Fizyka statystyczna doskonaego gazu bozonów Kazimierz Rzewski Centrum Fizyki Teoretycznej PAN oraz Uniwersytet Kardynaa Stefana Wyszyskiego w Warszawie
Fizyka statystyczna doskonaego gazu bozonów Kazimierz Rzewski Centrum Fizyki Teoretycznej PAN oraz Uniwersytet Kardynaa Stefana Wyszyskiego w Warszawie
Fizyka statystyczna doskonaego gazu bozonów Kazimierz Rzewski Centrum Fizyki Teoretycznej PAN oraz Uniwersytet Kardynaa Stefana Wyszyskiego w Warszawie
jak zimny musi by gaz by objawiy si wasnoci kwantowe? dugo fali de Brogliea = h p warunek krytyczny typowe parametry: = odlego pomidzy atomami temperatura<1mikrokelvin atoms gsto< 10 14 cm 3
jak zimny musi by gaz by objawiy si wasnoci kwantowe? dugo fali de Brogliea = h p warunek krytyczny typowe parametry: = odlego pomidzy atomami temperatura<1mikrokelvin atoms gsto< 10 14 cm 3
jak zimny musi by gaz by objawiy si wasnoci kwantowe? dugo fali de Brogliea = h p warunek krytyczny typowe parametry: = odlego pomidzy atomami temperatura<1mikrokelvin atoms gsto< 10 14 cm 3
jak zimny musi by gaz by objawiy si wasnoci kwantowe? dugo fali de Brogliea = h p warunek krytyczny typowe parametry: = odlego pomidzy atomami temperatura<1mikrokelvin atoms gsto< 10 14 cm 3 to jest wysoka temperatura!
Dlaczego gaz czstek kwantowych zachowuje si inaczej ni gas klasyczny? Bo czstki kwantowe s nierozrónialne!
Dlaczego gaz czstek kwantowych zachowuje si inaczej ni gas klasyczny? Bo czstki kwantowe s nierozrónialne! czstki klasyczne: dwa sposoby
Dlaczego gaz czstek kwantowych zachowuje si inaczej ni gas klasyczny? Bo czstki kwantowe s nierozrónialne! czstki klasyczne: dwa sposoby
Dlaczego gaz czstek kwantowych zachowuje si inaczej ni gas klasyczny? Bo czstki kwantowe s nierozrónialne! czstki klasyczne: dwa sposoby czstki kwantowe: jeden sposób
dwa rodzaje czstek kwantowych bozony fermiony spin bozony/fermiony parzysta/nieparzysta liczba
dwa rodzaje czstek kwantowych bozony fermiony spin bozony/fermiony parzysta/nieparzysta liczba
atomy w puapce w T=0 fermiony bozony
atomy w puapce w T=0 atomy s bozonami lub fermionami w zalenoci od liczby neutronów w jdrze fermiony bozony
Zespoy termodynamiczne 1. Zespó mikrokanoniczny Brak wymiany ciepa Brak wymiany czstek (N,E) degeneracja Zwizek z termodynamik: entropia: 2. Zespó kanoniczny temperatura: S=kln 1 kt = ln[(n,e)] E Temperatura wyznaczona przez termostat Brak wymiany czstek = exp[h] Z(N,T) <E>= lnz(n,t) Z(N,T)=Tr[exp(-H)]
3. Wielki zespó kanoniczny: exp[h +µn] (T,µ) = = exp[ Kontakt z rezerwuarem ciepa i rezerwuarem czstek (T,µ)=Tr[exp(-H+µN)] <N >=z z ln aktywno: z=exp[µ] Zwizki midzy sumami statystycznymi Z(N,T)=Tr[exp(-H)] Z(N,)= (z,)= E N=0 exp[e]( N,E) z N Z(N,)
najprostszy przykad: dwa atomy w jednowymiarowym potencjale harmonicznym; zespó kanoniczny = 1 Z() n 1,n 2 n 1+n 2 n 1,n 2 ><n 1,n 2 =exp[/kt] klasyczne bozony fermiony 0n,n < 1 2 0n 1 n 2 < 0n <n < 1 2 Z c = n=0 n 2 = n 2 n 1 =0 1 ( 1) Z 2 b = n 2 n 1 = n 2 =0 = 1 1 1 1 2 n 2 1 n 1 =0 Z f = n 2 n 1 = = n 2 =0 1 ( )(1 2 )
rednie obsadzenie poziomu podstawowego... W(n 1,n 2 )= n 1+n 2 Z() klasyczne bozony fermiony P c (2)=W c (0,0)=(1) 2 P b (2)=W b (0,0)= P f (2)=0 P c (1)=2 W(0,n) = n=1 =2(1) P c (0)= 2 =(1)(1 2 ) P b (1)= W b (0,n) = n=1 =(1 2 ) P b (0)= 2 P f (1)= W f (0,n) = n=1 =1 2 P f (0)= 2 <N 0 >=2P(2)+1P(1)+0P(0) <N 0 > c =2(1) <N 0 > b =(2)(1 2 ) <N 0 > f =1 2
rola statystyki... dwa atomy 2 <N 0 > 1.5 1 0.5 klasyczne fermiony bozony 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N atomów Z c = 1 1 N Z b = N 1 N 1 Z 1 k f = N1 k=1 k=1 1 k <N 0 > c =N(1)...
NUMBER OF PARTICLES 1000 800 600 400 200 0 <n 0 > dramatyczna rónica... n 0 <n 0 > n 0 N=1000 bosons classical 0 50 100 150 kt 200 250 300
Ksikowa teoria BEC jest oparta na wielkim zespole kanonicznym bo znamy ogóln posta wielkiej sumy statystycznej dla nieoddziaujcych bozonów (dla fermionów te): i=0 N = n i i=0 0 E = n i i n i liczba atomów o energii i i jednoczstkowe poziomy energii = n 0 =0n 1 =0 n i =0 i=0......exp[ n i ( i µ)] i=0 1 2 bozony = i fermiony = {1+zexp[ i ]} i 1 1zexp[ i ]
Oscylator harmoniczny 3D energie jednoczstkowe: j =j stopie degeneracji: (j+1)(j+2) 2 (,z) = j =0 1 1z j (j +1)(j +2) 2 =exp[ kt ]
Znamy asymptotyczne wyraenie na wielk sum statystyczn: g n (z)= ln= k=1 j=0 (j+1)(j+2) 2 =ln(1z)+ 1 2 ln[1z j ] ln(1z) 1 2 dx x 2 ln(1z x )= 0 z k x 2 kx dx= k k=1 =ln[1z]+ g 4 (z) [ln] 3 z k k n g n (1)=(n) z dg n (z) dz 0 =g n1 (z)
warunek krytyczny ln=ln[1z]+ g 4(z) [ln] 3 =exp[/kt] <N >=z ln z = z 1z + kt 3 g 3 (z) <N 0 > <N ex > <N 0 > =N1 (3) N kt 3 temperatura krytyczna T c = k N (3) 1 3
Wielki zespó kanoniczny jest chory. Przewiduje absurdalne fluktuacje liczby atomów w kondensacie: na chwil przywrócimy energi stanu podstawowego <N 0 >= 1 ln = 1 (ln(1ze 0 )...) 0 0 = ze0 1ze 0 2 N 0 =<N 2 0 ><N 0 > 2 = 1 <N 0 > = 0 ze 0 (1ze 0 )2 std N 0 <N 0 > =1+ 1 <N 0 > W dowiadczeniu (niemal) doskonaa izolacja Zespómikrokanoniczny
Jednowymiarowy oscylator harmoniczny 0 2 E n =(n+1/2) 1 N ex 1 2 3 4 5 5 4-1 3-1-1 2-1-1-1 1-1-1-1- 1 3-2 2-2-1 ex(n ex,e) 1 2 2 1 1 P(NN ex )= 1/7 2/7 2/7 1/7 1/7 <N 0 >= (1*4 + 2*3 + 2*2 + 1*1 + 1*0)/7=15/7 (N 5,5)=7
Srinivasa Ramanujan 1887-1920 Godfrey Harold Hardy 1877-1947 1D (N) 1 4N 3 exp[ 2N/3]
Zespó Demona Maxwella: atomy wzbudzone: okrelona energia nieokrelona liczba czstek Y(z,E) = N ex =1 z N ex ex(n ex,e) Gdybymy znali Y: (N,E) =Y(1,E), N >E <N ex >=N <N 0 >= z ln[y(z,e)] z=1 (N ex ) 2 = z z 2 ln[y(z,e)] z=1
Jak wyglda funkcja tworzca wzgldem energii? ex (z,) = E Y(z,E) = j =1 1 1z j (j +1)(j +2) 2 Nie ma wkadu od stanu podstawowego! ln[ ex (z,)] g 4(z) [ln] 3 Y(z,E) = 1 2i ex (z,) d E +1
obsadzenie kondensatu w funkcji temperatury 1000 NUMBER OF C CONDENSED ATOMS 800 600 400 200 N=1000 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 T/T c <N 0 > =N1 (3) N kt 3
Fluktuacje gazu doskonaego w 3D puapce harmonicznej 50 40 30 N=1000 grand canonical N 0 20 canonical 10 microcanonical 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 T/T c 2 N 0 = kt 3 (2) 32 (3) 4(4)
Zespó Demona Maxwella stosuje si do rónych potencjaów puapki i w rónych wymiarach. Ukazao si wiele prac na temat fluktuacji w gazie sabo oziaujcym. Nie nadaj si na seminarium na temat cisych wyników! P. Navez, D. Bitouk, M. Gajda, Z. Idziaszek, and K. Rzewski, Fourth Statistical Ensemble for the Bose-Einstein Condensate, Phys. Rev. Lett. 79, 1789-1792 (1997)