1. Jest 50 pyta«egzaminacyjnych. Na ka»dej wylosowanej przez zdaj cego kartce napisane s trzy pytania. (a) Ile mo»e by ró»nych kartek? (b) Oblicz prawdopodobie«stwo,»e zdajacy odpowie co najmniej na jedno pytanie z zestawu przy zaªo»eniu,»e zna odpowiedzi na 25 spo±ród wszystkich pyta«. 2. Pieciu studentów powtarzaj cych dany rok studiów wybiera losowo, ka»dy niezale»nie od pozostaªych, jedn z trzech równolegªych grup. Zakªadaj c,»e wszystkie rozmieszczenia tych studentów s jednakowo prawdopodobne, znajd¹ prawdopodobie«stwo tego,»e (a) wszyscy znajduj si w pierwszej grupie; (b) wszyscy znajduj si w tej samej grupie; (c) w pierwszej grupie znaduje si dokªadnie jeden student; (d) w jednej z grup znajduje si dokªadnie jeden student; (e) w ustalonej grupie znajdzie sie dokladnnie trzech studentów. 3. Parti 200 wyprodukowanych przedmiotów poddaje si wyrywkowej kontroli. Warunkiem odrzucenia caªej partii jest znalezienie chocia»by jednego wadliwego przedmiotu w±rod dziesi ciu sprawdzonych. Jakie jest prawdopodobie«stwo odrzucenia danej partii, je±li zawiera ona 8 % przedmiotów wadliwych? 4. Gra polega na traeniu okre±lonych 7 liczb z 45. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e 7 wylosowanych liczb pochodzi spo±ród ustalonego 12-elementowego zbioru. 5. Pewna inwestorka moze zainwestowac w trzy z rekomendowanych pieciu funduszy, nie wie jednak, ze tylko dwa z nich przyniosa dochód, a wiec wybiera losowo. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze (a) wybierze oba przynoszace dochód, (b) wybierze przynajmniej jeden przynoszacy dochód. 6. Chcemy rozpali ognisko maj c do dyspozycji tylko dwie zapaªki. Wybierz bardziej pewn metod z dwóch nast puj cych: 1)-próbujemy rozpali najpierw jedna, potem drug zapaªk, 2)-próbujemy rozpali dwiema zª czonymi zapaªkami, je±li prawdopodobie«stwo rozpalenia ogniska pojedyncz zapaªk wynosi 0,7; natomiast zª czonymi - 0,95. 7. W kwadracie z brzegiem o boku 1m wybrano jeden punkt. Ile wynosi prawdopodobie«stwo,»e znajduje si on (a) na pewnej przekatnej? (b) w wierzchoªku kwadratu? (c) w odlegªosci co najwy»ej 1 2 m od ±rodka kwadratu? 8. Pasa»er przybywa na przystanek tramwajowy, nie znaj c godziny i nie wiedz c, kiedy odjechaª poprzedni tramwaj. Wie jednak,»e na przystanku zatrzymuj si tramwaje dwóch linii odje»d»aj ce co 20 minut, nie wie jednak, jaka jest ró»nica czasu mi dzy odjazdami tramwajów tych dwóch linii. Jest mu oboj tne, do której linii wsi dzie. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e odjedzie w ci gu najbli»szych 5 minut? 9. Dwaj koledzy umówili si w kawiarni, ale nie umówili si co do konkretnej godziny. Ustalili tylko,»e ka»dy z nich przyjdzie do kawiarni w dowolnym momencie mi dzy godzin 12.00 a 13.00 i je±li nie spotka wewn trz drugiego, poczeka 20 minut (lub krócej, je±li wybije ju» 13.00) i je±li si nie doczeka na drugiego, wyjdzie. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e koledzy nie rozmin si ale spotkaj si w kawiarni? 1
10. 10 % mieszkanców miasta posiada psy. (a) Wybrano losowo 6 osób. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e co najmniej jedna z tych osób posiada psa. (b) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e spo±ród 50 losowo wybranych mieszkanców 40-stu posiada psy? 11. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e w serii 2000 wyprodukowanych detali znajduj si co najwy»ej 3 braki, je»eli przeci tny procent braków wynosi 2 promile (0,2%). 12. W urnie znajduj si kula biaªa, czarna i dwie niebieske. Losujemy jedna kul i zwracamy j do urny. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e w 12-stu losowaniach (a) dwa razy wylosowano kul niebiesk? (b) co najmniej raz wylosowano kul czarn? (c) co najwy»ej raz wylosowano kul biaª? 13. Badania statystyczne pokazaªy,»e ±rednio 11,8 % zapaªek jest wadliwych. Jakie jest prawdopodobie«- stwo,»e w pudeªku z 90 zapaªkami s wi cej ni» 3 wadliwe? 14. W sklepie s»arówki rmy PHILIPS 10 %, POLAM 70% oraz OSRAM 20 %. Wadliwo±»arówek rmy PHILIPS wynosi 1 %, POLAM - 2% a OSRAM - 3%. (a) Oblicz prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrana»arówka jest wadliwa. (b) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrana»arówka jest rmy POLAM, je»eli okazaªa si wadliwa? 15. Na pewnym kierunku studiów skªad grup studenckich przedstawia si nast puj co: w grupie I jest 14 studentek i 11 studentów, w grupie II jest 10 studentek i 14 studentów. Z list obu grup wylosowano jedn osob. Oblicz przwdopodobie«stwo,»e (a) wylosowana osoba jest studentem. (b) wylosowana osoba nale»y do grupy II, je»eli wiadomo,»e jest to student. 16. W populacji 1500 studentów pewnej uczelni (1000 kobiet, 500 m»czyzn) odnotowano 40% pal cych studentek oraz 60% pal cych studentów. Wylosowano osob pal c. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e jest to kobieta? 17. Potrzeby ±wierkowych sadzonek dla nadle±nictwa pokrywa produkcja dwóch szkóªek le±nych. Pierwsza szkóªka pokrywa 75% zapotrzebowania, przy czym na 100 sadzonek z tej szkóªki 80 jest piewszej jako±ci. Druga szkóªka pokrywa 25% zapotrzebowania, przy czym na 100 zadzonek z tej szkóªki 60 jest pierwszej jako±ci. (a) Oblicz prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrana sadzonka jest piewszej jako±ci. (b) Oblicz prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrana sadzonka pochodzi z drugiej szkóªki, je±li wiadomo,»e jest pierwszej jako±ci. 18. Zmienna losowa X ma rozkªad x i -1 0 1 3 4 p i 0,3 0,3 0,1 0,2 0,1. (a) Sporz d¹ wykres dystrybuanty tej zmiennej losowej. (b) Wyznacz warto± oczekiwan i odchylenie standardowe tej zmiennej. (c) Wyznacz mod i median tej zmiennej. 2
(d) Wyznacz P (X < 3), P (X 2), P (X = 1), P (2 X < 4) i P (0 < X 3). (e) Podaj rozkªad prawdopodobie«stwa zmiennej losowej Y = X 2 1. 19. Zmienna losowa X ma rozkªad x i -4-1 0 1 2 7 p i 0,2 0,1 0,1 c 0,2 0,1. (a) Wyznacz staª c. (b) Wyznacz dystrybuant tej zmiennej losowej. (c) Sporz d¹ wykres rozkªadu prawdopodobie«stwa i dystrybuanty tej zmiennej losowej. (d) Wyznacz warto± oczekiwan i odchylenie standardowe tej zmiennej. (e) Wyznacz mod i median tej zmiennej. (f) Wyznacz P (X < 2), P ( 1 X < 1) i P (X 1). 20. Rozkªad prawdopodobie«stwa ocen z egzaminu ze statystyki dla studentów drugiego semestru jest nast pujacy: x i 2 3 4 5 p i... 0,4 0,2.... Wiadomo,»e warto± oczekiwana tak okre±lonej zmiennej losowej wynosi 2,95. Oblicz P (X = 2) oraz P (X = 5), przedstaw rozkªad prawdopodobie«stwa gracznie i oblicz ilu studentów spo±ród 200 zdaj cych otrzyma z egzaminu ocen co najmniej dobr. 21. Dana jest funkcja f(x) = { c (3 + 2x), dla 2 x 4 0, dla x < 2 i x > 4. (a) Wyznacz staª c tak, aby byªa to funkcja g sto±ci. (b) Wyznacz dystrybuant tej zmiennej. (c) Przedstaw gracznie funkcj g sto±ci i dystrybuant. (d) Wyznacz warto± oczekiwan i warincj tej zmiennej. (e) Oblicz prawdopodobie«stwo zdarzenia,»e zmienna losowa X przyjmie: i. warto± nie mniejsz ni» 2 oraz nie wi ksz ni» 3; ii. warto± co najwy»ej równ 2; iii. warto± 4; iv. warto± z przedziaªu [2, 5 ; 4]; 0, dla x < 0 1 22. Sprawd¹, czy funkcja f(x) = 5 x, dla 0 x 10 0, dla x > jest funkcj g sto±ci zmiennej losowej X. 10 Je»eli tak, to (a) przedstaw funkcj g sto±ci gracznie; (b) wyznacz i narysuj dystrybuant tak okre±lonej zmiennej losowej; (c) oblicz warto± oczekiwan zmiennej losowej X; (d) oblicz P {0 X < 2}; 3
(e) oblicz median i kwartyl pierwszy. 0, dla x 0 1 23. Dla zmiennej losowej ci gªej dystrybuanta jest dana wzorem F (x) = 2 x2, dla 0 < x A. 1, dla x > A (a) Wyznacz warto± A. (b) Oblicz warto± oczekiwan zmiennej losowej X; (c) Oblicz P ( 2 X 1); 24. Dana jest zmienna losowa X o rozkªadzie N (5, 87 ; 1, 95). Znajd¹ prawdopodobie«stwo,»e zmienna losowa X przyjmuje warto± : (a) równ 10, (b) nie wi ksz ni» 10, (c) nale» c do przedziaªu [2, 55 ; 6, 55], (d) nie mniejsz ni» -5,87. 25. Niech X b dzie zmienn losow normaln o rozkªadzie N (95; σ). Znajd» warto± σ, je±li wiadomo,»e 20% obszaru pod wykresem g sto±ci le»y na prawo od 103, 4. 26. Niech X b dzie zmienn losow normaln o rozkªadzie N (m; 24, 5). Znajd» warto± m, je±li prawdopodobie«stwo tego,»e zmienna losowa X przyjmuje warto±ci mniejsze od 60 jest równe 0, 3745. 27. Niech {X 1, X 2,.{.., X 30 } b dzie ci giem niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie postaci: f(x) = 0, dla x < 0 e x, dla x 0. Oblicz P ( 30 k=1 X k > 35 ). x -3 0 1 2 28. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkªad podany w tabelce 1 0 0 0,1 0,1 (a) Uzupeªnij tabelk. y 0 0,1 0,1 0,1 0,1 (b) Wyznacz rozkªady brzegowe i ich parametry. 2 0,2 0,1 0,1... (c) Oblicz warto± oczekiwan zmiennej losowej XY, kowariancj i wspóªczynnik korelacji. (d) Wyznacz prost regresji II-go rodzaju i krzyw I-go rodzaju zmiennej losowej X wzgl dem zmiennej losowej Y. A x + y, dla 0 x, y 1 29. Dana jest funkcja f(x, y) = 2. 0, dla pozostaªych (x, y) (a) Wyznacz A tak, aby funkcja ta byªa g sto±ci dwuwymiarowej zmiennej losowej. (b) Wyznacz rozkªady brzegowe i ich parametry. (c) Oblicz warto± oczekiwan zmiennej losowej XY, kowariancj i wspóªczynnik korelacji. (d) Wyznacz prost regresji II-go rodzaju Y wzgl dem zmiennej losowej X. 30. Stopa bezrobocia (w procentach) w Polsce wedªug województw na dzie«31.12.1996 roku ksztaªtowaªa si nast puj co: 4,1; 11,9; 11,7; 9,6; 16,7; 13,1; 19; 12,1; 23,4; 10,6; 17; 18,2; 14,9; 8,4; 15,2; 17,3; 24,7; 6,1; 14,9; 16,9; 12; 11,7; 14,3; 16,2; 12,8; 23,6; 12,9; 17; 17,4; 16,8; 16,6; 6,2; 14,2; 17,2; 14,6; 10,7; 12,7; 10,7; 25,7; 24,6; 13,1; 13,9; 12,4; 18,6; 21,7; 21,5; 9,8; 12,4; 15,3. 4
(a) Przeprowad¹ grupowanie statystyczne województw w Polsce wedªug stopy bezrobocia. (b) Zaprezentuj gracznie otrzymany szereg. (c) Oblicz, korzystaj c z szeregu rozdzielczego, przeci tny stopie«stopy bezrobocia w Polsce, dominant, median, kwartyle pierwszy i trzeci, wariancj. 31. Dla wyprodukowanych w 1990 roku 100 pralek pewnej rmy przeprowadzono badanie maksymalnego czasu bezawaryjnej pracy (w latach). Wyniki przedstawiono w tabelce: czas bezawryjnej pracy 0-2 3-5 6-8 9-11 12-14 15-17 18-20. liczba pralek 15 5 15 25 20 10 10 (a) Oszacuj przedziaªowo ±redni czas bezawaryjnej pracy pralek przyjmuj c wspóªczynnik ufno±ci 90%. (b) Oszacuj przedziaªowo odchylenie standardowe czasu bezawaryjnej pracy pralek przyjmuj c wspóªczynnik ufno±ci 96%. 32. W celu sprawdzenia dokªadnoci skrawania za pomoc pewnego urz dzenia dokonano pomiarów wykonanych 50 cz ±ci i otrzymano S 2 = 0, 00068. Zakªadaj c,»e rpzkªad bª dów wymiarów cz ±ci jest normalny o nieznanym σ na poziomie ufno±ci 0,95 wyznacz na podstawie tych danych realizacj przedziaªu ufno±ci dla odchylenia standardowego. 33. Wykonano pomiary liczby skr tów dla losowo wybranych odcinków prz dzy dªugo±ci 1m, uzyskuj c wyniki: 87, 102, 119, 81, 97, 93, 100, 114, 99, 100, 113, 93, 95, 85, 123, 99. Zakª daj c,»e liczba skr tów odcinków prz dzy ma rozkªad normalny znajd¹ 90%-ow realizacj przrdziaªu ufno±ci dla odchylenia standadowego liczby skr tów caªej partii prz dzy. Odpowiedzi 1. (a) 19 600 (b) 0,882653061 2. (a) 0,004115226 (b) 0,012345679 (c) 0,329218107 (d) 0,987654321 (e) 0,164609053 3. 0,574313781 4. 0,00001745277 5. (a) 0,3 (b) 0,9 6. Dwiema zª czonymi zapaªkami, 7. (a) 0 (b) 0 (c) 0,785398163 8. 0,5625 5
9. 0,(5) 10. (a) 0,468559 (b) 7, 5 10 23 0 11. 0,4335 12. (a) 0,016113281 (b) 0,968323648 (c) 0,15838176 13. 0,995474036 14. (a) 0,021 (b) 0,(6) 15. (a) 0,510204082 (b) 0,56 16. 0,571428571 17. (a) 0,75 (b) 0,2 0, dla x (, 1] 0, 3, dla x ( 1, 0] 0, 6, dla x (0, 1] 18. (a) F (x) = 0, 7, dla x (1, 3] 0, 9, dla x (3, 4] 1, dla x (4, ) (b) EX = 0, 8, σ = 1, 777638883 (c) mo = 0, me = 0 (d) P (X < 3) = 0, 7, P (X 2) = 0, 3, P (X = 1) = 0, 1, P (2 X < 4) = 0, 2 P (0 < X 3) = 0, 3. (e) 19. (a) c = 0, 3 x 2 i 1-1 0 9 15 p i 0,3 0,4 0,2 0,1 0, dla x (, 4] 0, 2, dla x ( 4, 1] 0, 3, dla x ( 1, 0] (b) F (x) = 0, 4, dla x (0, 1] 0, 7, dla x (1, 2] 0, 9, dla x (2, 7] 1, dla x (7, ) 6
(c) (d) EX = 0, 5, σ = 3, 008321791 (e) mo = 1, me = 1 (f) P (X < 2) = 0, 7, P ( 1 X < 1) = 0, 2 P (X 1) = 0, 6. 20. P (X = 2) = 0, 35, P (X = 5) = 0, 05 50 studentów 21. (a) c = 1 18 0, dla x 2 x (b) F (x) = 2 + 3x 10, dla 2 < x 4. 18 1, dla x > 4 (c) (d) EX = 166 239, V arx = 54 729 4 (e) i. 9 ii. 0 iii. 0 19 iv. 24 22. f(x)dx = 1, zatem jest to funkcja g sto±ci R (a) 0, dla x 0 x (b) F (x) = 2, dla 0 < x 10. 10 1, dla x > 10 (c) EX = 2 10, V arx = 5 3 9 (d) 0, 4 (e) me = 5 5, x 0,25 = 2 23. (a) A = 2 (b) 2 2 3 (c) 0,5 24. (a) 0 (b) 0,983 (c) 0,1805 7
25. 10 (d) 1 26. 67,84 27. 0,1814 28. (a) (b) y x -3 0 1 2 1 0 0 0,1 0,1 0 0,1 0,1 0,1 0,1 2 0,2 0,1 0,1 0 x i -3 0 1 2 p i 0,3 0,2 0,3 0,2 y j -1 0 2 p j 0,2 0,4 0,4, EX = 0, 2, V arx = 3, 76, EY = 0, 6, V ary = 1, 44 (c) EXY = 1, 3, covxy = 1, 18, ρ = 0, 5071 1, 5, dla y = 1 (d) x = 1, 18y 0, 908, x(y) = 0, dla y = 0 1, 25, dla y = 2 29. (a) A = 2 (b) f X (x) = f Y (y) = { x + 1, dla x [0, 1] 2 0, dla x [0, 1], EX = 7 12 { y + 1 2, dla y [0, 1] 0, dla y [0, 1], EY = 7 12 (c) EXY = 1 3, covxy = 1 144, ρ = 1 11 (d) y = 1 11 x + 70 132 30. (a) np., V arx = 11 144, V ary = 11 144 stopa bezrobocia w % 2,05-6,05 6,05-10,05 10,05-14,05 14,05-18,05 18,05-22,05 22,05-26,05 liczba województw 1 5 16 17 5 5 Po zaokr gleniu do caªo±ci: stopa bezrobocia w % 2-6 6-10 10-14 14-18 18-22 22-26 (b) liczba województw 1 5 16 17 5 5 (c) x = 14, 86, d o = 14, 31, m e = 14, 59, x 0,25 = 11, 56, x 0,75 = 17, 47, S 2 = 21, 55, S = 4, 64, 31. (a) (9,113;10,887) (b) (4,72;6,33) 8
32. 0, 022 < σ < 0, 033 33. 85, 97 < σ < 17, 2 9