Piotr Bańbuła Katedra Ekonomii Ilościowej Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Styczeń 2018 Materiał e-learningowy w formie 2 modułów z dodatkowym zestawem pytań dotyczącym całego wykładu, mającym stanowić przygotowanie do egzaminu. Moduł 1: Opcje wprowadzenie i przypomnienie Opcja (standardowa, prosta, tzw. plain-vanilla) Definicja: opcja to kontrakt, którego nabywca ma prawo kupić (sprzedać) instrument, na który została wystawiona opcja (np. akcję, walutę, stopę procentową) po ustalonej cenie i w ustalonym terminie. Sprzedawca opcji ma obowiązek to żądanie wykonać. Opcja jest więc instrumentem asymetrycznym nabywca ma prawo wykonania kontraktu, a nie obowiązek jego wykonania. Za to prawo (w przeciwieństwie do obowiązku) płacimy w momencie zawierania kontraktu cenę opcji, zwaną premią. Ustalony kurs wykonania (cena, po której w ramach kontraktu opcyjnego można sprzedawać lub kupować instrument, na który opcja została wystawiona) to tzw. strike. W przeciwieństwie do kontraktów terminowych, gdzie istnieje tylko jeden nie-arbitrażowy poziom kursu wykonania (a dokładnie wąski przedział ceny z dokładnością do widełek kupna-sprzedaży) opcja może być wystawiona dla dowolnego kursu wykonania. Inny kurs wykonania będzie oznaczać inną cenę im taniej chcemy kupować w przyszłości, tym więcej musimy za takie prawo zapłacić. Koszt opcji będzie w przybliżeniu proporcjonalny do prawdopodobieństwa wykonania opcji i związanych z tym wypłat ze strony wystawcy opcji, czyli wartości oczekiwanej wypłat. Wartość oczekiwana jest jednak liczona wg sztucznego prawdopodobieństwa zwanego miarą neutralną wobec ryzyka (ang. risk-neutral measure) lub miarą martyngałową. Ta miara prawdopodobieństwa łączy w sobie obiektywne prawdopodobieństwo i premię za ryzyko. Inżynieria finansowa w znacznym stopniu sprowadza się do szacowania i kalibrowania tej miary w oparciu o historię cen instrumentu bazowego. Szerzej na ten temat w module 2. W niniejszym module pokazano zasady działania opcji. 1.zakładka Rodzaje opcji Typy opcji: Opcja europejska może być wykonana jedynie w terminie zapadalności T. Opcja amerykańska może być wykonana w dowolnym momencie przed terminem zapadalności T.
Opcje egzotyczne Azjatyckie kursem odniesienie w terminie realizacji jest średni kurs, a nie bieżący. Lookback kursem odniesienia jest minimalny lub maksymalny kurs w okresie. Barierowe aktywują bądź dezaktywują się, gdy w trakcie trwania kontraktu kurs osiągnie pewien poziom. Binarne stała wypłata (jeśli opcja zapadnie in-the-money) lub nic. Opcja przykład W październiku 2008 r. kupiliśmy za 30 zł opcję kupna na WIG20 z terminem wykonania T=1Y i kursem wykonania K=1500, czyli spekulujemy na wzrost cen akcji (lub bardziej ogólnie na wzrost wartości opcji, co jak pokażemy później oznacza także, lub przede wszystkim, spekulację na wzrost zmienności). W październiku 2009 r., czyli terminie zapadalności opcji, WIG20 wynosi 2000. Wartość opcji wynosi w tym momencie 500 jeśli wykonamy opcję kupimy za 1500 i natychmiast sprzedamy za 2000, zarabiając 500. Jaka byłaby wartość opcji gdyby WIG20 spadł do 1000 pkt? Wyniosłaby zero gdybyśmy ją wykonali stracilibyśmy 500. Opcja jest jednak prawem, a nie obowiązkiem, dlatego jej nie wykonujemy gdyż jest bezwartościowa (czyli ma wartość 0 ). Tu właśnie ujawnia się różnica w stosunku do kontraktów terminowych, gdzie istnieje obowiązek wykonania i kontrakt terminowy miałby wartość ujemną.
2.zakładka Wartość opcji w terminie zapadalności Wartość opcji w terminie zapadalności 1. Zakupiona opcja kupna (inaczej long call) Jak zapisać funkcję wypłaty, którą widzimy na wykresie? 0, S K < 0 C = max(s K, 0) = { = (S K)+ S K, S K > 0 Jeśli S-K<0: na rynku można kupić taniej niż wykorzystując opcję. Nie wykorzystujemy jej. Jeśli S-K>0: dzięki opcji kupujemy taniej o S-K. Wypłata sprzedawcy opcji (inaczej short call) jest symetryczna względem osi odciętych: max(s K, 0) 2. Zakupiona opcja sprzedaży (inaczej long put) Jak zapisać funkcję wypłaty, którą widzimy na wykresie? 0, K S < 0 P = max(k S, 0) = { = (K S)+ S K, K S > 0 Jeśli K-S<0: na rynku można sprzedać taniej niż wykorzystując opcję. Nie wykorzystujemy jej.
Jeśli K-S>0: dzięki opcji sprzedajemy drożej o K-S. Wypłata sprzedawcy opcji (inaczej short put) jest symetryczna: max(k S, 0) Do zapamiętania: wypłaty z opcji na wykresie poniżej (w pierwszym wierszu opcje kupna, w drugim sprzedaży, w pierwszej kolumnie pozycja długa (zakup opcji), w drugiej kolumnie pozycja krótka (sprzedaż opcji)). Sprzedający opcję w terminie zapadalności ma zdecydowanie mniej atrakcyjny profil wypłaty. Wynika to za faktu obowiązku wypłaty na żądanie kupującego. Kosztem dla kupującego jest jednak cena, którą musi za to prawo zapłacić. Sytuacja jest pod pewnymi względami podobna do ubezpieczenia ubezpieczyciel w najlepszych okolicznościach nie wypłaci ubezpieczenia, a w gorszych wypłaci; takie zobowiązanie ubezpieczyciela wymaga jednak zapłaty w momencie zawierania umowy. Podobnie jest z opcjami. 3.zakładka Terminologia ITM, ATM oraz OTM Terminologia ITM, ATM oraz OTM Zależnie od tego, jaka jest bieżąca cena instrumentu względem kursu wykonania opcje nazywamy In- The Money (ITM), At-The-Money (ATM) lub Out-of-The-Money (OTM).
In-The-Money Gdyby opcja wygasła przy bieżącym kursie zostałaby wykonana (jej wartość w momencie wykonania byłaby dodatnia). Long call: S>K Long put: S<K At-The-Money W przybliżeniu kurs bieżący jest bliski kursowi wykonania, S=K. Zależnie od konwencji rynkowej i zastosowania opcja ATM to także opcja o kursie wykonania równym kursowi terminowemu, lub opcja o kursie wykonania dającym deltę równą zero w strategii straddle (szerzej o deltcie w modelu Blacka-Scholesa). Out-of-The -Money Gdyby opcja wygasła przy bieżącym kursie nie zostałaby wykonana (jej wartość w momencie wykonania byłaby równa zero, a wykonanie generowałoby stratę). Long call: S<K Long put: S>K 4.zakładka Parytet kupna-sprzedaży (put-call parity) Parytet kupna-sprzedaży (put-call parity) Parytet kupna sprzedaży mówi o tym jaka jest zależność między opcjami kupna I sprzedaży z tymi samymi kursami wykonania I terminem zapadalności. Jeśli byłaby inna możliwy byłby arbitraż (w oparciu o portfel statyczny, a nie dynamiczny, z którym zwykle mamy do czynienia przy opcjach; a więc prostszy i przez to bardziej wiążący). Tworzymy portfel π : +1 akcja (kupujemy), +1 opcja sprzedaży (kupujemy), - 1 opcja kupna (wystawiamy)
π = S t + P t C t Wypłata w terminie zapadalności: π T = S T + max(k S T, 0) max( S T K, 0) = K Wypłata jest pewna, więc powinna dawać stopę zwrotu równą stopie wolnej od ryzyka, a jej bieżąca wartość to: π = e r(t t) K Z pierwszego i powyższego równania otrzymujemy put-call parity: C t P t = S t e r(t t) K 5. zakładka Strategie opcyjnie Strategie opcyjnie: Składając z sobą cztery podstawowe opcje można uzyskiwać bardzo zróżnicowane wypłaty. Wiele z nich na trwale utrwaliło się w praktyce rynkowej i są przedmiotem handlu jako samodzielne produkty. Long STRADDLE(K,T) = long put(k,t) + long call(k,t)
Long STRANGLE(K1,K2,T) = long put(k-δ:otm,t) + long call(k+δ:otm,t) Risk Reversal(K1,K2,T) = short put(k-δ: OTM,T) + long call(k+δ:otm,t) Opcja binarna(k,t) = Long call(k-h,t) + Short call(k+h:otm,t)
Long Butterfly(K1,K2,T) = long call(k-δ: OTM,T)+ 2 x short call(k,t) + longcall(k+δ:otm,t) Ile powinna kosztować opcja? Problem portfela replikującego i ceny-niearbitrażowej: patrz moduł 2.
Moduł 2: Model dwumianowy Opiszemy prosty model rynku, którego realistyczność można łatwo zwiększyć nie zmieniając podstawowych założeń modelu. Początkowo rozważymy model jednookresowy z dwoma możliwymi stanami na końcu. Następnie założymy, że w ramach tego samego okresu istnieje wiele podokresów, a w każdy z nich może być opisany modelem jednookresowym. W ten sposób otrzymamy drzewo oparte o model dwumianowy. Wizualnie można te modele przedstawić następująco: Model jednookresowy Model wielookresowy 1.zakładka Jednookresowy model dwumianowy założenia Jednookresowy model dwumianowy założenia Rozpatrujemy tylko dwa punkty w czasie: t0 (w skrócie 0) oraz T Dwa instrumenty na rynku: Pozbawiona ryzyka obligacja zerokuponowa B(0,T), która jest także utożsamiana z rachunkiem bankowym i daje deterministyczny dochód: B(0, T) = DF(0, T) = 1/(1 + Lr) gdzie L = (0, T) Akcja obarczone ryzykiem, której wartość (cena) w chwili obecnej jest znana: S 0 nie przynosi dochodu w okresie [0,T] i ma losową wartość (cenę) w T:
S T = { S 0U z prawdopodobieństwem "p" S 0 D z prawdopodobieństwem "1 p" gdzie 0 < D < U. Dla uproszczenia analizy czynimy następujące założenia, które można uchylać: Drzewo się rekombinuje, tzn. U D = 1 (kolejność zdarzeń wzrost:spadek lub spadek:wzrost nie ma znaczenia, co upraszcza analizę) Wolna od ryzyka stopa procentowa jest stała w czasie (moglibyśmy założyć, że zmienia się deterministycznie bądź losowo, na podobnej zasadzie jak wartość ryzykownego aktywu na drzewie, z tym że końcowe wypłaty z B we wszystkich stanach wynoszą 1) Skala wzrostów U i spadków D jest stała w czasie (dzięki temu prawdopodobieństwa martyngałowe na wszystkich gałęziach są takie same; moglibyśmy założyć, że się zmieniają) Prawdopodobieństwo (obiektywne) wzrostów i spadków jest stałe w czasie Wszystkie powyższe założenia można uchylać przybliżając model do rzeczywistości (kosztem pewnego skomplikowania) 2.zakładka Jak używamy modelu? Jak używamy modelu? Chcąc używać modelu w praktyce znacząco zwiększa się liczbę podokresów dla zadanego odcinka czasu. Chcąc przeanalizować np. wartość opcji o 1-miesięcznym terminie zapadalności i danym kursie wykonania K możemy przyjąć, że liczba podokresów to 1000, oczywiście odpowiednio przeskalowując wielkość zmiany w górę U oraz w dół D. W granicznym przypadku, gdy liczba okresów dąży do nieskończoności otrzymujemy model Blacka- Scholesa (1973) (model z czasem ciągłym). Pokazali to Cox, Ross i Rubinstein (1979), których wielookreoswy model dwumianowy studiujemy, a później przy mniej restrykcyjnych założeniach Hsia (1983). Jak dobieramy parametry U i D w modelu wielookresowym? Okazuje się, że choć na drzewie operujemy w kategoriach miary martyngałowej (wartość oczekiwana aktywu jest równa stopie wolnej od ryzyka), to zmienność cen aktywu w obydwu miarach
(martyngałowej i prawdziwej/subiektywnej) jest taka sama (wynika to z twierdzenia Girsanowa). Chcemy więc, by zmienność w modelu i zmienność rzeczywista były takie same. 3.zakładka Definicja portfela i arbitrażu Portfel rynkowy h definiujemy jako parę: h = (x, y) gdzie x jest kwotą zainwestowaną w obligację, a y ilość ryzykownego aktywu; x, y (, + ) Przykład: Portfel h=(-50,50): pożyczamy 50 i kupujemy 50 akcji Portfel h=(10,-50): sprzedajemy 50 akcji i składamy depozyt Wartość portfela w czasie t0: V 0 (h) = x + ys 0 Wartość portfela w czasie T jest zmienną losową zależną od Z: V T (h) = x(1 + Lr) + ys 0 Z L to operator przenoszący roczną stopę na czas trwania kontraktu Cena instrumentu pochodnego Π t (X) powinna być równa kosztowi jego replikacji, dokonywanej w oparciu o instrumenty bazowe: Π t (X) = V t (h) gdzie h = (x, y), x jest kwotą zainwestowaną w obligację, a y ilością ryzykownego aktywu, czyli V 0 (h) = x + S 0 y Instrument pochodny jest osiągalny jeśli: P(V T (h) = Π T (X)) = 1 Powyższe równanie mówi, że prawdopodobieństwo, że wypłaty z portfela replikującego będą równe wypłatom z instrumentu pochodnego jest równe jeden. Portfel h nazywamy replikującym, a h zabezpieczającym Aby instrument był osiągalny konieczne jest by:
V T (h) = { φ(s 0U) φ(s 0 D) w stanie"u" w stanie "D" Portfel arbitrażowy to portfel rynkowy h(x,y) spełniający trzy warunki: Koszt jego utworzenia wynosi 0: V 0 (h) = 0 Na pewno nie przyniesie strat: P(V T (h) 0) = 1 Być może przyniesie zysk: P(V T (h) > 0) > 0 4.zakładka Sprawiedliwa cena portfel replikujący Sprawiedliwa cena nie jest równa wartości oczekiwanej wypłat Przyjmijmy, że znamy wszystkie parametry modelu (opisane na wykresie poniżej, gdzie zostały zaokrąglone do liczb całkowitych) i chcemy wycenić opcję kupna zapadająca za jeden okres z kursem wykonania 35,1, czyli równemu cenie bieżącej instrumentu. Dodatkowo wiemy, że r=3,6%. Opcja wypłaca max(s-k,0); dla stanu U wypłata wynosi 5,9, a dla stanu D wynosi 0. Jaka jest wartość oczekiwana wypłaty z opcji w terminie zapadalności? Wartość oczekiwana dana jest następującym wzorem, gdzie p oznacza prawdopodobieństwo, a x wypłatę: N E P (S T ) = p i x i = 0,7 5,9 + 0,3 0 = 4,13 i=1
Bieżąca wartość tej wypłaty zdyskontowana stopą wolna od ryzyka to 3,987 (tj. 4,13/1,036). Bieżąca wartość oczekiwanej wypłaty nie daje jednak nie-arbitrażowej ceny. Nie-arbitrażową cenę otrzymamy poprzez policzenie wartości oczekiwanej według innego rozkładu prawdopodobieństwa rozkładu, który zawiera w sobie zarówno prawdopodobieństwo obiektywne, jak i premię za ryzyko, które wpływają m.in. na bieżącą cenę instrumentu bazowego. Ten rozkład zwany jest miarą martyngałową lub miarą neutralną względem ryzyka. Dostrzeżenie, że możliwy jest arbitraż nie jest proste jeśli nie znamy formuły dającej nie-arbitrażową cenę. Przyjmując na razie bez znajomości tej ceny, że aktualna rynkowa cena 3,987 jest zbyt wysoka, zastanówmy się jak wyglądałby portfel arbitrażowy? Po pierwsze zauważmy, że jeśli bieżąca cena jest zbyt wysoka, to będziemy chcieć sprzedać po niej instrument pochodny. Jeśli go sprzedamy, to jednocześnie chcemy skonstruować portfel, który da nam identyczna wypłatę jak instrument pochodny, tylko po niższej cenie. Rozpatrujemy zatem portfel składający się z: (1) sprzedanego instrumentu pochodnego X T po cenie Π 0 (X T ), tj. opcji kupna (K=35.1), (2) Δ (w powyższym zapisie to zmienna y w portfelu) jednostek aktywu bazowego S 0, które mają stanowić zabezpieczenie pozycji opcyjnej jeśli kupimy 1 akcję na każdą opcję, to w 30% przypadków poniesiemy stratę (opcja pozostanie niewykonana, a my pozostaniemy z akcją wartą 29,84); jeśli nie kupimy żadnej akcji, to będziemy musieli kupować po 41,07, zamiast dzisiaj kupić po 35,1. Pozostaje więc pytanie ile musimy mieć dzisiaj akcji, by w pełni zabezpieczyć wypłatę? (3) pożyczki o wartości x pozwalającej po powiększeniu jej wartości o cenę instrumentu pochodnego zakupić odpowiednią ilość instrumentu podstawowego w punkcie 2. Koszt utworzenia portfela w czasie 0 wynosi: Wartość portfela w terminie zapadalności wynosi: V 0 (h) = S 0 -Π 0 (X T ) = x V T (h) = { S 0U -φ(s 0 U) S 0 D -φ(s 0 D) 41,07-5,9 V T (h) = { 29,84-0 w stanie"u" w stanie "D" w stanie"u" w stanie "D" Chcemy by portfel był pozbawiony ryzyka, tj. by jego wartość była taka sama niezależnie od stanu rynku. Oznacza to po prostu, że niezależnie od stanu portfel wypłaca zawsze to samo obligacja wolna od ryzyka wypłaca 1, więc jeśli portfel wypłaca zawsze np. 2,5, to możemy go potraktować jako 2,5 obligacje wolne od ryzyka i tak samo wycenić. Formalnie fakt, że niezależnie od stanu portfel wypłaca to samo zapiszemy jako równe wypłaty w każdym ze stanów: S 0 U -φ(s 0 U) = S 0 D -φ(s 0 D) 41,07-5,9 = 29,84
Z powyższego równania możemy obliczyć = y = 0,525. Oznacza to ilość instrumentu bazowego, którą musimy zakupić, by zreplikować wypłatę z instrumentu pochodnego. Powyższe obliczenia nie określają na razie jaka powinna być wartość x i w konsekwencji cena opcji. Zauważmy, że portfel w terminie zapadalności daje deterministyczny, pozbawiany ryzyka dochód (wypłata jest taka sama w każdym ze stanów) i dlatego jego przyszła wartość musi się równać cenie bieżącej powiększonej o stopę wolną od ryzyka, dając dochód równy osiąganemu z obligacji wolnej od ryzyka B(0,T): (1 + Lr f )V 0 (h) = V T (h) (1 + Lr f ) (S 0 -π(x 0 )) = S 0 U -φ(s 0 U) = S 0 D -φ(s 0 D) V T (h) = (1 + Lr f )x + S 0 Zy Z warunku opisującego wypłaty w każdym ze stanów: V T (h) = { φ(s 0U) φ(s 0 D) w stanie"u" w stanie "D" oraz z warunku mówiącego o wartości przyszłej portfela: V T (h) = (1 + Lr f )x + S 0 Zy wynika, że (przyrównujemy wartość przyszłą z drugiego równania z wypłatami z pierwszego dla każdego ze stanów): Rozwiązując układ równań otrzymujemy: (1 + Lr f )x + S 0 Uy = φ(s 0 U) (1 + Lr f )x + S 0 Dy = φ(s 0 D) 1 Uφ(S 0 D) Dφ(S 0 U) x = = 15,13 (1 + Lr f ) (U D) y = φ(s 0U) φ(s 0 D) S 0 (U D) = = 0,525 Określiliśmy skład portfela replikującego długa pozycję w opcji kupna, czyli zabezpieczającego krótką pozycję w opcji sprzedaży należy wziąć pożyczkę o wartości 15,13, sprzedać opcję i kupić za posiadaną kwotę akcję w wysokości 0,536 akcji na jeden kontrakt opcyjny. Przyjrzyjmy się, że rzeczywiście niezależnie od stanu nasz portfel w części złożonej z akcji i pożyczki da identyczna wypłatę jako opcja. W stanie U będzie to: (1 + Lr f )x + S 0 Uy = 1.036 ( 15.13) + 35.1 1,17 0,525 = 5,9
czyli tyle samo co wypłata z opcji w stanie U. A w stanie D: (1 + Lr f )x + S 0 Dy = φ(s 0 D).036 ( 15.13) + 35.1 0,85 0,525 = 0 Czyli tyle samo co wypłata z opcji w stanie D. Pokazaliśmy tym samym, że portfel V(x,y) jest portfelem replikującym dla opcji, gdyż P(V(x,y)=V(opcji))=1. Aby zobaczyć, że jest możliwy arbitraż dla opcji kupna z kursem wykonania 35,1 i cenie równej 3,987 zauważmy jakie będą przepływy pieniężne. W czasie t0 mamy przypływ w postaci 15,13 z pożyczki i 3,987 z tytułu sprzedaży opcji i jednocześnie wydatek w wysokości 18,44 na zakup akcji. Przepływ pieniężny jest dodatni (15,13+3,987>18,44). Wyrażając to poprzez koszt utworzenia portfela w czasie t0 stwierdzamy, że koszt jego utworzenia jest ujemny i wynosi -0,68, tj. V 0 (h) = 0,68 W czasie T, czyli terminie zapadalności jak pokazaliśmy powyżej przepływy z pożyczki i akcji idealnie korespondują z wypłatami z opcji i wartość portfela w każdym momencie wynosi 0. W rezultacie w czasie t0 otrzymujemy 0,67, których nie musimy oddać w T to był arbitraż. We wprowadzeniu na temat portfela arbitrażowego mówiliśmy, że portfel arbitrażowy to taki, którego wartość w t0 jest równa zero, a w terminie zapadalności może przynieść zysk (V 0 (h) = 0, P(V T (h) 0) = 1, P(V T (h) > 0) > 0). Jak pogodzić to podejście z opisanym powyżej, gdzie portfel na początku ma wartość ujemną, a następnie 0? Zauważmy, że jeśli na początku pomniejszymy wartość pożyczki o 0,68, to wartość portfela wyniesie zero, a w terminie zapadalności wyniesie 0,68 powiększone o odsetki (których nie musieliśmy zapłacić). Tym samym V 0 (h) = 0, P(V T (h) 0) = 1, P(V T (h) > 0) > 0. Ile zatem powinna kosztować opcja, by arbitraż nie był możliwy? Koszt utworzenia portfela w czasie 0 wynosi: V 0 (h) = S 0 -Π 0 (X T ) Znamy już wartość pierwszego wyrazu S 0, co pozwoli nam obliczyć sprawiedliwą cenę opcji, czyli Π 0 (X T ). Zauważmy, że portfel w terminie zapadalności daje deterministyczny, pozbawiany ryzyka dochód i dlatego jego przyszła wartość musi się równać bieżącej powiększonej o stopę wolną od ryzyka, dając (dochód równy obligacji B(0,T): (1 + Lr f )V 0 (h) = V T (h) Rozwijając formułę i po prawej stronie wstawiając wypłatę w stanie U lub D (co jest obojętne, bo wynoszą tyle samo) otrzymujemy:
(1 + Lr f ) (S 0 -π(x 0 )) = S 0 U -φ(s 0 U) = S 0 D -φ(s 0 D) Rozwiązujemy powyższe równanie z uwagi na Π(X 0 ) otrzymujemy: 1 Π 0 (X T ) = S 0 (1 + r f ) (S 0U φ(s 0 U)) Używając naszego przykładu liczbowego: Π 0 (X T ) = 35,1 0,525 0.965(41,07 0,525 5,9) = 3,31 Powyżej pokazaliśmy jaka powinna być cena instrumentu pochodnego używając argumentu replikacji. Instrument można także wycenić za pomocą tzw. miary martyngałowej lub miary neutralnej wobec ryzyka. Jeśli instrument jest replikowalny to istnieje tylko jedna miara martyngałowa; jeśli nie jest replikowalny to istnieje potencjalnie nieskończenie wiele miar, które mogłyby określić cenę instrumentu, a uczestnicy rynku decydują jak zawęzić ten zbiór i wybrać właściwą. Przyjrzyjmy się czym jest miara martyngałowa. 5.zakładka Sprawiedliwa cena miara martyngałowa i ceny przestrzeni stanów Po pierwsze zauważmy, że ceny nie odzwierciedlają prostej wartości oczekiwanej wypłat. W ekonomii przyjęło się zakładać, że cena p odzwierciedla oczekiwaną wartość wypłat x skorygowanych o tzw. stochastyczny czynnik dyskontujący m, który odzwierciedla wartość wypłat w poszczególnych stanach natury. Formalnie zapisujemy to jako: p = E(mx) Unaocznijmy to na przykładzie. Załóżmy, że mamy obecnie majątek W t0 o wartości 10 mln USD i w przyszłości możliwe są trzy scenariusze: P(W t+1 = 0) = 1%, P(W t+1 = W t0 ) = 98%, P(W t+1 = 2W t ) = 1%. Z równym prawdopodobieństwem możemy więc wszystko stracić, jak i podwoić. Oferuje nam się dwa instrumenty, z których jeden nazwiemy U, a drugi D. Instrument U wypłaca 10 mln USD kiedy nasz majątek wynosi 20 mln USD, a instrument D wtedy kiedy wynosi 0. Wartość oczekiwana wypłat z obydwu instrumentów jest oczywiście taka sama i wynosi 100 tys. USD, ale większość osób nie byłaby skłonna zapłacić za nie tyle samo. Zapłacilibyśmy więcej raczej za instrument D, gdyż każdy dolar w sytuacji gdy nic nie mamy jest więcej warto niż wtedy, gdy mamy już 20 mln USD. Oznacza to, że czynnik m jest wyższy od 1 dla scenariusza negatywnego i niższy od 1 dla scenariusza pozytywnego. Pozostawiając ekonomiczne wyprowadzenie czynnika m z funkcji użyteczności na boku, jako niezwiązane bezpośrednio z naszym problemem pokażmy, że powyższe równanie można przedstawić na co najmniej dwa inne sposoby:
1. Ceny przestrzeni stanów (ceny Arrow-Debreu, state prices) p(x) = sp(s)x(s) 2. Miara martyngałowa (equivalent martingale measure, risk-neutral measure) Ceny przestrzeni stanów p(x) = 1 1+r f E Q (x) gdzie π Q (s) = R f sp(s) Niech S będzie zmienną losową opisującą przyszłe stany natury, a s ich realizacjami. Instrument Arrow-Debreu wypłaca 1 jeśli wystąpi stan s i 0 w przeciwnym wypadku. Cena takiego instrumenty to sp(s). Ile kosztuje instrument, który wypłaca x(s)? Zdefiniujmy sp(s) = m(s)π(s). Zauważmy, że jest to po prostu cena instrumentu A-D dla stanu s (w którym wypłaca 1 i 0 w pozostałych), policzona zgodnie ze wzorem p = E(mx): cena(sp(s)) = E P (mx) = π i x i m i = m(s) π(s) 1 Wtedy dla instrumentu wypłacającego w różnych stanach jego cena będzie po prostu suma cen wszystkich instrumentów A-D, z których się on składa: N i=1 p(x) = π(s)m(s)x(s) = sp(s)x(s) Cena aktywu jest sumą cen składających się na niego instrumentów A-D; inżynieria finansowa wydobywa ceny AD z cen rynkowych. Pokażmy to na przykładzie omawianego przez nas wcześniej rynku w modelu dwumianowym. Ten rynek możemy zapisać jako: Innymi słowy: [ 0,965 35,1 ] = [ 1 1 30 41 ] [sp(d) sp(u) ] 0,965 = 1 sp(d) + 1 sp(u) 35,1 = 41 sp(d) + 30 sp(u) Mamy układ dwóch liniowo niezależnych równań z dwiema niewiadomymi, ma on zatem tylko jedno rozwiązanie. Gdyby okazało się, że liczba stanów (kolumn) była większa niż liczba liniowo niezależnych instrumentów (wierszy; liniowo niezależne to takie, które nie są sobie równe po pomnożeniu przez dowolną liczbę jeśli są liniowo zależne, to de facto oznacza to, że jeden instrument jest wielokrotnością drugiego i nie wnosi nic nowego), to równanie byłoby nieoznaczone i nie moglibyśmy jednoznacznie określić cen instrumentów A-D. W naszym przypadku możemy i wynoszą one:
[ sp(d) sp(u) ] = [ 1 1 30 41 ] 1 [ 0.965 35.1 ] [ sp(d) sp(u) ] = [0.560 0.405 ] Zwrócimy uwagę, że ceny A-D są złożeniem prawdopodobieństwa p dla danego stanu i czynnika dyskontującego m dla danego stanu; ze wzoru: mamy, że p = E(mx) sp(s) = m(s) π(s) 1 gdyż instrument wypłaca 1 tylko w jednym stanie i zero w pozostałych, dlatego wartość oczekiwana jego wypłaty to iloczyn p i m dla danego stanu. Powyżej byliśmy w stanie wydobyć tą cenę nie znając ani jednak z tych wartości. Było to możliwe z uwagi na zupełność rynku liczba niezależnych instrumentów była równa liczbie stanów (dwa równania, dwie niewiadome). Zdefiniujmy teraz miarę martyngałową zwaną także miarą neutralna wobec ryzyka. Zdefiniujmy q(s) jako: q(s) = R f m(s)π(s) = R f sp(s) = sp(s)/e(m) q(s) spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa: jest wszędzie dodatnie, mniejsze/równe 1 i sumuje się do 1 Zapiszmy równanie dla ceny jeszcze raz: p = sp(s)x(s) = 1 R f q (s)x(s) = EQ (x) R f Cena równa się zdyskontowanej wartości oczekiwanej (liczonej wg nowej miary prawdopodobieństwa, zwanej miarą martyngałową i oznaczanej literą q) Nazywa się ją także ekwiwalentną miarą martyngałową, gdyż deflując ceny ryzykownych aktywów ceną obligacji : p(x) = E Q ( x ) 1 + r f zmienna p jest martyngałem, tj. wartość oczekiwana (wg martyngałowej miary prawdopodobieństwa oznaczanej Q, w przeciwieństwie do miary obiektywnej oznaczanej P) równa się bieżącej. Zaletą korzystania z cen A-D czy miary martyngałowej jest to, że obydwie wielkości zawierają w sobie zarówno prawdopodobieństwo jak i premię za ryzyko (choć w nieznanych proporcjach) i możemy ich używać do wyceny dowolnych instrumentów.
W uproszczeniu można to przedstawić następująco: 6.zakładka Sprawiedliwa cena miara martyngałowa: przykład Prześledźmy proces wydobywania miary martyngałowej z cen na naszym przykładzie i zastosujmy go do wyceny opcji. Wiemy, że:
S 0 = 1 R f E Q (X T ) Czy możemy znaleźć takie wartości prawdopodobieństwa dla których cena bieżąca będzie równa zdyskontowanej wartości oczekiwanej przyszłych cen? Te nowe prawdopodobieństwa zawierałyby łączny wpływ obiektywnego prawdopodobieństwa i premii za ryzyka różnych stanów. Szukamy takich q(u, D) by: S 0 = 1 R f E Q (S T ) = 1 R f (q(u)s 0 U + q(d)s 0 D) Uprościmy zapis q(u) = q U pamiętając, że q(u) = 1 q(d) 35.1 = 1 1.036 (qu 35,1 1,17 + (1 q U ) 35,1 0,85) Dzielimy obie strony przez S 0, mnożymy przez 1 + r f : 1 + r f = q U U + (1 q U ) D q U = (1 + r f) D U D q D = 1 (1 + r f) D U D = = U (1 + r f) U D 1,036 0,85 1,17 0,85 = 0,58 Mając prawdopodobieństwa martyngałowe możemy wycenić opcję: = 1,17 1,036 1,17 0,85 = 0,42 X 0 = 1 R f E Q (X T ) C 0 = 1 R f (q U C T (U) + q D C T (D)) Jak wcześniej policzyliśmy q U = 0,58 a q D = 0,42 C 0 = 1 1,036 (qu 5,9 + q D 0) C 0 = 1 (0,58 5,9 + 0,42 0) = 3.31 1,036 czyli tyle samo co przy analizie opartej o portfel replikujący.