Mechanika kwantowa Schrödingera

Podobne dokumenty
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

Postulaty mechaniki kwantowej

Równanie Schrödingera

Fizyka 3.3 WYKŁAD II

Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach

(U.13) Atom wodoropodobny

Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury.

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że

gęstością prawdopodobieństwa

Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6

Jednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 30

FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

Wykłady z Mechaniki Kwantowej

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Wstęp do Modelu Standardowego

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

VII. CZĄSTKI I FALE VII.1. POSTULAT DE BROGLIE'A (1924) De Broglie wysunął postulat fal materii tzn. małym cząstkom przypisał fale.

h 2 h p Mechanika falowa podstawy pˆ 2

Stara i nowa teoria kwantowa

Reprezentacje położeniowa i pędowa

Faculty of Applied Physics and Mathematics -> Department of Solid State Physics. dydaktycznych, objętych planem studiów

Feynmana wykłady z fizyki. [T.] 1.1, Mechanika, szczególna teoria względności / R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands. wyd. 7.

Wstęp do Modelu Standardowego

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga

Mechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym

Elementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?

Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?

5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa

Promieniowanie X. Jak powstaje promieniowanie rentgenowskie Budowa lampy rentgenowskiej Widmo ciągłe i charakterystyczne promieniowania X

Mechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel

Elementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków).

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013)

Zasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego

Dr Kazimierz Sierański www. If.pwr.wroc.pl/~sieranski Konsultacje pok. 320 A-1: codziennie po ćwiczeniach

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej

Elementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera

Geometria analityczna

Krótki wstęp do mechaniki kwantowej

Równanie Schrödingera

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Wykłady z Mechaniki Kwantowej

Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)

Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

II.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym

Metody rozwiązania równania Schrödingera

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Wykład I.2 1 Kłopoty z mechaniką klasyczną. 2 Postulaty mechaniki kwantowej 1. Stan układu funkcja falowa ψ(x), ψ(x) 2 interpretacja

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

VII.1 Pojęcia podstawowe.

Księgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki

Elementy fizyki relatywistycznej

Atomowa budowa materii

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 9 Podstawy teorii kwantów fale materii, dualizm falowo-korpuskularny, funkcja falowa, równanie Schrödingera, stacjonarne równanie

Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Dynamika

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Wstęp do równań różniczkowych

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Rok akademicki: 2012/2013 Kod: JFM s Punkty ECTS: 6. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne

Układy współrzędnych

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka

Mechanika klasyczna zasada zachowania energii. W obszarze I cząstka biegnie z prędkością v I, Cząstka przechodzi z obszaru I do II.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

FIZYKA klasa 1 Liceum Ogólnokształcącego (4 letniego)

Podstawy fizyki wykład 4

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Transkrypt:

Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny (gdy stała Plancka h 0 tj. jest małe w porównaniu z innymi wielkościami fizycznymi). Teoria ta idzie o wiele dalej niż hipoteza de Broglie a: Podaje nie tylko długość fali materii ale też wszystkie szczegóły jej propagacji istnieje też relatywistyczna wersja mechaniki kwantowej Operator Â: sformułowana przez Diraca. Własności operatorów mechaniki kwantowej przyporządkowuje funkcji f funkcję g - dzieje się to w przestrzeni funkcyjnej (przestrzeń Hilberta)

Fizyka 2 Wykład 2 2 Przykłady: Dla ostatniego przykładu można napisać równanie operatorowe: Ważny wniosek: kolejność działań jest w mechanice kwantowej istotna

Fizyka 2 Wykład 2 3 Definicja: komutatorem nazywamy wyrażenie o o Operator Ĉ na ogół jest różny od zera. Jeśli Ĉ znika mówimy, że operatory komutują. Przykład: Proszę sobie sprawdzić, że Zagadnienie własne, wartości i funkcje własne Zagadnienie własne dla operatora  gdzie u n (x) jest funkcja własną operatora  w stanie n zaś a n jest wartością własną w stanie n. n może być liczba dyskretną albo też wielkością ciągłą.

Fizyka 2 Wykład 2 4 Jeżeli jednej wartości własnej a n odpowiada więcej niż jedna funkcja własna u n to mówimy,że jest ona zdegenerowana. Stany zdegenerowane pojawiają się również w fizyce klasycznej: np. orbity planet są zdegenerowane ze względu na energię tj. różnym kształtom orbit odpowiada ta sama wartość energii. Jednakże w fizyce klasycznej wielkości (w tym energia) nie są skwantowane. Zbiór wartości własnych danego operatora nazywamy jego widmem. Przykład: Gdy operatorem jest operator energii - wartości własne to dozwolone w danym układzie wartości energii. Dla cząstki swobodnej energia jest wielkością ciągłą (widmo energii jest ciągłe). Na ogół jednak widmo energii jest dyskretne (nieciągłe). Przykład: Niech w przestrzeni jednej zmiennej x gdzie i jednostka urojona

Fizyka 2 Wykład 2 5 Bez dodatkowych założeń Â miałby ciągłe widmo wartości własnych. Żądamy jednak dodatkowo: aby funkcje własne były periodyczne Zagadnienie własne dla operatora Â: Rozwiązaniem tego równania są funkcje własne Z podstawienia a n = k n a więc Uwaga: co daje Skwantowanie wartości własnych k n pojawiło się jako skutek warunku brzegowego (w przykładzie - warunku periodycznego). Gdy L to różnice wartości własnych maleją do zera (widmo quasi-ciągłe)

Fizyka 2 Wykład 2 6 Oprócz operatorów różniczkowych oraz operatorów mnożenia są też inne. Przykład: Jedna z 3 macierzy Paulliego związanych ze spinem cząstki z funkcjami własnymi: Proszę sprawdzić (ćwiczenie do domu!), że wartościami własnymi tych funkcji są: Operator hermitowski Ważną rolę w mechanice kwantowej odgrywają operatory hermitowskie - mają one rzeczywiste wartości własne tak jak większość wielkości mierzonych w doświadczeniu (tj. obserwabli). Funkcje własne tych operatorów są wektorami w przestrzeni Hilberta.

Fizyka 2 Wykład 2 7 W tej przestrzeni definiuje się dla nich iloczyn skalarny (rzut w przestrzeni Hilberta): gdzie gwiazdka oznacza sprzężenie w sensie zmiennej zespolonej. Funkcje własne należące do różnych wartości własnych są ortogonalne Funkcje własne są unormowane Zupełność funkcji własnych Zbiór wszystkich funkcji własnych danego operatora hermitowskiego stanowi bazę w przestrzeni funkcyjnej (przestrzeni Hilberta), w której ten operator działa. Zatem: jeśli f (r ) jest dowolnym stanem należącym do tej przestrzeni to można go rozwinąć na szereg funkcji własnych gdzie u n są funkcjami własnymi operatora. Suma rozciąga się po całym widmie tego operatora. Jeśli widmo jest ciągłe suma ta przechodzi w całkę.

Fizyka 2 Wykład 2 8 Przykład: Często stany f badanego układu rozwija się na funkcje własne operatora pędu gdzie to operator nabla znany z elektrodynamiki. Mówimy wtedy, że stan f został przedstawiony w reprezentacji pędowej pˆ i Współczynniki tego rozwinięcia wyznaczamy korzystając z iloczynu skalarnego w przestrzeni Hilberta Jest to działanie analogiczne jak w przestrzeni Euklidesa: Niech będzie dany wektor ( 1,2,3) i 2i 3i x Aby znaleźć y-kową współrzędną tego wektora wykonuje się iloczyn skalarny y z

Fizyka 2 Wykład 2 9 Dany stany kwantowy (wektor stanu) może zostać rozwinięty na funkcje własne różnych operatorów: otrzymujemy wtedy różne reprezentacje tego samego wektora stanu: reprezentacja pędowa rozwinięcie na funkcje własne operatora pędu reprezentacja położeniowa - rozwinięcie na funkcje własne operatora położenia reprezentacja energetyczna - rozwinięcie na funkcje własne operatora energii i inne.

Fizyka 2 Wykład 2 10 Postulaty Fizyczne operacja obserwacji Postulaty mechaniki kwantowej Każdemu rodzajowi obserwacji przyporządkowuje się zespół liczb stanowiących zbiór wszystkich możliwych wyników obserwacji Jeżeli są dwa rodzaje obserwacji A i B to wtedy na ogół kolejność wykonywania tych obserwacji jest istotna tj. AB BA. zasada odpowiedniości Relacje klasyczne, w których nie występują pochodne zachodzą w mechanice kwantowej po zastąpieniu wielkości klasycznych odpowiednimi operatorami Przykład: Niech ˆ r ( x, y, z) oraz pˆ ( px, py, pz) odpowiednio. Wtedy operator momentu pędu otrzymuje się z relacji klasycznej: jako przy czym np. są operatorami położenia i pędu,

Fizyka 2 Wykład 2 11 Przykład: Całkowita energia (mechaniczna), która w mechanice klasycznej wyraża się w 2 p postaci: V ( r ) 2m w mechanice kwantowej ma swój odpowiednik w postaci operatora Hamiltona Hˆ 2 pˆ 2m Vˆ( rˆ) Przykład: Dana jest para mas M połączonych nieważkim prętem o długości 2d. Układ ten wiruje swobodnie z prędkością kątową wokół osi przechodzącej przez środek masy i prostopadłej do pręta. Znaleźć kwantowe równanie ruchu i wartości własne takiego rotatora jeśli wiadomo: a) klasyczne wyrażenie na energie kinetyczną w ruchu obrotowym gdzie L moduł momentu pędu a I = 2Md 2 - moment bezwładności

Fizyka 2 Wykład 2 12 b) operator kwadratu momentu pędu ma funkcje własne Y lm (, ) oraz wartości własne l(l+1) ħ 2, l = 0,1,2,... Odpowiedź: poszukiwane równanie ruchu: a energia własna tego układu: zasada komplementarności Każde dwie wielkości obserwowalne, z których jedna wiąże się z położeniem a druga,, wiąże się z pędem spełniają związek przemienności [ ˆ, ˆ] i Wielkości takie nazywamy komplementarnymi. Zasada komplementarności pozwala konstruować operatory

Fizyka 2 Wykład 2 13 Przykład: Przyjmujemy reprezentację położeniową a więc, że Aby był spełniony związek komutacyjny powyżej operator pędu musi przyjąć postać Przykład: Przyjmijmy tym razem reprezentację pędową: Wtedy ta sama relacja komutacji wymaga aby pˆ p Wyniki obliczeń otrzymane z różnych reprezentacji są równoważne ale wybór reprezentacji wiąże się z wyborem funkcji własnych, za pomocą których obliczenia są wykonywane. A to wiąże się ze stopniem trudności rachunkowych (podobnie jak w fizyce klasycznej wybór układu współrzędnych).

Fizyka 2 Wykład 2 14 Pośredni wniosek z zasady komplementarności Jeśli spełnione jest Aˆ, Bˆ] Cˆ [ dowodzi się, że gdzie <..> oznacza wartość średnią a nieoznaczoność A definiuje się tj. jako odchylenie średnie standardowe. Dla otrzymuje się Jest to zasada nieoznaczoności Heisenberga Są też inne wielkości spełniające tą zasadę jak np.

Fizyka 2 Wykład 2 15 postulaty matematyczne Jedynymi możliwymi wynikami obserwacji  są odpowiednie wartości własne a n Wynikiem obserwacji  w stanie własnym u n jest na pewno wartość własna a n Interpretacja: pomiar idealny w stanie własnym nie zmienia tego stanu Wartość średnia obserwacji w dowolnym stanie wyraża się wzorem gdzie całkowanie rozciąga się po całej dziedzinie stanu

Fizyka 2 Wykład 2 16 Interpretacja 1: 1) niech badany stan będzie (unormowanym) stanem własnym tj. u n 2) Jeśli stan nie jest stanem własnym (zakładamy, że jest unormowany) to łatwo wykazać (Ćwiczenie!!!) Interpretacja 2: W stanie, który nie jest stanem własnym Â, za każdym razem jak będziemy dokonywać obserwacji  otrzymamy różne wyniki; należą one do zbioru wartości własnych a n. Wartość średnia jest średnią ważoną z wagami w postaci kwadratów modułów (wielkości zespolone!) współczynników rozwinięcia stanu na funkcje bazy u n. Współczynniki rozwinięcia otrzymania wyniku a n. 2 n c mają przy tym więc sens prawdopodobieństwa