4. Strumienie płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe

4. Strumienie płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 1 / 33

1 Motywacja, oznaczenia, założenia 2 Podstawowy model złożony 3 Kapitalizacja mieszana 4 Polski model kapitalizacji rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 2 / 33

Wstęp Dotychczas rozważaliśmy głównie inwestycje o pojedynczym nakładzie i pojedynczej wypłacie (ewentualnie z drobnymi modyfikacjami). Teraz sprawę nieco skomplikujemy: zajmiemy się strumieniami płatności, czyli ciągami płatności, które występują w równych odstępach czasowych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 3 / 33

Wstęp Dotychczas rozważaliśmy głównie inwestycje o pojedynczym nakładzie i pojedynczej wypłacie (ewentualnie z drobnymi modyfikacjami). Teraz sprawę nieco skomplikujemy: zajmiemy się strumieniami płatności, czyli ciągami płatności, które występują w równych odstępach czasowych. Motywacja jest bardzo naturalna - w ten sposób możemy np. co miesiąc odkładać jakąś część naszych dochodów np. na jakąś lokatę, by po jakimś czasie uzbierać na dany cel konsumpcyjny (samochód, mieszkanie itp.) albo inwestycyjny. Tego typu płatności wystąpią też w kolejnych rozdziałach, kiedy będziemy analizować wypłatę renty z kapitału lub też spłatę długu długoterminowego. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 3 / 33

Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z wkładami okresowymi istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 4 / 33

Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z wkładami okresowymi istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 4 / 33

Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z wkładami okresowymi istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. Okres płatności OP jest to odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi wpłatami. Jest to domyślna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba płatności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 4 / 33

Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z wkładami okresowymi istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. Okres płatności OP jest to odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi wpłatami. Jest to domyślna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba płatności. Przez W i oznaczamy wysokość i-tej płatności. Jeśli wszystkie płatności są równe, oznaczamy ich wysokość przez W. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 4 / 33

Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z wkładami okresowymi istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. Okres płatności OP jest to odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi wpłatami. Jest to domyślna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba płatności. Przez W i oznaczamy wysokość i-tej płatności. Jeśli wszystkie płatności są równe, oznaczamy ich wysokość przez W. Przez S i oznaczamy wartość zgromadzonego kapitału po zakończeniu i-tego okresu płatności. W szczególności K = S N jest to wartość zgromadzonego kapitału na końcu całego procesu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 4 / 33

Podstawowe oznaczenia rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 5 / 33

Podstawowe oznaczenia Doprecyzujmy ostatni punkt: S i to wartość kapitału zawartego we wszystkich płatnościach do końca i-tego okresu płatności, zaktualizowana na koniec i-tego okresu płatności. Jest równa ona sumie zaktualizowanych na ten moment wartości wszystkich rat wpłaconych do tego momentu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 5 / 33

Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu By obliczyć wartość strumienia płatności konieczne są dodatkowe założenia dotyczące sposobu dokonywania okresowych wpłat. Mogą być one dokonywane: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 6 / 33

Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu By obliczyć wartość strumienia płatności konieczne są dodatkowe założenia dotyczące sposobu dokonywania okresowych wpłat. Mogą być one dokonywane: z dołu, czyli na końcu każdego okresu płatności, czyli w momentach 1, 2,..., N 1, N. Taką sytuację oznaczają podkreślenia danych zmiennych i oznaczeń np. S k. Jest to domyślny sposób dokonywania płatności w strumieniu finansowym tj. jeśli w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakładamy, że płatności są z dołu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 6 / 33

Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu By obliczyć wartość strumienia płatności konieczne są dodatkowe założenia dotyczące sposobu dokonywania okresowych wpłat. Mogą być one dokonywane: z dołu, czyli na końcu każdego okresu płatności, czyli w momentach 1, 2,..., N 1, N. Taką sytuację oznaczają podkreślenia danych zmiennych i oznaczeń np. S k. Jest to domyślny sposób dokonywania płatności w strumieniu finansowym tj. jeśli w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakładamy, że płatności są z dołu. z góry, czyli na początku każdego okresu płatności, czyli w momentach 0, 1, 2,..., N 1. Taką sytuację oznaczają kreski nad danymi zmiennymi i oznaczeniami np. S k. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 6 / 33

Podstawowe założenia - model kapitalizacji W sytuacji, gdy mamy do czynienia z okresem płatności krótszym niż domyślny okres kapitalizacji, musimy wiedzieć coś o używanym modelu kapitalizacji w podokresach. Może on być: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 7 / 33

Podstawowe założenia - model kapitalizacji W sytuacji, gdy mamy do czynienia z okresem płatności krótszym niż domyślny okres kapitalizacji, musimy wiedzieć coś o używanym modelu kapitalizacji w podokresach. Może on być: złożony, czyli zakładamy, że możemy inwestować wkłady na okres dowolnie krótki (a przynajmniej na okres równy okresowi płatności) po efektywnej stopie zwrotu równoważnej stopie zadanej dla okresu kapitalizacji. Ze względu na dużą dostępność na współczesnym rynku różnych narzędzi inwestycyjnych o niemal dowolnych horyzontach czasowych, jest to domyślny sposób dokonywania kapitalizacji w okresach krótszych niż OK. Jeśli w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakładamy, że kapitalizacji w podokresach dokonujemy w sposób złożony. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 7 / 33

Podstawowe założenia - model kapitalizacji W sytuacji, gdy mamy do czynienia z okresem płatności krótszym niż domyślny okres kapitalizacji, musimy wiedzieć coś o używanym modelu kapitalizacji w podokresach. Może on być: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 8 / 33

Podstawowe założenia - model kapitalizacji W sytuacji, gdy mamy do czynienia z okresem płatności krótszym niż domyślny okres kapitalizacji, musimy wiedzieć coś o używanym modelu kapitalizacji w podokresach. Może on być: mieszany, co oznacza, że nasze wkłady są oprocentowane za pomocą narzędzia działającego jak lokata o danym okresie kapitalizacji, którego nie jesteśmy w stanie skrócić. Dlatego, w momencie zakończenia płatności, niektóre z naszych inwestycji są pomiędzy okresami kapitalizacji i pobranie ich oznacza, że od ostatniego momentu kapitalizacji będą one oprocentowane według kapitalizacji prostej i innej nominalnej stopy procentowej, którą oznaczę r. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 8 / 33

Podstawowe założenia - model kapitalizacji W sytuacji, gdy mamy do czynienia z okresem płatności krótszym niż domyślny okres kapitalizacji, musimy wiedzieć coś o używanym modelu kapitalizacji w podokresach. Może on być: mieszany, co oznacza, że nasze wkłady są oprocentowane za pomocą narzędzia działającego jak lokata o danym okresie kapitalizacji, którego nie jesteśmy w stanie skrócić. Dlatego, w momencie zakończenia płatności, niektóre z naszych inwestycji są pomiędzy okresami kapitalizacji i pobranie ich oznacza, że od ostatniego momentu kapitalizacji będą one oprocentowane według kapitalizacji prostej i innej nominalnej stopy procentowej, którą oznaczę r. polski, który jest wariantem modelu mieszanego, używanym w polskich bankach w latach 90-tych, w różnych podręcznikach i (o ile mi wiadomo) nigdzie indziej - dlatego podam go jedynie jako ciekawostkę pod koniec tego zestawu slajdów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 8 / 33

Założenia modelu złożonego Na początku rozważmy najbardziej typową sytuację: wpłaty dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 9 / 33

Założenia modelu złożonego Na początku rozważmy najbardziej typową sytuację: wpłaty dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 9 / 33

Założenia modelu złożonego Na początku rozważmy najbardziej typową sytuację: wpłaty dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r. By móc to uczynić zmieniamy stopę r na stopę r ef, taką, że OS ef = OK ef = OP, wzorem: gdzie m = OP OK. r ef = (1 + r) m 1, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 9 / 33

Założenia modelu złożonego Na początku rozważmy najbardziej typową sytuację: wpłaty dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r. By móc to uczynić zmieniamy stopę r na stopę r ef, taką, że OS ef = OK ef = OP, wzorem: r ef = (1 + r) m 1, gdzie m = OP. We wzorach będziemy częściej używać czynnika OK akumulacji q = 1 + r ef, więc możemy zapisać: q = (1 + r) m. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 9 / 33

Wpłaty różnej wysokości Jeśli założymy, że wysokości wpłat są dowolne (W 1, W 2,..., W N ), w momentach 1, 2,..., N, to na podstawie rozważań o równoważności kapitałów z części 3 wykładu otrzymamy: S k = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 10 / 33

Wpłaty różnej wysokości Jeśli założymy, że wysokości wpłat są dowolne (W 1, W 2,..., W N ), w momentach 1, 2,..., N, to na podstawie rozważań o równoważności kapitałów z części 3 wykładu otrzymamy: S k = W 1 q k 1 + Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 10 / 33

Wpłaty różnej wysokości Jeśli założymy, że wysokości wpłat są dowolne (W 1, W 2,..., W N ), w momentach 1, 2,..., N, to na podstawie rozważań o równoważności kapitałów z części 3 wykładu otrzymamy: S k = W 1 q k 1 + W 2 q k 2 +... +... W k 1 q + W k. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 10 / 33

Wpłaty różnej wysokości Jeśli założymy, że wysokości wpłat są dowolne (W 1, W 2,..., W N ), w momentach 1, 2,..., N, to na podstawie rozważań o równoważności kapitałów z części 3 wykładu otrzymamy: S k = W 1 q k 1 + W 2 q k 2 +... +... W k 1 q + W k. W szczególności: S N = W 1 q N 1 + W 2 q N 2 +... +... W N 1 q + W N. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 10 / 33

Wpłaty różnej wysokości Jeśli założymy, że wysokości wpłat są dowolne (W 1, W 2,..., W N ), w momentach 1, 2,..., N, to na podstawie rozważań o równoważności kapitałów z części 3 wykładu otrzymamy: S k = W 1 q k 1 + W 2 q k 2 +... +... W k 1 q + W k. W szczególności: S N = W 1 q N 1 + W 2 q N 2 +... +... W N 1 q + W N. Z tym wzorem nie za wiele więcej się da zrobić. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 10 / 33

Wpłaty równej wysokości z dołu Najczęściej będziemy jednak zakładać, że wszystkie wpłaty są równe (W 1 = W 2 =... = W N = W ). Wtedy mamy: S k = Wq k 1 +Wq k 2 +...+... Wq+W = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 11 / 33

Wpłaty równej wysokości z dołu Najczęściej będziemy jednak zakładać, że wszystkie wpłaty są równe (W 1 = W 2 =... = W N = W ). Wtedy mamy: S k = Wq k 1 +Wq k 2 +...+... Wq+W = W (q k 1 +q k 2 +...+q+1) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 11 / 33

Wpłaty równej wysokości z dołu Najczęściej będziemy jednak zakładać, że wszystkie wpłaty są równe (W 1 = W 2 =... = W N = W ). Wtedy mamy: S k = Wq k 1 +Wq k 2 +...+... Wq+W = W (q k 1 +q k 2 +...+q+1) = = W qk 1 q 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 11 / 33

Wpłaty równej wysokości z dołu Najczęściej będziemy jednak zakładać, że wszystkie wpłaty są równe (W 1 = W 2 =... = W N = W ). Wtedy mamy: S k = Wq k 1 +Wq k 2 +...+... Wq+W = W (q k 1 +q k 2 +...+q+1) = = W qk 1 q 1. Wkłady z dołu, model złożony S k = W qk 1 q 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 11 / 33

Wpłaty równej wysokości z góry Analogicznie możemy rozważać wpłaty z góry, które odbywają się po prostu o jeden okres wcześniej: S k = Wq k +Wq k 1 +...+... Wq 2 +Wq = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 12 / 33

Wpłaty równej wysokości z góry Analogicznie możemy rozważać wpłaty z góry, które odbywają się po prostu o jeden okres wcześniej: S k = Wq k +Wq k 1 +...+... Wq 2 +Wq = Wq(q k 1 +q k 2 +...+q+1) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 12 / 33

Wpłaty równej wysokości z góry Analogicznie możemy rozważać wpłaty z góry, które odbywają się po prostu o jeden okres wcześniej: S k = Wq k +Wq k 1 +...+... Wq 2 +Wq = Wq(q k 1 +q k 2 +...+q+1) = = Wq qk 1 q 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 12 / 33

Wpłaty równej wysokości z góry Analogicznie możemy rozważać wpłaty z góry, które odbywają się po prostu o jeden okres wcześniej: S k = Wq k +Wq k 1 +...+... Wq 2 +Wq = Wq(q k 1 +q k 2 +...+q+1) = = Wq qk 1 q 1. Wkłady z góry, model złożony S k = Wq qk 1 q 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 12 / 33

Oznaczenia czynników wartości przyszłej W literaturze (szczególnie aktuarialnej) często pojawiają się tzw. czynniki wartości przyszłej. Oznacza się je: s n i = qn 1 q 1 ; s n i = q qn 1 q 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 13 / 33

Oznaczenia czynników wartości przyszłej W literaturze (szczególnie aktuarialnej) często pojawiają się tzw. czynniki wartości przyszłej. Oznacza się je: Wtedy s n i = qn 1 q 1 ; s n i = q qn 1 q 1. S n = Ws n i ; S n = W s n i. Te oznaczenia nie obowiązują na kursie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 13 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 14 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 14 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,12 = 0, 01. 12 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 14 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,12 = 0, 01. Następnie 12 musimy dopasować OK do OP, czyli do kwartału. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 14 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,12 = 0, 01. Następnie 12 musimy dopasować OK do OP, czyli do kwartału. Zatem q = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 14 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,12 = 0, 01. Następnie 12 musimy dopasować OK do OP, czyli do kwartału. Zatem q = (1 + r) 3 = 1, 0303. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 14 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,12 = 0, 01. Następnie 12 musimy dopasować OK do OP, czyli do kwartału. Zatem q = (1 + r) 3 = 1, 0303. Wreszcie 8 lat to 32 kwartały, więc będziemy mieć do czynienia z N = 32 okresami płatności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 14 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,12 = 0, 01. Następnie 12 musimy dopasować OK do OP, czyli do kwartału. Zatem q = (1 + r) 3 = 1, 0303. Wreszcie 8 lat to 32 kwartały, więc będziemy mieć do czynienia z N = 32 okresami płatności. Jako, że Żwirek wpłaca pieniądze na końcu kwartału, używamy wzoru na S 32. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 14 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? q = 1, 0303, N = 32 10000 = S 32 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 15 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? q = 1, 0303, N = 32 10000 = S 32 = x q32 1 q 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 15 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? q = 1, 0303, N = 32 10000 = S 32 = x q32 1 q 1 x = 189, 4706. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 15 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? Dla Muchomorka stosujemy tę samą stopę względną r = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 16 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? Dla Muchomorka stosujemy tę samą stopę względną r = 0,12 12 = 0, 01. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 16 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? Dla Muchomorka stosujemy tę samą stopę względną r = 0,12 12 Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do półrocza. = 0, 01. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 16 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? Dla Muchomorka stosujemy tę samą stopę względną r = 0,12 = 0, 01. 12 Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do półrocza. Zatem q = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 16 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? Dla Muchomorka stosujemy tę samą stopę względną r = 0,12 = 0, 01. 12 Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do półrocza. Zatem q = (1 + r) 6 = 1, 0615. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 16 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? Dla Muchomorka stosujemy tę samą stopę względną r = 0,12 = 0, 01. 12 Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do półrocza. Zatem q = (1 + r) 6 = 1, 0615. Wreszcie 8 lat to 16 półroczy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 16 okresami płatności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 16 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? Dla Muchomorka stosujemy tę samą stopę względną r = 0,12 = 0, 01. 12 Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do półrocza. Zatem q = (1 + r) 6 = 1, 0615. Wreszcie 8 lat to 16 półroczy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 16 okresami płatności. Jako, że Muchomorek wpłaca pieniądze na początku półrocza, używamy wzoru na S 16. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 16 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? q = 1, 0615, N = 16 10000 = S 16 = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 17 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? q = 1, 0615, N = 16 10000 = S 16 = yq q16 1 q 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 17 / 33

Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y? q = 1, 0615, N = 16 10000 = S 16 = yq q16 1 q 1 y = 362, 4490. Odp: Żwirek musi wpłacać 189,4706 jp, a Muchomorek 362,4490 jp. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 17 / 33

Wartość aktualna strumienia płatności Czasami w podręcznikach pojawia się wartość aktualna strumienia płatności, czyli po prostu jego PV = NPV (r ef ) - suma płatności zaktualizowana na moment 0, a nie na moment N (przy założeniu, że wszystkie płatności są ze znakiem dodatnim). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 18 / 33

Wartość aktualna strumienia płatności Czasami w podręcznikach pojawia się wartość aktualna strumienia płatności, czyli po prostu jego PV = NPV (r ef ) - suma płatności zaktualizowana na moment 0, a nie na moment N (przy założeniu, że wszystkie płatności są ze znakiem dodatnim). Może to być przydatne np. przy porównywaniu ofert sprzedaży towarów w ratach do ich aktualnych, jednorazowych cen. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 18 / 33

Wartość aktualna strumienia płatności Czasami w podręcznikach pojawia się wartość aktualna strumienia płatności, czyli po prostu jego PV = NPV (r ef ) - suma płatności zaktualizowana na moment 0, a nie na moment N (przy założeniu, że wszystkie płatności są ze znakiem dodatnim). Może to być przydatne np. przy porównywaniu ofert sprzedaży towarów w ratach do ich aktualnych, jednorazowych cen. Oczywiście, jeśli założymy, że te wszystkie płatności są z dodatnim znakiem, to PV = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 18 / 33

Wartość aktualna strumienia płatności Czasami w podręcznikach pojawia się wartość aktualna strumienia płatności, czyli po prostu jego PV = NPV (r ef ) - suma płatności zaktualizowana na moment 0, a nie na moment N (przy założeniu, że wszystkie płatności są ze znakiem dodatnim). Może to być przydatne np. przy porównywaniu ofert sprzedaży towarów w ratach do ich aktualnych, jednorazowych cen. Oczywiście, jeśli założymy, że te wszystkie płatności są z dodatnim znakiem, to PV = S N q N. Stąd wynikają 2 wzory (niekoniecznie trzeba je znać) - dla kapitalizacji z dołu Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 18 / 33

Wartość aktualna strumienia płatności Czasami w podręcznikach pojawia się wartość aktualna strumienia płatności, czyli po prostu jego PV = NPV (r ef ) - suma płatności zaktualizowana na moment 0, a nie na moment N (przy założeniu, że wszystkie płatności są ze znakiem dodatnim). Może to być przydatne np. przy porównywaniu ofert sprzedaży towarów w ratach do ich aktualnych, jednorazowych cen. Oczywiście, jeśli założymy, że te wszystkie płatności są z dodatnim znakiem, to PV = S N q N. Stąd wynikają 2 wzory (niekoniecznie trzeba je znać) - dla kapitalizacji z dołu PV = W 1 q N, dla kapitalizacji z góry q 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 18 / 33

Wartość aktualna strumienia płatności Czasami w podręcznikach pojawia się wartość aktualna strumienia płatności, czyli po prostu jego PV = NPV (r ef ) - suma płatności zaktualizowana na moment 0, a nie na moment N (przy założeniu, że wszystkie płatności są ze znakiem dodatnim). Może to być przydatne np. przy porównywaniu ofert sprzedaży towarów w ratach do ich aktualnych, jednorazowych cen. Oczywiście, jeśli założymy, że te wszystkie płatności są z dodatnim znakiem, to PV = S N q N. Stąd wynikają 2 wzory (niekoniecznie trzeba je znać) - dla kapitalizacji z dołu PV = W 1 q N, dla kapitalizacji z góry q 1 PV = Wq 1 q N. q 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 18 / 33

Czynniki wartości teraźniejszej Oczywiście różnym autorom brakuje ciekawych symboli, więc tzw. czynniki wartości teraźniejszej też mają swoje oznaczenia: a n i = 1 q n q 1 ; ä n i = q 1 q n q 1. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 19 / 33

Czynniki wartości teraźniejszej Oczywiście różnym autorom brakuje ciekawych symboli, więc tzw. czynniki wartości teraźniejszej też mają swoje oznaczenia: Wtedy a n i = 1 q n q 1 ; ä n i = q 1 q n q 1. PV = Wa n i ; PV = W ä n i. odpowiednio w wypadku kapitalizacji z dołu i z góry. Te oznaczenia nie obowiązują na kursie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 19 / 33

Przykład Zadanie Klient może kupić meble w 12 ratach miesięcznych z dołu po 90 jp. Jaka jest aktualna cena mebli jeśli obowiązuje kapitalizacja miesięczna z roczną stopą procentową 15%? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 20 / 33

Przykład Zadanie Klient może kupić meble w 12 ratach miesięcznych z dołu po 90 jp. Jaka jest aktualna cena mebli jeśli obowiązuje kapitalizacja miesięczna z roczną stopą procentową 15%? Oczywiście, q = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 20 / 33

Przykład Zadanie Klient może kupić meble w 12 ratach miesięcznych z dołu po 90 jp. Jaka jest aktualna cena mebli jeśli obowiązuje kapitalizacja miesięczna z roczną stopą procentową 15%? Oczywiście, q = 1, 0125 po uzgodnieniu stopy. Obliczamy: S 12 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 20 / 33

Przykład Zadanie Klient może kupić meble w 12 ratach miesięcznych z dołu po 90 jp. Jaka jest aktualna cena mebli jeśli obowiązuje kapitalizacja miesięczna z roczną stopą procentową 15%? Oczywiście, q = 1, 0125 po uzgodnieniu stopy. Obliczamy: S 12 = 90 1, 012512 1 0, 0125 = 1157, 4325. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 20 / 33

Przykład Zadanie Klient może kupić meble w 12 ratach miesięcznych z dołu po 90 jp. Jaka jest aktualna cena mebli jeśli obowiązuje kapitalizacja miesięczna z roczną stopą procentową 15%? Oczywiście, q = 1, 0125 po uzgodnieniu stopy. Obliczamy: S 12 = 90 1, 012512 1 0, 0125 = 1157, 4325. Ten wynik to wartość całego strumienia płatności w momencie za rok (po 12 miesiącach). Zatem: PV = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 20 / 33

Przykład Zadanie Klient może kupić meble w 12 ratach miesięcznych z dołu po 90 jp. Jaka jest aktualna cena mebli jeśli obowiązuje kapitalizacja miesięczna z roczną stopą procentową 15%? Oczywiście, q = 1, 0125 po uzgodnieniu stopy. Obliczamy: S 12 = 90 1, 012512 1 0, 0125 = 1157, 4325. Ten wynik to wartość całego strumienia płatności w momencie za rok (po 12 miesiącach). Zatem: PV = 1157, 4325 (1, 0125) 12 = 997, 1381. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 20 / 33

Kapitalizacja mieszana - motywacja Rozważmy następującą sytuację - osoba oszczędzająca za pomocą okresowych wkładów ma do dyspozycji tylko jedno narzędzie inwestycyjne o zadanym okresie kapitalizacji np. lokatę. Nigdy nie zdecyduje się na żaden inny model inwestycji, więc nie możemy zakładać (jak w modelu złożonym), że każda wpłata będzie kapitalizować się w ten sam sposób. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 21 / 33

Kapitalizacja mieszana - motywacja Rozważmy następującą sytuację - osoba oszczędzająca za pomocą okresowych wkładów ma do dyspozycji tylko jedno narzędzie inwestycyjne o zadanym okresie kapitalizacji np. lokatę. Nigdy nie zdecyduje się na żaden inny model inwestycji, więc nie możemy zakładać (jak w modelu złożonym), że każda wpłata będzie kapitalizować się w ten sam sposób. W szczególności, jeśli OK > OP, to w dowolnym momencie część z wkładów będzie pomiędzy swoimi kapitalizacjami - więc część ich kapitalizacji będzie oparta na kapitalizacji prostej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 21 / 33

Kapitalizacja mieszana - motywacja Rozważmy następującą sytuację - osoba oszczędzająca za pomocą okresowych wkładów ma do dyspozycji tylko jedno narzędzie inwestycyjne o zadanym okresie kapitalizacji np. lokatę. Nigdy nie zdecyduje się na żaden inny model inwestycji, więc nie możemy zakładać (jak w modelu złożonym), że każda wpłata będzie kapitalizować się w ten sam sposób. W szczególności, jeśli OK > OP, to w dowolnym momencie część z wkładów będzie pomiędzy swoimi kapitalizacjami - więc część ich kapitalizacji będzie oparta na kapitalizacji prostej. Oczywiście, jeśli OK jest całkowitą wielokrotnością OP, to model kapitalizacji mieszanej będzie dawać te same rezultaty co model kapitalizacji złożonej (bo nie interesuje nas wtedy sposób naliczania odsetek dla małych okresów). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 21 / 33

Kapitalizacja mieszana - oznaczenia Załóżmy, że OK dzieli się na m okresów płatności (m = OK OP ), a wpłaty (na razie) są dokonywane z dołu. Załóżmy, że r jest stopą kapitalizacji naszego narzędzia inwestycyjnego (OS = OK), q = 1 + r, zaś r jest stopą procentową o tym samym okresie wedle której generowane są odsetki z kapitalizacją prostą od momentu ostatniej kapitalizacji, jeśli lokata jest zerwana pomiędzy kapitalizacjami. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 22 / 33

Kapitalizacja mieszana - oznaczenia Załóżmy, że OK dzieli się na m okresów płatności (m = OK OP ), a wpłaty (na razie) są dokonywane z dołu. Załóżmy, że r jest stopą kapitalizacji naszego narzędzia inwestycyjnego (OS = OK), q = 1 + r, zaś r jest stopą procentową o tym samym okresie wedle której generowane są odsetki z kapitalizacją prostą od momentu ostatniej kapitalizacji, jeśli lokata jest zerwana pomiędzy kapitalizacjami. Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość tego strumienia po Nm okresach płatności, czyli po N okresach kapitalizacji (w innych sytuacjach rozumowanie jest podobne, tylko wzór bardziej skomplikowany). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 22 / 33

Kapitalizacja mieszana - oznaczenia Załóżmy, że OK dzieli się na m okresów płatności (m = OK OP ), a wpłaty (na razie) są dokonywane z dołu. Załóżmy, że r jest stopą kapitalizacji naszego narzędzia inwestycyjnego (OS = OK), q = 1 + r, zaś r jest stopą procentową o tym samym okresie wedle której generowane są odsetki z kapitalizacją prostą od momentu ostatniej kapitalizacji, jeśli lokata jest zerwana pomiędzy kapitalizacjami. Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość tego strumienia po Nm okresach płatności, czyli po N okresach kapitalizacji (w innych sytuacjach rozumowanie jest podobne, tylko wzór bardziej skomplikowany). Wtedy możemy traktować nasz strumień płatności jako sumę m podstrumieni o N płatnościach i okresie płatności równym okresowi kapitalizacji: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 22 / 33

Kapitalizacja mieszana - oznaczenia Załóżmy, że OK dzieli się na m okresów płatności (m = OK OP ), a wpłaty (na razie) są dokonywane z dołu. Załóżmy, że r jest stopą kapitalizacji naszego narzędzia inwestycyjnego (OS = OK), q = 1 + r, zaś r jest stopą procentową o tym samym okresie wedle której generowane są odsetki z kapitalizacją prostą od momentu ostatniej kapitalizacji, jeśli lokata jest zerwana pomiędzy kapitalizacjami. Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość tego strumienia po Nm okresach płatności, czyli po N okresach kapitalizacji (w innych sytuacjach rozumowanie jest podobne, tylko wzór bardziej skomplikowany). Wtedy możemy traktować nasz strumień płatności jako sumę m podstrumieni o N płatnościach i okresie płatności równym okresowi kapitalizacji: np. pierwszy z tych podstrumieni składa się z wpłat o numerach postaci nm + 1 (czyli wpłacanych o 1 okres płatności po każdym pełnym okresie kapitalizacji), drugi z wpłat o numerach nm + 2 itd. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 22 / 33

Kapitalizacja mieszana - analiza Wartość m-tego z tych podstrumieni można przeliczyć według zwykłego (złożonego) modelu na sumę strumienia wpłat z dołu, o N płatnościach, kapitalizowanego ze stopą r (bo jego okresy płatności pokrywają się z okresami kapitalizacji). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 23 / 33

Kapitalizacja mieszana - analiza Wartość m-tego z tych podstrumieni można przeliczyć według zwykłego (złożonego) modelu na sumę strumienia wpłat z dołu, o N płatnościach, kapitalizowanego ze stopą r (bo jego okresy płatności pokrywają się z okresami kapitalizacji). Pozostałe liczymy z tego samego wzoru, aż do ostatniej wpłaty. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 23 / 33

Kapitalizacja mieszana - analiza Wartość m-tego z tych podstrumieni można przeliczyć według zwykłego (złożonego) modelu na sumę strumienia wpłat z dołu, o N płatnościach, kapitalizowanego ze stopą r (bo jego okresy płatności pokrywają się z okresami kapitalizacji). Pozostałe liczymy z tego samego wzoru, aż do ostatniej wpłaty. Wtedy kończy się dla takiego strumienia czas kapitalizacji według modelu złożonego, a do końca okresu oszczędzania tak uzbierany kapitał oprocentowany jest według modelu prostego (bo nie doczekamy się kolejnej kapitalizacji), ze stopą względną r m. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 23 / 33

Kapitalizacja mieszana - analiza Wartość m-tego z tych podstrumieni można przeliczyć według zwykłego (złożonego) modelu na sumę strumienia wpłat z dołu, o N płatnościach, kapitalizowanego ze stopą r (bo jego okresy płatności pokrywają się z okresami kapitalizacji). Pozostałe liczymy z tego samego wzoru, aż do ostatniej wpłaty. Wtedy kończy się dla takiego strumienia czas kapitalizacji według modelu złożonego, a do końca okresu oszczędzania tak uzbierany kapitał oprocentowany jest według modelu prostego (bo nie doczekamy się kolejnej kapitalizacji), ze stopą względną r. k-ty strumień w ten sposób skapitalizuje się m k m razy. Zatem wartość k-tego strumienia (k = 1, 2..., m 1) po mn okresach płatności wyniesie: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 23 / 33

Kapitalizacja mieszana - analiza Wartość m-tego z tych podstrumieni można przeliczyć według zwykłego (złożonego) modelu na sumę strumienia wpłat z dołu, o N płatnościach, kapitalizowanego ze stopą r (bo jego okresy płatności pokrywają się z okresami kapitalizacji). Pozostałe liczymy z tego samego wzoru, aż do ostatniej wpłaty. Wtedy kończy się dla takiego strumienia czas kapitalizacji według modelu złożonego, a do końca okresu oszczędzania tak uzbierany kapitał oprocentowany jest według modelu prostego (bo nie doczekamy się kolejnej kapitalizacji), ze stopą względną r. k-ty strumień w ten sposób skapitalizuje się m k m razy. Zatem wartość k-tego strumienia (k = 1, 2..., m 1) po mn okresach płatności wyniesie: S k mn = W qn 1 q 1 (1 + (m k) r m ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 23 / 33

Wpłaty z dołu, model mieszany Jako, że wartość całego strumienia jest równa sumie wartości podstrumieni: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 24 / 33

Wpłaty z dołu, model mieszany Jako, że wartość całego strumienia jest równa sumie wartości podstrumieni: S mn = m k=1 W qn 1 q 1 (1 + (m k) r m ) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 24 / 33

Wpłaty z dołu, model mieszany Jako, że wartość całego strumienia jest równa sumie wartości podstrumieni: S mn = m k=1 W qn 1 q 1 (1 + (m k) r m ) = = W qn 1 q 1 (m+ r (1+2+...+(m 1))) = m Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 24 / 33

Wpłaty z dołu, model mieszany Jako, że wartość całego strumienia jest równa sumie wartości podstrumieni: S mn = m k=1 W qn 1 q 1 (1 + (m k) r m ) = = W qn 1 q 1 (m+ r m (1+2+...+(m 1))) = W qn 1 q 1 (m+ r m 1 ). 2 Wkłady z dołu, model mieszany S mn = W qn 1 q 1 m 1 (m + r ). 2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 24 / 33

Kapitalizacja mieszana z góry - analiza Jeśli założymy, że płatności są dokonywane z góry przy kapitalizacji mieszanej - otrzymamy niemal taki sam model: podstrumienie 1, 2,..., m 1 wyglądają dokładnie tak samo. Jedyna różnica, to że zamiast podstrumienia m, mamy podstrumień 0, kapitalizujący się w sposób złożony do samego końca. Stąd składniki sumy od 1 do m 1 są takie same, a wartość podstrumienia 0 można przeliczyć według zwykłego (złożonego) modelu na sumę strumienia wpłat z góry, o N płatnościach, kapitalizowanego ze stopą r (bo jego okresy płatności pokrywają się z okresami kapitalizacji). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 25 / 33

Wpłaty z góry, model mieszany Jako, że wartość całego strumienia jest równa sumie wartości podstrumieni: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 26 / 33

Wpłaty z góry, model mieszany Jako, że wartość całego strumienia jest równa sumie wartości podstrumieni: S mn = Wq qn m 1 1 q 1 + W qn 1 q 1 (1 + (m k) r m ) = k=1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 26 / 33