Elektrodynamika Część 5 Pola magnetyczne w materii Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas
Spis treści 6 Pola magnetyczne w materii 3 6.1 Magnetyzacja..................... 3 6.2 Pole namagnesowanego ciała............. 14 6.3 Natężenie pola magnetycznego H........... 22 6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe.............. 26
6 Pola magnetyczne w materii 6.1 Magnetyzacja 6.1.1 Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki Paramagnetyki materiały, dla których namagnesowanie M ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji B Diamagnetyki materiały, dla których namagnesowanie M ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora B Ferromagnetyki materiały, które zachowują namagnesowanie M nawet wtedy, gdy zniknie zewnętrzne pole
6 Pola magnetyczne w materii 6.1 Magnetyzacja 6.1.1 Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki Paramagnetyki materiały, dla których namagnesowanie M ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji B Diamagnetyki materiały, dla których namagnesowanie M ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora B Ferromagnetyki materiały, które zachowują namagnesowanie M nawet wtedy, gdy zniknie zewnętrzne pole
6 Pola magnetyczne w materii 6.1 Magnetyzacja 6.1.1 Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki Paramagnetyki materiały, dla których namagnesowanie M ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji B Diamagnetyki materiały, dla których namagnesowanie M ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora B Ferromagnetyki materiały, które zachowują namagnesowanie M nawet wtedy, gdy zniknie zewnętrzne pole
6 Pola magnetyczne w materii 6.1 Magnetyzacja 6.1.1 Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki Paramagnetyki materiały, dla których namagnesowanie M ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji B Diamagnetyki materiały, dla których namagnesowanie M ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora B Ferromagnetyki materiały, które zachowują namagnesowanie M nawet wtedy, gdy zniknie zewnętrzne pole
6.1.2 Siły i momenty sił działających na dipole magnetyczne I Każdą pętlę z prądem można złożyć z infinitezymalnych prostokątów. Prądy od wewnętrznych boków znoszą się wzajemnie.
z z B I m B m θ F θ y a θ θ y a b F x N = af sin θ ˆx, moment sił
z z B I m B m θ F θ y a θ θ y a b F x N = af sin θ ˆx, moment sił F = IbB, wartość siły
z z B I m B m θ F θ y a θ θ y a b F x N = af sin θ ˆx, moment sił F = IbB, wartość siły N = Iab sin θ ˆx = mb sin θ ˆx
z z B I m B m θ F θ y a θ θ y a b F x N = af sin θ ˆx, moment sił F = IbB, wartość siły N = Iab sin θ ˆx = mb sin θ ˆx N = m B
F = I ( dl B) = I ( ) dl B = 0 W polu jednorodnym siła wypadkowa działająca na pętlę z prądem znika
B I I pole niejednorodne
B I I B z B I F x I R θ F y pole ma składową radialną siła ma składową pionową F = 2πIRB cos θ pole niejednorodne
F = (m B) Siła dla infinitezymalnej pętli o momencie dipolowym m umieszczonej w polu magnetycznym o indukcji B.
Modele momentu dipolowego N + m p m I S dipol magnetyczny (model Gilberta) dipol elektryczny dipol magnetyczny (model Ampère a)
6.1.3 Wpływ pola magnetycznego na orbity atomowe z v x R e y m T = 2πR v I = e T = ev 2πR ruch elektronu można potraktować jako prąd stały
6.1.3 Wpływ pola magnetycznego na orbity atomowe z v x R e y m T = 2πR v I = e T = ev 2πR ruch elektronu można potraktować jako prąd stały m = IπR 2 ẑ = 1 2 evr ẑ orbitalny moment dipolowy
6.1.3 Wpływ pola magnetycznego na orbity atomowe z v x R e y m T = 2πR v I = e T = ev 2πR ruch elektronu można potraktować jako prąd stały m = IπR 2 ẑ = 1 2 evr ẑ orbitalny moment dipolowy N = m B moment siły, mały efekt paramagnetyczny
1 e 2 4πɛ 0 R 2 = m v 2 e R w nieobecności pola magnetycznego siła dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków elektrycznych
1 e 2 4πɛ 0 R 2 = m v 2 e R w nieobecności pola magnetycznego siła dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków elektrycznych e(v B) dodatkowa siła w polu magnetycznym; elektron przyspiesza i zwalnia
1 e 2 4πɛ 0 R 2 = m v 2 e R w nieobecności pola magnetycznego siła dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków elektrycznych e(v B) dodatkowa siła w polu magnetycznym; elektron przyspiesza i zwalnia B B z B B zakładamy, że pole B jest v +e R e y prostopadłe do płaszczyzny orbity x
1 e 2 4πɛ 0 R 2 = m v 2 e R w nieobecności pola magnetycznego siła dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków elektrycznych e(v B) dodatkowa siła w polu magnetycznym; elektron przyspiesza i zwalnia B B z B B zakładamy, że pole B jest v +e R e y prostopadłe do płaszczyzny orbity x 1 e 2 4πɛ 0 R 2 + e vb = m e v 2 R nowa wartość prędkości v
e vb = m e R ( v2 v 2 ) = m e ( v + v)( v v) R
e vb = m e R ( v2 v 2 ) = m e ( v + v)( v v) R δv = erb 2m e elektron przyspiesza
e vb = m e R ( v2 v 2 ) = m e ( v + v)( v v) R δv = erb 2m e elektron przyspiesza δm = 1 2 e(δv)r ẑ = e2 R 2 4m e B zmiana momentu dipolowego
e vb = m e R ( v2 v 2 ) = m e ( v + v)( v v) R δv = erb 2m e elektron przyspiesza δm = 1 2 e(δv)r ẑ = e2 R 2 4m e B zmiana momentu dipolowego Zmiana momentu magnetycznego m ma przeciwny zwrot niż sama indukcja B diamagnetyzm
6.1.4 Magnetyzacja M magnetyczny moment dipolowy na jednostkę objętości
6.1.4 Magnetyzacja M magnetyczny moment dipolowy na jednostkę objętości M magnetyzacja, namagnetyzowanie, polaryzacja magnetyczna
6.2 Pole namagnesowanego ciała 6.2.1 Prądy związane m dτ R P A(r) = µ 0 4π m ˆR R 2 potencjał wektorowy dipola m
6.2 Pole namagnesowanego ciała 6.2.1 Prądy związane m dτ R P A(r) = µ 0 4π m ˆR R 2 potencjał wektorowy dipola m A(r) = µ 0 4π M(r ) ˆR R 2 dτ
1 R = ˆR R 2
1 R = ˆR R 2 A(r) = µ 0 4π [ ( M(r ) 1 ) ] dτ R
1 R = ˆR R 2 A(r) = µ 0 4π [ ( M(r ) 1 ) ] dτ R (fa) = f( A) A ( f) pochodne iloczynów
1 R = ˆR R 2 A(r) = µ 0 4π [ ( M(r ) 1 ) ] dτ R (fa) = f( A) A ( f) pochodne iloczynów A(r) = µ 0 4π 1 R [ M(r )] dτ [ M(r ) R ] dτ
1 R = ˆR R 2 A(r) = µ 0 4π [ ( M(r ) 1 ) ] dτ R (fa) = f( A) A ( f) pochodne iloczynów A(r) = µ 0 4π 1 R [ M(r )] dτ [ M(r ) R ] dτ ( A) dτ = A da twierdzenie V S
A(r) = µ 0 4π 1 R [ M(r )] dτ + µ 0 4π 1 R [M(r ) da ]
A(r) = µ 0 4π 1 R [ M(r )] dτ + µ 0 4π 1 R [M(r ) da ] J zw = M K zw = M ˆn
A(r) = µ 0 4π 1 R [ M(r )] dτ + µ 0 4π 1 R [M(r ) da ] J zw = M K zw = M ˆn A(r) = µ 0 4π V J zw (r ) R dτ + µ 0 4π S K zw (r ) R da
Przykład: Znaleźć pole magnetyczne jednorodnie namagnesowanej kuli. z r θ x M φ y J zw = M = 0, K zw = M ˆn = M sin θ ˆφ
K = σv = σωr sin θ ˆφ dla obracającej się sfery, patrz wcześniejszy przykład
K = σv = σωr sin θ ˆφ dla obracającej się sfery, patrz wcześniejszy przykład Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu σrω M.
K = σv = σωr sin θ ˆφ dla obracającej się sfery, patrz wcześniejszy przykład Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu σrω M. B = 2 3 µ 0M wewnątrz sfery, pole jednorodne
K = σv = σωr sin θ ˆφ dla obracającej się sfery, patrz wcześniejszy przykład Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu σrω M. B = 2 3 µ 0M wewnątrz sfery, pole jednorodne m = 4 3 πr3 M na zewnątrz sfery, pole dipola m
K = σv = σωr sin θ ˆφ dla obracającej się sfery, patrz wcześniejszy przykład Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu σrω M. B = 2 3 µ 0M wewnątrz sfery, pole jednorodne m = 4 3 πr3 M na zewnątrz sfery, pole dipola m Podobieństwo do pola elektrycznego spolaryzowanej kuli, ale tu mamy 2 3 zamiast 1 3.
6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych
6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych M I I I t
6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych I M I I I M t I ˆn
6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych I M I I I M t ˆn M I I a t
6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych I M I I I M t ˆn M I I a t m = Mat = Ia I = Mt K zw = I/t = M
6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych I M I I I M t ˆn M I I a t m = Mat = Ia I = Mt K zw = I/t = M K zw = M ˆn
z M z (y) M z (y + dy) I dz dy y x magnetyzacja niejednorodna
dy z M z (y) M z (y + dy) z dz M y (z + dz) I dz M y (z) dy y y x magnetyzacja niejednorodna x I x = [M z (y + dy) M z (y)] dz = M z y dy dz
dy z M z (y) M z (y + dy) z dz M y (z + dz) I dz M y (z) dy y y x magnetyzacja niejednorodna x I x = [M z (y + dy) M z (y)] dz = M z y dy dz (J zw ) x = M z y podobnie (J zw ) x = M y z
(J zw ) x = M z y M y z
(J zw ) x = M z y M y z J zw = M ogólnie
(J zw ) x = M z y M y z J zw = M ogólnie J zw = ( M) = 0 równanie ciągłości
(J zw ) x = M z y M y z J zw = M ogólnie J zw = ( M) = 0 równanie ciągłości 6.2.3 Pole magnetyczne w materii Mówiąc o polu magnetycznym w materii mamy na myśli pole makroskopowe (uśrednione po obszarze wytarczająco dużym by zawierał bardzo wiele atomów)
6.3 Natężenie pola magnetycznego H 6.3.1 Prawo Ampère a w materiałach magnetycznych J = J zw + J sw
6.3 Natężenie pola magnetycznego H 6.3.1 Prawo Ampère a w materiałach magnetycznych J = J zw + J sw 1 µ 0 ( B = J = J sw + J zw = J sw + ( M)
6.3 Natężenie pola magnetycznego H 6.3.1 Prawo Ampère a w materiałach magnetycznych J = J zw + J sw 1 µ 0 ( B = J = J sw + J zw = J sw + ( M) ( ) 1 B M µ 0 = J sw
6.3 Natężenie pola magnetycznego H 6.3.1 Prawo Ampère a w materiałach magnetycznych J = J zw + J sw 1 µ 0 ( B = J = J sw + J zw = J sw + ( M) ( ) 1 B M µ 0 = J sw H 1 µ 0 B M
6.3 Natężenie pola magnetycznego H 6.3.1 Prawo Ampère a w materiałach magnetycznych J = J zw + J sw 1 µ 0 ( B = J = J sw + J zw = J sw + ( M) ( ) 1 B M µ 0 = J sw H 1 µ 0 B M H = J sw prawo Ampère a
H dl = I sw c prawo Ampère a w postaci całkowej
H dl = I sw c prawo Ampère a w postaci całkowej I sw c całkowite natężenie prądu swobodnego płynącego przez kontur Ampère a
6.3.2 Myląca analogia H = J sw
6.3.2 Myląca analogia H = J sw H = M 0 dywergencja różna od zera
6.3.2 Myląca analogia H = J sw H = M 0 dywergencja różna od zera Natężenie pola H nie musi być zerem, kiedy J sw = 0
6.3.3 Warunki brzegowe W języku natężenia pola magnetycznego H i gęstości prądów swobodnych: H nad H pod = (M nad M pod)
6.3.3 Warunki brzegowe W języku natężenia pola magnetycznego H i gęstości prądów swobodnych: H nad H pod = (M nad M pod) H nad H pod = K sw ˆn
6.3.3 Warunki brzegowe W języku natężenia pola magnetycznego H i gęstości prądów swobodnych: H nad H pod = (M nad M pod) H nad H pod = K sw ˆn B nad B pod = 0
6.3.3 Warunki brzegowe W języku natężenia pola magnetycznego H i gęstości prądów swobodnych: H nad H pod = (M nad M pod) H nad H pod = K sw ˆn B nad B pod = 0 B nad B pod = µ 0(K ˆn)
6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe 6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna M = 1 µ 0 χ m B (niepoprawnie!)
6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe 6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna M = 1 µ 0 χ m B (niepoprawnie!) M = χ m H ośrodki liniowe
6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe 6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna M = 1 µ 0 χ m B (niepoprawnie!) M = χ m H ośrodki liniowe χ m podatność magnetyczna, dodatnia dla paramagnetyków, ujemna dla diamagnetyków; typowe wartości są rzędu 10 5
6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe 6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna M = 1 µ 0 χ m B (niepoprawnie!) M = χ m H ośrodki liniowe χ m podatność magnetyczna, dodatnia dla paramagnetyków, ujemna dla diamagnetyków; typowe wartości są rzędu 10 5 B = µ 0 (H + M) = µ 0 (1 + χ m )H
6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe 6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna M = 1 µ 0 χ m B (niepoprawnie!) M = χ m H ośrodki liniowe χ m podatność magnetyczna, dodatnia dla paramagnetyków, ujemna dla diamagnetyków; typowe wartości są rzędu 10 5 B = µ 0 (H + M) = µ 0 (1 + χ m )H B = µh, µ µ 0 (1 + χ m ) przenikalność magnetyczna
Przykład: Nieskończenie długi solenoid (o n zwojach na jednostkę długości, przez który płynie prąd o natężeniu I) wypełniony jest substancją liniową o podatności χ m. Znaleźć indukcję pola we wnętrzu solenoidu.
Przykład: Nieskończenie długi solenoid (o n zwojach na jednostkę długości, przez który płynie prąd o natężeniu I) wypełniony jest substancją liniową o podatności χ m. Znaleźć indukcję pola we wnętrzu solenoidu. ẑ φ
Przykład: Nieskończenie długi solenoid (o n zwojach na jednostkę długości, przez który płynie prąd o natężeniu I) wypełniony jest substancją liniową o podatności χ m. Znaleźć indukcję pola we wnętrzu solenoidu. ẑ Nie możemy wprost obliczyć B, bo nie znamy prądów związanych, ale ze względu na symetrię możemy obliczyć H ze znajomości prądów swobodnych H = niẑ B = µ 0 (1 + χ m )niẑ K zw = M ˆn = χ m (H ˆn) = χ m ni ˆφ φ
powierzchnia Gaussa paramagnetyk M = 0 próżnia M M da 0 dla powierzchni Gaussa
powierzchnia Gaussa paramagnetyk M = 0 próżnia M M da 0 dla powierzchni Gaussa M nie może znikać wszędzie wewnątrz powierzchni Gaussa
powierzchnia Gaussa paramagnetyk M = 0 próżnia M M da 0 dla powierzchni Gaussa M nie może znikać wszędzie wewnątrz powierzchni Gaussa J zw = M = (χ m H) = χ m J sw Jeśli prąd swobodny nie płynie w objętości próbki, prąd związany płynie jedynie na powierzchni.
6.4.2 Ferromagnetyzm M (trwały magnes) c (nasycenie) b d a g I e (nasycenie) f (trwały magnes) Pętla histerezy