Zestaw zadań 4. Grupy punktowe. Składanie elementów symetrii. Translacyjne elementy symetrii grupy punktowe, składanie elementów symetrii, translacyjne elementy symetrii: osie śrubowe, płaszczyzny ślizgowe Zadanie 1. Wyznacz macierze operacji dla elementów symetrii zawartych w symbolu grupy punktowej: a. b. c. d. e. f. a. Grupa punktowa mmm należy do układu rombowego zatem płaszczyzny symetrii wymienione w jej symbolu są prostopadłe do kierunków odpowiednio:, i. Oto ich macierze: m [100] m [010] m [001] b. Grupa punktowa 4mm należy do układu tetragonalnego zatem oś czterokrotna jest równoległa do kierunku., płaszczyzna symetrii na drugiej pozycji jest prostopadła do kierunku lub, natomiast płaszczyzna na trzeciej pozycji jest prostopadła do jednego z kierunków lub. Oto ich macierze: 4 [001] m [100] m [110] lub lub m [010] m [1-10] c. Grupa punktowa należy do układu regularnego. Dlatego czterokrotna inwersyjna musi być równoległa do jednego z kierunków. Oś trzykrotna na drugiej pozycji jest równoległa do jednego z kierunków, natomiast płaszczyzna na trzeciej pozycji jest prostopadła do jednego z kierunków. Symbol oznacz rodzinę kierunków symetrycznie równoważnych. By nie wypisywać wszystkich możliwych macierzy musimy dokonać wyboru kierunku operacji symetrii dla każdej z trzech pozycji w symbolu grupy punktowej. I tak: dla osi mamy do wyboru, oraz dla osi mamy do wyboru,, oraz natomiast dla płaszczyzny to wybór między a. [100] [111] [110] d. Grupa punktowa należy do układu heksagonalnego. Chociaż w symbolu tej grupy widzimy dwa przekształcenia symetrii i to sposób ich zapisu informuje nas odnoszą się one do tego samego kierunku i tym samym zajmują jedną, pierwszą pozycję w symbolu grupy. Dla układu heksagonalnego jest to kierunek [001] [001]
e. Grupa punktowa należy do układu trygonalnego zatem oś trzykrotna jest równoległa do kierunku. Płaszczyzna symetrii na drugiej pozycji jest prostopadła do kierunku lub. My wybieramy kierunek. [001] [100] f. Grupa punktowa należy do układu trygonalnego zatem oś trzykrotna jest równoległa do kierunku. Dla osi dwukrotnej na drugiej pozycji wybieramy kierunek. [001] [100]
Zadanie 2. Korzystając z macierzowych reprezentacji elementów symetrii oraz przekształcając biegun ściany na rzucie stereograficznym, wyznacz wynik złożenia przekształceń AB oraz BA: a) A: m(100) B: 2[100] b) A: 4 [001] B: 2[010] c) A: 4[001] B: m(110) d) A: m(100) B: 4[001] e) A: m(010) B: m( 1 10) f) A: 4[001] B: 2[110] Zanim przystąpimy do rozwiązywania wymienionych wyżej przykładów należy zauważyć, że przy składaniu operacji symetrii ich zapis odczytujemy od prawej do lewej i w tej kolejności wykonujemy operacje. Zatem złożenie operacji AB interpretujemy w ten sposób, że obiekt (np. wektor przekształcamy najpierw przez B potem przez A. a) A: m [100] B: 2 [100] Złożenie AB Na rzucie stereograficznym zostały zaznaczone wymienione w zadaniu płaszczyzna zwierciadlana (operacja A) i prostopadła do niej oś dwukrotna (operacja B) Zgodnie z opisem przekształcamy biegun dowolnie wybranej ściany najpierw względem osi 2 [100] (operacja B)...... a następnie względem płaszczyzny symetrii m [100] (operacja A). Biegun ściany, który dostajemy w wyniku złożenia operacji związany jest z wyjściowym poprzez inwersję, zaznaczoną na rysunku punktem To samo złożenie możemy przeprowadzić stosując reprezentacje macierzowe operacji symetrii. Złożeniu operacji symetrii odpowiada iloczyn reprezentujących je macierzy. A: m [100] B: 2 [100], których iloczyn daje AB macierz inwersji, czyli tę samą operację, którą dostaliśmy składając te operacje graficznie na rzucie stereograficznym.
Złożenie BA Tym razem najpierw przekształcamy biegun ściany względem płaszczyzny symetrii m [100] (operacja A)...... a następnie względem osi 2 [100] (operacja B)...... i jako efekt końcowy złożenia ponownie dostajemy inwersję Iloczyn reprezentacji macierzowych: BA również daje inwersję
b) A: [001] B: 2 [010] Złożenie AB Złożenie BA Płaszczyzna symetrii lub oś inwersyjna Mnożymy otrzymaną macierz przez inwersję i kontynuujemy jej badanie Płaszczyzna symetrii lub oś inwersyjna Mnożymy otrzymaną macierz przez inwersję i kontynuujemy jej badanie Krotność osi:2 Krotność osi:2 Wykreślamy wiersz 1 lub 2 (ponieważ są jednakowe) i obliczamy minory tak uzyskanej macierzy Wykreślamy wiersz 1 lub 2 (ponieważ jeden jest kombinacją liniową drugiego) i obliczamy minory tak uzyskanej macierzy
c) A: 4[001] B: m[110] Złożenie AB Złożenie BA Płaszczyzna symetrii lub oś inwersyjna Mnożymy otrzymaną macierz przez inwersję i kontynuujemy jej badanie Płaszczyzna symetrii lub oś inwersyjna Mnożymy otrzymaną macierz przez inwersję i kontynuujemy jej badanie Krotność osi:2 Krotność osi:2 Wykreślamy wiersz 2 (ponieważ jest zerowy) i obliczamy minory tak uzyskanej macierzy Wykreślamy wiersz 1 (ponieważ jest zerowy) i obliczamy minory tak uzyskanej macierzy
d) A: m[100] B: 4[001] Złożenie AB Złożenie BA Płaszczyzna symetrii lub oś inwersyjna Mnożymy otrzymaną macierz przez inwersję i kontynuujemy jej badanie Płaszczyzna symetrii lub oś inwersyjna Mnożymy otrzymaną macierz przez inwersję i kontynuujemy jej badanie Krotność osi:2 Krotność osi:2 Wykreślamy wiersz 1 lub 2 (ponieważ są jednakowe) i obliczamy minory tak uzyskanej macierzy Wykreślamy wiersz 1 lub 2 (ponieważ jeden jest kombinacją liniową drugiego) i obliczamy minory tak uzyskanej macierzy
e) A: m B: m Złożenie AB Złożenie BA Zwykła oś obrotu Krotność osi: 4 Zwykła oś obrotu Krotność osi: 4 Wykreślamy wiersz 3 (ponieważ jest zerowy) i obliczamy minory tak uzyskanej macierzy Wykreślamy wiersz 3 (ponieważ jest zerowy) i obliczamy minory tak uzyskanej macierzy Ostatecznie możemy stwierdzić, że w wyniku złożenia dostaliśmy oś czterokrotną. Jednak uważniejsze przyjrzenie się macierzy i rysunkowi pozwala stwierdzić, że jest to obrót przeciwny do zwykłego. Zatem:
f) A: 4 B: 2 Złożenie AB Złożenie BA Zwykła oś obrotu Krotność osi: 2 Zwykła oś obrotu Krotność osi: 2 Wykreślamy wiersz 2 (ponieważ jest zerowy) i obliczamy minory tak uzyskanej macierzy Wykreślamy wiersz 1 (ponieważ jest zerowy) i obliczamy minory tak uzyskanej macierzy Ostatecznie możemy stwierdzić, że: Ostatecznie możemy stwierdzić, że:
Zadanie 3. Podaj macierze przekształceń odpowiadające następującym elementom symetrii: Bardzo Państwa przepraszam ale nie miałem już czasu ani cierpliwości by pokazać graficzne wyprowadzenie tych macierzy. a) 2 1 (0, 0, z) h) b (0, y, z) b) m (x, 0, z) i) b (1/4, y, z) c) m (x, 1/4, z) j) 4 1 (0, 0, z) d) c (x, 1/4, z) k) 4 2 (1/2, 1/2, z) e) n (0, y, z) l) 4 3 (0, 1/2, z) w ukł. rombowym f) n (x, y, 1/4) w m) d (x, y, 1/8) ukł. rombowym w ukł. regularnym g) a (x, 1/4, z) n) d (x, x, z) w ukł. regularnym
Zadanie 4. Podaj, jaki element symetrii powstanie w wyniku złożenia: a) płaszczyzny symetrii m z prostopadłą do niej płaszczyzną translacyjno-zwieciadlaną c Zadanie w tym punkcie jest sformułowane na tyle ogólnie, że można podać przynajmniej cztery poprawne rozwiązania jeśli ograniczymy się tylko do płaszczyzn prostopadłych do osi głównych i przechodzących przez początek układu współrzędnych. b) środka symetrii w pozycji (0, 1/2, 0) oraz płaszczyzny symetrii b (x, y, 1/4) ) lub ponieważ translacja o 1 niczego tak naprawdę nie zmienia w sieci przestrzennej. ) ) ) lub ) )
c) płaszczyzny n (x, y, 1/4) oraz c (x, 1/4, z) ) ) ) ) Podaj kierunek i pozycję w komórce elementarnej tego elementu symetrii.
Rozpoznawanie operacji symetrii na podstawie macierzy: 1. Obliczenie wyznacznika. Jeżeli wyznacznik jest różny od wartości 1 lub -1 to nie jest to macierz operacji izometrycznej 2. Jeśli wyznacznik jest równy +1 to jest to obrót wokół osi symetrii. Idziemy do punktu 4 3. jeśli jest równy -1 jest to inwersja, płaszczyzna symetrii lub oś inwersyjna. Mnożymy macierz przez macierz inwersji a następnie idziemy do punktu 4. Jeśli krotność osi wynosi 2 to macierz reprezentuje płaszczyznę symetrii prostopadłą do kierunku wyznaczonej osi. 4. Wyznaczamy krotność osi: a) obliczamy ślad (tr) macierzy b) ze wzoru tr 1 + 2 cosϕ > ϕ arccos[(tr-1)/2] obliczamy kąt ϕ i wyznaczamy krotność osi. 5. Wyznaczamy kierunek osi symetrii: a) od elementów macierzy leżących na przekątnej odejmujemy 1 b) z tak zmodyfikowanej macierzy wybieramy dwa wiersze i obliczamy dla takiej macierzy 2x3 minory, które są wskaźnikami [uvw] kierunku osi symetrii.