Filtry calone czau ciągłego dla emetru - tudia dwutopniowe magiterkie dr inż. Bogdan Pankiewicz Gdańk, luty 04, 06
Zaliczenie Wykład egzamin piemny. Laboratorium 5 ćwiczeń ymulacynych PSPICE. Ocena końcowa średnia ważona oceny z egzaminu waga 3 i laboratorium waga. Dla chętnych zorganizowany będzie termin zerowy egzaminu z wykładu z wkładem 5% obecności na wykładach, termin zerowy w czaie otatniego wykładu lub bezpośrednio po nim.
Literatura [] R. Schaumann, M. E. an alkenburg, Deign of analog filter, Oxford Univerity Pre 00. [] K. R. Laker, W. M. C. Sanen, Deign of analog integrated circuit and ytem, McGraw-Hill, Inc. 994. [3] G.Feri, N.C. Guerrini, Low-voltage low-power novel CCII topologie and application, In Proc. of ICECS 00, pp. 095-098 vol., 00. [4] M. Białko, A. Guzińki, W. Sieńko, J. Żurada, Filtry aktywne RC WNT, Warzawa 979. [5] M.E. an alkenburg, Analog Filter Deign,CBS College Publihing 98 3
Podział filtrów różne kryteria podziału paywne i aktywne, analogowe i cyfrowe, czau ciągłego i czau dykretnego, calone i dykretne, dolnoprzeputowe, górnoprzeputowe, pamowoprzeputowe, pamowozaporowe oraz wzechprzeputowe, inne kryteria... 8
Podtawowe definice [] v źródło napięciowe, v napięcie wyściowe, dla ygnałów harmonicznych w tanie utalonym: v t co t v t co t lub w potaci wektorowe zepolone ako dazki oznaczaą wartości zepolone: e e Ry.. Sieć dwuportowa a z niezależnymi wyprowadzeniami i b ze wpólnym wyprowadzeniem may []. 9
0 Podtawowe definice c.d. [] Napięcie weściowe i wyściowe można przedtawić za pomocą tranformat Laplace a zmienne zepolone, gdzie =+, dla pobudzeń harmonicznych w tanie utalonym można podtawić = co dae w konekwenci: e e Tranmitanca obwodu et więc równa: T co w tanie utalonym dae =>
Podtawowe definice c.d. [] ] [ e e e T Charakterytyka amplitudowa: T Charakterytyka fazowa: T => =>
Podtawowe definice c.d. [] W dalze części materiałów oznaczanie dazkiem ymboli zepolonych zotało pominięte. W literaturze toue ię miarę logarytmiczną tranmitanci: 0logT [db] Dla więkzego od 0 układ wzmacnia ygnał, natomiat dla mniezego od 0 układ wprowadza tłumienie. Mimo, że dla układów tłumiących et mnieze od zera częto podae ię ego wartość w potaci bezwzględne nazywaąc po protu wpółczynnikiem tłumienia. W dalze części materiałów znak przy należy przyąć odpowiednio od kontektu.
Podtawowe definice c.d. [] Tab.. Wartości tłumienia i wzmocnienia w zależności od modułu tranmitanci []. 3
Podział filtrów ze względu na typ realizowane charakterytyki [] W filtrach dla pewnych czętotliwości określa ię tzw. pamo przeputowe i pamo zaporowe. W przypadku idealnym pamo przeputowe to pamo dla którego T = oraz =0, pamo zaporowe dla którego T =0 oraz =-. Oprócz charakterytyk typowych przedtawianych na kolenych ryunkach ą toowane również inne charakterytyki, które to ednak można przedtawić ako kombinacę charakterytyk podtawowych. W rzeczywitości wartości idealne nie ą oiągane a charakterytyka filtru et funkcą ciągłą zbliżoną do linii przerywane przedtawione na kolenych ryunkach. 4
Podział filtrów c.d. [] Ry.. Podtawowe typy filtrów, charakterytyki idealne linia ciągła i realizowane w rzeczywitości linia przerywana, adolnoprzeputowu, bgórnoprzeputowy, cśrodkowoprzeputowy, dśrodkowozaporowy []. 5
Podział filtrów c.d. [] W praktyce filtry maą tranmitance opianą tounkiem wielomianów licznika N i mianownika D: T N D b a m n m n b a m n m n... b... a b gdzie: a i, i =,...n oraz b, =,...m ą liczbami rzeczywitymi. Wpółczynnik a n można utawić na równy poprzez podział licznika i mianownika przez a n. Wpółczynniki licznika b mogą być liczbami dodatnimi uemnymi lub równymi zero. Wzytkie wpółczynniki mianownika a i muzą być dodatnie inacze układ będzie nietabilny. Stopień mianownika mui być więkzy lub równy topniowi licznika. Ze względu na to że tranmitanca et funkcą ciągłą z ciągłymi pochodnymi nie ma możliwości realizaci charakterytyk idealnych z ry.. 6 a 0 0
Gabaryty filtrów rzeczywitych Ry. 3. Wymagania dla filtrów realizowalnych praktycznie []. Wymagania nazywa ię również gabarytami filtru. Wykreślono tłumienie filtru w kali logarytmiczne pulaci. Aprokymaca et proceem znalezienia takie tranmitanci, która pełnia wymagania gabarytu. Synteza et natomiat proceem znalezienia realizaci fizyczne układu o zadane tranmitanci. 7
Wprowadzanie wzmocnienie / tłumienie Ry. 4. Wprowadzanie wzmocnienie a i tłumienie b w filtrze środkowoprzeputowym []. 8
Filtry analogowe po co tego używać? Ze względu na zerokie toowanie cyfrowego przetwarzania ygnałów powtae pytanie czy filtry analogowe ą dale uzaadnione. Obecnie toue ię e: ako filtry antyaliaingowe i wygładzaące tu nigdy filtry cyfrowe nie zatąpią układów analogowych! dla wyokich czętotliwości przetwarzanych ygnałów, w aplikacach uzaadnionych ze względu na kozty. 9
Czynniki decyduące o wyborze typu filtru [] wymagana technologia wykonania, możliwe napięcia zailaące i pobory mocy, kozt wykonania, zakrey czętotliwości, tabilność oraz czułość na zmiany parametrów, waga i wymiary wykonanego filtru, zumy i zakre dynamiki. 0
Zakrey czętotliwości filtrów analogowych Ry. 5. Typy filtrów analogowych w zależności od czętotliwości przetwarzanych ygnałów [].
Zakrey realizowanych wartości elementów paywnych []
L Normalizaca wartości elementów i n R S S L pulaci Wartości znormalizowane elementów ą liczone wg natępuących zależności ą one bezwymiarowe: C n S R S C gdzie: R S rezytanca normalizuąca, pulaca normalizuąca. Wartości rzeczywite wyliczane na podtawie wartości znormalizowanych: R n R S R L R S L S n C R S S C n R R S R n 3
Normalizaca wartości elementów i pulaci c.d. Normalizaca / denormalizaca umożliwia analizę filtrów wokół pulaci znormalizowane wybierane zwyczaowo ako równe =rad/ec. Normalizaca nie zmienia kztałtu tranmitanci a edynie przenoi do innych zazwycza niżzych czętotliwości. Wykorzytuąc proce normalizaci i denormalizaci dla różnych wartości rezytanci normalizuących mamy dodatkowe pole wobody w wyborze rzeczywitych wartości elementów R, L, C. 4
Wzmacniacze operacyne w układach calonych napięciowy wzmacniacz operacyny, wzmacniacz trankonuduktancyny, konweor prądowy drugie generaci, 5
Typowy napięciowy wzmacniacz operacyny [] Idealny napięciowy wzmacniacz operacyny to źródło napięciowe terowane napięciem. Idealne parametry to m.in..: - niekończone wzmocnienie napięciowe różnicowe, - zerowe wzmocnienie umacyne, - niekończona rezytanca weściowa, - zerowa rezytanca wyściowa, - niekończone: pamo, wydaność prądowa, zybkość naratania ygnału wyściowego, zakrey wartości napięć weściowych i wyściowych... 6
W.O. cd. [] Budowę przykładowego wzmacniacza operacynego W.O. zamiezczono poniże [], et to wzmacniacz popularnego typu 74. Ry. 6. Bipolarny wzmacniacz operacyny []. 7
W.O. cd. [] Ry. 7. Model wzmacniacza operacynego z ry. 6. A C g m 0 / RA g C m / C / RC / A g A m / RA / A 8
W.O. cd. [] Wzmocnienie tałoprądowe: A 0 g RA m Pulaca 3dB: a RC A Pulaca odcięcia: g m t A0 a C 9
W.O. c.d. [] Ry. 8. Charakterytyki W.O. typu 74 oraz ego parametry []. 30
Operacyny wzmacniacz trankonduktancyny OTA Operational Tranconductance Amplifier [] Ry. 9. Symbol różnicowego wzmacniacza trankonduktancynego a oraz ego model idealny b []. 3
OTA c.d. [] Idealny wzmacniacz trankonduktancyny opiany et równaniem: i OUT G m v v Częto zdarza ię, że wartość trankonduktanci może być regulowana ygnałem zewnętrznym: G m G I m B I B Parametry idealnego OTA: niekończone rezytance weściowa i wyściowa, trankonduktanca G m o pewne tałe i niezmienne wartości nie dąży do niekończoności ak to ma miece dla W.O., 3
Parametry idealnego OTA c.d.: OTA c.d. [] wzmocnienie napięciowe bez obciążenia wyścia dąży do niekończoności, brak ograniczeń co do zakreów ygnałów weściowych i wyściowych, niekończone pamo, niekończona liniowość wzmacniacza, tu liniowość et itotna w odróżnieniu od WO gdyż OTA pracue bez przężenia zwrotnego, brak wzmacniania ygnałów wpólnych, niezależność ygnału wyściowego on napięć zailaących,... 33
Podtawowe zatoowania OTA [] - + - Ry. 0. Podtawowe zatoowania wzmacniacza OTA a wzmacniacz odwracaący, b wzmacniacz nieodwracaący, c wzmacniacz odwracaący bez użycia rezytora, d regulowana impedanca, e inwerter impedancyny żyrator, f integrator nieodwracaący []. 34
Małoygnałowy model OTA [] Ry.. Małoygnałowy model wzmacniacza OTA nieymetrycznego a i ymetrycznego b []. 35
Dlaczego OTA nadae ię do w.cz. i IC => Ry.. Integrator napięciowy a, model małoygnałowy b i integrator w trybie prądowym c []. Poemności proektowane ą włączone równolegle do poemności paożytniczych więc te drugie można uwzględnić w proceie proektowania i prawie całkowicie wyeliminować. 36
Model kwadratowy tranzytora MOS Podtawowe równania dla tranzytora MOS: T T 0 vbs K' COX prąd drenu w obzarze omowym: K' W i D v GS T v DS / L prąd drenu w obzarze naycenia: i D K' W GS T L v v DS v DS gdzie T napięcie progowe [], T0 napięcie progowe przy zerowym napięciu podłoże-źródło, t.. dla BS =0 [], - wpółczynnik podłożowy [ ], - potencał powierzchniowy około 0.7, - ruchliwość nośników w kanale [m /ec ], C OX gętość powierzchniowa poemności bramki [F/m ], - wpółczynnik modulaci długości kanału [/], W, L odpowiednio zerokość i długość obzaru kanału [m]. K W K' L C OX 37 W L
Analiza protego wzmacniacza OTA Założenia: GT-i5830 tranzytory ą parami identyczne, t. M=M, M3=M4 oraz M5=M6, co prowadza ię do równości ich wpółczynników trankonduktancynych K, punkt pracy wyznacza źródło prądowe I BIAS, Ry. 3. Proty wzmacniacz trankonduktancyny CMOS. w pierwzym przybliżeniu zaniechane ą rezytance wyściowe tranzytorów 38
Analiza OTA, zakre napięć we/wy Punkt pracy w wyznacza prąd I BIAS, co dae natępuące wartości napięć bramka źródło: I / I BIAS BIAS GS 5 GS 6 TN GS GS TN K5 K GS 3 GS 4 / I K BIAS 3 TP Zakre wpólnego napięcia weściowego wpólny, ang. poitive/negative voltage wing et więc równy: SWI SS GS 5 TN GS Zakre napięcia wyściowego et równy: SWI DD GS 3 TN SWO v I TN SWO DD GS 4 TP 39
Analiza OTA, uprozczona analiza małoygnałowa Dla nikich czętotliwości: i i i v gm v gm 0 d d id id gm gm v id gm Ry. 4. Analiza wzmacniacza przy zwarciu na wyściu. gdzie: gm K I BIAS 40
Analiza OTA, uprozczona analiza małoygnałowa Uprozczony model dla analizy czętotliwościowe uwzględniaący edynie poemność bramkową lutra prądowego. Ry. 5. Uprozczony model małoygnałowy wzmacniacza z ry. 4. Gdzie poemności i rezytance można wyznaczyć za pomocą: C G C GS 3 C GS 4 W 3L3 W4L4 C OX 3 r0 r04 I D I BIAS gdzie: C OX gętość powierzchniowa dielektryka bramki, - wpółczynnik modulaci długości kanału. 4
Dla zwarcia wyścia ak na ry. 5, tranmitanca OTA et równa: I Gm 0 ID gm SC gm G 3 gm 3 Czyli tranmitanca ma biegun paożytniczy dla pulaci równe: P gm 3 C G Wzmocnienie napięciowe przy rozwarciu wyścia będzie natomiat równe: 0 ID gm r 0 SC gm G 3 gm 3 Stałoprądowe wzmocnienie napięciowe et więc równe: A 0 gmr0 4
Analiza małoyg., podumowanie: możliwa et regulaca trankonduktanci wzmacniacza poprzez regulacę prądu I BIAS, przy czym regulaca ta et funkcą pierwiatkową, zmiany wynikowe trankonduktanci nie ą więc bardzo duże. biegun paożytniczy leży dla pulaci =-gm 3 /C G, co powodue ograniczenie czętotliwościowe, rozwiązaniem może być modyfikaca W/L w celu pozerzenia pama, lutro o kontrukci zerokopamowe lub OTA ednotopniowa z uemną rezytancą obciążaącą, kończone wzmocnienie tałoprądowe może ię okazać za małe w pewnych zatoowaniach, wówcza można toować: duże wymiary L tranzytorów, lutra kakadowe lub obciążenia uemnorezytancyne. 43
Analiza wielkoygnałowa pary CMOS Dla uprozczenia obliczeń wprowadzamy natępuące oznaczenia: i D I i i D I i I I BIAS K K K Układamy napięciowe prawo Kirchoffa dla obwodu weściowego: vid vgs vgs I i K TN I i K TN Rozwiązuemy powyżze równanie w celu wyznaczenia i: i KI v ID Kv 4I ID 44
Analiza wielkoygnałowa c.d. Zakre napięcia weściowego dla którego natępue naycenie pary, t.. i=i: v I ID IDMAX K Znaduemy punkt wytąpienia odchyłki prądu wyściowego i o E od wartości idealne: Kv ID KI vid E 4I KI v ID tąd: v I E E K IDError IDMAX Przykładowo, dla E=%: v 0,0 0, IDError IDMAX IDMAX 45
Analiza wielkoygnałowa c.d. Trankonduktancę OTA można wyznaczyć poprzez wyciągnięcie pochodne prądu wyściowego względem napięcia weściowego: Gm di dv ID KI Kv 4I ID Kv 4I ID Kv 4I ID Podobnie ak dla błędu prądu można wyznaczyć błąd trankonduktanci. % błąd trankonduktanci wytępue dla około 0, IDMAX. 46
Analiza wielkoygnałowa c.d. Charakterytyki wielkoygnałowe dla K=00A/, TN =, I=50 A Ry. 6. Prąd wyściowy pary różnicowe z ry. 3. 47
Analiza wielkoygnałowa c.d. Charakterytyki wielkoygnałowe dla K=00A/, TN =, I=50 A Ry. 7. Trankonduktanca pary różnicowe z ry. 3. 48
Analiza wielkoygnałowa - podumowanie para różnicowa CMOS ma niewielki zakre liniowości weściowego napięcia różnicowego, tanowiący dla % błędu prądu około 0% całego dotępnego ygnału weściowego a dla % błędu trankonduktanci około % możliwego ygnału weściowego, w celu zwiękzenia zakreu liniowości należy zatoować inny przetwornik -I np. pary MOS w połączeniu krzyżowym, rezytory degeneruące, czwórkę tranzytorów w połączeniu krzyżowym, tranzytory MOS w zakreie triodowym, pary nieymetryczne..., w parze różnicowe CMOS przetraanie wartości trankonduktanci Gm można realizować poprzez regulacę prądu I BIAS, zmiana et funkcą pierwiatkową tego prądu. 49
Wzmacniacz OTA w pełni różnicowy Ry. 8. Różnicowy wzmacniacz trankonduktancyny, ymbol oraz realizaca przy z użyciem pary różnicowe MOS. 50
Układ tabilizaci kładowe tałe ang. CMFB We wzmacniaczu z wyściem różnicowym, w przypadku podłączenia obciążenia różnicowo lub obciążenia poemnościowego wytępue problem amoitnego utalania ię błędnego punktu pracy topnia wyściowego. Dlatego wzmacniacze takie wypoaża ię w układ tabilizaci kładowe tałe na wyściu CMFB ang. Common Mode Feed Back Ry. 9. Różnicowy wzmacniacz trankonduktancyny obciążony rezytancynie do may a, oraz różnicowo b. W przypadku b OTA mui mieć układ CMFB. 5
CMFB zaada działania a b Ry. 0. Zaada działania układu CMFB a oraz realizaca przy użyciu tranzytorów MOS w zakreie triodowym b. 5
Przykłady obliczeniowe dane technologiczne dla technologii CMOS 0,5um L.p. Parametr Jednotka Wartość TN [] 0,6 TP [] -0,9 3 0,5 N C OX [A/ ] 50 4 0,5 P C OX [A/ ] 0 5 C OX [ff/m ],5 6 N [/ ] 0,0 7 P [/ ] 0,0 8 DD - SS [ ] 5 53
Przykład obliczeniowy OTA # Element M-M4 M5, M6 M7 M8, M9 M0 M M, M3 M4 Wymiary W/L [m/m] 4/4 6/4 8/5 6/5 4/5 4/5 8/5 /5 Parametr Wartość DD,5 SS -,5 BIAS 0A Należy wyznaczyć omawiane wcześnie parametry OTA. 54
Przykład obliczeniowy OTA c.d. Wyniki obliczeń ą natępuące: I D0 =0A, I D7 =0A, I D8 = I D9 = 40A, I D5 = I D6 = 40A, K = 50A/, K 3 = 0A/, K 0 = 40A/, K 4 = 0A/, GS =,047, GS3 =,607, GS7..GS8 =,, DS..DS4 =0,3, SWI- =-0,8, SWI+ =,493, SWO- =-,868, SWO+ =,907, Gm=89,44S, P =-,Mrad/ec 33,77MHz, Ao=49,/=43,5dB, IDMAX =0,63, % błąd prądu dla v ID =0,6, % błąd Gm dla v ID =0,0695, 55
Zadanie domowe Dla wzmacniacza OTA przedtawionego na ryunku wyznaczyć parametry omawiane wcześnie na wykładzie. Parametry technologii ak wcześnie podane. Element M,M M3, M4 M5,M6 M7 M8, M9 M0 M M, M3 M4 Wymiary W/L [m/m] /4 / 4 * / * 4/ 4 * 4/ 4/ * / 4 * / / Parametr Wartość DD,5 SS -,5 I BIAS 0A 56
57 Konweor prądowy I i II generaci Ry.. Symbol konweora prądowego. Symbol CCI oznacza pierwzą generacę a CCII drugą. Z X Y Z X Y v i v a i v i 0 0 0 0 0 0 Dla konweora I generaci a=, natomiat dla II a=0. Dla konweora dodatniego wybierany et znak + przy edynce. W literaturze potyka ię również konweory ze wzmocnieniem prądowym, wówcza z dolnego wierza zamienia ię na wpółczynnik wzmocnienia prądowego k.
CCII+ przykładowa budowa i parametry [3] a b Ry.. Konweor prądowy CCII+ w technologii CMOS a oraz ego przykładowe parametry rzeczywite b [3]. 58
Podtawowe zatoowania CCII, wzmacniacz napięciowy v v O I R R Ry. 3. Wzmacniacz napięciowy z użyciem konweora prądowego CCII+. 59
Podtawowe zatoowania CCII, wzmacniacz różnicowy v v O I R R R 3 Ry. 4. Wzmacniacz różnicowy z użyciem konweora prądowego CCII+. 60
Podtawowe zatoowania CCII, umator v O v R v R3 R Ry. 5. Sumator z użyciem konweora prądowego CCII+. 6
Podtawowe zatoowania CCII, żyrator RR Z Z IN Ry. 6. Żyrator z użyciem konweora prądowego CCII+. 6
Podtawowe zatoowania CCII, układ całkuący v O t t vi d RC 0 0 Ry. 7.Układ całkuący z użyciem konweora prądowego CCII+. 63
Podtawowe zatoowania CCII, układ różniczkuący v O t RC dv I dt t Ry. 8. Układ różniczkuący z użyciem konweora prądowego CCII+. 64
65 Sekce II rzędu, ekca dolnoprzeputowa [] Tranmitanca ekci dolnoprzeputowe II rzędu biquad: 0 0 0 Q H D N T gdzie: H wzmocnienie dla nikich czętotliwości, Q dobroć ekci oraz 0 pulaca charakterytyczna. Bieguny T ą parą biegunów zepolonych przężonych leżących w lewe półpłazczyźnie zmienne. Stąd eśli oznaczymy mianownik tranmitanci ako: D wartości parametrów możemy powiązać poprzez równania:
Sekce II rzędu, DP, c.d [] 0 0 Q 0 0 Q 4Q co 0 co Q Ry. 9. Położenie biegunów i powiązanie z parametrami ekci bikwadratowe []. 66
Sekce II rzędu, DP, c.d [] Ry. 30. Położenie biegunów przy zmianach parametrów ekci bikwadratowe []. 67
68 Sekce II rzędu, DP, c.d [] Charakterytyki czętotliwościowe dla tranmitanci znormalizowane co do modułu i pulaci charakterytyczne otrzymue ię poprzez założenie H= oraz n =/ 0. Wówcza otrzymuemy: Q T Q Q T Stąd charakterytyki amplitudowa i fazowa ą równe: Q T tan Q
Sekce II rzędu, DP, c.d [] Ry. 3. Charakterytyki czętotliwościowe ekci dolnoprzeputowe II rzędu, a amplitudowa i b fazowa []. 69
70 Sekce II rzędu, DP, c.d wera I umy Realizaca fizyczna ekci II rzędu o tranmitanci znormalizowane czętotliwościowo: 0 Q H T I 0 Q H I => 0 0 0 Q H I => => Ry. 3. Bezpośrednia realizaca ekci dolnoprzeputowe II rzędu umy.
7 Sekce II rzędu, DP wera - iloczyny Ry. 33. Realizaca członu /+/Q integratora tratnego. Realizaca fizyczna ekci II rzędu o tranmitanci znormalizowane: 0 Q H T I 0 Q H I => 0 0 H Q I => => Q H I 0 0 => Q Q A C C A B C
Sekce II rzędu, DP wera - iloczyny H 0 I 0 Q Ry. 34. Bezpośrednia realizaca ekci dolnoprzeputowe II rzędu iloczyny. 7
Realizaca fizyczna ekci II rzędu [] Ry. 35. Realizace układu z ry. 34 ze zmianami znaków całkowania i wzmacniania []. 73
Realizaca fizyczna ekci II rzędu [] Ry. 36. Bloki kładowe do realizaci filtru z użyciem wzmacniaczy operacynych []. Ry. 37. Sekca bikwadratowa Tow-Thoma, znormalizowana []. 74
Jak z weri znormalizowane uzykać filtr rzeczywity? poprzez denormalizacę, poprzez porównanie weri rzeczywite z zakładaną tranmitancą 75
Denormalizaca na przykładzie obliczeniowym # Przykład obliczeniowy: Mamy zaproektować ekcę bikwadratową Tow-Thoma o czętotliwości charakterytyczne f 0 =0kHz oraz o dobroci Q=0 i wzmocnieniu dla nikich czętotliwości H=. Pulaca denormalizuąca: S =f 0 =*3,45*0kHz= 683,5[rad/ec], Przymuemy rezytancę normalizuącą o wartości wygodne w realizaci, np. R S =0k. Stąd wzytkie rezytory maą wartości: 0k oprócz rezytora w integratorze tratnym którego wartość et równa R S *Q=00k. Wartości poemności ą równe: C=C N */R S * S =/0k/638,5rad/ec=,595nF 76
Charakterytyki czętotliwościowe po denormalizaci Ry. 38. Charakterytyki czętotliwościowe ekci Tow-Thoma po denormalizaci. 77
78 Metoda porównania Ry. 39. Sekca bikwadratowa Tow-Thoma []. Tranmitanca układu z ry. 39 et natępuąca []: 4 4 3 C C R R R C C C R R T I L
Metoda porównania c.d. [] Tranmitanca ogólna ekci II rzędu et natępuąca: T H 0 Q 0 0 Poprzez porównanie wzoru powyżzego z poprzednim otrzymuemy: 0 R R C C 4 Q R R R 4 C C H Sekca Tow-Thoma umożliwia ortogonalne niezależne troenie parametrów: można napierw utalić wartości: R, R 4, C, C dla uzykania pożądane wartości 0, natępnie reguluąc R zmieniamy tylko Q bez zmian H i 0, w końcu utalamy R 3 co zmienia tylko H bez zmian Q i 0, R R 3 79
Realizaca typu OTA-C a b Ry. 40. Realizaca iloczynowa ekci dolnoprzeputowe II rzędu a oraz 80 realizaca znormalizowana typu OTA-C b.
Realizaca typu OTA-C, miezana napięciowo - prądowa a b Ry. 4. Realizaca iloczynowa napięciowo prądowa, a przepływ ygnałów, b realizaca OTA-C. 8
Ry. 4. Konwera filtru OTA-C na werę całkowicie różnicową []. 8
Realizaca typu OTA-C, truktura różnicowa Ry. 43. Różnicowa wera filtru II rzędu z ry. 4. 83
Przykład obliczeniowy #3 Należy zaproektować ymetryczny filtr dolnoprzeputowy typu OTA-C o dobroci Q=4, wzmocnieniu, dla małych czętotliwości równym H= oraz o czętotliwości charakterytyczne równe f 0 =50MHz metodą: a denormalizaci, b porównania tranmitanci. Do dypozyci dotępne ą wzmacniacze trankonduktancyne o wartościach gm z zakreu 0-00S. 84
A rozwiązanie z użyciem denormalizaci. Pulaca denormalizuąca: 0 f 0 50MHz 34,6 Mrad / ec Ponieważ dotępne trankonduktance ą z zakreu 0-00S, wybieramy trankonduktance główną równą 00 S i tąd wynika wartość rezytanci normalizuące równe: R n R S R G n R S G R S G n G G G n RS R S 00S 0k Natomiat wartości kondenatorów będą równe: C R /0k34,6 Mrad / ec 0, pf Cn S S 383 85
Trankonduktanca wzmacniacza znormalizowanego /Q w rzeczywitości oiągnie wartość: G / Q Gn RS / 4 /0k 5S Stąd otateczny chemat filtru będzie natępuący: Ry. 44. Wyliczone wartości elementów filtru metodą denormalizaci. 86
B Metoda porównania tranmitanci Ry. 45. Ogólny chemat dolnoprzeputowe ekci II rzędu typu OTA-C. Y C gm 0 OB gm C 3 OB gm I Y 0 gm Y 4 87
B Metoda porównania tranmitanci c.d. Wyznaczenie z układu 3 równań wartości napięcia wyściowego oraz napięcia pośredniego dae natępuące wyniki: OB I 3 gm gm C gm gm3gm C C C 4 0 I gm gm3 CC gm gm3gm C C C 4 Porównuąc powyżze wyrażenie z ogólną tranmitancą DP II rzędu, otrzymuemy: 0 0 Q gm 3 C C gm C gm 4 => 0 C gm 3 C C gm 3 => Q C gm gm gm 4 4 H T H gm gm 0 Q 0 3 0 => CC 0 H 88 gm gm 4
B Metoda porównania tranmitanci c.d. Mamy więkze pole doboru wartości elementów niż przy metodzie denormalizaci prototypu. Np. możemy wybrać wzytkie trankonduktance ednakowe, równe każda 00S a poemności wyznaczyć ze wzorów: gm gm gm3 gm4 00S Q 4 C C gm 3 4 gm gm C C => C 6C 0 f 0 34,6 M[ rad / ec] 00uS C 79, 57 4 34,6 Mrad / ec gm ff 3 C C gm 4 00uS00uS 6C C C 6C 73, ff 00uS 4C => Ry. 46. Wyliczone wartości elementów filtru metodą porównania. 89
Zadanie domowe Należy zaproektować filtr dolnoprzeputowy II rzędu o dobroci Q=5, wzmocnieniu H= i czętotliwości charakterytyczne f 0 =5kHz przy użyciu konweorów prądowych II generaci. Do filtru należy zatoować realizacę iloczynową ak na ryunku poniże. Wartości elementów końcowych wyznaczyć poprzez denormalizacę i porównanie tranmitanci. 90
Sekce II rzędu, ekce pozotałe [] Ry. 47a. Sekce II rzędu, charakterytyki amplitudowe i położenie biegunów i zer tranmitanci []. 9
Ry. 47b. Sekce II rzędu, charakterytyki amplitudowe i położenie biegunów i zer tranmitanci []. 9
Ry. 48. Sekce II rzędu, charakterytyki fazowe []. 93
Filtry wyżzych rzędów Ry. 49. Sekce II rzędu połączone kakadowo mogą tworzyć charakterytykę bardzie zbliżoną do idealne dolnoprzeputowe ang. brick wall []. 94
95 Aprokymaca Butterwortha [] Im Re T T T Tranmitanca T może być zapiana za pomocą równania: Przy czym część rzeczywita et ymetryczna względem oi Y a część uroona et ymetryczna względem początku układu wpółrzędnych: Im Re T T T i T- et wartością zepoloną przężoną względem T: * T T Ponieważ: * Im Re T T T T T Więc: T T T
96 Aprokymaca Butterwortha [] c.d. B A D N T n n n Wyrażamy kwadrat modułu tranmitanci ako ułamek dwóch wielomianów, gdzie n wyraża topień wielomianu a wielomiany A i B muzą być parzyte: Wprowadzamy poęcie funkci charakterytyczne K będące odchyleniem odwrotności modułu tranmitanci od edności: A A B T K Wartość modułu funkci charakterytyczne w paśmie filtru powinna być równa zeru i niekończoności poza tym pamem.
Aprokymaca Butterwortha [] c.d. Przykładowy wykre modułu tranmitanci przedtawiony et na ry. 50a a moduł funkci charakterytyczne na ry 50b. Ry. 50. Wykrey modułu tranmitanci a i modułu funkci charakterytyczne b dla filtru dolnoprzeputowego []. 97
98 Aprokymaca Butterwortha [] c.d. Dla filtru dolnoprzeputowego, znormalizowana wartość wielomianu A et równa. Stąd kwadrat modułu tranmitanci możemy opiać ako: n n n n n B B B B B D N T 6 6 4 4... Stąd wartość kwadratu modułu funkci charakterytyczne będzie równa: n n n B B B B K 6 6 4 4... Załóżmy teraz, że funkca K ma być ak nabardzie płaka e kolene pochodne dla =0 powinny być równe zeru, tąd:, dla 0 0 n,..., k d K d k k
Aprokymaca Butterwortha [] c.d. Z poprzedniego wyrażenia wynika, że B =B 4 =B n- =0 a funkca charakterytyczna przymue potać: K n n n Bn Natomiat kwadrat modułu tranmitanci et równy wprowadzono oznaczenie B n = : T n n n B n Ry. 5. Charakterytyki amplitudowe Butterwortha dla rzędów od n= do 0, = []. 99
Aprokymaca Butterwortha [] c.d. Jeśli założymy, że =, wówcza: Tn n Właściwości wynikaące z powyżzego równania ą natępuące: brak zer tranmitanci, T n 0 = niezależnie od n, T n =/ 0,5 =0,707 co odpowiada 3dB na charakterytyce amplitudowe, dla dużych pulaci mamy padek charakterytyki amplitudowe równy 0n/dekadę. 00
Aprokymaca Butterwortha [] c.d. Można matematycznie dowieść, że położenie biegunów tranmitanci Butterwortha et równomierne na kole ednotkowym. Pokazano to ry.5. Ry. 5. Położenie biegunów tranmitanci Butterwortha dla rzędów od n= do 7 []. Ry. 53. Charakterytyki fazowe Butterwortha dla rzędów od n= do 0 []. 0
Aprokymaca Butterwortha [] c.d. Położenie biegunów tranmitanci Butterwortha : Wpółczynniki wielomianu mianownika []: B n n n i a i i 0
Aprokymaca Butterwortha [] c.d. Dobroci Q biegunów Butterwortha: 03
Aprokymaca Butterwortha [] c.d. W celu określenia aki rząd filtru et nam potrzebny można użyć poniżzego wzoru lub korzytać z monogramów dotępnych w literaturze []. Tn n 04
Przykład obliczeniowy realizaca kakadowa #4 Należy zaproektować dolnoprzeputowy filtr o aprokymaci Butterwortha rzędu 7 na czętotliwość 50kHz w realizaci kakadowe. Rozwiązanie: Z tabeli dla dobroci biegunów tranmitanci Butterwortha odczytuemy wartości: Q=0,55, Q=0,8, Q=,4 oraz biegun rzeczywity. Stąd naz filtr będzie ię kładał z 3 ekci bikwadratowych np. na OTA, WA, CCII+ lub innych realizacach rzeczywitych i ekci z biegunem rzeczywitym np. RC Ry. 54. Realizaca filtru z przykładu obliczeniowego. 05
Przykład obliczeniowy prawdzenie przy pomocy ymulatora PSPICE Plik PSPICE: Filtr Butterwortha II rzędu dolnoprzeputowy.param f=50k.param w={*3.45*f} in in 0 dc 0 ac in0.ubckt biquad_lp_id out in param: wo= Q= E out 0 laplace {in}={wo*wo/*+wo/q*+wo*wo}.end.ubckt real_pole out in param: wo= E out 0 laplace {in}={wo/+wo}.end ************** Filtr właściwy X biquad_lp_id param: wo={w} Q=0.55 X 3 biquad_lp_id param: wo={w} Q=0.8 X3 out 3 biquad_lp_id param: wo={w} Q=.4 X4 in real_pole RL out 0 ************** Analizy.ac dec 00.00 00.tran 0.0 0 9 0.0.probe.end param: wo={w} -- weście -- deklaraca ekci biquad -- dekl. ekci bieg. rzeczy. -- obciążenie 06
Wyniki ymulaci 07
Filtry bazuące na prototypach drabinkowych RLC [] Filtry RLC nie ą calonymi filtrami aktywnymi ednak maą duże zatoowanie w proektowaniu filtrów aktywnych ze względu na: nikie wrażliwości parametrów filtru na zmiany wartości elementów dla filtrów obutronnie obciążonych, filtry te do dziia ą powzechnie toowane dla wyokich czętotliwości lub dla układów bezmocowych, filtry aktywne proektue ię bazuąc na paywnych prototypach co dae przenieienie dobrych właności na ich aktywne odpowiedniki, można wykorzytać uż znaną wiedzę aprokymaci i yntezy filtrów. 08
Synteza filtrów RLC [] Ry. 55. Podwónie obciążony filtr RLC: a reprezentaca ogólna, b dolnoprzeputowy filtr I rzędu, c reprezentaca impedancyno admitancyna []. 09
0 Synteza filtrów RLC [] c.d. Impedanca weściowa filtru z ry. 55a et równa: in in in X R Z A prąd weściowy można określić ako równy: in S Z R I Ponieważ układ et beztratny, więc cała moc wchodząca do filtru tracona et na rezytanci obciążaące: R I R P in a tąd wynika: R Z R R in S in co dale dae: in in S Z R R R T
Synteza filtrów RLC [] c.d. Mnożymy teraz T przez wpółczynnik qrt4r /R w celu otrzymania tranmitanci HS znormalizowane do dla pama przeputowego: 4 4 in in S Z R R R R R H Podtawiaąc eden z poprzednich wzorów otrzymuemy: Z R Z R H in in Przy czym nazywane et wpółczynnikiem odbicia. Z powyżzego równania można wyznaczyć wpółczynnik odbicia ako: Z R Z R in in
A dale: Synteza filtrów RLC [] c.d. co dae możliwe wartości impedanci weściowe równe: Z in R lub Z in R R R Z Z in in Powyżze dwie wartości impedanci realizuą nazą pozukiwaną realizacę tranmitanci. Procedura yntezy prototypu RLC et więc natępuąca: mamy zadane H a tąd odnaduemy, natępnie utalamy akieś wartości R i R i otrzymuemy możliwe wartości Z in realizuące zadaną tranmitancę, układamy drabinkę RLC o wyznaczone impedanci Z in.
Synteza filtrów RLC [] c.d. Ry. 56. Procedura yntezy filtrów RLC z ich tranmitanci []. 3
Synteza filtrów RLC [] c.d. Ry. 57. Tabela wartości znormalizowanych elementów filtru RLC o aprokymaci Butterwortha []. 4
Przykład obliczeniowy realizaca RLC LP Butterworth II rząd #5 Należy zaproektować dolnoprzeputowy filtr o aprokymaci Butterwortha rzędu 7 na czętotliwość 50kHz w realizaci RLC. Rozwiązanie: wybieramy edną z realizaci z tabeli znormalizowane, wybieramy rezytancę normalizuącą równą np. 0k a natępnie na podtawie wartości elementów znormalizowanych odczytanych z tabeli ry. 57 obliczamy wartości rzeczywite ako: C R S S C n L R S L S n R R R S n Wyniki obliczeń: S 50kHz R =R =0k, C =70,8pF, L =79,38mH, C 3 = 86,8pF, L 4 =7,3mH, C 5 =86,8pF, L 6 = 79,38mH, C 7 = 70,8pF 5
Przykład obliczeniowy #5 ymulaca PSPICE Ry. 58. Wyniki ymulaci PSPICE filtru Butterwortha zrealizowanego techniką kakadową zielony i przy użyciu prototypu RLC czerwony. 6
Zadanie domowe 3 Należy zaproektować filtr 6 rzędu o tranmitanci Butterwortha kakadowy realizaca OTA-C oraz RLC na czętotliwość 3dB równą 00kHz. Do dypozyci ą wzmacniacze OTA o trankonduktancach równych S, rezytory o wartościach w zakreie 0 30k oraz kondenatory o dowolnych wartościach. Należy wykonać ymulacę PSPICE zaproektowanego filtru w celu weryfikaci ego poprawności. 7
Filtry aktywne bazuące na filtrach drabinkowych RLC Ze względu na dobre właściwości wrażliwościowe, filtry RLC ą częto wzorcem, który ię realizue na natępuące pooby: ymulaca bezpośrednia prototypu RLC, - metoda bezpośrednie zamiany elementów + tranformace impedancyne, - tranformaca Brutona, - technika Gorkiego Popiela. ymulaca grafu przepływu ygnałów. 8
Bezpośrednia ymulaca prototypu RLC - żyrator Ry. 58. Żyrator a oraz ego ymbol b oraz zatoowanie ako imitaca cewki []. Żyrator opiany et natępuącymi równaniami, gdzie gm et konduktancą żyraci: I gm oraz I gm Jeśli na wrotach żyratora umieścimy impedancę Z L wówcza od weścia będzie widziana impedanca: Z in I gm gm Z L 9
Bezpośrednia ymulaca prototypu RLC - żyrator Czyli przy obciążeniu żyratora kondenatorem, na weściu widziana et cewka o indukcyności równe L=C/gm : Zin Z L / C gm / C L Jak zrealizować żyrator? Korzytaąc z równań żyratora, np. bezpośrednio, poprzez zatoowanie wzmacniaczy trankonduktancynych. Ry. 59. Realizaca żyratora uziemionego za pomocą wzmacniaczy trankondultancynych. 0
Bezpośrednia ymulaca prototypu RLC żyrator c.d. Ry. 60. Realizaca żyratora nieuziemionego za pomocą wzmacniaczy trankondultancynych różnicowych. Ry. 6. Realizaca cewki nieuziemione za pomocą żyratorów [].
Bezpośrednia ymulaca prototypu RLC żyrator c.d. Ry. 6. Realizaca cewek nieuziemionych ymetrycznych za pomocą żyratorów ze wzmacniaczy OTA ymetrycznych. Zadanie domowe 4 W aki poób można zrealizować żyrator na wzmacniaczach operacynych oraz konweorach prądowych II generaci? Należy podać chematy i wartości wpółczynników konduktanci/rezytanci żyraci.
Bezpośrednia ymulaca prototypu RLC c.d. Podumowanie techniki: elementy które można bezpośrednio zrealizować wykonue ię bez zmian, przykłady: kondenatory, czaami rezytance, elementy pozotałe realizue ię poprzez aktywną ymulacę, przykłady: L => żyrator+c, R => OTA w połączeniu rezytorowym... wyliczenie elementów rzeczywitych natępue drogą denormalizaci prototypu RLC, na podtawie znanych wartości czętotliwości filtru oraz możliwych do zrealizowania wartości elementów aktywnych i paywnych 3
Przykład obliczeniowy #6 Należy zaproektować ymetryczny, dolnoprzeputowy filtr rzędu o aprokymaci Butterwortha typu gm-c na czętotliwość 3dB równą 0MHz. Należy użyć techniki bezpośrednie ymulaci prototypu RLC. Dotępne ą wzmacniacze o trankonduktanci równe S. Rozwiązanie: odnaduemy na ry. 57 wartości elementów prototypu RLC znormalizowanego. Są dwie możliwe realizace zawieraące 3 cewki i kondenatory lub 3 kondenatory i cewki. Wybieramy realizacę z mniezą liczbą cewek, gdyż te elementy ą realizowane metodą ymulaci. Prototyp filtru RLC et więc natępuący: Ry. 63. Znormalizowany prototyp filtru dolnoprzeputowego rzędu o aprokymaci Butterwortha []. 4
Ry. 64. Znormalizowany prototyp filtru dolnoprzeputowego rzędu o aprokymaci Butterwortha zrealizowany metodą ymulaci prototypu. 5
Wartości pozczególnych elementów można natomiat obliczyć na podtawie denormalizaci: R S / gm / 50S 0k S 0MHz 5,66Mrad / ec 50S C Cn 0,68 R 5,66Mrad / ec S S 50S C3 C3n R 5,66Mrad / ec S S 45,9 ff 795,8 ff 50S C5 C5n 0,68 R 5,66Mrad / ec S S 45,9 ff gm 50S C L gm Ln gm Ln,68 gm 5,66Mrad / ec S gm 50S C4 L4 gm L4n gm L4n,68 gm 5,66Mrad / ec S S S 643,8 ff 643,8 ff 6
Ogólna ymulaca grafu ygnałowego prototypu filtru RLC [] I I 3 I n- I n+ = 0 4 Y Y 3... Y n- o Z Z 4 Z n n... Ry. 65. Drabinka immitancyna reprezentuąca filtr RLC. Ry. 65 przedtawia typową drabinkę immitancyną filtru RLC. Liczba elementów Z/Y wynoi n. W przypadku nieparzytego rzędu filtru, tzn. gdy m=n-, elementy Y lub Z n muzą reprezentować tylko rezytancę. Elementy admitancyne maą nieparzyte indeky, natomiat impedancyne parzyte. Dla rozróżnienia oznaczane będą one odpowiednio literami i oraz. Napięcia weściowe i wyściowe oznaczone ą odpowiednio przez 0 oraz n. Zgodnie z ry. 65 prądy gałęzi Y oraz napięcia na gałęziach Z można przedtawić za pomocą natępuących równań: 7
8 3 Z I I 3 4 3 Y I 4 5 3 4 Z I I... n n n n Y I Z I I 0 Y I Zależności te ą łuzne dla nieparzytych wartości i z zakreu od do n- oraz parzytych wartości z zakreu od do n, przy czym I n+ =0. W każdym z powyżzych równań wytępuą prądy i napięcia odnozące ię do odpowiednich gałęzi. Równania powyżze mnożymy i dzielimy przez rezytancę kaluącą R * i otrzymuemy: * * R Y I R i i i i * * * / R Z R I R I i i i i Y I Równania powyżze można zapiać w potaci ogólne: Z I I
Oznaczaąc dale ako: R* I Ii Y R T i i * Yi * Z otrzymuemy: Ii i i T Yi I I T Z A natępnie równania te możemy zrealizować za pomocą napięciowego grafu ygnałowego ak przedtawiono to poniże na ryunku. Z / R T - 0 - - - 4 n... T Y T Y5... T Z T Y3 T Z4 T Zn - - -... I I3 I5 In+ =0 Ry. 66.Sygnałowy graf przepływowy realizuący ymulacę prototypu filtru z ry. 65. 9
Symulaca grafu ygnałowego prototypu filtru LP RLC [] Ry. 67. Dolnoprzeputowy filtr RLC. Filtr dolnoprzeputowy może zawierać zeregowe obwody R-L w gałęziach poziomych oraz równoległe R-C w gałęziach pionowych. Stąd odpowiednie wartości immitanci filtru dolnoprzeputowego można wyrazić zależnościami: Z C / R Y i L i R i 30
Przy braku elementów rezytancynych równania powyżze przymuą potać: Yi Z L C i Po pomnożeniu / podzieleniu przez rezytancę kaluącą R * otrzymuemy tranmitance: T Yi Y i R * L i / R * R i / R * T Z Z / R * C R * R * / R T Yi Y i R * L i / R * / R Tranmitance powyżze tanowią integratory tratne lub idealne odpowiednio dla gałęzi z rezytancami lub bez nich. Filtr LP RLC można więc zrealizować touąc integratory i umatory aktywne! T Z Z * C R * 3
Realizaca ymulaci grafu ygn. filtru LP RLC w technice OTA-C Układy praktyczne filtrów OTA-C ą zazwycza wykonane przy użyciu wzmacniaczy różnicowych. W celu uprozczenia chematów przedtawianych realizaci filtrów zatoowano ymbolikę z wykorzytaniem elementów nieymetrycznych. gm 3 C gm gm Ry. 68. Realizaca gałęzi umuąco całkuące w technice układów OTA-C. 3 gm C gm 3
Porównuąc poprzednie wyrażenia z opiem układu z ry. 68 oraz touąc denormalizacę prototypu RLC, tranmitance typu T Yi można realizować w poób pokazany na ry. 69. W tym przypadku wartości parametrów układu obliczyć można z zależności: gm C R i * S S gm i i RPi Gi LPi R gm S R* R gdzie: gm i, gm i, C Gi wartości realizowanych fizycznie elementów gałęzi i, R * - rezytanca kaluąca, R S - rezytanca normalizuąca. i- gm i gm i i+ gm i C Gi Ii Ry. 69. Realizaca tranmitanci T Yi filtru dolnoprzeputowego. 33
Podobnie ak powyże dla tranmitanci T Z otrzymuemy: gm C G R C S P S R * gm gm gdzie: gm, gm, C G wartości realizowanych fizycznie elementów gałęzi, R * - rezytanca kaluąca, R S - rezytanca normalizuąca. R R S * R P C G gm gm gm I - I + Ii Ry. 70. Realizaca tranmitanci T Z filtru dolnoprzeputowego. 34
Przykład obliczeniowy #7 Należy zaproektować ymetryczny, dolnoprzeputowy filtr rzędu o aprokymaci Butterwortha typu gm-c na czętotliwość 3dB równą 0MHz. Należy użyć techniki ymulaci grafu ygnałowego prototypu RLC. Dotępne ą wzmacniacze o trankonduktanci równe S. Rozwiązanie: odnaduemy na ry. 57 wartości elementów prototypu RLC znormalizowanego. Są dwie możliwe realizace zawieraące 3 cewki i kondenatory lub 3 kondenatory i cewki. Wybieramy dowolną realizacę np. ak tą poniże Ry. 7. Prototyp RLC filtru dolnoprzeputowego rzędu. 35
Na podtawie ry. 69 i ry. 70 utalamy chemat otateczny filtru ak na ryunku 7. 0 gm, gm, gm,3 gm,3 4 gm,5 gm,5 6 C G C G C G3 C G4 C G5 gm, gm,6 gm, gm, gm,4 gm,4 gm,6 I I3 I5 Ry. 7. Realizaca OTA-C filtru LP rzędu z użyciem ygnałowych grafów przepływowych. Można w miece wzmacniaczy OTA zatoować zarówno wzmacniacze ymetryczne ak i uziemione. 36
Aby wyznaczyć końcowe wartości elementów utalamy, że rezytanca normalizuąca et równa rezytanci kaluące R S =R * oraz, że wzytkie trankonduktance ą równe gm=s tąd otrzymuemy: R S / gm / 50S 0k S 0MHz 5,66Mrad / ec gm 50S CG LP 0,68 45, 9 5,66Mrad / ec S ff gm 50S CG CP,68 643, 8 5,66Mrad / ec S gm 50S CG3 LP3 795, 8 ff 5,66Mrad / ec S gm 50S CG4 CP4,68 643, 8 5,66Mrad / ec S ff ff gm 50S CG5 LP5 0,68 45, 9 ff 5,66Mrad / ec S 37
Tranformace czętotliwościowe [] Dotychcza na wykładzie przedtawiono techniki aprokymaci i yntezy filtrów dolnoprzeputowych. Tranformace czętotliwościowe umożliwiaą przenieienie znanych technik dla filtrów dolnoprzeputowych do filtrów o innych charakterytykach. Jet znanych wiele różnych tranformaci czętotliwościowych a tuta zotaną przedtawione podtawowe: tranformaca LP - HP, tranformaca LP - BP. Stoowana ymbolika będzie natępuąca: wpółrzędne związane z prototypem LP będą opiywane wielkimi literami S=+, wpółrzędne dla filtru docelowego opiywane będą małymi 38 literami.
Tranformace czętotliwościowe [] Problem, który chcemy rozwiązać można przedtawić natępuąco: mamy tranmitancę dolnoprzeputową T L S o znanych i pożądanych parametrach, pozukuemy funkci X tranformuące tą tranmitancę do funkci górnoprzeputowe lub środkowoprzeputowe lub inne pożądane: =X tranformuemy tylko oś poziomą modułu T L, bez zmiany w oi pionowe wzelkie zafalowania amplitudy funkci po tranformaci zotaną więc zachowane, trzeba również pamiętać, że tranmitanca T L et funkcą parzytą pulaci zdefiniowaną również dla pulaci uemnych. 39
Tranformaca LP HP [,5] Tranformaca et realizowana poprzez podtawienie: Co dla zmienne zepolone odpowiada przekztałceniu: S Ry. 73. Przekztałcenie czętotliwości w tranformaci LP - HP []. 40
Procedura proektowania filtru HP z wykorzytaniem tranformaci: normalizaca czętotliwościowa filtru HP, przenieienie zadanych czętotliwości / tłumienności gabarytów do formy dolnoprzeputowe używaąc reguły odwracania wartości z pominięciem znaku, przedtawione et to na ry. 74, wybór tranmitanci odpowiedniego filtru pełniaącego gabaryty LP aprokymaca, wyznaczenie tranmitanci filtru HP poprzez podtawienie S=/, realizaca wyznaczone tranmitanci ynteza. Ry. 74. Przekztałcenie gabarytów filtru HP na gabaryty równoważnego filtru LP []. 4
4 Uwagi do realizaci yntezy nowe tranmitanci typu HP W przypadku realizaci kakadowe z ekci bikwadratowych, tranmitanca LP zamienia ię natępuąco: zamienia ię na dla O O O O O HP O O O LP Q H Q H T / S S Q S H S T Stąd wnioek, że w przypadku realizaci kakadowe tranformaca czętotliwościowa zamienia ekce bikwadratowe LP na HP. gdzie: O O
Uwagi do realizaci yntezy nowe tranmitanci typu HP c.d. W przypadku realizaci filtru bazuącego na prototypie RLC natępue zamiana elementów, którą można wyznaczyć na zaadzie porównania immitanci: YC, LP SC dla S / odpowiada admitanci YC, HP C Z L, LP SL dla S / odpowiada impedanci ZC, HP L Stąd wnioek, że kondenator C w filtrze LP zamienia ię na cewkę o wartości /C w filtrze HP. Podobnie cewka o wartości L w filtrze LP zamienia ię na kondenator o wartości /L w filtrze HP. Pozotałe elementy bezinercyne zachowane ą bez zmian. Tranformaca LP=>HP nie zmienia rzędu filtru. 43
Przykład obliczeniowy #8 proekt filtru HP Należy zaproektować filtr górnoprzeputowy, który ma tłumić mnie niż 3dB ygnały o czętotliwościach powyże 50kHz oraz więce niż 40dB ygnały o czętotliwości poniże,5khz. Rozwiązanie: wykonuemy procedurę zgodnie z zaadami toowania tranformaci LP=>HP: normalizaca 50kHz -> rad/ec,,5khz ->0,5rad/ec, normalizaca wymagań do LP: tłumienie dla rad/ec pozotae na 3dB, natomiat tłumienie 40dB dla 0,5rad/ec zamienia ię na tłumienie równe 40dB dla /0,5=4rad/ec dla odpowiednika LP, używamy aprokymaci Butterwortha, z wykreu na tr. 04 znaduemy rząd filtru równy co namnie 4, 44
Przy realizaci w potaci kakadowe otrzymuemy ekce bikwadratowe HP o dobrociach Q=0,54 i Q=,3 tabela na tr. 03 i czętotliwości charakterytyczne 50kHz. Ry. 75. Realizaca kakadowa filtru górnoprzeputowego. Przy realizaci RLC napierw mamy prototyp LP RLC ak przedtawiony poniże ze trony 4 ry. 57. Ry. 76. Prototyp LP RLC I rzędu Butterwortha []. 45
Natępnie prototyp LP zamieniamy na prototyp HP, co dae układ ak poniże. Ry. 77. Prototyp HP RLC I rzędu Butterwortha wyznaczony w oparciu o prototyp LP. W końcu prototyp HP RLC denormalizuemy i realizuemy w potaci aktywne dowolną metodą, np. bezpośrednią lub imitaci grafu ygnałowego. 46
Ry. 78. Filtr HP I rzędu Butterwortha w realizaci ymetryczne OTA-C. Załóżmy, że dyponuemy wzmacniaczami OTA o trankonduktancach równych gm=8,s wówcza wartości pozczególnych kondenatorów można wyznaczyć z zależności: S 50kHz C R S gm 0,7654 S / gm / 8,04S 674,85 pf gm C Lgm gm,848 gm,848 C 0,7654 gm 4 S S 337,0 pf C gm,848 3 S 39,58 pf S 79,8 pf 47
Netlita PSPICE do przykładu #8 Example No 8 * Parameter etting.param fo=50k.param wo={*3.45*fo} * Input ource in in 0 dc 0 ac * Input for balanced filter Ep in_p 0 in 0 0.5 Em in_m 0 in 0-0.5 * Declaration of ideal HP biquad ubcircuit.ubckt biquad_hp_id out in param: wo= Q= E out 0 laplace {in}={*/*+wo/q*+wo*wo}.end * Cacaded ideal filter verion, output node Xbq biquad_hp_id param: wo={wo} Q=0.54 Xbq in biquad_hp_id param: wo={wo} Q=.3 RL 0 * RLC HP denormalized prototype, output node 7.param r={/gm}.param gm=8.04u Ri in 5 {*r} C 5 6 {/0.7654/wo/r} L 6 0 {/.848/wo*r} C3 6 7 {/.848/wo/r} L4 7 0 {/0.7654/wo*r} Ro 7 0 {*r} * Power upply for OTA vdd vdd 0.5 v v 0 -.5 *OTA ubcircuit declaration * Name out+ out- in+ in- dd.ub OTA out_p out_m in_p in_m dd M in_p 3 vdd pfet w=u l=4u M in_m 3 vdd pfet w=u l=4u M3 v v nfet w=u l=u M4 v v nfet w=u l=u M5 out_m v v nfet w=u l=u m=4 M6 out_p v v nfet w=u l=u m=4 M7 3 7 4 vdd pfet w=4u l=u m= M8 out_m 7 5 vdd pfet w=4u l=u m=4 M9 out_p 7 5 vdd pfet w=4u l=u m=4 M0 7 7 6 vdd pfet w=4u l=u m= M 4 0 vdd vdd pfet w=u l=u m= M 5 out_m vdd vdd pfet w=u l=u m=4 M3 5 out_p vdd vdd pfet w=u l=u m=4 M4 6 0 vdd vdd pfet w=u l=u m= Ibia 7 v 0u.end * OTA-C fully balanced HP filter, output node 6,5 Cgma 3 674.85pF Cgmb 4 674.85pF Cgm 3b 4b 39.58pF C3gma 3 5 79.8pF C3gmb 4 6 79.8pF C4gm 5b 6b 337.0pF X in_p in_m dd OTA X dd OTA X3 6 5 5 6 dd OTA X5 4b 3b 3 4 dd OTA X6 4 3 4b 3b dd OTA X7 6b 5b 5 6 dd OTA X8 6 5 6b 5b dd OTA * analyi.ac dec 00 k 000meg.lib ami_c5.lib.probe.end 48
Ry. 79. Wyniki ymulaci PSPICE filtru HP I z przykładu #8, zielony realizaca kakadowa z idealnych ekci bikwadratowych, czerwony zdenormalizowany prototyp HP RLC, niebieki realizaca ymetryczna OTA-C z 49 użyciem rzeczywitych wzmacniaczy OTA CMOS ak w ćw. lab. nr.
Tranformaca LP BP [,5] Zaady tranformaci ą takie ame ak dla LP=>HP, zmienia ię tylko funkca tranformuąca. O BW => Dla zmienne zepolone S odpowiada to przekztałceniu: O BW S O BW BW O O O Q O O Ry. 80. Zamiana charakterytyk czętotliwościowych w tranformaci LP=>BP []. 50
O BW Ry. 8. Przekztałcenie oi czętotliwości w tranformaci LP=>BP []. Podtawienie S=f dla tranformaci LP=>BP zmienia rząd filtru wynikowego do rzędu dwukrotnie wyżzego niż filtr LP. 5
Zamiany elementów filtru LP na odpowiedniki BP można natomiat wyliczyć korzytaąc z porównania immitanci: Y C, LP SC dla S O BW O O odpowiada admitanci Y C, BP C BW C O BW Z L, LP SL dla S O BW O O odpowiada impedanci Z C, BP L BW L O BW Ry. 8. Zamiana immitanci filtru LP RLC na filtr BP RLC. 5
Przykład obliczeniowy #9 proekt filtru środkowoprzeputowego Należy zaproektować filtr środkowoprzeputowy z tłumieniem nie więkzym niż 3dB w paśmie 900kHz 00kHz. Dla czętotliwości poniże 800kHz oraz powyże 00kHz tłumienie filtru powinno być co namnie 5dB. Rozwiązanie: wykonuemy procedurę ak dla filtru HP: Normalizaca wymagań filtru do o =: f O f f 00kHz900kHz 995kHz S 658krad f O / ec fbp 900kHz BP f / S 900kHz / 995kHz 0,9045 f BP 00kHz BP f / S 00kHz / 995kHz,055 BW BP BP,055 0,9045 0,0 53
f3bp 800kHz 3BP f 3 / S 800kHz / 995kHz 0,804 f4bp 00kHz 4BP f 4 / S 00kHz / 995kHz,06 Przenieienie pulaci znormalizowanych BP do pulaci LP: O BW 0,9045,055 0,0 0,9045 0,0,055 0,804,06 3,88 4, 8747 0,0 0,804 0,0,06 W wyliczonych powyże pulacach należy pominąć znak minu. Zadane tłumienie dla 4 et bardzie rygorytyczne niż dla 3. Wybieramy aprokymacę Butterwortha i korzytaąc z ryunku ze trony 04 widzimy że w zakreie pulaci równych,8747 ryunek ten et za mało dokładny aby ozacować wymagany rząd filtru LP. 54
Korzytamy więc z zależności analityczne: n log T ln 30,63 ln,8747 n log 3,4,73 0,684,8747 0 5/ 0 Tn n log,8747 30,63 Wybieramy wartość całkowitą n=3. Teraz pozotało zrealizować filtr LP 3 rzędu Butterworha odpowiednio zdenormalizowany i przekztałcony do weri BP. Wybieramy metodę bezpośrednie ymulaci prototypu RLC. Ry. 83. Prototyp znormalizowany Butterwortha RLC III rzędu LP[]. 55
Ry. 84. Prototyp znormalizowany Butterwortha RLC I rzędu BP odpowiadaący filtrowi LP z ry. 83 dla BW=0,0. Ry. 85. Realizaca OTA-C filtru z ry. 84. 56
Wartości liczbowe kondenatorów wyznaczamy touąc tandardowe wzory denormalizuące, zakładamy, że gm=8,04,s: C 0,0 gm S 64,49 pf 0,0 gm CL L gm gm 0,0, 6055pF gm C 0,0 gm S,6055 pf S gm Lgm gm 0,0 S gm 0,0 S C 8, 98 pf L S S 65,8 krad f O / ec C 0,0 gm 3 S 64,49 pf 0,0 gm CL3 L3gm gm 0,0, 6055pF gm S S 57
Ry. 86. Wyniki ymulaci PSPICE, zielony prototyp RLC, niebieki układ ak na ry. 85 z idealnymi wzmacniaczami OTA i czerwony wzmacniacze OTA ak w ćw. lab.. 58
Ry. 87. Wyniki ymulaci PSPICE wokół fo, zielony prototyp RLC, niebieki układ ak na ry. 85 z idealnymi wzmacniaczami OTA i czerwony wzmacniacze OTA ak w ćw. lab.. 59