Iteracyjne rozwiązywanie równań

Podobne dokumenty
Metody numeryczne I Równania nieliniowe

1 Równania nieliniowe

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

Metody numeryczne Wykład 7

Elementy metod numerycznych

Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji

Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

Optymalizacja ciągła

Metody rozwiązywania równań nieliniowych

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Metody Numeryczne. Wojciech Szewczuk

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Laboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych

Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji

Bardzo łatwa lista powtórkowa

RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan

Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)

Zagadnienia - równania nieliniowe

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Wstęp do Programowania potok funkcyjny

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A

Zaawansowane metody numeryczne

Metody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych.

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Metody numeryczne w przykładach

Obliczenia iteracyjne

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.

KADD Minimalizacja funkcji

Aproksymacja diofantyczna

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski

Rachunek Różniczkowy

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy. Wykład 5. Karol Tarnowski A-1 p.

Analiza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum

Lab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur.

Ciagi liczbowe wykład 4

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

Optymalizacja ciągła

22 Pochodna funkcji definicja

Równania nieliniowe. LABORKA Piotr Ciskowski

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

x y

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

Ciągi liczbowe wykład 3

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Zaawansowane metody numeryczne

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

Pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim

Matematyka dyskretna dla informatyków

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II

Prawdopodobieństwo i statystyka

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

Ułamki łańcuchowe i liczby niewymierne. Ułamki łańcuchowe i liczby niewymierne

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Transkrypt:

Elementy metod numerycznych

Plan wykładu 1 Wprowadzenie

Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2

Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych

Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych 4

Poznamy iteracyjne metody rozwiązywania równań w rodzaju f (x) = 0. Zauważmy, ze nawet najprostsze równania tego rodzaju moga nie mieć rozwiązań dających się reprezentować w postaci zmiennoprzecinkowej (np. x 2 2 = 0). Dlatego zależy nam na metodach znajdujących przybliżenie rozwiązania. Wyjściem każdej z poznanych metod będzie ciąg liczb x n, który (mamy nadzieję) bedzie ciągiem coraz lepszych przybliżeń rozwiązania badanego równania.

Rząd zbieżności Definicja Niech x n x 0. x n to supremum zbioru liczb α, dla których istnieje stała dodatnia C taka, że: x n+1 x 0 C x n x 0 α. Uwaga Im większy rząd zbiezności, tym szybciej ciąg dąży do swojej granicy.

Rząd zbieżności Definicja Niech x n x 0. x n to supremum zbioru liczb α, dla których istnieje stała dodatnia C taka, że: x n+1 x 0 C x n x 0 α. Uwaga Im większy rząd zbiezności, tym szybciej ciąg dąży do swojej granicy. Powyższe supremum może nie być osiągane.

Zbieżność liniowa Gdy rząd zbieżności jest równy 1, mówimy o zbieżności liniowej.

Zbieżność liniowa Gdy rząd zbieżności jest równy 1, mówimy o zbieżności liniowej. Dla przykładu, gdy x n = q n dla q < 1, to lim x n = 0 i x n+1 x n, więc ciąg geometryczny jest zbieżny liniowo do zera.

Zbieżność liniowa cyfry Poniżej mamy rozwinięcia dziesiętne kolejnych elementów ciągu x n = 1/7 n : 0,14285714285714285714 0,02040816326530612244 0,00291545189504373177 0,00041649312786339025 0,00005949901826619860 0,00000849985975231408 0,00000121426567890201 0,00000017346652555743 0,00000002478093222249 0,00000000354013317464 0,00000000050573331066 0,00000000007224761580 0,00000000001032108797 0,00000000000147444113 0,00000000000021063444 0,00000000000003009063 0,00000000000000429866 0,00000000000000061409 Zauważmy, że liczba poprawnych cyfr przybliżenia rośnie mniej więcej liniowo.

Zbieżność kwadratowa Gdy rząd zbieżności jest równy 2, mówimy o zbieżności kwadratowej

Zbieżność kwadratowa Gdy rząd zbieżności jest równy 2, mówimy o zbieżności kwadratowej Dla przykładu, gdy x n = nq n2, to rząd zbieżności wynosi 2 (to przykład na to, że supremum w definicji rzed zbiezności nie musi być osiągane).

Zbieżność kwadratowa cyfry Poniżej mamy rozwinięcia dziesiętne kolejnych elementów ciągu x n = n/1,5 n2 : 0,666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 0,395061728395061728395061728395061728395061728395061728395061 0,078036884621246761164456637707666514250876390794086267337296 0,006089755361389779258680353376973823395282534992618833847995 0,000198010640211830448892720934881026620585318416667990329864 0,000002747045952709300813441666918229555243670389793805444261 0,000000016467449727581565534503667884838435696848007203891494 0,000000000042978317257267070839581116467149597300980326539923 0,000000000000049073894613928690780119838549220439032691595954 0,000000000000000024596544265798292692437939959390953980172032 0,000000000000000000005424382915085985288042359397937083569965 0,000000000000000000000000527278352941779252439674603612037675 0,000000000000000000000000000022621456917765593920364187005600 0,000000000000000000000000000000000428786655284481941463841142 0,000000000000000000000000000000000000003593833656176496125537 0,000000000000000000000000000000000000000000013327775369878652 0,000000000000000000000000000000000000000000000000021881397431 0,000000000000000000000000000000000000000000000000000000015911 Zauważmy, że liczba poprawnych cyfr przybliżenia rośnie mniej więcej kwadratowo.

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Poznamy 3 tradycyjne metody (przybliżonego) rozwiązywania równania f (x) = 0. Będziemy zakładali, że funkcja f jest ciągła.

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Metoda bisekcji Punktem startowym metody bisekcji jest para punktów a i b taka, że wartości funkcji f (a) i f (b) mają różne znaki. Z własności Darboux wynika, że f (ξ) = 0 dla pewnego ξ (a, b): a b

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Metoda bisekcji algorytm 1 Znajdujemy środek c przedziału (a, b) zawierającego pierwiastek. 2 Obliczamy wartość f (c). 3 Zastępujemy jeżeli znak f (a) jest taki sam jak znak f (c), to zastępujemy a przez c. W przeciwnym przypadku zastępujemy b przez c. 4 Powtarzmy tę procedurę tak długo, aż osiągniemy pożądaną dokładność.

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Metoda bisekcji analiza Zalety Metoda jest bardzo prosta i odporna na pojawiające się problemy. W każdym kroku na pewno zwiększymy dokładność przybliżenia. Wady Metoda jest stosunkowo wolno zbieżna: tylko zbieżność liniowa.

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Metoda siecznych Na starcie may dane dwa różne punkty x 0 i x 1. Kolejnym przybliżeniem rozwiązania będzie miejsce zerowe prostej przechodzącej przez punkty (x 0, f (x 0 )) i (x 1, f (x 1 )). x 0 x 2 x 1 Równanie siecznej: y f (x 0 ) = f (x 0) f (x 1 ) x 0 x 1 (x x 0 ) Stąd, biorąc y = 0 dostajemy: x 2 = x 0 f (x 0)(x 0 x 1 ) f (x 0 ) f (x 1 )

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Metoda siecznych algorytm 1 Znajdujemy prostą przechodzącą przez punkty (x n, f (x n )) i (x n+1, f (x n+1 )). 2 Definiujemy x n+2 jako miejsce zerowe otrzymanej prostej. 3 Powtarzmy tę procedurę tak długo, aż wartość f (x n ) będzie wystarczająca mała lub zajdzie inne kryterium stopu.

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Metoda siecznych analiza Zalety Metoda jest szybsza od metody bisekcji, zbieżność jest szybsza niż liniowa, chociaż wolniejsza niż kwadratowa. Można pokazać, że rząd zbieżności wynosi 5+1 2. Metoda ta jest w pewnym sensie najbardziej ekonomiczna. Wady Metoda nie zawsze działa można podać przykłady, w których otrzymany ciąg nie będzie zbieżny do istniejącego rozwiązania. Punkty startowe powinny być blisko rozwiązania.

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Metoda stycznych (Newtona-Raphsona) Na starcie may dany punkt x 0. Kolejnym przybliżeniem rozwiązania będzie miejsce zerowe stycznej przechodzącej przez punkty (x 0, f (x 0 )). x 1 x 0 Równanie stycznej: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Stąd, biorąc y = 0 dostajemy: x 1 = x 0 f (x 0) f (x 0 )

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Metoda stycznych algorytm 1 Znajdujemy prostą przechodzącą przez punkt (x n, f (x n )). 2 Definiujemy x n+1 jako miejsce zerowe otrzymanej prostej. 3 Powtarzmy tę procedurę tak długo, aż osiągniemy pożądaną dokładność lub zajdzie inne kryterium stopu.

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Metoda stycznych analiza Zalety Metoda jest szybsza zarówno od metody bisekcji jak i od metody siecznych, zbieżność jest kwadratowa (o ile pierwiastek jest pojedynczy). Metoda jest bardzo dobra, jeżeli jesteśmy w stanie dla konkretnej funkcji f uprościc wzór rekurencyjny i uniknąc obliczania f (x n ) i f (x n ). Wady Metoda nie zawsze działa można podać przykłady, w których otrzymany ciąg nie będzie zbieżny do rozwiązania. Punkty startowy powinien być blisko rozwiązania. Musimy być w stanie obliczyć pochodną to nie zawsze jest proste.

Kontrakcja Definicja Funkcję między przestrzeniami metrycznymi f : X Y nazywamy kontrakcją (odwzorowaniem zwężającym) jeśli istnieje liczba λ [0, 1) taka, że f (x) f (y) λ x y.

Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie Niech f : X X będzie kontrakcją, gdzie X jest zupełną przestrzenią metryczną (np. X = [a, b] lub X = R). Wtedy istnieje dokładnie jeden punkt stały s X dla f, to znaczy punkt taki, że f (s) = s. Co więcej, jeśli x 0 X jest dowolnym punktem i x n+1 = f (x n ), to lim x n = s.