Modelowanie i symulacja układów drgających z wykorzystaniem programu Vensim

BACHULA Kamila 1 KRUPA Krzysztof 1 Modelowanie i symulacja układów drgających z wykorzystaniem programu Vensim WSTĘP Współczesny inżynier musi umieć analizować rzeczywistość i opisywać ją za pomocą języka matematyki. A od tego, to już tylko krok do symulacji, która pozwala przewidzieć skutki podejmowanych decyzji w oddziaływaniu człowieka na tą właśnie rzeczywistość. Już Isaak Newton, w swoim dziele Philosophiaenaturalis principia mathematica(1867 r) pisał, (oprócz prawa powszechnego ciążenia), że Istnieją prawa przyrody i możemy je znaleźć [5]. Znajomość tych praw jest niezbędna dla każdego inżyniera. W dydaktyce często operuje się aparatem matematycznym, czasami bardzo skomplikowanym. Umiejętność stosowania języka matematyki z możliwościami, jakie daje współczesna informatyka, zarówno w zakresie sprzętu, jaki i oprogramowania, umożliwia wizualizację skutków zastosowania takiego właśnie aparatu. Rozumiejąc zjawisko fizyczne, można zbudować jego model, opisać relacje między obiektami i symulować zachowanie całego systemu [4,5,6]. Pozwala to przewidzieć reakcje systemu na różnego typu wymuszenia. Jest to szczególnie ważne w dydaktyce, gdzie student po zrozumieniu jak działa system, buduje jego model i od razu obserwuje, czy rezultaty są zgodne z oczekiwaniami. Analiza przyczyn ewentualnych rozbieżności ma równie duże znaczenie dydaktyczne, bo zrozumienie własnych błędów pozwala je lepiej zapamiętać i unikać w przyszłości. Tematem tego artykułu jest modelowanie układów drgających, o jednym oraz dwóch stopniach swobody. Rozwiązanie analityczne jest powszechnie znane i jest przejrzyście opisane np. w książce prof. J. Nizioła [2]. W artykule opisano zastosowanie programu Vensim do modelowania układów drgających. Vensim przeznaczony jest do modelowania i symulacji systemów, w szczególności systemów ciągłych [7]. 1 DRGANIA UKŁADU Zjawisko drgań jest powszechne w przyrodzie. Czasami jest korzystne, bo np. bez drgań trudno by się było porozumiewać, ale w wielu przypadkach, a w szczególności w technice drgania są zjawiskiem niepożądanym. Często dąży się do ich eliminacji lub ograniczenia, najlepiej wg żądanej charakterystyki. Definiuje się je, jako ruch, gdzie badana współrzędna oscyluje wokół pewnej wartości średniej, która może mieć ustaloną wartość lub może być zmienna w funkcji czasu[2]. Ruch drgający cechuje także okresowość odchyleń pojawiająca się przy dłuższej obserwacji zjawiska. Drgania są zazwyczaj dodatkowym elementem, pojawiającym się przy zasadniczej pracy maszyny. Pomimo, że są to zjawiska o niewielkim stopniu natężenia, ich cykliczne oddziaływanie na urządzenie może w znaczący sposób skrócić jego żywotność. Mogą też wpływać na jego pracę, zwiększając np. niedokładności w procesie obróbki, a przez co obniżyć wartość użytkową maszyny. Drgania w końcu, powodują zwiększoną emisję hałasu oraz negatywnie wpływają na organizm ludzki osób pracujących w ich środowisku. Niezwykle istotną kwestią jest przeciwdziałanie drganiom, poprzez przewidywanie ich oddziaływania i wprowadzenie mechanizmów redukcji drgań, już na etapie projektu. Aby w pełni móc przewidzieć wpływ drgań konieczne jest dokładne zrozumienie mechanizmu ich powstawania oraz oddziaływania na obiekt obserwacji. W klasycznym podejściu dydaktycznym przedstawia się zasady budowy modeli matematycznych reprezentujących elementy fizyczne, a następnie rozwiązuje 1 Politechnik Krakowska im. Tadeusza Kościuszki, Wydział Mechaniczny, Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji, al. Jana Pawła II 37, 31-864 Kraków, tel/fax.: +48 12 628 38 24 {kbachula, krupa}@mech.pk.edu.pl 1536

się równia różniczkowe opisujące taki model[2, 3]. Niedoświadczeni konstruktorzy często mają problem ze zrozumieniem specyfiki drgań i pełnym wyobrażeniem ich oddziaływań na model. Dlatego buduje się różne stanowiska badawcze, gdzie można obserwować drgania. Rozwiązanie to jest jednak ograniczone do reprezentacji tylko jednego modelu matematycznego, na jedno stanowisko badawcze oraz na brak możliwości lub tylko niewielki zakres modyfikacji parametrów wejściowych. Trudności te można pokonać, wykorzystując modele wirtualne, które odzwierciedlają pracę układów drgających. Zaproponowany program symulacyjny Vensim pozwala na opracowanie i późniejszą symulację pracy modelu matematycznego układu drgającego. Wygodą takiego rozwiązania jest budowa modelu, który nie tylko przedstawia charakterystykę układu, ale pozwala również na modyfikację każdego parametru, przez co można analizować wpływ każdej zmiennej na zachowanie modelu. 1.1 Matematyczny model układu o jednym stopniu swobody Rozważono klasyczny układ, zbudowany z ciężarka o masie m, podpartego sprężyną o współczynniku sprężystości k i tłumiku, o współczynniku tłumienia c (Rys. 1) [2]. Rys. 1.Układ o jednym stopniu swobody [2] Należy zwrócić uwagę, że ruch w takim układzie pojawi się, jeżeli w chwili początkowej siła sprężystości nie równoważy siły grawitacji, działającej na ciężarek. Układ ten posiada jeden stopień swobody i nie jest wymuszany żadnymi siłami zewnętrznymi. Jego równanie ruchu ma postać: (1) Przekształcając to równanie i wprowadzając dodatkowe oznaczenia: otrzymano: (3) Rozwiązaniem tego równania jest: (4) a równanie charakterystyczne ma postać: (5) Ponieważ równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym, to w zależności od wartości współczynników może posiadać rozwiązania rzeczywiste, bądź zespolone. Jest to zależne od wartości parametru : (6) Jeżeli >0, to pierwiastki równania wylicza się ze wzoru: (7) Ogólna postać rozwiązania równania ruchu: (8) W zależności od relacji pomiędzy wartościami i można wyróżnić trzy obszary zachowania się modelu: tłumienie podkrytyczne tłumienie krytyczne tłumienie nadkrytyczne (2) 1537

Analizując tą zależność można wyznaczyć pewną krytyczną wartość parametru c, w funkcji masy i współczynnika sprężystości: (9) 1.2 Symulacyjny model układu o jednym stopniu swobody Opisany w punkcie 1.1 układ, zamodelowano w programie Vensim (Rys. 2). Opis modelowania w programie Vensim można znaleźć w literaturze [3, 5]. Model zakład podwójne całkowanie przyspieszenia środka masy m oznaczonego na modelu, jako d2x/dt2. Po pierwszym całkowaniu otrzymano prędkość (dx/dt), a po kolejnym - drogę przebytą przez środek masy m, czyli zmienną x. W modelu przyjęto następujące jednostki i wartości początkowe: Jednostka czasu: sekunda, [s] Współczynnik tłumienia: Współczynnik sprężystości: Masa: Przemieszczenie początkowe: Prędkość początkowa: Początkowy czas symulacji: IT = 0 [s] Końcowy czas symulacji: FT = 100 [s] (10) Rys. 2.Model układu o jednym stopniu swobody oraz wykres przemieszczenia masy Na rysunku 2 przedstawiono model układu oraz wykres przemieszczenia środka masy. Układ charakteryzuje się drganiami nadkrytycznymi. W modelu wprowadzono modyfikację, polegającą na dodaniu współczynnika c kr, oraz współczynnika c 1 o wartości początkowej 0. Dodatkowo skorzystano z możliwości programu dodając narzędzie pozwalające użytkownikowi na zmianę wartości parametru c 1 w zakresie: <-8.5; 8.5>. W przyjętym modelu, współczynnik c zdefiniowany jest następująco: (11) Dzięki tej modyfikacji użytkownik może w trakcie symulacji SyntheSim wprowadzać zmianę wartości współczynnika tłumienia lepkiego c, przechodząc poprzez wszystkie trzy obszary: tłumienie podkrytyczne dla c 1 <0, nadkrytyczne dla c 1 >0 oraz krytyczne dla c 1 =0. Rys. 3. Model układu z możliwością modyfikacji parametru c1. 1538

Rys. 4. Wyniki symulacji dla różnych wartości parametru c 1 Na rysunku 4 przedstawiono położenia środka masy m, dla każdego z możliwych typów pracy układu. Wyraźnie można zaobserwować różnice między pracą w zakresie nadkrytycznym i podkrytycznymi. Widoczna jest też właściwość współczynnika c kr, która, dla analizowanego modelu, charakteryzuje układy o najlepszym stopniu tłumienia. Dla takich układów drgania gasną już po upływie 20 sekund symulacji. Drgania w zakresie podkrytycznym charakteryzują układy o małym stopniu tłumienia, np. materiały konstrukcyjne. Stopień tłumienia większy niż krytyczny charakteryzuje układy amortyzacji. Najlepszą możliwym tłumieniem jest tłumienie krytyczne. 1.3 Matematyczny model układu o dwóch stopniach swobody Układ opisany w punkcie 1.2 został zmodyfikowany w sposób przedstawiony na rysunku5.jest to układ o dwóch stopniach swobody dynamiczny eliminator drgań[2], w którym masa m 1 została zamocowana na dwóch sprężynach o współczynniku sprężystości ½k 1, następnie za pomocą sprężyny o współczynniku tłumienia k 2 oraz tłumika o współczynniku tłumienia lepkiego c doczepiono masę m 2. Rys. 5.Model układu o dwóch stopniach swobody[2] Rozwiązanie takie ma za zadanie tłumić drgania masy m 1, a wymuszeniem może być siła F(t). Równania ruchu opisujące układ mają postać: (12) Rozpatrując przypadek szczególny wymuszenia siłą okresowo zmienną [2]: (13) Dla powyższego przypadku analizowane przemieszczenia x 1 i x 2 zmieniają się harmonicznie z częstością p. Poszukuje się rozwiązania postaci: (14) W związku z powyższym równania układu(13) przyjmują postać: (15) 1539

Na podstawie powyższego równania można wyznaczyć krytyczną wartość parametru c kr [2]: (16) 1.4 Symulacyjny model układu o dwóch stopniach swobody Przedstawiony na rysunku 5 układ zamodelowano w Vensim-ie (Rys. 6). Jego budowa jest analogiczna do modelu o jednym stopniu swobody. Bezpośrednim celem jest obserwacja przemieszczeń obu masm 1 i m 2.Przyjęto następujące wartości parametrów: Czas symulacji: <IT = 0;FT = 50> sekund F(t) = 0 [N] Bez działania zewnętrznego wymuszenia, na skutek działania sił ciężkości, sprężystości i tłumienia, drgania układu zostaną wygaszone. Charakter drgań można modyfikować przez zmianę parametrów wejściowych. W dydaktyce ma to szczególne znaczenie, bo pozwala zaobserwować znaczenie poszczególnych parametrów. (17) Rys. 6. Model układu o dwóch stopniach swobody oraz wykres przemieszczenia mas 2 DRGANIA SWOBODNE TŁUMIONE WYMUSZENIE ZEWNĘTRZNE Metody symulacyjne pozwalają w łatwy sposób analizować reakcję układu na wymuszenia zewnętrzne. Przyjęto, że wymuszeniem będzie funkcja zależna od czasu F(t). Aby można było zaobserwować zachowanie obu układów, we wszystkich trzech zakresach tłumienia, przygotowano model, który składa się z trzech kopii układu o jednym stopniu swobody (Rys. 7) oraz model składający się z trzech kopi układu o dwóch stopniach swobody (Rys. 8). Poszczególne układy różnią się jedynie wartościami parametru c. 1540

Rys. 7.Modele układu o jednym stopniu swobody Rys. 8.Model układu o dwóch stopniach swobody (kopie są analogiczne) W rozważanych układach zastosowano indywidualne zmienne do określenia drogi, prędkości i przyspieszenia środka masy dla różnych wartości parametru c: W modelu o jednym stopniu swobody, dla odpowiedniego rodzaju tłumienia: Podkrytyczne: droga Xpk, CPodkrytyczne Krytyczne: droga Xk, CKrytyczne Nadkrytyczne: droga Xnk, CNadkrytyczne Analogicznie dla modelu o dwóch stopniach swobody: tłumienie podkrytyczne drogi X1pk i X2pk, CPodkrytyczne tłumienie krytyczne drogi X1k i X2k, CKrytyczne tłumienie nadkrytyczne drogi X1nk i X2nk, CNadkrytyczne Za wymuszenia odpowiada zmienna F(t). Przy założonej konstrukcji modelu modyfikacja równania jednej z tych zmiennych wprowadzi zmiany w wszystkich trzech układach. Zmodyfikowana została wartość początkowa parametrów x (Xpk, Xk, Xnk, X1pk, X1k, X1nk, X2pk, X2k, X2nk), która wynosi 0 [mm]. 2.1 Wymuszenie funkcja skokową Zamodelowany układ wymuszono funkcją skokową. Utrzymuje ona obciążenie na poziomie 10 N przez pierwsze 50 sekund symulacji, a następnie spada do 0. Czas symulacji wynosi 0 100 sekund. Wyniki symulacji dla modelu o jednym stopniu swobody przedstawia rysunek 9, a o dwóch rysunek 10. Rys. 9.Przemieszczenie środka masy układu o jednym stopniu swobody w osi pionowej, dla różnych wartości tłumienia 1541

Rys. 10.Przemieszczenia środków masy układu o dwóch stopniach swobody w osi pionowej, dla różnych wartości tłumienia a. tłumienie dla c = 44,72 [kg/s], b. tłumienie dla c = 14,92 [kg/s] W analizie działania modeli, w odpowiedzi na wymuszenie spowodowane skokową zmianą wartości siły wymuszającej, należy zwrócić uwagę, jaki wpływ na drgania ma wartość przyjętych parametrów. Obydwa modele zostały wzbudzone stałą siłą (w pierwszych 50 s symulacji, Rys. 9i Rys. 10), co przy odpowiednim doborze parametrów, doprowadziło do stabilizacji przemieszczenia, dla pewnej wartości (Rys. 9, Rys. 10a). Należy zauważyć, że dla układu o dwóch stopniach swobody(rys. 10a) masy przyjmują takie same przemieszczenia, co oznacza, że całość odkształcenia przenoszona jest przez sprężyny ½k 1 (Rys. 5) podczas gdy pozostałe elementy są w spoczynku, a masy nie zmieniają położenia względem siebie. Zachowanie to jest normalne dla eliminatora drgań, gdyż w spoczynku tłumik nie przenosi żadnego obciążenia, co ma miejsce dla stanu zrównoważonego i na początku symulacji. W wypadku modelu o jednym stopniu swobody (Rys. 1) można bardzo łatwo zauważyć, jaki wpływ na zachowanie układu ma parametr tłumienia lepkiego c. Dla tłumienia podkrytycznego układ po wzbudzeniu cechują drgania o amplitudzie A malejącej w czasie oraz o okresie T. Obie wartości można odczytać z wykresów generowanych w programie. Dla tłumienia nadkrytycznego układ nie drga, a jedynie osiąga po pewnym czasie stabilne przemieszczenie. 2.2 Wymuszenie funkcją sinus Rysunki 11 i 12 przedstawiają wymuszenie układu funkcją sinus o okresie 60 sekund i amplitudzie 5 N. Czas symulacji to 0 100 sekund. Odpowiedź układu o jednym stopniu swobody (Rys. 11) jest analogiczna do sytuacji przedstawionej na rysunku 9. Układ w zależności od wartości parametru c nadąża za charakterystyką funkcji sinus. Zakres tłumienia podkrytycznego wykazuje drgania w początkowym okresie pracy. 1542

Rys. 11.Droga środka masy układu o jednym stopniu swobody w osi pionowej wymuszenie funkcją sinus Rys. 12.Droga środków masy układu o dwóch stopniach swobody w osi pionowej wymuszenie funkcją sinus, a. tłumienie dla c = 44,72 [kg/s], b. tłumienie dla c = 14,92 [kg/s] Dla układu o dwóch stopniach swobody można zaobserwować pracę m 2, która przyjmując wyższe odkształcenia stabilizuje drgania m 1 (Rys. 12).Na rysunku 12a można zauważyć także specyfikę zamiany przemieszczeń mas m 1 i m 2 względem siebie. 2.3 Wymuszenie losowe W systemach rzeczywistych zdarza się losowy charakter wymuszeń. Zbadano jak będzie zachowywał się układ przy takim właśnie wymuszeniu. 1543

Rys. 13.Droga środka masy układu o jednym stopniu swobody w osi pionowej wymuszenie funkcją losową Rys14.Droga środków masy układu o dwóch stopniach swobody w osi pionowej wymuszenie funkcją losową, a. tłumienie dla c = 44,72 [kg/s], b. tłumienie dla c = 14,92 [kg/s] Rysunek 13 kolejny raz pokazuje, jak istotną rolę w zachowaniu układu pełni dobór wartości parametru tłumienia lepkiego. Na rysunku 14 można zauważyć korelację między zachowaniem masy m 2 w stosunku do masy m 1. Zwłaszcza dla rysunku 14b widoczna jest praca m 2 wygładzająca ruch masy m 1, co jest istotą pracy eliminatora drgań. WNIOSKI Symulacja systemów, korzystająca z nowoczesnych narzędzi informatycznych, wprowadza nową jakość w dydaktyce. Daje możliwość obserwacji skutków zmian parametrów wyjściowych, w odpowiedzi na zmienne parametry wejściowe. Pozwala zbadać poziom istotności parametrów. Sama wizualizacja graficzna, która w rozwiązaniach analitycznych nie jest prosta, tutaj jest łatwa i bardzo pomocna. Wyniki symulacji, popierające podejście analityczne są zawsze silnym narzędziem dydaktycznym, gdy mowa jest o nowych zagadnieniach oraz w miejscach, gdzie nie ma możliwości stosowania modeli laboratoryjnych. Pozwala zrozumieć istotę badanego zagadnienia i poznać jego praktyczne zastosowanie. 1544

Streszczenie W pracy przedstawiono problem wykorzystania narzędzi symulacyjnych do przedstawienia zagadnień związanych z drganiami układów mechanicznych. W prezentowanym rozważaniu pokazano rozwiązania analityczne modeli układów o jednym i dwóch stopniach swobody. Następnie, w oparciu o modele matematyczne zostały zbudowane modele symulacyjne. Skupiono się na wykorzystaniu możliwości programu symulacyjnego Vensim, w analizie wpływu wartości parametrów modelu na wyniki symulacji. Pokazano wpływ wysokości współczynnika tłumienia lepkiego przenoszącego się na pracę układów w zakresie nadkrytycznym, krytycznym i podkrytycznym. Rozważane zagadnienie przedstawiają możliwości wynikające z zastosowania narzędzia symulacyjnego, jakim jest program Vensim w procesie dydaktycznym obejmującym zagadnienia z dziedziny projektowania i eksploatacji maszyn. Modeling and simulation of the oscillating systems with use of the Vensim software Abstract The paper describes the problem of using simulation tools to present issues related to the vibration of the mechanical systems with many degrees of freedom. It presents the analytical solutions of systems with one and two degrees of freedom. The simulation models were built based on the mathematical models. The focus was given on the use of the capabilities of Vensim in the analysis of the impact of different parameters on simulation results. The work demonstrates the effect of value of viscous damping coefficient, which is transferred to the operation of the system in the supercritical, critical and subcritical range of work. The issue that is being considered represents opportunities derived from the use of simulation tools, as for instance the Vensim software, in the teaching process, which is covering issues of machines design and operation. BIBLIOGRAFIA 1. Gordon G., Symulacja systemów, WNT, Warszawa 1974 2. Nizioł J., Podstawy drgań w maszynach. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 1996. 3. Żółtowski B., Badanie dynamiki maszyn. Wydawnictwo: MARKAR B, Bydgoszcz 2002. 4. Krupa K., Modelowanie, symulacja i prognozowanie. Systemy ciągłe. Wydawnictwo Naukowo Techniczne, Warszawa 2008. 5. Stewart I., Czy Bóg gra w kości. Nowa matematyka chaosu, PWN, Warszawa 2001. 6. Tora G., Trzaska W., Zagadnienia Bilansu mocy w mechanizmach płaskich, XVII Ogólnopolska Konferencja Naukowo-Dydaktyczna Teorii Maszyn i Mechanizmów, Warszawa Jachranka, 2000. 7. www.vensim.com 1545