i równań (6.1) i (6.2) nie zależą od zmiennej t, wtedy { W E(t, ) = (t) dla t dla t < dla równania (6.1) oraz E(t, ) = { W (t) dla t dla t < dla równania (6.2). (Symbol D oznacza różniczkowanie w sensie teorii dystrybucji, a δ oznacza miarę Diraca skupioną w punkcie.) J. L. B. Cooper: Heaviside and the operational calculus, Math. Gaz. 36 (1952) p. 5-19 L. Schwartz: Theorie des Distributions - Introduction, Herman, Paris (1966) J. Mikusiński: Operational calculus, PWN-Pergamon Press, London Warszawa New York (1966)