Artur Berliński 1 Modelowanie logistycznych sytuacji decyzyjnych w konwencji zadań programowania matematycznego 24 Wstęp O konkurencyjności przedsiębiorstwa decyduje między innymi, efektywna strategia kierowania procesem dostaw która powinna być niezawodna i terminowa. Efektywne zarządzanie łańcuchem logistycznym może zagwarantować rozwój organizacji. Modelowanie systemów logistycznych stanowi kluczowy element w procesach planowania organizowania, sterowania i kontroli przepływem dóbr i informacji określanych mianem zarządzania logistycznego i oznacza matematyczny opis funkcjonowania tych procesów. Konstruowanie modeli wiąże się zwykle z wyprowadzaniem formuł matematycznych, definiowaniem wielkości występujących w tych formułach, określaniem ich zakresów oraz konstruowaniem wzajemnych relacji między tymi wielkościami. Zastosowanie modeli matematycznych jest prostym i szybkim sposobem ukazującym wariantowe rozwiązania problemu przy założonych warunkach. W pracy rozważa się możliwości stosowania narzędzi z obszaru programowania matematycznego w zadaniach rozwiązywania konkretnych sytuacji decyzyjnych związanych z logistyką przedsiębiorstwa. W szczególności formułuje się zadania logistyczne w konwencji tzw. problemu komiwojażera, rozwiązując go metodami optymalizacji matematycznej. Sposoby modelowania Modelowanie matematyczne pozwala opisać zachowanie systemu. Na jego podstawie można wnioskować o wpływie konkretnych czynników na funkcję celu charakteryzującą wielkość wyjściową. 1 dr inż. Artur Berliński, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Logistyka 6/2013 Na podstawie modelu można zweryfikować założoną hipotezę, znaleźć zbiór rozwiązań, dopuszczalnych, ocenić go wybierając wariant najlepiej opisujący badany system. W zadaniach modelowania systemów logistycznych są wykorzystywane różne narzędzia teoretyczne. Można rozróżnić zasadniczo dwie grupy, którymi są metody dokładne oraz przybliżone. Metody dokładne to głównie narzędzia teoretyczne modelowania analitycznego, wykorzystujące: programowanie matematyczne, a w szczególności programowanie liniowe i całkowitoliczbowe. Problem decyzyjny przedstawia się w postaci zadania optymalizacyjnego z liniową funkcją celu i ograniczeniami. Powszechnie stosowaną metodą rozwiązującą takie zadania jest algorytm simpleks oraz metody dyskretyzacji zmiennych, takie jak Gomory go lub Land-Doiga. tzw. algorytmy dedykowane, rozwiązują określone problemy np.: transportowy, marszrutyzacji, kolejnosciowy itp.. Algorytmy dedykowane można budować stosując np. tzw. schemat podziału i ograniczeń B&B (ang. Branch and Bound). Polega on na tym, że zbiór wszystkich możliwych kolejności rozwiązań dzieli się na coraz to mniejsze podzbiory, w ramach kolejnych iteracji. Każdemu z nich przyporządkowuje się wartość określonej na nim funkcji ograniczającej i na tej podstawie wybiera się kierunek dalszego przeglądu rozwiązań. Metody przybliżone często bazują na sztucznej inteligencji, w szczególności są to: Algorytmy ewolucyjne Mianem algorytmów ewolucyjnych określa się komputerowe systemy rozwiązywania problemów, które działają, na zasadach, jakie można zaobserwować w naturalnej ewolucji żywych organizmów. Ich idea bazuje na procesach obserwowanych w przyrodzie,
takich jak selekcja osobników i ewolucja gatunków, mechanizmy rozmnażania oraz związane z nimi dziedziczenie cech2. Algorytmy symulowanego wyżarzania SA (ang. simulation annealing), jest to rodzaj algorytmu heurystycznego przeszukującego przestrzeń alternatywnych rozwiązań problemu w celu wyszukania rozwiązań najlepszych. Sposób działania symulowanego wyżarzania przypomina zjawisko wyżarzania w metalurgii3. Algorytmy mrówkowe - AS (ang. Ant System) - zaproponowany przez Marco Dorigo, jest probabilistyczną techniką rozwiązywania problemów poprzez szukanie dobrych dróg w grafach. Jest on zainspirowany zachowaniem mrówek szukających pożywienia dla swojej kolonii4. Algorytm Taboo Search TS. Podstawową ideą algorytmu jest przeszukiwanie przestrzeni, stworzonej ze wszystkich możliwych rozwiązań, za pomocą sekwencji ruchów. W sekwencji ruchów istnieją ruchy niedozwolone, ruchy tabu. Algorytm unika oscylacji wokół optimum lokalnego dzięki przechowywaniu informacji o sprawdzonych już rozwiązaniach w postaci listy tabu (TL). Twórcą algorytmu jest Fred Glover. W rezultacie działania takich metod, w stosunkowo krótkim czasie można znaleźć rozwiązanie, co najmniej dopuszczalne, a jeżeli uda się dobrze przystosować jedną z ogólnie znanych heurystyk do dziedziny problemu, istnieją szanse na znalezienie rozwiązania zbliżonego w znacznym stopniu do optimum. Znane są liczne przykłady zastosowania m.in. algorytmów ewolucyjnych do modelowania zadań logistycznych, np. praca [5], przedstawiająca wyniki praktycznego zastosowania algorytmów ewolucyjnych do modelowania sytuacji, decyzyjnej ustalania planu przewozów z kilku centrów dystrybucyjnych, do kilku odbiorców, przy jednoczesnym uwzględnieniu zasobu dysponowanego, tak aby koszty przedsięwzięcia były jak najmniejsze. 2 Jadczak R., Wykorzystanie programowania ewolucyjnego do rozwiązania problemu wielu komiwojażerów", Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej w Katowicach, 2004, Katowice 2004, s. 123-141, 3 Woch M., Rozwiązanie problem dostaw z oknami czasowymi za pomocą symulowanego wyżarzania, Studia Informatica 2(58), 2004. 4 Werner, K. Mierzwiak, R. Pochmara, J., Zastosowanie algorytmu mrówkowego w logistyce dystrybucji, Logistyka, nr 2, 2009. Modele systemów logistycznych, ze względu na rodzaj wykorzystanych informacji dzieli się także na: deterministyczne i niedeterministyczne (stochastyczne i rozmyte). Ze względu na postać funkcji celu (liczbę kryteriów) na: liniowe, nieliniowe, jednoi wielokryterialne. Ogólna klasyfikacja może być dużo szersza. Wybór metody modelowania ma decydujący wpływ na efektywność procesu zarządzania logistycznego. Z uwagi na żywotne znaczenie tego etapu dla powodzenia całości działań w obrębie procesu planowania ciągle aktualny jest problem poszukiwania lepszych metod. Stosowanie metod przybliżonych jest często ryzykowne ze względu na brak gwarancji na osiągnięcie zbieżności procesu szeregowania. Algorytmy tego typu muszą mieć dobrze określone warunki zatrzymania oraz sposób generowania rozwiązania inicjującego proces. Alternatywą dla metod przybliżonych modelowania mniej złożonych problemów jest zastosowanie dzisiaj metod z grupy tzw. dokładnych. Klasyczne metody optymalizacyjne w konfrontacji z nowoczesną technika komputerową można współcześnie uznać za efektywne narzędzia, rozwiązujące często trudne i złożone sytuacje decyzyjne, także w zadaniach logistyki. Modele systemów logistycznych zwykle uwzględniają konfigurację sieci logistycznej, a więc wielkości przepływów, charakterystykę sieci transportowej, lokalizację magazynów i ich cechy, itp. Modelowanie powinny być ukierunkowane na rozwiązanie konkretnego zagadnienia logistycznego, np. optymalizację systemu dystrybucji, wybór przewoźnika, ocenę pracy magazynu itp. Modele matematyczne opisujące systemy logistyczne mogą mieć różny charakter i są stosowane zależnie od celu badań. Właściwe konstruowanie modelu programowania matematycznego polega na znalezieniu zależności analitycznych odpowiadających formułowanemu problemowi przedstawionemu w postaci zadania optymalizacyjnego. Formułowanie zadania optymalizacyjnego polega na opisie sytuacji decyzyjnej w języku matematycznym. Przystępując do zapisu problemu decyzyjnego w postaci matematycznej, zwykle należy określić 5 : parametry, wielkości znane bądź zdefiniowane a priori, niezmienne podczas rozwiązywania danego problemu; 5 Jacyna M., Modelowanie i ocena systemów transportowych, OWPW, Warszawa, 2009. Logistyka 6/2013 25
zmienne decyzyjne, wielkości poszukiwane, które wymagają ustalenia podczas rozwiązywania problemu ; ograniczenia, wyrażone algebraicznie przez układ równań i (lub) nierówności względem zmiennych decyzyjnych; funkcję kryterium, wskaźnik jakości rozwiązania wyrażony algebraicznie względem zmiennych decyzyjnych. Aktualnie dostępnych jest wiele implementacji programowych w/w narzędzi teoretycznych, zarówno dokładnych jak i przybliżonych, pozwalających na szybką budowę modeli problemów decyzyjnych i generowanie rozwiązań w czasie rzeczywistym (on-line). Zastosowanie modeli ma etapie planowania, czy projektowania pozwala na optymalizację struktury i parametrów, jest narzędziem oceny jakości rozwiązania, eliminacji słabych ogniw, zastosowania układów nadzoru. Model systemu logistycznego Przed operatorem logistycznym (decydentem) staje często zadanie ustalenia takiego planu przewozów towarów, który dawałby optymalne wyniki ze względu na przyjęte kryterium optymalizacyjne. Dla potrzeb nowoprojektowanego zakładu produkcyjnego należało opracować podsystem transportowy odpowiedzialny za dostawę i odbiór materiałów oraz wyrobów gotowych. W zależności częstotliwości dostarczania i odbierania elementów uzależniono wielkość magazynów przystanowiskowych, a także projekt systemu wykorzystywanych palet. W systemie założono 16 stanowisk montażowych wykonujących niezależne zadania. Projektowanie rozmieszczenia stanowisk spełniać ma wymogi zaopatrzenia w media oraz zasady ergonomii pracy. Odległości między stanowiskami produkcyjnymi uwzględniają panujące przepisy i wymagania. Organizacja podsystemu transportowego zakładawykorzystanie jednego środka jezdnego obsługiwanego przez operatora- pracownika. W przyszłości zakłada się wyeliminowanie operatora i zastosowanie zautomatyzowanego wózka poruszającego się według zadanej marszruty. Projektowanie systemu ma na celu wybór najlepszego rozwiązania gwarantującego ciągłość procesów pod kątem terminowej dostawy, dobór właściwego środka transportu, ograniczenie kosztów przy uwzględnieniu energochłonności wykonywanych ruchów. Problem wyboru kolejności przepływów transportu można modelować w konwencji problemu komiwojażera, znając odległości pomiędzy wszystkimi punktami dostaw lub odbioru. Problem komiwojażera (TSP - ang. traveling salesman problem) jest zagadnieniem z teorii grafów, polegającym na znalezieniu minimalnego cyklu Hamiltona w pełnym grafie ważonym. Nazwa pochodzi od typowej ilustracji problemu, przedstawiającej go z punktu widzenia wędrownego sprzedawcy (komiwojażera): dana jest liczba miast, które komiwojażer ma odwiedzić, oraz odległość pomiędzy każdą parą miast. Można rozróżnić symetryczny problem komiwojażera (STSP), polegający na tym, że odległość pomiędzy miastami A i B jest zawsze taka sama, oraz asymetryczny problem (ATSP), gdzie odległość od miasta A do miasta B może być inna, niż odległość od miasta B do miasta A. Znane są metody optymalizacyjne przybliżone rozwiązujące problem komiwojażera bazujące, np. na algorytmie mrówkowym. Współcześnie, wobec możliwości komputerowego wspomagania rozwiązywania problemów optymalizacji, efektywnym sposobem generowania rozwiązań problemu komiwojażera, nawet dla złożonych problemów, może być zastosowanie także metod dokładnych, takich jak programowanie liniowe. Model programowania liniowego problemu komiwojażera zakłada minimalizację funkcji celu, wyrażającej sumę wszystkich cykli Hamiltona w grafie: przy ograniczeniach: n n c i,j x i,j min (1) i=1 j=1 n x i,j = 1 ; (i=1,2,3,...,n) (2) j=1 n x i,j = 1 ; ( j=1,2,3,...,n) (3) i=1 u i u j +nx i,j n 1 ; (4) (i,j=2,3,...,n;i j), x i,j C + (5) gdzie: n - określa liczbę rozpatrywanych wierzchołków grafu Hamiltona, c i,j - odległość (koszt przejazdu) między miastem i a miastem j. x i,j - zmienna incydencji, określająca występowanie odcinka i-j w marszrucie przyjmuje wartości z dwuelementowego zbioru {0,1}, u i - dodatkowa 26 Logistyka 6/2013
zmienna ciągłości cyklu Hamiltona. Warunki (2) oznaczają, że z każdego miasta komiwojażer musi wyjechać jeden raz, a warunki (3), że do każdego miasta może wjechać tylko jeden raz. Warunki (4) zapobiegają przed pojawieniem się rozwiązania składającego się z marszruty nie przechodzącej przez wszystkie miasta, czyli, elementy zbioru {(i,j): x ij =1} można ustawić w ciąg {(i 1,i 2 ),(i 2,i 3 ),(i n-1,i n ),(i n,i 1 )}. Przedstawione zadanie komiwojażera można rozwiązać stosując algorytm simpleks. Dyskretyzację zmiennych do liczb całkowitych można przeprowadzić metodą Land Doiga 6. Dostępne są implementacje programowe tych metod. Najpopularniejsze programy implementujące takie procedury optymalizacyjne to: Premium Solver, Solver (Excel), QSopt, Xpress-MP, Cplex. Odległości zostały sparametryzowane. Do optymalizacji wykorzystano narzędzie Risk Solver Platform V 9.0 firmy Frontline Systems Inc. (Rys. 1), implementujące różne procedury optymalizacyjne, w tym algorytm simpleks z dyskretyzacją zmiennych. Program pozwala rozwiązywać zadania optymalizacji do 2000 zmiennych decyzyjnych oraz do 1000 ograniczeń liniowych lub nieliniowych. Rozwiązaniem zadania jest kolejność marszruta transportowa pomiędzy rozpatrywanymi punktami dostaw/odbioru, przedstawiona w tablicy incydencji (rys. 1). Przykładowo dla rozwiązywanego zadania plan transportu odpowiada następującej permutacji: {11, 10, 2, 3, 12, 13, 14, 15, 7, 6, 5, 4, 1, 8, 16, 9}. Rys. 1. Implementacja arkuszowa zadania marszrutowania w systemie transportowym Źródło: opracowanie własne Dla przedmiotowej sytuacji decyzyjnej opracowano implementację arkuszową zadania optymalizacji planu przewozów - kolejności odwiedzin punktów obioru/dostawy, w programie Excel. Parametrami zadania są odległości pomiędzy punktami, zapisane w postaci tablicy przedstawionej na rys. 1. 6 Land A. H., Doig A. G., An automatic method of solving discrete programming problems, Econometrica, 1960, 28/3, 497 520s. Zrealizowany przykład rozwiązuje problem marszrutyzacji pomiędzy 16-stoma punktami odbiorców lub dostawców towaru. Większe zadania (liczby miast) nastręczały problemy związane z złożonością obliczeniową. Wyznaczenie optymalnego planu przewozów wiąże się ze znalezieniem najkrótszej drogi pomiędzy poszczególnymi punktami nadania/odbioru towaru. Odległość pomiędzy dwoma miastami modelu, odpowiada odległościom sąsiednich punktów przewozów, Logistyka 6/2013 27
ale przekłada się także na czas, zużycie zasobów, energii itp. W konwencji przedstawionego aparatu matematycznego daje się modelować szereg sytuacji decyzyjnych występujących w zadaniach zarządzania logistyką. Narzędzie może być przydatne, gdzie zachodzi potrzeba uzyskania odpowiedzi na pytanie: w jakiej kolejności mają być odwiedzani odbiorcy, aby koszty transportu towaru były jak najmniejsze? Wnioski Prawidłowe funkcjonowanie logistyki zaopatrzenia w przedsiębiorstwie to organizacja podsystemów przepływu materiałów wewnątrz zakładu produkcyjnego, a także od planowanie i koordynowanie dostaw od/do kontrahentów zewnętrznych. Identyfikacja czynności, optymalizacja procesów wpływa konkurencyjność produktu gwarantując minimalizację ceny. Modelowanie systemów logistycznych pozwala na określenia warunków postępowania dla uzyskania materiałów, półproduktów, surowców odpowiedniej ilości, określonej jakości, we właściwym miejscu i czasie. Praca obrazuje możliwości wspomagania zadań planowania logistycznego metodami optymalizacji matematycznej. Korzyści wynikające z wdrożenia metody mogą dotyczyć wzrostu wykorzystania technicznych środków transportowych, skrócenia cyklu planowania. Implementacja arkuszowa modelu marszrutowania pozwala ograniczyć wydatki na drogie systemy informatyczne realizujące generowanie tras i jednocześnie uzyskać narzędzie wspomagającego podjęcie decyzji. Wdrożenie dedykowanych rozwiązań oferowanych na rynku jest bowiem opłacalne tylko w przypadku dużych firm, które mają do czynienia z koniecznością planowania tras dla ogromnej liczby tras. Możliwości łatwej implementacji modelu umożliwia rozbudowywanie i dopasowanie modelu do zmiennych warunków. Krótki czas obliczeń (dla rozpatrywanego przypadku ok. 1 min.) umożliwia efektywne rozwiązywanie podobnych zadań praktycznych, a także adaptacje do innych problemów decyzyjnych występujących w praktyce. Parametryzacja modelu umożliwia generowanie tras dla różnych przypadków sytuacji decyzyjnej. Zastosowanie metody dokładnej gwarantuje, że rozwiązanie jest efektywne. Streszczenie W pracy zaprezentowano przegląd narzędzi teoretycznych użytecznych w obszarze wspomagania podejmowania decyzji w systemach logistycznych. Przedstawiono przykład zastosowania modelowania analitycznego i optymalizacji marszrut transportowych w konwencji problemu komiwojażera. Zaproponowano algorytm obliczeniowy oraz zaimplementowano i rozwiązano przykładowe zadanie. Abstract This paper presents an overview of the theoretical tools useful in the area of decision support in logistics systems. An example of the application of analytical modeling and optimization of transport routes in the Convention traveling salesman problem. Calculation algorithm is proposed and implemented and solved sample job. Literatura 1. Abt S., Logistyka w teorii i praktyce, Wyd. Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, 2001, Poznań 2. Gołembska E., Kompendium wiedzy o logistyce, Wyd. PWE, Warszawa-Poznań 1999. 3. Jadczak R., Wykorzystanie programowania ewolucyjnego do rozwiązania problemu wielu komiwojażerów", Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej w Katowicach, 2004, Katowice 2004, s. 123-141, 4. Jacyna M., Modelowanie i ocena systemów transportowych, OWPW, Warszawa, 2009. 5. Krawczyk S., Metody ilościowe w logistyce, C.H.BECK, 2001, Warszawa 6. Krawczyk S., Zarządzanie procesami logistycznymi, PWE, 2001, Warszawa 7. Land A. H., Doig A. G., An automatic method of solving discrete programming problems, Econometrica, 1960, 28/3, 497 520s. 8. Michowicz E., Problem komiwojaĩera dla kilku centrów dystrybucji, Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej, 2009, z70, s. 115-129. 9. Setlak G., Zastosowanie algorytmów genetycznych do harmonogramowania zadań w systemie produkcyjnym 28 Logistyka 6/2013
10. 6. SETLAK G., Zastosowanie algorytmów genetycznych do harmonogramowania zada w systemie produkcyjnym. Technologia i Automatyzacja Montażu - Kwartalnik naukowotechniczny Nr 2/2004, str. 3-6. 11. Sawik, T.: Scheduling batches of printed wiring boards in surface mount technology lines Czasopismo: Zeszyty Naukowe. Automatyka / Politechnika Śląska rok: 2002, z. 134, s. 339--349, Bibliogr. 6 poz. 12. Woch M., Rozwiązanie problem dostaw z oknami czasowymi za pomocą symulowanego wyżarzania, Studia Informatica 2(58), 2004. 13. Werner, K. Mierzwiak, R. Pochmara, J., Zastosowanie algorytmu mrówkowego w logistyce dystrybucji, Logistyka, nr 2, 2009 Logistyka 6/2013 29