Wzory matematyka finansowa MaciejRomaniuk 29 września 29 K(t) funkcjaopisującaakumulacjęwchwiliczasut,k() kapitał,i stopazyskuwchwilit: i= K(t) K() (1) K() K kapitał,i stałastopaprocentowadlaustalonegookresuczasut, Procent prosty t=:k t=1:k(1)=k+ik=k(1+i) t=2:k(2)=k+ik+ik=k(1+2i)... t=n:k(n)=k(1+ni) Procent składany(złożony) t=:k t=1:k(1)=k+ik=k(1+i) t=2:k(2)=k(1+i)+ik(1+i)=k(1+i) 2... t=n:k(n)=k(1+i) n Definicja 1. Stopa nominalna w chwili t dla okresu h(oznaczana symbolem i h (t))to K(t+h)=K(t)(1+hi h (t)), (2) czyli i h (t)= K(t+h) K(t) hk(t). (3) Dlah= 1 p mamy ( K t+ 1 ) ( ) =K(t) 1+ i1 p p p. (4) Stopętakąoznaczamysymbolemi (p). e-mail:mroman@ibspan.waw.pl 1
Definicja2.Stopąefektywnąi ef wokresiebazowymwchwilitdlaokresuh nazywamy stopę, która spełnia równanie K(t+h)=K(t)(1+i ef ) h (5) Definicja3.Niechs t(s,t momentyczasu).czynnikakumulacjia(s,t) to akumulacja jednostki pieniężnej do chwili t zainwestowanej w chwili s K(t)=A(s,t)K(s). (6) Definicja 4. Powiemy, że czynnik akumulacji spełnia warunek zgodności, jeślidladowolnychr,s,t(momentyczasu),gdzier<s<tzachodzi A(r,t)=A(r,s)A(s,t). (7) Definicja 5. Chwilową stopą zysku(ciągłą stopą procentową) w chwili t nazywamy stopę określoną równością przy założeniu, że granica ta istnieje. δ(t)= lim h + A(t,t+h) A(t,t) h, (8) Twierdzenie6.Jeśliδ:[t ; ) RiA(t,.):[t ; ) RsąciągłeorazA spełniawarunekzgodności,todladowolnycht 1,t 2 [t ; )zachodzi ( t2 ) A(t 1,t 2 )=exp δ(s)ds t 1. (9) Definicja 7. Czynnikiem dyskontującym nazywamy wartość obecną jednostki płatnej w chwili t: 1 v(t)= A(,t), (1) a przy ciągłej stopie procentowej δ(t) ( v(t)=exp t ) δ(s)ds (11) Skończonylubnieskończonyciągchwilczasu: t 1 <t 2 <...Ztymi chwilamiczasuzwiązanyjestteżciągpłatnościc 1,c 2,...(wchwilit i następuje płatnośćc i ). Wartość obecna tego strumienia to Φ = c j v(t j ), (12) i=1 o ile ten szereg jest zbieżny(suma może też być oczywiście po skończonej ilości elementów). Płatność chwilowa płatność w chwili czasu t przypadająca na jednostkę czasu,określonazapomocąfunkcjiρ(t),t.ż.wokresieodtdot+dtpłatność wynosi ρ(t)dt. 2
Wartość obecna strumienia płatności określonego funkcją ρ(t) dana jest przez Φ = T ρ(t)v(t) dt, (13) o ile całka jest zbieżna. Wartość przyszła wykorzystujemy wtedy symbol FV. Dla strumienia dyskretnego mamy T FV T = c j A(t j,t), (14) a dla strumienia ciągłego FV T = T i=1 ρ(t)a(t,t)dt. (15) Niecha i oznaczanasząinwestycjęwchwilit i (czylia i ),zaśb i zwrot zinwestycjiwchwilit i (b i ),przyczymrozpatrujemytylkociągiskończone chwilczasowycht 1,t 2,...,t m.zatemc i =a i +b i. Rozwiązanie Φ (δ)= (16) jest nazywane wewnętrzną stopą zwrotu. Załóżmy, że inwestor może lokować i pożyczać pieniądze na pewien procenti I.Wtedywartośćobecnastrumieniapłatnościwynikającychzinwestycji przyprocenciei I m NPV(iI)= c j (1+i I ) t k (17) nazywanajestwartościąobecną(zdyskontowaną)nettoprzystopiei I. Wypłata z pojedynczego kuponu obliczana jest względem stopy procentowej i oraz wartości nominalnej V jak przy schemacie procentu prostego dla kapitałuv,tzn.jestonarówna I=V i p. (18) Niechc j wypłatawchwilit j wynikającazposiadaniaobligacji(np.kupon lub wypłata końcowa). Wtedy P= np nazywamy wewnętrzną wartością obligacji. C= gdzie C cena rynkowa obligacji. np c j (1+ i YTM p ) tj (19) c j, (2) tj (1+i R ) np C= c j e δtj. (21) 3
Dla ułatwienia zakładamy, że P = C(wewnętrzna wartość obligacji jest równa jej cenie rynkowej). Niech δ stopa zwrotu związana z tą obligacją. np D(δ)= t jc j e δtj np c (22) je δtj nazywamy czasem trwania obligacji(w j. ang. duration) lub średnim terminem wykupu. Możemy też zdefiniować czas trwania względem stopy procentoweji YTM : np D(i YTM )= t jc j (1+ i YTM p ) ptj np c j(1+ i (23) YTM p ) ptj W dalszym ciągu zakładać będziemy dla ułatwienia obliczeń, że kupony są wypłacane nie częściej niż co okres podstawowy, co np. daje a z rozwinięcia Taylora mamy Zauważmy, że czyli P(δ) P(δ ) P(δ ) P(δ)= n c j e δtj, (24) = P (δ ) P(δ ) (δ δ )+ 1 P (δ ) 2P(δ ) (δ δ ) 2 +... (25) P (δ ) P(δ ) = D(δ ), (26) D(δ)= (lnp(δ)). (27) Jeśliczastrwaniaobligacjiwyrazimywzględemstopyi YTM,tozamiast(25) mamy P(i) P(i ) 1 = D(i ) (i i )+C(i )(i i ) 2, (28) P(i ) 1+i gdzie C(i )= 1 2 n t j(t j +1)c j (1+i ) tj n c j(1+i ) tj 1 (1+i ) 2 (29) jest nazywane wypukłością obligacji. Czasami zamiast czasu trwania wprowadza się zmodyfikowany czas trwania obligacji Z(25)mamy 1 MD(i )=D(i ). (3) 1+i P(δ) P(δ ) D(δ ) δ (31) dlaδdostateczniebliskichδ. Wyrażając stopy procentowe poprzez stopę dochodu w terminie do wykupu, zamiast(31) mamy P(i) P(i ) MD(i ) i (32) 4
dlaidostateczniebliskichi. Załóżmy,żeposiadamyportfelobligacjizerokuponowych.Niechc j wypłatawchwilit j dlaktórejśztychobligacji(np.wypłatawartościnominalnej w terminie wykupu), δ chwilowa stopa procentowa(stała dla całego portfela).wtedyc j e δtj jestwartościąobecnąobligacji,coutożsamiamyzjejceną. WartośćcałegoportfelaobligacjiwchwiliT wynosi Φ T (δ)= c j e δ(t tj). (33) Załóżmy,żeprzypewnejstopieδ zachodziφ T (δ )=D.Szukamytakiego zestawuparametrów(obligacji)c j,abydladowolnegoδzachodziło Φ T (δ) D. (34) Jeśli taki zestaw znajdziemy, to powiemy, że portfel jest uodporniony na natychmiastową zmianę stopy δ. Twierdzenie8.Portfelobligacjiopisanychprzezparametryc j owartościd wchwilit przystopieδ jestuodpornionynanatychmiastowązmianęstopy procentowej wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące warunki: 1.Φ T (δ )=D 2.czastrwaniaportfelawynosiT : t jc j e δtj c je δtj =T. (35) Kontrakty forward. Niech T czas wygaśnięcia kontraktu forward(w j.ang.maturityofcontract),f(,t) cenaforward,cena,poktórejmamy zawrzećtransakcjęwchwilit(czylicenadostarczeniak),s t stochastyczny proces ceny instrumentu podstawowego(np. akcji, kurs waluty). Wypłata przy długiej pozycji z kontraktu forward: wypłata przy krótkiej pozycji: Wycena kontraktów forward na akcje. S T K, (36) K S T. (37) f(,t)=s A(,T). (38) Wartość kontraktu forward na akcje. Wchwilit=wartośćkontraktudlaobustronjestzerowa:V s ()=(krótka pozycja,sprzedawca),v l ()=(długapozycja,kupujący).zkoleiwchwili rozwiązaniakontraktut=tmamyv s (T)=f(,T) S T iv l (T)=S T f(,t). Dladowolnego<t<T V l (t)=(f(t,t) f(,t))a 1 (t,t). (39) Analogicznie V s (t)=(f(,t) f(t,t))a 1 (t,t). (4) 5
Wycena kontraktów forward na akcje z dywidendami. Przypuśćmy,żeakcjawypłacawchwilit 1 dywidendęowartościd(t 1 ). S d(t 1 )A 1 (,t 1 )=f(,t)a 1 (,T). (41) Wycena kontraktów forward na waluty. S A(,T)=A F (,T)f(,T), (42) gdziea F (,T)jestczynnikiemakumulacjijedynkiobcejwalutynaobcymrynku. Jeśli przez δ oznaczymy ciągłą stopę(wolną od ryzyka) na naszym rynku, a δ F analogicznąstopę,aledlarynkuzagranicznego,tootrzymujemy f(,t)=s e (δ δf)t. (43) Wycena kontraktów forward na indeksy. Niech δ oznacza rynkową(wolną od ryzyka) stopę procentową, zaś przez δ q ciągłąstopędywidendakcjiwindeksie.wtedycenakontraktuforwardna indeks(z dywidendą) ma postać Podstawowe oznaczenia dla opcji: f(,t)=s e (δ δq)t. (44) S t procescenyinstrumentupodstawowegodlaopcji K cenarealizacjiopcji T terminwygaśnięciaopcji Wypłaty z opcji. Jeśli nie weźmiemy pod uwagę ceny opcji(tzw. premii opcyjnej płaconej przez kupującego sprzedawcy opcji), to europejska opcja call przynosi swemu nabywcy następującą wypłatę: a europejska opcja put max{s T K,}, (45) max{k S T,}. (46) Ponieważ zakup opcji kosztuje, to dokładnie rzecz biorąc wypłaty z opcji są następujące dla nabywcy europejskiej opcji call: a europejskiej opcja put: max{s T K,} C, (47) max{k S T,} P, (48) gdziecjestcenąopcjicall,p cenąopcjiput. Nabywca amerykańskiej opcji call może liczyć na wypłatę max{s t K,} C. (49) Parytetcenopcjicall put PrzezC=C(S,K,T)będziemyoznaczalicenęopcjicall(wchwilit= znamy oczywiście tylko cenę instrumentu podstawowego w chwili obecnej), a przezp=p(s,k,t)analogiczniecenęopcjiput. 6
Twierdzenie 9. Dla opcji europejskich call i put na akcje nie płacące dywidendy, zachodzi związek(zwany parytetem cen opcji) C P=S Ke rt, (5) gdzierjestciągłąstopąwolnąodryzykanadanymrynku. Twierdzenie 1(Uogólnienie tw. 9). Jeśli akcja płaci dywidendy, to równanie parytetu wygląda następująco: C P=S Φ (D) Ke rt, (51) gdzieφ (D)jestwartościąobecną(zdyskontowaną)dywidend. Twierdzenie 11. Dla opcji amerykańskich call i put na akcje niepłacące dywidend, zachodzi następujące ograniczenie parytetowe S Ke rt C P S K. (52) Ogólne warunki na ceny opcji PrzezC A oznaczaćbędziemycenęamerykańskiejopcjicall,przezc E cenę europejskiejopcjicall,przezp A amerykańskiejopcjiput,p E cenęeuropejskiej opcji put. Ceny bez dodatkowych oznaczeń odnosić się będą do obu typów opcji(amerykańskiej i europejskiej jednocześnie). C,P C<S,P<K Dlaopcjieuropejskiejcall:C E P E =S Ke rt C E >S Ke rt Dla opcji europejskiej put: C E =P E +S Ke rt,c E <S P E Ke rt < P E <Ke rt, C E =P E +S Ke rt P E Ke rt S. Twierdzenie 12. Zachodzą następujące prawidłowości: 1.JeśliK (1) <K (2),toC E( K (1)) >C E( K (2)) ip E( K (1)) <P E( K (2)). 2.JeśliK (1) <K (2),toC E( K (1)) C E( K (2)) K (2) K (1) ip E( K (2)) P E( K (1)) K (2) K (1). ( ( ) ( ( ) 3.JeśliS (1) <S (2),toCE S )<C (1) E ip E S )>P (1) E. 4.JeśliS (1) ( ) P E S (2) <S (2),toCE ( S (2) S (1). S (2) ) C E ( S (2) S (1) ) S (2) S (1) ip E ( S (2) S (1) ) Wycena opcji metodą drzewkową Przypuśćmy, że cena instrumentu podstawowego(np. akcji) może zmienić sięwt=1dodwóchmożliwychwartości S (1+d)lubS (1+u),przyczym 7
d<,zaśu>,zodpowiednimiprawdopodobieństwami1 plubp.wten sposób { S (1+u)=S u zprawd.p S 1 = S (1+d)=S d (53) zprawd.1 p Podejście replikacji portfela zastosować można do dowolnego instrumentu pochodnego, np. dowolnego typu opcji. Przez f(.) oznaczmy funkcję wypłaty z instrumentu pochodnego. Ogólnie, niech { f(s u f(s 1 )= ) zprawd.p f ( ) S d zprawd.1 p. (54) Cena dowolnego instrumentu pochodnego na jeden okres C f (S,1,K)= 1 ( f(s u 1+r )p +f ( S d ) (1 p ) ), (55) gdziec f jestszukanącenąinstrumentupochodnego,a Mamy bowiem C f (S,1,K)= 1 1+r E p (f(s 1))=E p p = r d u d. (56) ( ) 1 1+r f(s 1). (57) Rozpatrzmymodeldwuokresowy(tzn.T=2).Załóżmy,żedlaS umamy znowu dwa możliwe stany(w górę lub dół) w następnym okresie, które oznaczymyodpowiednios uu =S (1+u)(1+u)iS ud =S (1+u)(1+d).Podobniedla dmamydwamożliwestany Sdd =S (1+d)(1+d)iS du =S (1+d)(1+u). WnajprostszymujęciumamyzatemS ud =S du. Zatemwchwilit=1możemyobliczyćcenęinstrumentupochodnegojakw modelu jednookresowym { ( C f (S u C f (S 1,2,K)=,2,K)= 1 1+r f(s uu )p +f ( ) S ud (1 p ) ) C f (S d,2,k)= ( ( ) 1 1+r f S du p +f ( ) S dd (1 p ) ), (58) stąd C f (S,2,K)= 1 ( Cf (S u 1+r,2,K)p +C f (S d,2,k)(1 p ) ) = 1 ( = f(s uu (1+r) 2 )(p ) 2 +f ( S ud ) 2p (1 p )+f ( S dd ) (1 p ) 2). (59) Prawdopodobieństwop określazatemrozkładdwumianowy. Przez prostą indukcję otrzymujemy zatem dla T = n i dowolnego instrumentu podstawowego, którego wypłaty zależą tylko od ceny instrumentu podstawowegowchwilit,ogólnywzór C f (S,n,K)= 1 (1+r) n E p (f(s T)), (6) gdziep określaprawdopodobieństwowrozkładziedwumianowymznpróbami. 8