Elementy wspo łczesnej teorii inwersji W. Debski, 27.11.2014
Zagadnienia modelowania i inwersji uogólnienie debski@igf.edu.pl: W2-1 IGF PAN, 27.11.2014
Zagadnienie odwrotne - pomiary pośrednie zagadnienie odwrotne pomiar pośredni (estymacja parametrów) debski@igf.edu.pl: W2-2 IGF PAN, 27.11.2014
Zagadnienia odwrotne - estymacja parametrów Modelowanie: Inwersja: m d th = G(m) d obs m est debski@igf.edu.pl: W2-3 IGF PAN, 27.11.2014
Zagadnienie odwrotne (ogólnie) zagadnienie odwrotne proces wnioskowania debski@igf.edu.pl: W2-4 IGF PAN, 27.11.2014
Elementy wspo łczesnej teorii inwersji Inwersja - Wnioskowanie debski@igf.edu.pl: W2-5 IGF PAN, 27.11.2014
Zagadnienia odwrotne - estymacja parametrów Parametry i wielkości mierzalne System fizyczny: Parametery układu: p 1, p 2, p K m = (m 1, m 2, m M ) Przewidywane mierzalne wielkości: d = (d 1, d 2, d N ) Parametry ustalone (znane a priori): m fix = (u 1, u 2, ) debski@igf.edu.pl: W2-6 IGF PAN, 27.11.2014
Przykład - propagacja fal sejsmicznych System fizyczny: r s, r r, t, v Zagadnienie lokalizacji: m = r s = (r x, r y, r z ) d = t m fix = v, r r Tomografia pr edkościowa: m = v = (v 1, v 2, v M ) d = t, m fix = r r, r s debski@igf.edu.pl: W2-7 IGF PAN, 27.11.2014
Lokalizacja wstrzasów 21 48' 22 00' 22 12' 22 24' 38 24' NAF RODI FISH ANEM 38 24' UNI EGIO 38 12' CLAU 38 12' DERV 38 00' 21 48' 22 00' 22 12' 22 24' 38 00' debski@igf.edu.pl: W2-8 IGF PAN, 27.11.2014
Tomografia sejsmiczna v =? debski@igf.edu.pl: W2-9 IGF PAN, 27.11.2014
Liniowy problem odwrotny m = (m 1, m 2, m M ) M d = (d 1, d 2, d N ) D d(m) = G m d(m) = G(m) G(m o ) + H δm m = m o + δm debski@igf.edu.pl: W2-10 IGF PAN, 27.11.2014
Liniowy problem odwrotny Podejście naiwne: m est = G 1 d obs Ale dim(g) = N M jest na ogół macierza prostokatn a debski@igf.edu.pl: W2-11 IGF PAN, 27.11.2014
Liniowy problem odwrotny d = G m / G T G T d = G T G m G T G = G T G + λi m est = (G T G + λi) 1 G T d obs debski@igf.edu.pl: W2-12 IGF PAN, 27.11.2014
Liniowy problem odwrotny m m apr ; d = G m apr d = G m / d d d = G (m m apr ) G T (d d) = G T G (m m apr ) G T G = G T G + λi m est = m apr +(G T G+λI) 1 G T (d obs G m apr) debski@igf.edu.pl: W2-13 IGF PAN, 27.11.2014
Liniowy problem odwrotny λ - parametr dowolny = rozwiazanie jest subiektywne m est = m est (λ) 1) λ m est m apr + 1 λ GT (d obs G m apr) 2) λ 0 m est... debski@igf.edu.pl: W2-14 IGF PAN, 27.11.2014
Liniowy problem odwrotny - subiektywność rozwiazania m est = m apr + (G T G + λi) 1 G T (d obs G m apr) Załóżmy, że G T G jest diagonalna 1) (G T G) ii 0 2) (G T G) ii = 0 m est = (G T G) 1 G T m est nieokreślone (d obs) debski@igf.edu.pl: W2-15 IGF PAN, 27.11.2014
Liniowy problem odwrotny - ocena rozdzielczości m = (m 1, m 2,... m M ) jak dokładnie potrafimy wyznaczyć m i? czy otrzymane m i, m j sa skorelowane? m est = m apr + (G T G + λi) 1 G T (d obs G m apr) d true = G m true ; d obs = d true m est m apr = R(λ) (m true m apr ) debski@igf.edu.pl: W2-16 IGF PAN, 27.11.2014
Liniowy problem odwrotny - ocena rozdzielczości R = m est i G T G G T G + λi = R ij m true j Otrzymane parametry m est sa przefitrowanymi obrazami nieznanych, prawdziwych m true. Obecność tego filtru wynika ze skończonej ilości posiadanych danych a wiec i informacji o parametrach m. debski@igf.edu.pl: W2-17 IGF PAN, 27.11.2014
Liniowy problem odwrotny - ocena rozdzielczości Average R ii 1.0 0.8 0.6 0.4 γ=0.001 γ=1 γ=10 γ=100 0.2 0.0 1 2 3 4 5 Cell size [cm] debski@igf.edu.pl: W2-18 IGF PAN, 27.11.2014
Elementy wspo łczesnej teorii inwersji Liniowy problem odwrotny - ocena rozdzielczos ci debski@igf.edu.pl: W2-19 IGF PAN, 27.11.2014
Technika algebraiczna - przykład A dwa parametry m 1, m 2 mierzone wielkości: d 1, d 2 d obs = (2, 2) m 1, m 2 =???? d 1 = m 1 + m 2 d 2 = m 1 m 2 (1) debski@igf.edu.pl: W2-20 IGF PAN, 27.11.2014
Technika algebraiczna - przykład B d = G m d = 2 2 m = m 1 m 2 G = 1 1 1 1 G T G = 2 0 0 2 (G T G) 1G T = 1/2 1/2 1/2 1/2 m 1 = 0; m 2 = 2 debski@igf.edu.pl: W2-21 IGF PAN, 27.11.2014
Technika algebraiczna - B dwa parametry m 1, m 2 mierzone wielkości: d 1, d 2... d 5 d 1 = m 1 + m 2 d 2 = m 1 m 2 d 3 = m 1 + 2m 2 (2) d obs = (2, 2, 4, 2, 4) d 4 = 2m 1 + m 2 d 5 = m 1 + 2m 2 debski@igf.edu.pl: W2-22 IGF PAN, 27.11.2014
Technika algebraiczna - B d = G m d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 = 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 m 1 m 2 m 1 = 0; m 2 = 2 debski@igf.edu.pl: W2-23 IGF PAN, 27.11.2014
Technika algebraiczna - C dwa parametry m 1, m 2 mierzona wielkość: d 1 d 1 = m 1 + m 2 d obs = 2 m 1, m 2 =???? debski@igf.edu.pl: W2-24 IGF PAN, 27.11.2014
Technika algebraiczna - D dwa parametry m 1, m 2 mierzone wielkości: d 1, d 2, d 3 G = 1 1 1 1 1 2 d obs = (2, 0, 4) m 1, m 2 =???? debski@igf.edu.pl: W2-25 IGF PAN, 27.11.2014
Technika algebraiczna - E dwa parametry m 1, m 2 mierzone wielkości: d 1, d 2, d 3 G = 1 1 5 5 1 1 d obs = (2, 10, 2) m 1, m 2 =???? debski@igf.edu.pl: W2-26 IGF PAN, 27.11.2014
Inwersja - technika Back projection data d d=f(m) m model parameter debski@igf.edu.pl: W2-27 IGF PAN, 27.11.2014
Back projection Projection "BackProjection" SOURCE -1 SOURCE-3 SOURCE-2 DATA debski@igf.edu.pl: W2-28 IGF PAN, 27.11.2014
Elementy wspo łczesnej teorii inwersji Koniec debski@igf.edu.pl: W2-29 IGF PAN, 27.11.2014