Elementy wspo łczesnej teorii inwersji

Transkrypt

1 Elementy wspo łczesnej teorii inwersji W. Debski,

2 Przykład - 1 (Wiek A. Tarantoli???) debski@igf.edu.pl: W6-1 IGF PAN,

3 Pomysł na rozwiazanie W6-2 IGF PAN,

4 Elementy wspo łczesnej teorii inwersji Przykład - 2 ( Pogoda???) debski@igf.edu.pl: W6-3 IGF PAN,

5 Przykłady - uogólnienie pytanie dane obserwacyjne wnioskowanie wynik... debski@igf.edu.pl: W6-4 IGF PAN,

6 Wniosek zagadnienie odwrotne proces wnioskowania W6-5 IGF PAN,

7 Wnioskowanie - łaczenie informacji debski@igf.edu.pl: W6-6 IGF PAN,

8 Probabilistyczny opis informacji posiadana informacja rozkład prawdopod. Postulat: Każda posiadana in formacje możemy ilościowo opisać przy pomocy pewnego rozkładu prawdopodobieństwa: W6-7 IGF PAN,

9 Rozwiazanie - prawdopodobieństwo a posteriori Skoro posiadane informacje opisujemy rozkładami prawdopodobieństwa to jak skonstruować rozkład a posteriori? debski@igf.edu.pl: W6-8 IGF PAN,

10 G estość prawdopodobieństwa W6-9 IGF PAN,

11 Opis g estości prawdopodobieństwa (pdf) Normalizacja M p(m)dm = 1 Wartość średnia m =< m >= M mp(m)dm Dyspersja σ 2 =< (m m) 2 >= M (m m) 2 p(m)dm debski@igf.edu.pl: W6-10 IGF PAN,

12 Rozkłady brzegowe i warunkowe p(m, d) p m (m) = D p(m, d)dd p d (d) = M p(m, d)dm p m d (m d) = p(m, d)/p d (d) p d m (d m) = p(m, d)/p m (m) debski@igf.edu.pl: W6-11 IGF PAN,

13 Rozkłady brzegowe i warunkowe p(m, d) = p m d (m d)p d (d) p(m, d) = p d m (d m)p m (m) p m d (m d)p d (d) = p d m (d m)p m (m) debski@igf.edu.pl: W6-12 IGF PAN,

14 Twierdzenie Bayesa p m d (m d) = p d m(d m)p m (m) p d (d) debski@igf.edu.pl: W6-13 IGF PAN,

15 Twierdzenie Bayesa -interpretacja d = d obs p m d (m d obs ) = p d m(d obs m)p m (m) p d (d obs ) debski@igf.edu.pl: W6-14 IGF PAN,

16 Rozkład a posteriori p post (m d obs ) p(d obs m) p apr (m) debski@igf.edu.pl: W6-15 IGF PAN,

17 Podejście Tarantoli Dwa rozkłady opisujace dwie różne informacje 1. p(x) 2. q(x) p q(x) = p(x) q(x) µ(x) Opisuje łaczne posiadane informacje debski@igf.edu.pl: W6-16 IGF PAN,

18 Rozwiazanie problemu inwersyjnego 1. obserwacje: p(d) 2. teoria : q(m, d) 3. a priori : f(m, d) (p q)( ) = p( ) q( ) µ( ) p(d) = p(m, d) = µ(m)p(d) debski@igf.edu.pl: W6-17 IGF PAN,

19 Trzy kroki: Rozkład A posteriori pdf na M D 1. Uogólnienie wszystkich rozkładów na przestrzeń M D 2. Utworzenie uogólnionej funkcji podobieństwa: L(m, d) = (p q)(m, d) = p(m, d) q(m, d) µ(m, d) 3. utworzenie rozkładu A posteriori: σ(m, d) (L f)(m, d) = L(m, d) f(m, d) µ(m, d) debski@igf.edu.pl: W6-18 IGF PAN,

20 A posteriori pdf σ(m, d) = p(m, d) q(m, d)f(m, d) µ 2 (m, d) debski@igf.edu.pl: W6-19 IGF PAN,

21 Brzegowe rozkłady A posteriori σ m (m) = σ(m, d)dd D σ d (d) = σ(m, d)dm M debski@igf.edu.pl: W6-20 IGF PAN,

22 A posteriori pdf σ m (m) = f(m) L(m, d obs ) L(m, d obs ) = D p(d, d obs q(m, d) ) µ(m, d) dd debski@igf.edu.pl: W6-21 IGF PAN,

23 Przykład - dokładna teoria q(m, d) = δ(d G(m)µ M (m) wtedy p(d, d obs ) = ρ( d d obs ) σ(m) = f(m) p(dobs G(m)) µ D (d) funkcja podobieństwa opisuje niepewność wyznaczenia m z wzgl edu na obecność bł edów pomiarowych debski@igf.edu.pl: W6-22 IGF PAN,

24 Przykład - dokładne pomiary p(d, d obs ) = δ(d d obs ) wtedy σ(m) = f(m) q(m, dobs ) µ(m, d obs ) funkcja podobieństwa opisuje niepewność wyznaczenia m z wzgl edu na obecność bł edów modelowania debski@igf.edu.pl: W6-23 IGF PAN,

25 Przykład - brak informacji teoretycznych rola informacji a priori q(m, d) = µ(m, d) L(m) = D p(d, d obs q(m, d) ) µ(m, d) dd = D p(d)dd = const. σ(m) = f(m) debski@igf.edu.pl: W6-24 IGF PAN,

26 Przykład - brak danych pomiarowych rola informacji a priori p(d) = µ D (d) wtedy gdy L(m) = D q(m, d) p(d)/µ D (d) µ M (m) dd q(m, d) = µ M (m)ρ(d G(m)) σ(m) = f(m) debski@igf.edu.pl: W6-25 IGF PAN,

27 Elementy wspo łczesnej teorii inwersji Koniec Create: KL IGF PAN,