OTYMALIZCJA DYSTRYBUCJI W WARUNKACH NIEPEWNOCI PROBABILISTYCZNEJ.

Transkrypt

1 OTYALIZCJA DYSTRYBUCJI W WARUKACH IEPEWOCI PROBABILISTYCZEJ. arek Dolata, Aleksandra Ptak marek@zapr.com.pl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej ul. Dbrowskiego 73, Czstochowa Streszczenie. Zagadnienie optymalizacji działalnoci dystrybutora sformułowane jako uogólnienie klasycznego problemu transportowego. Uwzgldniono nie tylko koszty transportu ale ograniczenia zwizane z moliwoci spełnienia kontraktu zawartego pomidzy dystrybutorem i odbiorcami oraz midzy dystrybutorem i dostawcami. Otrzymano numeryczne rozwizanie problemu w sytuacji stałych parametrów na przykładzie trzech odbiorców i trzech dostawców. Oprócz tego zagadnienie rozwizywano w sytuacji niepewnoci parametrów modelu. Przy tym uywano probabilistycznego podejcia do formalizacji niepewnoci. Problem został rozwizany algorytmem programowania liniowego simplex przy zastosowaniu liczb losowych z wykorzystaniem metody onte-carlo. Ciekawym wynikiem zastosowania podejcia onte-carlo jest niejednoznaczno rezultatów. Otrzymane gstoci prawdopodobiestwa dla iloci dostaw s dwu ekstremalne. Jednoczenie oceniono ilo eksperymentów numerycznych losowych niezbdnych dla otrzymania adekwatnych rezultatów przy zastosowaniu procedury onte- Carlo w zagadnieniu optymalizacji działalnoci dystrybutora. Kluczowe słowa: Programowanie liniowe; problem dystrybutora; problem transportowy; niepewno probabilistyczna; metoda onte-carlo. Abstract. The distributor's problem as the extension of well known classical transportation problem is considered. ot only the transportation costs but also the distributor s possibility to fit all the contract with the customers and the salesmen. The probabilistic uncertainty of models parameters is taken into account. The onte - Carlo approach is used to provide the numerical experiments with mathematical model obtained. As the result the probability distributions for all output characteristic of process considered have been obtained. It is interesting that the frequency distributions have two extremes. The number of model starting when realizing the onte-carlo procedure to get a smooth resulting probability distributions is estimated, too. Keywords: Linear programming; distributor s problem; transportation problem, onte-carlo method.. Wprowadzenie Zagadnienie optymalizacji działalnoci dystrybutora moe by sformułowane jako uogólnienie klasycznego problemu transportowego. Konwencjonalny problem transportowy jest specjalnym typem programowania liniowego gdzie sam problem jak i ograniczenia s opisane szczególn matematyczn struktur. ródłem dostaw moe by producent, magazyn itp. dla którego mamy przypisane odpowiednie parametry, podobnie jak dla celu dostaw; dodatkowo znane s koszty transportu na danych trasach. W klasycznym podejciu chodzi o minimalizacj kosztów poniesionych przez porednika podczas transportowania towaru od producentów do konsumentów, w opisywanym podejciu postanowiono dokona maksymalizacji zysku dystrybutora przy tych samych warunkach. W 979, Isermann [] przedstawił algorytm, dla rozwizywania problemu, przy pomocy którego został wyliczony komplet wszystkich skutecznych rozwiza. Ringuest i Rinks [2] proponowali dwa algorytmy iteracyjne dla rozwizywania liniowego wielokryterialnego problemu transportowego. Podobne rozwizanie zaproponowane w [3]. Róne efektywne algorytmy zostały opracowane dla tego problemu transportowego ale z uwzgldnieniem stałych parametrów zadania opisanych w postaci liczb rzeczywistych. Jednake takie warunki s spełnione

2 rzadko albo niemale nigdy ze wzgldu na wahania parametrów; przykładowo ciko ustali stały koszt dla okrelonej trasy. W pracy [4] taki problem był rozwizany w warunkach przedziałowej niepewnoci kosztów transportowych. W pracach S.Chanasa i D. Kuchty [5, 6] rozwinito podejcie oparte na rozmyto przedziałowym przedstawieniu niepewnych parametrów modelu. Rozwój tego podejcia przedstawiony jest w pracy [7], jednak w literaturze brakuje prac powiconych uwzgldnieniu niepewnoci parametrów modelu o charakterze probabilistycznym. Dlatego w artykule przedstawione s rezultaty numerycznego rozwizania problemu optymalizacji działalnoci dystrybutora w sytuacji kiedy niepewne parametry modelu opisane s za pomoc gstoci prawdopodobiestwa. 2. Problem dystrybutora uwzgldniajcy rynkowe warunki Problem dystrybutora mona zdefiniowa przyjmujc, e porednik zaopatruje si u producentów i dostarcza towar do konsumentów Rys. Producent Konsument Producent 2 DYSTRYBUTOR Konsument Producent Konsument Rys.. Graficzna prezentacja problemu dystrybutora Załoono, e wiadome s maksymalne moliwoci producentów dotyczce iloci wyprodukowanego surowca wynoszce a i, (i=,2,..., ) i maksymalne zdolnoci odbioru towarów przez konsumentów b j, (j=, 2,..., ). Dystrybutor posiada informacj o cenach za jednostk towaru który kupuje u kadego producenta i o cenach sprzeday dla kadego konsumenta. Wiadomo e straty na dostarczenie jednostki towaru od i-tego producenta do j-tego konsumenta s równe c ij, (i=,2,..., ; j=, 2,...,). Zgodnie z zawartymi umowami dystrybutor jest zobowizany kupowa u i-tego producenta minimum p i jednostek towaru po cenie t i za jednostk oraz gwarantowa dostarczenie j-temu konsumentowi minimum q j jednostek tego towaru po cenie s j za jednostk. Cał ilo towaru powyej omówionej w kontrakcie wartoci p i, dystrybutor kupuje po cenie promocyjnej k i za jednostk. Z kolei konsument kupuje cał ilo towaru powyej q j take po cenie promocyjnej r j za jednostk. Rozwizaniem problemu s optymalizowane iloci towaru kupowanego u kadego i tego producenta oraz dostarczonego i sprzedanego j-temu konsumentowi x ij (i=,2,..., ; j=, 2,...,) w warunkach ogranicze zwizanych z podpisanymi umowami z producentami i konsumentami dotyczcymi iloci kupna i sprzeday.

3 W wyniku dochód dystrybutora D moe by przedstawiony przez wyraenie D ( ) ( ) ( )+ = q s j p ti c + j= x j j= i= ij q i= j i i= j= ij * r j xij p * i k i () i= j= x ij ograniczeniach: W rezultacie zadanie redukuje si do znalezienia wszystkich x ij maksymalizujcych dochód D przy - dotyczcych górnych granic popytu i poday j= x ( i.. ); ij a i = x ij b j = j i= (.. ); (2) - dotyczcych dolnych granic popytu i poday j= x ( i =.. ); ij p i i= x ( j =.. ); ij q j (3) Postawiony w ten sposób problem mona rozwiza jako zadanie programowania liniowego przy wykorzystaniu algorytmów programowania liniowego. Do rozwizania przykładów numerycznych prezentujcych opracowane metody zastosowano algorytm simplex odpowiednio zmodyfikowany w zalenoci od metody. Jako podstawa do dalszej analizy rozwamy konkretny przykład kiedy dystrybutor współpracuje z trzema odbiorcami i z trzema dostawcami. Przypumy, e wszystkie parametry opisane s przez bazowe dane rzeczywiste Dane s wartoci w abstrakcyjnych jednostkach miary, j.m: =3; =3 ; a =460 j.m. b =40 j.m. p =440 j.m. q =390 j.m. a 2 = 460 j.m. b 2 =50 j.m. p 2 =440 j.m. q 2 =490j.m. a 3 = 60 j.m b 3 =60 j.m. p 3 =590 j.m. q 3 =590j.m. t =600 j.m. s =000 j.m. k =590 j.m. r =990 j.m. t 2 =49 j.m. s 2 =30 j.m. k 2 =480 j.m. r 2 =00 j.m. t 3 =58 j.m. s 3 =97 j.m. k 3 =570 j.m. r 3 =80 j.m.

4 c =00 j.m. c 2 =30j.m. c 3 =00 j.m. c 2 =0 j.m. c 22 =36 j.m. c 23 =405 j.m. c 3 =20 j.m. c 32 =48 j.m. c 33 = j.m. Stosujc algorytm programowania liniowego simplex zgodnie z zalenociami (),(2),(3) wyniki kształtuj si w nastpujcy sposób: x =40 j.m. x 2 =50 j.m. x 3 =0 j.m. x 2 =0 j.m. x 22 = 460 j.m. x 23 = 0 j.m. x 3 =0 j.m. x 32 =0 j.m. x 33 =60 j.m. gdzie x ij optymalizowane ilo towaru kupowana u i tego producenta i sprzedawana j temu konsumentowi. Optymalizowany dochód całkowity dystrybutora w rozpatrywanej sytuacji wynosi D=78030 j.m. Ze wzgldu na to, e parametry, które podaje decydent jako zmienne decyzyjne jak równie uzyskane wyniki s liczbami rzeczywistymi to zasadno stosowania takiego algorytmu w warunkach panujcej na rynku niepewnoci jest niewielka. ie pozwala on na podejmowanie optymalizowanych decyzji jednak umoliwia porównanie rozwiza z innymi algorytmami które uywaj jako dane wejciowe np. liczb rozmytoprzedziałowych. 3. Rezultaty zastosowania metody onte-carlo do rozwizywania problemu dystrybutora. Przedstawiony problem powinien uwzgldnia zmiany parametrów wejciowych podawanych przez decydenta takich jak koszty na poszczególnych trasach czy maksymalne zdolnoci wytwórcze producenta lub odbiorcze konsumenta oraz moliwo waha cen. Podejcie takie pozwoli na obiektywn ocen sytuacji panujcej na rynku, a co za tym idzie na podjcie optymalizowanej decyzji w warunkach niepewnoci. Z tego te wzgldu opracowane zostało podejcie probabilistyczne uwzgldniajce moliwo waha parametrów decyzyjnych zgodnie z podanym przez decydenta odchyleniem standardowym. Korzystajc z zalenoci (), (2) i (3) oraz z algorytmu programowania liniowego simplex opisanego powyej rozwizano problem transportowy wykorzystujc wielokrotne losowanie parametrów wejciowych zadania zgodnie z podan przez decydenta wartoci redni i odchyleniem standardowym. W wyniku przeprowadzonych losowa parametry wejciowe podobnie jak i optymalizowane wielkoci bdce rozwizaniem problemu reprezentowane s w postaci rozkładu prawdopodobiestwa. Dokładno wyników wzrasta wraz z iloci przeprowadzanych losowa, w zwizku z czym algorytm ten jest bardzo czasochłonny.

5 a podstawie otrzymanych w postaci rozkładu prawdopodobiestwa wyników dla poszczególnych tras otrzymujemy rozwizanie optymalne pozwalajce na ocen w jakich granicach i z jakim ryzykiem ustali ilo towaru transportowan od i-tego producenta do j-tego konsumenta. W zastosowanej metodzie posłuono si tymi samymi bazowymi danymi wejciowymi co i w rozdziale 2, traktujc je jednak jako wartoci rednie dodatkowo podajc odchylenie standardowe. Odchylenie standardowe dla opisywanego przykładu wynosiło σ=0 j.m. dla kadej zmiennej decyzyjnej równania () i ogranicze (2) i (3). Przeprowadzono prób oblicze przy wykorzystaniu algorytmu simplex dla losowanych z uwzgldnieniem wartoci redniej i odchylenia standardowego wszystkich zmiennych decyzyjnych. Dane wejciowe po prób układaj si w kształcie przebiegu, który odpowiada rozkładowi Gaussa. Przykład F(a ) dla zmiennej a =460 j.m. σ=0 j.m. przedstawiono na rysunku 2. Rys. 2. Rozkład gstoci zmiennej a dla miliona prób. W wyniku przeprowadzonych oblicze otrzymano wyniki, które przedstawione zostały na rysunkach Rys. 3 do Rys. 9.

6 Rys. 3. Wynik reprezentujcy rozkład zmiennej x. Rys. 4. Wynik reprezentujcy rozkład zmiennej x 2. Rys. 5. Wynik reprezentujcy rozkład zmiennej x 3. Rys. 6. Wynik reprezentujcy rozkład zmiennej x 2 Rys. 7. Wynik reprezentujcy rozkład zmiennej x 22. Rys. 8. Wynik reprezentujcy rozkład zmiennej x 3.

7 Rys. 9. Wynik reprezentujcy rozkład Rys. 0. Optymalizowany dochód całkowity dystrybutora D. zmiennej x 33. Jak wida na otrzymanych rysunkach rezultaty zastosowania metody onte-carlo s niejednoznaczne. Z innej strony porównujc wynikowe gstoci zmiennych losowych i rozwizania bazowe bez uwzgldnienia niepewnoci (rozdział 2) mona w sposób jednoznaczny ustali które z otrzymanych gstoci w wikszym stopniu odpowiada rozwizaniu optymalizowanemu. Porównujc dane rozdziałów 2 i 3 łatwo zauway, e rzeczywistym optymalizowanym rozwizaniem odpowiadaj gstoci prawdopodobiestwa charakteryzujce si wikszymi czstotliwociami. Z rysunku 0 wynika, e dla otrzymania do gładkich gstoci prawdopodobiestwa rezultatów rozwizania zadania optymalizacji działalnoci dystrybutora potrzebne około uruchomie bazowego algorytmu na podstawie metody simplex. 4. Podsumowanie Zastosowanie procedury onte-carlo jednoczenie z metod simplex dla rozwizywania zagadnienia optymalizacji działalnoci dystrybutora w warunkach probabilistycznej niepewnoci parametrów powoduje otrzymanie wyników niejednoznacznych. Tak, gstoci prawdopodobiestwa optymalizowanych x ij (ilo towaru kupowana u i tego producenta i sprzedawana j temu konsumentowi) maj dwa wyra ne ekstrema. Ustalono, e prawidłowy wybór optymalizowanego rozwizania w tych warunkach moe by dokonane za pomoc porównywania rozwizania w warunkach niepewnoci i bazowego rozwizania opartego na rednich wartociach parametrów niepewnych. Wyra nie pokazano, e dla otrzymania do gładkich gstoci prawdopodobiestwa opisujcych wyniki rozwizania zadania optymalizacji z uyciem procedury losowania onte-carlo potrzebna jest bardzo dua ilo uruchomie (około ) bazowego zagadnienia optymalizacji za pomoc metody simplex. Ostatni wniosek mona rozpatrywa jako uzasadnienie dla zastosowania w optymalizacji działalnoci dystrybutora innych metod modelowania niepewnoci np. metod teorii zbiorów rozmytych.

8 LITERATURA [] H. Isermann, The enumeration of all efficient solution for a linear multiple-objective transportation problem, aval Research Logistics Quarterly 26 (979) 23-39; [2] J.L. Ringuest, D.B. Rinks, Interactive solutions for the linear multiobjective transportation problem, European Journal of Operational Research 32 (987) [3] A.K. Bit,.P. Biswal, S.S. Alam, Fuzzy programming approach to multicriteria decision making transportation problem, Fuzzy Sets and Systems 50 (992) [4] S.K. Das, A. Goswami, S.S. Alam, ultiobjective transportation problem with interval cost, source and destination parameters, European Journal of Operational Research 7 (999) 00-2 [5] S. Chanas,. Delgado, J.L Verdegay and.a. Vila, Interval and fuzzy extensions of classical transportation problems, Transportation Planning Technol. 7(993) [6] S. Chanas, D. Kuchta, Fuzzy integer transportation problem, Fuzzy Sets and Systems 98 (998) [7] Waiel F. Abd El-Wahed, A multi-objective transportation problem under fuzziness, Fuzzy Sets and Systems 7 (200) 27{33