Prawdopodobieństwo geometryczne Krzysztof Jasiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń V Lieceum Ogólnokształące im. Jana Pawała II w Toruniu 13.03.2014 Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 1/21
Doświadczenia losowe Doświadczenie losowe doświadczenie, którego wyniku nie da się z góry przewidzieć, a jednocześnie dające się powtarzać w tych samych warunkach. Zbiór zdarzeń elementarnych zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia, oznaczamy go zazwyczaj symbolem Ω. Zdarzenia podzbiory zbioru Ω. Przykład 1. Rzucamy jeden raz monetą. zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {Orzeł,Reszka} = {O, R}. przykłady zdarzeń: zdarzenie A wypadł orzeł, tzn. A = {O}, zdarzenie B wypadł orzeł lub wypadła reszka, tzn. B = {O, R}. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 2/21
Doświadczenia losowe Doświadczenie losowe doświadczenie, którego wyniku nie da się z góry przewidzieć, a jednocześnie dające się powtarzać w tych samych warunkach. Zbiór zdarzeń elementarnych zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia, oznaczamy go zazwyczaj symbolem Ω. Zdarzenia podzbiory zbioru Ω. Przykład 1. Rzucamy jeden raz monetą. zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {Orzeł,Reszka} = {O, R}. przykłady zdarzeń: zdarzenie A wypadł orzeł, tzn. A = {O}, zdarzenie B wypadł orzeł lub wypadła reszka, tzn. B = {O, R}. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 2/21
Doświadczenia losowe Przykład 2. Rzucamy jeden raz kostką do gry. zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. przykłady zdarzeń: zdarzenie A wypadła liczba parzysta, tzn. A = {2, 4, 6}, zdarzenie B wypadła liczba mniejsza od trzech, tzn. B = {1, 2}. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 3/21
Prawdopodobieństwo Każdemu zdarzeniu A przyporządkowujemy liczbę P(A) [0, 1]. Liczba ta określa szansę, że to zdarzenie zajdzie i nazywamy ją prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A. Inaczej mówiąc określamy pewną funkcję, której dziedziną jest zbiór zdarzeń, a zbiorem wartości przedział [0, 1]. Własności prawdopodobieństwa. Niech A i B będą dowolnymi zdarzeniami P(A) [0, 1], P(Ω) = 1, Jeżeli A B =, to P(A B) = P(A) + P(B). Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 4/21
Prawdopodobieństwo Każdemu zdarzeniu A przyporządkowujemy liczbę P(A) [0, 1]. Liczba ta określa szansę, że to zdarzenie zajdzie i nazywamy ją prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A. Inaczej mówiąc określamy pewną funkcję, której dziedziną jest zbiór zdarzeń, a zbiorem wartości przedział [0, 1]. Własności prawdopodobieństwa. Niech A i B będą dowolnymi zdarzeniami P(A) [0, 1], P(Ω) = 1, Jeżeli A B =, to P(A B) = P(A) + P(B). Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 4/21
Prawdopodobieństwo Przykład 1. Rzut monetą. Ω = {O, R}. Prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych określamy zazwyczaj następująco P({O}) = 1 2, P({R}) = 1 2. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 5/21
Prawdopodobieństwo Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych określamy zazwyczaj następująco P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Korzystając z tego możemy obliczyć prawdopodobieństwa innych zdarzeń, np. P( wypadnie liczba parzysta ) = P({2, 4, 6}) = = P({2} {4} {6}) = = P({2}) + P({4}) + P({6}) = = 1 6 + 1 6 + 1 6 = 1 2. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 6/21
Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/21
Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/21
Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/21
Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/21
Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/21
Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/21
Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/21
Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/21
Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/21
Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/21
Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/21
Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/21
Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/21
Problem Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Pytania: Jak wygląda zbiór zdarzeń elementarnych? Ile jest zdarzeń elementarnych? Ile wynosi prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia elementarnego? Czy możemy stosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa? Jak obliczać prawdopodobieństwa różnych zdarzeń, np. P({x 1 2 }) = P({x > 1 4 }) = P({ 1 2 x < 3 4 }) = P({x = 1 3 }) = Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 9/21
Problem Odpowiedzi: Ω = [0, 1] Jest nieskończenie wiele zdarzeń elementarnych, Ω = +, P({x}) = 0 dla dowolnego x [0, 1], Nie możemy stosować klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Wynika z tego, że aby określić np. P({x 1 2 }) potrzebna jest inna definicja prawdopodobieństwa. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 10/21
Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/21
Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/21
Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/21
Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/21
Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/21
Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/21
Przykład Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0, 1 3 ]? Rozwiązanie: Ω = [0, 1], A = [0, 1 3 ], 1 P(A) = P(x [0, 1 długość(a) 3 ]) = długość(ω) = 3 1 = 1 3. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 12/21
Przykład Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0, 1 3 ]? Rozwiązanie: Ω = [0, 1], A = [0, 1 3 ], 1 P(A) = P(x [0, 1 długość(a) 3 ]) = długość(ω) = 3 1 = 1 3. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 12/21
Przykład Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0, 1 3 ]? Rozwiązanie: Ω = [0, 1], A = [0, 1 3 ], 1 P(A) = P(x [0, 1 długość(a) 3 ]) = długość(ω) = 3 1 = 1 3. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 12/21
Przykład Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0, 1 3 ]? Rozwiązanie: Ω = [0, 1], A = [0, 1 3 ], 1 P(A) = P(x [0, 1 długość(a) 3 ]) = długość(ω) = 3 1 = 1 3. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 12/21
Zadanie 1 Wewnątrz koła o promieniu 5 wybrano losowo jeden punkt. Oblicz prawdopodobieństwo, że znajduje się on w odległości mniejszej niż 2 od środka koła. Rozwiązanie: Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 25}, A = {(x, y) : x 2 + y 2 < 4}, P(A) = P({(x, y) : x 2 + y 2 < 2}) = pole(a) pole(ω) = 4π 25π = 4 25. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 13/21
Zadanie 1 Wewnątrz koła o promieniu 5 wybrano losowo jeden punkt. Oblicz prawdopodobieństwo, że znajduje się on w odległości mniejszej niż 2 od środka koła. Rozwiązanie: Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 25}, A = {(x, y) : x 2 + y 2 < 4}, P(A) = P({(x, y) : x 2 + y 2 < 2}) = pole(a) pole(ω) = 4π 25π = 4 25. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 13/21
Zadanie 1 Wewnątrz koła o promieniu 5 wybrano losowo jeden punkt. Oblicz prawdopodobieństwo, że znajduje się on w odległości mniejszej niż 2 od środka koła. Rozwiązanie: Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 25}, A = {(x, y) : x 2 + y 2 < 4}, P(A) = P({(x, y) : x 2 + y 2 < 2}) = pole(a) pole(ω) = 4π 25π = 4 25. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 13/21
Zadanie 1 Wewnątrz koła o promieniu 5 wybrano losowo jeden punkt. Oblicz prawdopodobieństwo, że znajduje się on w odległości mniejszej niż 2 od środka koła. Rozwiązanie: Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 25}, A = {(x, y) : x 2 + y 2 < 4}, P(A) = P({(x, y) : x 2 + y 2 < 2}) = pole(a) pole(ω) = 4π 25π = 4 25. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 13/21
Zadanie 2 W koło wpisany jest kwadrat. Oblicz prawdopodobieństwo, że punkt rzucony losowo na koło znajdzie się wewnątrz kwadratu. Rozwiązanie: Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 r 2 }, A = {(x, y) wnętrze kwadratu}, P(A) = P({(x, y) wnętrze kwadratu}) = pole(a) pole(ω) = 2r 2 πr 2 = 2 π. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 14/21
Zadanie 2 W koło wpisany jest kwadrat. Oblicz prawdopodobieństwo, że punkt rzucony losowo na koło znajdzie się wewnątrz kwadratu. Rozwiązanie: Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 r 2 }, A = {(x, y) wnętrze kwadratu}, P(A) = P({(x, y) wnętrze kwadratu}) = pole(a) pole(ω) = 2r 2 πr 2 = 2 π. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 14/21
Zadanie 2 W koło wpisany jest kwadrat. Oblicz prawdopodobieństwo, że punkt rzucony losowo na koło znajdzie się wewnątrz kwadratu. Rozwiązanie: Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 r 2 }, A = {(x, y) wnętrze kwadratu}, P(A) = P({(x, y) wnętrze kwadratu}) = pole(a) pole(ω) = 2r 2 πr 2 = 2 π. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 14/21
Zadanie 2 W koło wpisany jest kwadrat. Oblicz prawdopodobieństwo, że punkt rzucony losowo na koło znajdzie się wewnątrz kwadratu. Rozwiązanie: Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 r 2 }, A = {(x, y) wnętrze kwadratu}, P(A) = P({(x, y) wnętrze kwadratu}) = pole(a) pole(ω) = 2r 2 πr 2 = 2 π. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 14/21
Zadanie 3 Dwie osoby umawiają się między godziną 10.00 a 11.00. Pierwsza osoba, która przyjdzie czeka kwadrans, ale nie dłużej niż do 11.00, i jeśli się nie doczeka, odchodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że te osoby się spotkają. Rozwiązanie: x moment przyjścia I osoby, y moment przyjścia II osoby. Ω = {(x, y) : 0 x 60, 0 y 60}, (czas wyrażony w minutach), A = {(x, y) [0, 60] 2 : y x y + 15, x y x + 15} = {(x, y) [0, 60] 2 : x 15 y x + 15}, Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 15/21
Zadanie 3 Dwie osoby umawiają się między godziną 10.00 a 11.00. Pierwsza osoba, która przyjdzie czeka kwadrans, ale nie dłużej niż do 11.00, i jeśli się nie doczeka, odchodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że te osoby się spotkają. Rozwiązanie: x moment przyjścia I osoby, y moment przyjścia II osoby. Ω = {(x, y) : 0 x 60, 0 y 60}, (czas wyrażony w minutach), A = {(x, y) [0, 60] 2 : y x y + 15, x y x + 15} = {(x, y) [0, 60] 2 : x 15 y x + 15}, Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 15/21
Zadanie 3 Dwie osoby umawiają się między godziną 10.00 a 11.00. Pierwsza osoba, która przyjdzie czeka kwadrans, ale nie dłużej niż do 11.00, i jeśli się nie doczeka, odchodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że te osoby się spotkają. Rozwiązanie: x moment przyjścia I osoby, y moment przyjścia II osoby. Ω = {(x, y) : 0 x 60, 0 y 60}, (czas wyrażony w minutach), A = {(x, y) [0, 60] 2 : y x y + 15, x y x + 15} = {(x, y) [0, 60] 2 : x 15 y x + 15}, Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 15/21
Zadanie 3 Dwie osoby umawiają się między godziną 10.00 a 11.00. Pierwsza osoba, która przyjdzie czeka kwadrans, ale nie dłużej niż do 11.00, i jeśli się nie doczeka, odchodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że te osoby się spotkają. Rozwiązanie: x moment przyjścia I osoby, y moment przyjścia II osoby. Ω = {(x, y) : 0 x 60, 0 y 60}, (czas wyrażony w minutach), A = {(x, y) [0, 60] 2 : y x y + 15, x y x + 15} = {(x, y) [0, 60] 2 : x 15 y x + 15}, Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 15/21
Zadanie 3 cd. Rozwiązanie: P(A) = 1 P(A ) = 1 pole(a ) pole(ω) = 1 452 60 2. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 16/21
Zadanie 3 cd. Rozwiązanie: P(A) = 1 P(A ) = 1 pole(a ) pole(ω) = 1 452 60 2. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 16/21
Jak obliczyć pole nie znając rachunku całkowego? Problem. Dana jest funkcja f : [a, b] R +. Jak obliczyć pole figury ograniczonej osią OX prostymi x = a i x = b oraz krzywą y = f (x)? Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 17/21
Obliczanie pól metodą Monte Carlo Wybieramy losowo N punktów z prostokąta [a, b] [0, Max] (N duże). r N liczba punktów, które znalazły się wewnątrz obszaru S, tzn. pod wykresem funkcji f (na rysunku zostały oznaczone kolorem czerwonym). Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 18/21
Obliczanie pól metodą Monte Carlo r NN określa jaka część punktów trafiła w obszar S. Ponieważ punkty są rozłożone równomiernie na całym prostokącie, więc możemy rozsądnie przyjąć, że obszar S stanowi r N N część obszaru całego prostokąta tzn. Stąd Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) r N N. Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) rn N = Max (b a) rn N Im więcej punktów wylosowaliśmy tym przybliżenie to powinno być dokładniejsze. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 19/21
Obliczanie pól metodą Monte Carlo r NN określa jaka część punktów trafiła w obszar S. Ponieważ punkty są rozłożone równomiernie na całym prostokącie, więc możemy rozsądnie przyjąć, że obszar S stanowi r N N część obszaru całego prostokąta tzn. Stąd Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) r N N. Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) rn N = Max (b a) rn N Im więcej punktów wylosowaliśmy tym przybliżenie to powinno być dokładniejsze. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 19/21
Obliczanie pól metodą Monte Carlo r NN określa jaka część punktów trafiła w obszar S. Ponieważ punkty są rozłożone równomiernie na całym prostokącie, więc możemy rozsądnie przyjąć, że obszar S stanowi r N N część obszaru całego prostokąta tzn. Stąd Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) r N N. Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) rn N = Max (b a) rn N Im więcej punktów wylosowaliśmy tym przybliżenie to powinno być dokładniejsze. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 19/21
Metody Monte Carlo historia Metodami Monte Carlo nazywamy klasę metod, które do numerycznego rozwiązywania złożonych zagadnień wykorzystują komputerowe generowanie liczb pseudolosowych odpowiadających możliwym parametrom wejściowym badanego układu (opisanego modelem matematycznym). Metody Monte-Carlo stosowane są w różnych dziedzinach np. przy projektowaniu eksperymentów fizycznych (np. doświadczeń z cząstkami elementarnymi), modelowaniu procesów fizycznych (np. powstawania struktur we wszechświecie itp.), wyznaczania cen różnych instrumentów finansowych. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 20/21
Metody Monte Carlo historia Idee tej metody przedstawili w latach 40-tych XX wieku naukowcy pracujący w laboratorium w Los Alamos przy projekcie Manhattan Stanisław Ulam, John von Neumann, Enrico Fermi i Nicholas Metropolis. Nazwa pochodzi od słynnego kasyna w Monte Carlo, w którym podobno grywał często wujek Stanisława Ulama. Wielokrotne powtarzanie tych samych eksperymentów losowych można porównać do regularnego uczestnictwa w grach hazardowych. Takie symulacje losowe przeprowadzane były już wcześniej, ale służyły raczej do weryfikacji znanych rezultatów (uzyskanych innymi metodami), a nie do właściwego rozwiązywania problemów. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 21/21