imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 31/01/2018 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu. Złamanie tej zasady skutkuje usunięciem z sali i unieważnieniem pracy. 3. W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora. 4. Przed przystąpieniem do pisania egzaminu należy podpisać wszystkie kartki pracy (na dole w przewidzianym miejscu). Złożenie podpisu pod regulaminem oznacza jego akceptację. Do egzaminu mogą przystąpić osoby, które akceptują regulamin. 5. W razie braku podpisu lub numeru zadania na kartce, kartka nie zostanie oceniona. Nie będą też oceniane rozwiązania wpisane na kartkach innych, niż te rozdawane przez prowadzących. 6. Rozwiązanie każdego zadania należy zapisać na kartce z tymże zadaniem, ewentualnie na czystych kartkach znajdujących się na końcu arkusza egzaminacyjnego lub na dodatkowych kartkach uzyskanych od prowadzących egzamin. 7. Na jednej kartce może znajdować się rozwiązanie tylko jednego zadania. Oceniane jest rozwiązanie tylko tego zadania, którego numer widnieje na kartce. 8. Egzamin składa się z czterech pytań teoretycznych i 3 zadań. 9. Posiadanie przy sobie wszelkich materiałów drukowanych (w tym książek) oraz innych np. wykonanych własnoręcznie materiałów zostanie uznane za ściąganie. 10. Rozmowy z innymi zdającymi będą traktowane identycznie jak ściąganie. 11. Każda zauważona próba ściągania skutkuje usunięciem z egzaminu. 12. Wszystkie pytania należy kierować bezpośrednio do osób pilnujących. 13. Warunkiem uzyskania oceny pozytywnej jest zdobycie conajmniej 50 % punktów z części teoretycznej egzaminu oraz min. 40 % punktów z cześci zadaniowej. Warszawa, 31/01/2018, podpis Powodzenia :-)
Wartości krytyczne testu Durbina - Watsona. n d L d U 50 1,50 1,59 100 1,65 1,69 200 1,76 1,78 Wartości krytyczne rozkładu χ 2. liczba stopni swobody α = 0,95 α = 0,99 1 3,84 6,64 2 5,99 9,21 3 7,81 11,35 4 9,49 13,28 5 11,07 15,09 6 12,59 16,81 7 14,07 18,48 8 15,51 20,09 9 16,91 21,67 10 18,31 23,21 Wartości krytyczne rozkładu F. liczba stopni swobody α = 0,95 F(1,20) 4,35 F(2,20) 3,49 F(3,20) 3,10 F(20,1) 248,02 F(20,2) 19,45 F(20,3) 8,66 F(1,500) 3,86 F(2,500) 3,01 F(3,500) 2,62 F(1, ) 3,84 F(5, ) 2,21
Pytanie 1. Wyprowadź wzór na estymator MNK w Klasycznym Modelu Regresji Liniowej z wieloma zmiennymi objaśniającymi. UWAGA: Część osób uważa, że mnożenie macierzy jest przemienne - nie jest. Rozpisanie sumy kwadratów reszt i wyniku końcowego nie jest pełnym wyprowadzeniem. Pytanie 2. Dlaczego w modelu regresji liniowej nie powinno się umieszczać równocześnie stałej i wszystkich zmiennych zero - jedynkowych, związanych z poziomami zmiennej dyskretnej? UWAGA: Część osób twierdziła, że w modelu po prawej stronie nie mogą być wyłącznie zmienne zero-jedynkowe - nie jest to prawda. Pytanie 3. Pokaż, że w modelu oszacowanym na podstawie losowej próby estymator MNK jest nieobciążony. Zapisz niezbędne do przeprowadzenia dowodu założenia. UWAGA: Część osób pokazła, że estymator MNK jest nieobciążony, gdy macierz X jest nielosowa. Pytanie 4. Opisz korzyści i niebezpieczeństwa związane z nakładaniem ograniczeń na parametry modelu. UWAGA: Należało rozróżnić dwie sytuacje: ograniczenia są prawdziwe i ograniczenia są fałszywe. Częstą odpowiedzią było, że korzyścią będzie zmniejszenie wariancji estymatora. Jest to prawda, wtedy i tylko wtedy gdy ograniczenia nałożone na parametry modelu są prawidłowe. IMIĘ I NAZWISKO 2/8
1 2 3 4 Zadanie 1 W ostatnich latach obserwuje się zwiększony wpływ migracji na funkcjonowanie lokalnych rynków pracy. Grupa badaczy postanowiła zbadać różnice w wynagrodzeniach pracowników lokalnych i napływowych o podobnym poziomie wykształcenia i doświadczenia zawodowego. W tym celu wykorzystała proste równanie płacy postaci: w i = β 0 + β 1 D i + ε i w i jest poziomem wynagrodzenia i-tego pracownika; D i to zmienna przyjmująca wartość 0 dla pracowników lokalnych oraz 1 dla napływowych, ε i to błąd losowy o jednakowym rozkładzie. W próbie znalazło się n lok pracowników lokalnych i n nap pracowników przyjezdnych. Niech w lok oznacza przeciętne wynagrodzenie pracownika lokalnego, a w nap przeciętne wynagrodzenie pracownika napływowego. Pokaż, że: 1. Wartość estymatora parametru β 0 może być interpretowana jako przeciętne wynagrodzenie pracowników loklanych, 2. Wartość estymatora parametru β 1 może być interpretowana jako przeciętna różnica w poziomie wynagrodzenia między pracownikami lokalnymi a napływowymi, 3. Przeciętne wynagrodzenie w próbie w jest średnią ważoną wynagrodzenia pracowników lokalnych i napływowych, 4. Dodatnie do modelu zmiennych opisujących poziom wykształcenia i doświadczenia zawodowego nie ma wpływu na wartość estymatora parametru β 1. IMIĘ I NAZWISKO 3/8
1 2 Zadanie 2 Powszechnie twierdzi się, że wykorzystując statystykę Durbina-Watsona w poprawny sposób można zweryfikować tylko występowanie autokorelacji pierwszego rzędu. Zakładając, że model regresji y t = X t β + e t nie zawiera opóźnionej zmiennej zależnej, pokaż że: 1. jeżeli składnik losowy zawiera proces autoregresyjny pierwszego rzędu e t = ρe t 1 +u t, t cov(e t, u t ) = 0 to statystyka Durbina-Watsona ma prawidłową wartość, 2. jeżeli składnik losowy zawiera proces autoregresyjny drugiego (lub wyższego) rzędu, np. e t = ρ 1 e t 1 + ρ 2 e t 2 + u t, t cov(e t, u t ) = 0 to wartość statystyki Durbina-Watsona będzie nieprawidłowa. Podpowiedź Skorzystaj z faktu, że można zapisać statystykę DW jako: DW = (e2 t 2e t e t 1 + e 2 t 1 ) t=1 e2 t dla dużego T możemy pominąć pojedyncze obserwacje otrzymując: DW 2 2 e te t 1 (1) IMIĘ I NAZWISKO 4/8
1 2 3 4 5 Zadanie 3 Na podstawie danych dotyczących wynagrodzeń pracowników sektora budowlanego zatrudnionych w małych i średnich przedsiębiorstwach sektora prywatnego w województwie podlaskim oszacowano równanie płacy typu Mincera. W tym równaniu logarytm miesięcznego wynagrodzenia w złotych (l wyn) tłumaczono wiekiem pracownika i kwadratem wieku, stażem pracy pracownika i jego kwadratem oraz poziomem wykształcenia (wyższe (bazowy), policealne, średnie zawodowe, średnie ogólne, zawodowe, gimnazjalne i niższe). Uzyskano następujące wyniki: Source SS df MS Number of obs = 476 ---------+---------------------- F(9, 466) = 19.08 Model 26,9873 9 2,9986 Prob > F = 0.0000 Residual 73,2383 466 0,1572 R-squared = 0.2693 ---------+---------------------- Adj R-squared = 0.2552 Total 100,2256 475 0,2110 Root MSE =.39644 -------------------------------------------------------- l_wyn Coef. Std. Err. t P> t ----------------+--------------------------------------- wiek -0,0025 0,0176-0,14 0,89 wiek2 0,0001 0,0002 0,37 0,71 staz 0,0276 0,0081 3,40 0,00 staz2-0,0005 0,0002-2,51 0,01 wyksz policealne -0,2251 0,1228-1,83 0,07 srednie zaw. -0,4620 0,0535-8,63 0,00 srednie og. -0,3064 0,1078-2,84 0,00 zawodowe -0,5029 0,0471-10,68 0,00 gimn. i nizsze -0,5571 0,0906-6,15 0,00 _cons 7,9499 0,3165 25,12 0,00 -------------------------------------------------------- Następnie badacze oszacowali drugie równanie uzyskując wyniki: Source SS df MS Number of obs = 476 ---------+---------------------- F(7, 468) = 24.28 Model 26,7021 7 3,8146 Prob > F = 0.0000 Residual 73,5235 468 0,1571 R-squared = 0.2664 ---------+---------------------- Adj R-squared = 0.2554 Total 100,2256 475 0,2110 Root MSE =.39636 -------------------------------------------------------- l_wyn Coef. Std. Err. t P> t ----------------+--------------------------------------- staz 0,0305 0,0061 5,00 0,00 staz2-0,0005 0,0002-3,10 0,00 wyksz policealne -0,2148 0,1224-1,75 0,08 srednie zaw. -0,4593 0,0533-8,62 0,00 srednie og. -0,3053 0,1077-2,83 0,00 zawodowe -0,4959 0,0467-10,61 0,00 gimn. i nizsze -0,5385 0,0895-6,02 0,00 _cons 7,9357 0,0525 151,26 0,00 -------------------------------------------------------- IMIĘ I NAZWISKO 5/8
Dla poprawnej specyfikacji przeprowadzili weryfikację założeń modelu (P oznacza wartość P): Jarque- Bera chi2(2) = 30,98 P=0,00 RESET F(3, 465) = 2,61 P=0,05 RESET F(5, 464) = 2,67 P=0,02 Breusch-Pagan, wartosc dopasowana chi2(1) = 39,14 P=0,00 Breusch-Pagan, potegi zmiennych chi2(7) = 51,15 P=0,00 Breusch-Pagan, zmienna: nrjed chi2(1) = 3,48 P=0,06 Mean VIF = 4,30 Opowiedz na poniższe pytania, uzasadniając swoje odpowiedzi stosownymi obliczeniami lub wartościami statystyk. Przyjmij poziom istotności 5%. 1. Zweryfikuj przeprowadzając stosowny test, czy oszacowanie drugiego równania jest uzasadnione. 2. Zinterpretuj wpływ długości stażu pracownika na wysokość wynagrodzenia, jeżeli przeciętny staż pracownika wynosi 13,3 lat. 3. Czy formę funkcyjną modelu można uznać za poprawną? 4. Czy spełnione jest założenie o (hiper)sferyczności składnika losowego? 5. Jakie konsekwencje niesie niespełnienie założeń KMRL i jak można rozwiązać ten problem. IMIĘ I NAZWISKO 6/8
Rozwiązania zadań Zadanie 1 1. Pierwszy sposób: korzystamy z własności MNK w Di =0= ˆ w Di =0= b 0 + b 1 D i Di =0= b 0 Drugi sposób E(w i Di =0) = E(b 0 + b 1 D i + ε i Di =0) = β 0 + E(ε i Di =0) UWAGA: Nie jest prawdą, że E(ε i ) = 0. Z treści wynika, że ε i to błąd losowy o jednakowym rozkładzie. Średnia wartość błędu losowego nie jest znana. 2. Podstawiając do równania wynagrodzenia otrzymujemy w nap = β 0 + β 1 + ε i oraz w lok = β 0 + ε i wobec tego odejmując stronami w nap w lok = β 1 3. Korzystamy z własności MNK. Niech N = n lok + n nap w = ˆ w = β 0 + β 1 D i = 1 N ( β0 + β 1 D i ) = 1 N (n lokβ 0 + n nap (β 0 + β 1 ) ) = n lok w lok + n nap w nap N UWAGA: Nawet, gdy model nie spełnia założeń KMRL estymator MNK dla wektora parametrów nadal jest najlepszym liniowym estymatorem, ale może być obciążony. 4. Podstawiając do równania wynagrodzenia rozszerzonego o dodatkowe zmienne otrzymujemy oraz wobec tego odejmując stronami w nap = β 0 + β 1 + γ 1 edu + γ 2 exp + ε i w lok = β 0 + γ 1 edu + γ 2 exp + ε i w nap w lok = β 1 Ponieważ pracownicy mają podobny poziom wykształcenia i doświadczenia zawodowego uwzględnienie tych zmiennych w równaniu płacy nie będzie miało wpływu na różnicę w wynagrodzeniach. Zadanie 2 1. Proces AR(1) dany jest wzorem e t = ρe t 1 + u t. Wstawiając to do (1) otrzymujemy: DW = 2 2 (ρe t 1 + u t )e t 1 Ponieważ u t i e t są nieskorelowane to: DW = 2 2 ρe2 t 1 = 2 2ρ czyli w przypadku AR(1) wartość statystyki Durbina-Watsona jest prawidłowa. IMIĘ I NAZWISKO 7/8
2. Proces AR(2) dany jest wzorem e t = ρ 1 e t 1 + ρ 2 e t 2 + u t. Wstawiając to do (1) otrzymujemy: DW = 2 2 (ρ 1e t 1 + ρ 2 e t 2 + u t )e t 1 Z braku korelacji u t i e t mamy: DW = 2 2 (ρ 1e t 1 2 + ρ 2 e t 1 e t 2 ) DW = 2 2ρ 1 + 2ρ 2 e t 1e t 2 W przypadku występowania procesu AR(2) wartość statystyki DW będzie zaburzona. Zadanie 3 1. Równanie (2) można traktować jak równanie (1) z narzuconymi ograniczeniami na parametry przy zmiennych wiek oraz wiek2 F = (73,5235 73,2383)/2 73,2383/(476 10) = 0,1426 = 0,9071 < F (2, 500) = 3,01 0,1572 Na poziomie istnotności 5% nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o poprawności ograniczeń, zatem oszacowanie równania 2 jest uzasadnione. 2. W tym celu należy obliczyć wartość pochodną cząstkowej względem wieku ln wyn staz = β staz + 2β staz2 staz = 0,0305 + 2 0,0005 13, 3 = 0,0305 0,0133 = 0,0172 Dla osoby o przeciętnym w próbie wynagrodzeniu i stażu pracy, kolejny rok stażu pracy przyczynia się do wzrostu oczekiwanego wynagrodzenia o 1,72% przy innych czynnikach stałych. 3. Co prawda wynik testu RESET: F (5, 464) = 2, 67; P = 0, 02 < α; wskazuje, że nie jest spełnione założenie o liniowej formie modelu jednak parametry modelu szacowane są na podstawie próby o dużej liczbie obserwacji, a w takim przypadku statystyka testowa jest bardzo wrażliwa, po drugie forma funkcyjna równania jest uzasadniona teoretycznie. 4. Testami pomagającymi weryfikować hipersferyczność składnika losowego są testy Breuscha- Pagana. Wyniki testów sugerują konieczność odrzucenia założenia o stałej wariancji χ2(1) = 39, 14; P = 0, 00 < α; χ2(7) = 51, 15; P = 0, 00 < α. Zatem składnik losowy modelu nie jest hipersferą. UWAGA: Test normalności rozkładu składnika losowego nie jest testem sferyczności. 5. Konsekwencją heteroscedastyczności są nieprawidłowe wartości obliczonych w standardowy sposób statystyk t oraz F. Rozwiązaniem problemu jest wykorzystanie odpornej macierzy White a w celu oszacowania wariancji estymatora wektora parametrów. IMIĘ I NAZWISKO 8/8