VI. SZCZEGÓOWY OPIS STANDARDÓW WYMAGA EGZAMINACYJNYCH Zdajcy posiada umiejtnoci w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY interpretuje tekst matematyczny i formuuje uzyskane wyniki Zdajcy potrafi: odczyta informacj bezporednio wynikajc z treci zadania zastosowa podany wzór lub podany przepis postpowania wykona rutynow procedur dla typowych danych przejrzycie zapisa przebieg i wynik oblicze oraz uzyskan odpowied Przykadowe zadania (poziom podstawowy): 1) wykorzystania i tworzenia informacji: POZIOM ROZSZERZONY uywa jzyka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników Zdajcy potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym oraz: wykona rutynow procedur na niekoniecznie typowych danych odczyta informacj z wykorzystaniem wicej ni jednej postaci danych precyzyjnie przedstawi przebieg swojego rozumowania 1. Diagram przedstawia wyniki ankiety, w której ankietowani odpowiedzieli na pytanie, jakie napoje pij midzy posikami. Ankietowani wybierali tylko jeden z czterech rodzajów napojów. Na podstawie informacji przedstawionych na diagramie oblicz: ile procent badanych osób pije soki owocowe lub wod mineraln, ile procent badanych osób nie pije owocowych napojów gazowanych, ile procent badanych osób nie pije soków warzywnych i nie pije wody mineralnej. 19
n. Dany jest cig a n okrelony wzorem an 1 n dla n = 1,,.... Oblicz a, a 4 i a. n 1 4. Przedstaw w postaci nieskracalnego uamka zwykego. 1 1 4. Podaj miejsca zerowe funkcji okrelonych dla wszystkich liczb rzeczywistych x: f ( x) x( x ), ( ) ( ). Oblicz a b, gdy g x x x, ( ) 1 h x x x. 4 4 a sin cos, b1 4sin cos dla 60. 6. Wska równanie okrgu o rodku w punkcie S 1, i promieniu r : a) x1 y, b) x1 y, c) x1 y, d) x1 y. Przykadowe zadania (poziom rozszerzony): 7. Oblicz. 8. Miary dwóch któw trójkta wynosz podaj w stopniach. i 6. Oblicz miar trzeciego kta. Odpowied 9. Dane jest równanie sin x a 1, z niewiadom x. Wyznacz wszystkie wartoci parametru a, dla których dane równanie nie ma rozwiza. 10. Funkcja f jest okrelona wzorem tej funkcji s liczby a),, 6. b), 6. c),. d),, 6. x dla x f x x dla x. Miejscami zerowymi x 6 dla x 0
) wykorzystania i interpretowania reprezentacji: uywa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych Zdajcy potrafi: poprawnie wykonywa dziaania na liczbach i przedziaach liczbowych, przeksztaca wyraenia algebraiczne, rozwizywa niezbyt zoone równania, ich ukady oraz nierównoci, odczytywa z wykresu wasnoci funkcji, sporzdza wykresy niektórych funkcji, znajdowa stosunki miarowe w figurach paskich i przestrzennych (take z wykorzystaniem ukadu wspórzdnych lub trygonometrii), zlicza obiekty i wyznacza prawdopodobiestwo w prostych sytuacjach kombinatorycznych zastosowa dobrze znan definicj lub twierdzenie w typowym kontekcie rozumie i interpretuje pojcia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi Zdajcy potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym, take: w odniesieniu do bardziej zoonych obiektów matematycznych, a ponadto potrafi poda przykad obiektu matematycznego speniajcego zadane warunki Przykadowe zadania (poziom podstawowy): 1. Na osi liczbowej zaznaczono przedzia A zoony z tych liczb rzeczywistych, których odlego od punktu 1 jest niewiksza od 4,. Przedzia A przesunito wzdu osi o jednostki w kierunku dodatnim, otrzymujc przedzia B. Wyznacz wszystkie liczby cakowite, które nale jednoczenie do A i do B.. Rozwi równanie x x 1 x.. Oblicz najwiksz i najmniejsz warto funkcji f ( x) x 4x11 w przedziale A 0, 4. 4. Pan Kowalski planujc wyjazd na wakacje letnie w nastpnym roku postanowi zaoy lokat, wpacajc do banku 000 z na okres jednego roku. Ma do wyboru trzy rodzaje lokat: lokata A oprocentowanie w stosunku rocznym %, kapitalizacja odsetek po roku, lokata B oprocentowanie w stosunku rocznym 4,8%, kapitalizacja odsetek co pó roku, lokata C oprocentowanie w stosunku rocznym 4,6%, kapitalizacja odsetek co kwarta. Oce, wykonujc odpowiednie obliczenia, która lokata jest najkorzystniejsza dla Pana Kowalskiego. 1
. W trójkcie równoramiennym ABC, w którym AC BC 10cm, wysoko poprowadzona z wierzchoka C jest równa cm. Oblicz miary któw tego trójkta. Odpowied podaj w stopniach. 6. Ostroktny trójkt równoramienny ABC o podstawie AB jest wpisany w okrg o rodku S, przy czym kt SAB ma miar 40. Oblicz miar kta CAB. 7. Oblicz odlego punktu A od rodka odcinka BC, gdzie 1,, 4,7,, A B C. 8. W graniastosupie czworoktnym prawidowym przektna o dugoci m jest nachylona do paszczyzny podstawy pod ktem. Wiadomo, e sin 0,. Wyznacz objto tego graniastosupa. 9. O zdarzeniach losowych A i B wiemy e: 1 P( A), P( B), 4 P( A B). Oblicz: a) P( A B), b) P( A \ B ). 10. Na podstawie fragmentu wykresu funkcji kwadratowej f x wska, które zdanie jest prawdziwe. 9 y. (1,9) 8 7 6 4 f(x) 1-4 - - -1 1 4 6 7 x -1 - - -4 a) Miejscami zerowymi funkcji s liczby: oraz 4. b) Funkcja jest rosnca w przedziale, 4. c) Funkcja przyjmuje wartoci wiksze od zera dla x 1. d) Zbiorem wartoci funkcji jest przedzia,9.
Przykadowe zadania (poziom rozszerzony): 11. W kolejce do kasy biletowej ustawiy si cztery dziewczynki i piciu chopców. Liczba wszystkich moliwych ustawie osób w tej kolejce wynosi a) 4! +!. b) 9!. c) 4. d) 4!!. 1. Rozwi równanie 4 log log log x 0. 1 f x dla wszystkich liczb rzeczywistych x 1 x 1. Rozwi nierówno fx f x. 1. Funkcja f jest okrelona wzorem 1 14. Narysuj wykres funkcji f okrelonej w przedziale, wzorem x 1 a) f x 1, b) x f x. 1. Pole wycinka koa o promieniu cm jest równe cm. Oblicz miar ukow kta rodkowego tego wycinka. 16. Punkty A (1, 1), B (,), C (,) s wierzchokami trapezu równoramiennego ABCD niebdcego równolegobokiem, w którym AB CD. a) Wyznacz równanie osi symetrii tego trapezu. b) Oblicz pole tego trapezu. 17. Na okrgu zaznaczono sze rónych punktów. Ile rónych wieloktów wypukych o wszystkich wierzchokach w tych punktach mona narysowa? 18. Dla jakich wartoci parametru m reszta z dzielenia wielomianu x 17 mx 1 m x 10 x m przez dwumian x 1 jest równa? 19. Wyznacz równanie okrgu o rodku A,, stycznego do prostej o równaniu x y1 0.
) modelowania matematycznego: dobiera model matematyczny do prostej sytuacji Zdajcy potrafi, take w sytuacjach praktycznych: poda wyraenie algebraiczne, funkcj, równanie, nierówno, interpretacj geometryczn, przestrze zdarze elementarnych opisujce przedstawion sytuacj przetworzy informacje wyraone w jednej postaci w posta uatwiajc rozwizanie problemu oceni przydatno otrzymanych wyników z perspektywy sytuacji, dla której zbudowano model buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzgldniajc ograniczenia i zastrzeenia Zdajcy potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym, take: buduje model matematyczny danej sytuacji, take praktycznej, równie wymagajcy uwzgldnienia niezbdnych ogranicze i zastrzee Przykadowe zadania (poziom podstawowy): 1. Dany jest prostokt o bokach a i b. Zmniejszamy dugo boku a o 10% oraz zwikszamy dugo boku b o 0%. a) O ile procent zwikszy si pole tego prostokta? b) Wyznacz dugo boku b, dla której nowy prostokt bdzie mia taki sam obwód jak prostokt wyjciowy, jeli wiadomo, e bok a ma dugo 0 cm.. Liczb 4 przedstaw w postaci sumy dwóch skadników tak, by rónica ich kwadratów bya równa 168.. Dla kadej liczby rzeczywistej b równanie 1 y x bx opisuje pewn parabol. Wyznacz wszystkie wartoci parametru b, dla których wierzchoek paraboli ley nad osi Ox. 4. Punkt B ( 1,9) naley do okrgu stycznego do osi Ox w punkcie A (,0). Wyznacz równanie tego okrgu.. Strzelajc do tarczy pewien strzelec uzyskuje co najmniej 9 punktów z prawdopodobiestwem 0,, a co najwyej 9 punktów z prawdopodobiestwem 0,7. Oblicz prawdopodobiestwo, e ten strzelec uzyska dokadnie 9 punktów. 4
6. Dugo ramienia BC trapezu prostoktnego jest dwa razy wiksza od rónicy dugoci jego podstaw. Kt ABC ma miar a) 0. D C b) 4. c) 60. d) 7. A B Przykadowe zadania (poziom rozszerzony): 7. Niech A bdzie zbiorem wszystkich liczb x, które speniaj równo x1 x. Niech B bdzie zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odlegoci od punktów 4 i 6 jest niewiksza ni 4. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B oraz wszystkie punkty, które nale jednoczenie do A i do B. 8. Przedzia, 0 jest zbiorem wszystkich rozwiza nierównoci m x z niewiadom x. Oblicz m. 9. Rozpatrujemy wszystkie prostokty o polu równym 6, których dwa ssiednie boki zawarte s w osiach Ox i Oy ukadu wspórzdnych. Wyznacz równanie krzywej bdcej zbiorem tych wierzchoków rozpatrywanych prostoktów, które nie le na adnej z osi ukadu wspórzdnych. Narysuj t krzyw. 10. Miary piciu któw tworz cig arytmetyczny. Drugim wyrazem tego cigu jest 10, a czwartym 70. Oblicz sum sinusów tych piciu któw. 11. Dane jest równanie x m x m z niewiadom x. Sformuuj warunki, jakie powinien spenia parametr m, by to równanie miao dwa róne pierwiastki, których suma odwrotnoci jest dodatnia. 1. Wyznacz pierwsze trzy wyrazy cigu geometrycznego wiedzc, e s one dodatnie, ich suma jest równa 1 oraz suma ich odwrotnoci jest równa 7 1. 1. Z szuflady, w której znajduje si 10 rónych par rkawiczek wybieramy losowo cztery rkawiczki. Opisz zbiór wszystkich zdarze elementarnych, a nastpnie oblicz prawdopodobiestwo zdarze: A wród wylosowanych rkawiczek nie bdzie pary, B wród wylosowanych rkawiczek bdzie dokadnie jedna para.
4) uycia i tworzenia strategii: stosuje strategi, która jasno wynika z treci zadania Zdajcy potrafi: dobra odpowiedni algorytm do wskazanej sytuacji problemowej ustali zalenoci midzy podanymi informacjami zaplanowa kolejno wykonywania czynnoci, wprost wynikajcych z treci zadania, lecz nie mieszczcych si w ramach rutynowego algorytmu krytycznie oceni otrzymane wyniki tworzy strategi rozwizywania problemu Zdajcy potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym, take: zaplanowa i wykona cig czynnoci prowadzcy do rozwizania problemu, nie wynikajcy wprost z treci zadania Przykadowe zadania (poziom podstawowy): 1. Podaj przykad liczb cakowitych dodatnich a i b, speniajcych nierówno a 6. 7 b 7. Stosujc wzory skróconego mnoenia rozó na czynniki wyraenie 1 a ab b.. W cigu arytmetycznym n a dane s wyrazy: a, a 19. Wyznacz wszystkie 4 6 wartoci n, dla których wyrazy cigu a n s mniejsze od 00. 4. Liczby dodatnie a, b, c speniaj warunek: log4 c log b log a. Oblicz abc. y. Ile punktów wspólnych ma okrg o równaniu 6 x y1 0? 6. Zbiorem wartoci funkcji kwadratowej g jest przedzia, nierównoci ( x) 0 g jest przedzia, 8 x z prost o równaniu. Wyznacz wzór funkcji g. 7. Rozwi równanie x x x x, a zbiorem rozwiza 1 4 7... 8 1, jeli wiadomo, e skadniki po lewej stronie s kolejnymi wyrazami pewnego cigu arytmetycznego. 8. Wiedzc, e jest ktem ostrym i tg, oblicz warto wyraenia 4cos sin. cos sin 9. Dany jest trójkt prostoktny ABC o przeciwprostoktnej AB, taki e sinbac 0, i AC 7. Oblicz pole koa opisanego na tym trójkcie. 10. W ukadzie wspórzdnych na paszczynie zaznaczono punkty A,0 i 4,0 B. Wyznacz wszystkie moliwe pooenia punktu C, dla których ABC jest trójktem równoramiennym o podstawie AB i polu równym. 6
11. Rzucamy trzy razy symetryczn szecienn kostk do gry. Opisz zbiór wszystkich zdarze elementarnych, a nastpnie oblicz prawdopodobiestwo, e w kadym rzucie liczba oczek bdzie wiksza od numeru rzutu. Przykadowe zadania (poziom rozszerzony): 1. Wyznacz wszystkie wartoci parametru p, dla których równanie x x p ma dokadnie dwa rozwizania. 1. Wyka, e dla a, zachodzi równo 6 9 4 4. a a a a a a 14. Dane jest równanie x bx c 0 z niewiadom x. Wyznacz wartoci b oraz c tak, by byy one rozwizaniami danego równania. 1. Dane s funkcje liniowe g i h okrelone wzorami: g( x) ax b i h( x) bx a. Wiadomo, e funkcja g jest rosnca, a funkcja h malejca. a) Wyznacz pierwsz wspórzdn punktu przecicia wykresów tych funkcji. b) Oblicz liczby a i b wiedzc, e wykresy funkcji g i h s prostymi prostopadymi, a punkt ich przecicia ley na osi Ox. 16. Dany jest cig a n majcy t wasno, e dla kadej liczby naturalnej n suma 1 7 n pocztkowych wyrazów tego cigu jest równa n n tego cigu. Wyka, e a n jest cigiem arytmetycznym.. Oblicz dwudziesty wyraz 17. Proste zawierajce ramiona BC i DA trapezu ABCD przecinaj si w punkcie S. Dane s: AB 6, CD oraz obwód trójkta SCD równy 18. Oblicz obwód trójkta SAB. 18. W pewnym trapezie kty przy dwóch przeciwlegych wierzchokach maj miary oraz 90. Jedno z ramion tego trapezu ma dugo t. Wyznacz rónic dugoci podstaw tego trapezu. 19. Czworokt ABCD jest wpisany w okrg. Dane s BC a, CD Wyznacz dugo przektnej BD. b, DAB. 0. Podstaw ostrosupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku dugoci 4. Odcinek DS jest wysokoci ostrosupa i ma dugo 6. Punkt M jest rodkiem odcinka DS. Oblicz pole przekroju ostrosupa paszczyzn BCM. 7
1. Ze zbioru liczb {1,,..., n } wybieramy jednoczenie dwie liczby. Na ile sposobów moemy to zrobi, tak aby otrzyma dwie liczby takie, e: a) ich rónica bdzie liczb parzyst, b) suma ich kwadratów bdzie liczb podzieln przez cztery?. Narysuj przekrój równolegocianu paszczyzn PQR. Q P R. Wiedzc, e dla pewnego cigu geometrycznego a n o wyrazach dodatnich prawdziwa jest równo S14 S7, oblicz iloraz tego cigu. Symbol n pocztkowych wyrazów cigu a n. S n oznacza sum 8
) rozumowania i argumentacji: prowadzi proste rozumowanie, skadajce si z niewielkiej liczby kroków. Zdajcy potrafi: wyprowadzi wniosek z prostego ukadu przesanek i go uzasadni zastosowa twierdzenie, które nie wystpuje w treci zadania tworzy acuch argumentów i uzasadnia jego poprawno. Zdajcy potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym, take: wyprowadzi wniosek ze zoonego ukadu przesanek i go uzasadni analizowa i interpretowa otrzymane wyniki przeprowadzi dowód Przykadowe zadania (poziom podstawowy): 1. Wiadomo, e 1,849 jest przyblieniem liczby 10 0, z zaokrgleniem do 4 miejsc po przecinku. Wyznacz przyblienie liczby oraz przyblienie liczby. Wyka, e dla wszystkie liczby rzeczywiste x. 4 10 z zaokrgleniem do miejsc po przecinku 11 10 z zaokrgleniem do 1 miejsca po przecinku. x m x m jest speniona przez m nierówno 0. Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba, maksymalny przedzia, w którym ta funkcja jest malejca to,. Najwiksza warto funkcji f w przedziale 8, 7 jest równa 4. Wyznacz wzór funkcji f i narysuj jej wykres. 4. W pewnym trójkcie prostoktnym suma cosinusów któw ostrych jest równa Oblicz iloczyn sinusów tych któw... Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Przektne tego trapezu przecinaj si w punkcie S. Wyka, e SA SD SB SC. 6. Prostokt ABCD obracajc si wokó boku AB, zakreli walec w 1. Ten sam prostokt obracajc si wokó boku AD, zakreli walec w. Otrzymane walce maj równe pola powierzchni cakowitych. Wyka, e prostokt ABCD jest kwadratem. 9
Przykadowe zadania (poziom rozszerzony): 7. Wielomian f jest okrelony wzorem 4 pierwszych a oraz b. Wiadomo, e liczba Oblicz a i b. f x ax 9x x 7x b dla pewnych liczb jest pierwiastkiem tego wielomianu. 8. Dane jest równanie x mx m1 0 z niewiadom x. Uzasadnij, e dla kadej liczby cakowitej m wszystkie rozwizania tego równania s liczbami cakowitymi. 9. Funkcja g jest okrelona w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych w nastpujcy sposób: jeli x k, k 1 dla pewnej liczby cakowitej k, to x kx k1 a) Narysuj wykres funkcji g w przedziale,0. b) Uzasadnij, e funkcja g nie ma miejsc zerowych. c) Rozwi równanie g( x ) 010. g. 10. Wyka, e jeeli liczby b, c, b a s kolejnymi wyrazami cigu geometrycznego to liczby ab, b, c s kolejnymi wyrazami cigu arytmetycznego. 11. Wyka, e wyraenie cos x 1 tgx nie jest tosamoci. sin x cos x tgx 1. Dany jest taki czworokt wypuky ABCD, e okrgi wpisane w trójkty ABC i ADC s styczne. Wyka, e w czworokt ABCD mona wpisa okrg. 1. Dane s punkty A (,), B (,4). Na prostej o równaniu y wyznacz punkt C tak, aby amana ACB miaa jak najmniejsz dugo. Odpowied uzasadnij. 14. Trójkt ABC jest podstaw ostrosupa ABCS. Punkt M jest rodkiem boku AB i AM prosty. MC. Odcinek AS jest wysokoci tego ostrosupa. Wyka, e kt SCB jest 1. Podstaw ostrosupa ABCDS jest prostokt ABCD, w którym AB 1, BC. Wszystkie krawdzie boczne tego ostrosupa maj dugo 1. Wyznacz warto dowolnej funkcji trygonometrycznej kta midzy dwiema ssiednimi cianami bocznymi tego ostrosupa. 0
16. Tabela zawiera niektóre wyniki pisemnego sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej (ocenionego w szeciostopniowej skali ocen). Dziewczta Chopcy liczba osób 11 14 rednia ocen 4,0,8 odchylenie standardowe 1,1 1,8 Oblicz redni ocen z tego sprawdzianu oraz odchylenie standardowe dla caej klasy. Wyniki podaj z zaokrgleniem do dwóch miejsc po przecinku. 1