ROZMYTA OPTYMALIZCJA DZIAŁALNOCI DYSTRYBUTORA

Transkrypt

1 ROZYTA OPTYALIZCJA DZIAŁALOCI DYSTRYBUTORA arek Dolata, Ludmiła Dymowa, Janusz Grabara, Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej ul. Dbrowskiego 73, Czstochowa Streszczenie. W zagadnieniu optymalizacji działalnoci dystrybutora uwzgldniono nie tylko koszty transportu ale ograniczenia zwizane z moliwoci spełnienia kontraktu zawartego pomidzy dystrybutorem i odbiorcami oraz midzy dystrybutorem i dostawcami. W odrónieniu do podej klasycznych do formalizacji istniejcych niepewnoci za pomoc metod probabilistycznych uyte zostały elementy teorii zbiorów rozmytych pozwalajce na uwzgldnienie nie tylko obiektywnych informacji otrzymanych za pomoc statystycznej obróbki danych ale wiedzy i intuicji specjalistów z dziedziny oraz decydentów. Dla rozwizania problemu uyto rozmytego uogólnienia tradycyjnej metody programowania liniowego simplex za pomoc programowania obiektowego. Przy tym w realizacji operacji arytmetycznych na liczbach rozmytych uyto procedury ich przedstawienia w postaci sieci α-przekrojów. Istotnym problemem w realizacji tego podejcia jest porównywanie liczb rozmytych, dlatego uywano oryginalnej procedury opartej na probabilistycznej interpretacji przedziałów ostrych i rozmytych. Rezultaty testów porównywano z analogicznymi otrzymanymi za pomoc procedury losowania onte-carlo. Ciekawym wynikiem zastosowania podejcia onte-carlo jest niejednoznaczno rezultatów co sprawia problemy interpretacji wyników. Udowodniono, e jednoznaczna interpretacja tego wyniku moe by uzyskana za pomoc podejcia rozmyto-przedziałowego. Kluczowe słowa: Problem dystrybutora; programowanie liniowe rozmyte; problem transportowy romyty; metoda onte-carlo.. Wprowadzenie Zagadnienie optymalizacji działalnoci dystrybutora moe by sformułowane jako uogólnienie klasycznego problemu transportowego. Konwencjonalny problem transportowy jest specjalnym typem programowania liniowego gdzie sam problem jak i ograniczenia s opisane szczególn matematyczn struktur. ródłem dostaw moe by producent, magazyn itp. dla którego mamy przypisane odpowiednie parametry, podobnie jak dla celu dostaw; dodatkowo znane s koszty transportu na danych trasach. W klasycznym podejciu chodzi o minimalizacj kosztów poniesionych przez porednika podczas transportowania towaru od producentów do konsumentów, w opisywanym podejciu postanowiono dokona maksymalizacji zysku dystrybutora przy tych samych warunkach. W 979, Isermann [] przedstawił algorytm, dla rozwizywania problemu, przy pomocy którego został wyliczony komplet wszystkich skutecznych rozwiza. Ringuest i Rinks [2] proponowali dwa algorytmy iteracyjne dla rozwizywania liniowego wielokryterialnego problemu transportowego. Podobne rozwizanie zaproponowane w [3]. Róne efektywne algorytmy zostały opracowane dla tego problemu transportowego ale z uwzgldnieniem stałych parametrów zadania opisanych w postaci liczb rzeczywistych. Jednake takie warunki s spełnione rzadko albo niemale nigdy ze wzgldu na wahania parametrów; przykładowo ciko ustali stały koszt dla okrelonej trasy. W pracy [4] taki problem był rozwizany w warunkach przedziałowej niepewnoci kosztów transportowych. W pracach S.Chanasa i D. Kuchty [5, 6] rozwinito podejcie oparte na rozmyto-przedziałowym przedstawieniu niepewnych parametrów modelu. Rozwój tego podejcia przedstawiony jest w pracy [7]. Ogóln charakterystyk omówionych prac jest wprowadzenie ogranicze dotyczcych formy funkcji przynalenoci. To pozwala autorom przekształci pierwotny problem rozmytego programowania liniowego

2 w sie zwykłych zada programowania liniowego za pomoc procedur analitycznych. W praktyce jednak funkcje przynalenoci opisujce parametry niepewne uywanych modeli mog mie do skomplikowane formy, oprócz tego istotnym momentem opracowania algorytmów programowania rozmytego jest niezbdno porównywania liczb rozmytych. Istnieje wiele podej do tego ale bdziemy uywali podejcia probabilistycznego [8, 9] pozwalajcego za pomoc tylko jednego zupełnie naturalnego załoenia stwierdzajcego, e przedział jest przedziałem liczby losowej ze stał gstoci prawdopodobiestwa, otrzyma cały zbiór operacji porównywania przedziałów ostrych, przedziałów rozmytych (z uyciem α- przekrojów) oraz przedziałów i liczb rzeczywistych. Proponowane podejcie pozwala na bezporednie rozmyte rozszerzenie klasycznego algorytmu simplex z implementacj metody za pomoc programowania obiektowego. 2. Posta matematyczna problemu Problem dystrybutora mona zdefiniowa przyjmujc, e porednik zaopatruje si u producentów i dostarcza towar do konsumentów Rys. Rys.. Graficzna prezentacja problemu dystrybutora Załoono, e wiadome s maksymalne moliwoci producentów dotyczce iloci wyprodukowanego surowca wynoszce a i,(,2,..., ) i maksymalne zdolnoci odbioru towarów przez konsumentów b j, (, 2,..., ). Dystrybutor posiada informacj o cenach za jednostk towaru który kupuje u kadego producenta i o cenach sprzeday dla kadego konsumenta. Wiadomo, e straty na dostarczenie jednostki towaru od i-tego producenta do j-tego konsumenta s równe c, (,2,..., ;, 2,...,). Zgodnie z zawartymi umowami dystrybutor jest zobowizany kupowa u i-tego producenta minimum p i jednostek towaru po cenie t i za jednostk oraz gwarantowa dostarczenie j-temu konsumentowi minimum q j jednostek tego towaru po cenie s j za jednostk. Cał ilo towaru powyej omówionej w kontrakcie wartoci p i, dystrybutor kupuje po cenie promocyjnej k i za jednostk. Z kolei konsument kupuje cał ilo towaru powyej q j take po cenie promocyjnej r j za jednostk. Rozwizaniem problemu s optymalizowane iloci towaru kupowanego u kadego i-tego producenta oraz dostarczonego i sprzedanego j-temu konsumentowi x (,2,..., ;, 2,...,) w warunkach ogranicze zwizanych z podpisanymi umowami z producentami i konsumentami dotyczcymi iloci kupna i sprzeday.

3 W wyniku dochód dystrybutora D moe by przedstawiony przez wyraenie D ( ) ( ) ( )+ = q s j p ti c + x j q j i * r j x p * i k i () x ograniczeniach: W rezultacie zadanie redukuje si do znalezienia wszystkich x maksymalizujcych dochód D przy - dotyczcych górnych granic popytu i poday x ( i.. ); a i = x b j = j (.. ); (2) - dotyczcych dolnych granic popytu i poday x ( i =.. ); p i x ( j =.. ); q j (3) Sformułowany problem mona rozwiza jako zadanie programowania liniowego przy wykorzystaniu algorytmów programowania liniowego np. simplex. Uwzgldniajc, e wszystkie parametry w ()-(3) s danymi niepewnymi bdziemy przedstawiali je za pomoc liczb rozmytych o trapezoidalnej formie. Wtedy zagadnienie optymalizacji działalnoci dystrybutora moe by przedstawione w formie: ( zˆ xˆ ) max D ˆ = (4) - ograniczenia dotyczce górnych granic popytu i poday ˆ x ( i =.. ); ai ˆ x ( j =.. ); b j (5) - ograniczenia dotyczcych dolnych granic popytu i poday ˆ x ( i =.. ); p i ˆ x ( j =.. ); q j (6) Gdzie zˆ = rˆ kˆ cˆ dla kadego..,... j i W wyraeniach (4)-(6) Dˆ, zˆ, aˆ, bˆ, qˆ, pˆ s liczbami rozmytymi. W rezultacie otrzymamy zagadnienie maksymalizacji rozmytego dochodu (4) w warunkach ogranicze (5) i (6).

4 W praktyce czsto mamy problem zwizany z rónymi dokładnociami przedstawienia danych niepewnych np. cz opisanych powyej parametrów moe by przedstawiona w postaci trapezoidalnych liczb rozmytych na podstawie opinii ekspertów. Druga cz moe mie posta np. histogramu lub gstoci prawdopodobiestwa w do skomplikowanej formie otrzyman w wyniku bada statystycznych. W tych wypadkach zasady ogólno metodologiczne sugeruj przekształcenie wszystkich danych do formy o najmniejszym poziomie dokładnoci. Z tego tez wzgldu istnieje potrzeba transformacji danych przedstawionych w postaci rozkładu prawdopodobiestwa lub histogramu do funkcji przynalenoci do liczby rozmyto-przedziałowej. Aby uzyska dane wejciowe w postaci liczb rozmyto-przedziałowych naley najpierw zastosowa algorytm budujcy funkcj przynalenoci na podstawie gstoci zmiennych losowych, jeeli takie istniej lub bezporednio na podstawie histogramu. ajczstsz spotykan w praktyce form przedstawiania niepewnoci zwizanej z jakim parametrem decyzyjnym jest podanie wartoci redniej i odchylenia standardowego σ, które to parametry łatwo przedstawi w postaci rozkładu prawdopodobiestwa. W opisywanym przypadku zastosowano algorytm, który pozwala na przejcie od wartoci podanej w postaci dowolnego histogram lub rozkładu gstoci zmiennej losowej do liczby rozmytoprzedziałowej. Otrzymana w wyniku liczba jest przedstawiona w postaci czwórki liczb reprezentujcych liczb rozmyto-przedziałow w formie trapezu. Dla rozkładu prawdopodobiestwa zmiennej losowej przedstawionego na rysunku Rys. 2 wykonujemy nastpujce kroki algorytmu: Rys. 2 Rozkład gstoci zmiennej losowej.

5 Krok. Rozpoczynajc od najmniejszej wartoci x min (w naszym przykładzie x min =50) dc do wartoci maksymalnej x max =5 obliczamy warto funkcji F(x i ) równ polu powierzchni pod krzyw od x min do aktualnego x i ; w wyniku otrzymujemy funkcj skumulowan przedstawion na Rys. 3. Wiadomo, e funkcja skumulowana F(x i ) faktycznie jest prawdopodobiestwem tego, e x<x i. Krok 2. ajc wyznaczon funkcj skumulowan naley wyznaczy w sposób subiektywny zaleny od decydenta i od rozpatrywanego problemu cztery wartoci F(x i ) dla 0,..3, które okrelaj po zrzutowaniu na o odcitych dolne i górne przedziały ufnoci dla liczby rozmytej. Dla przedstawianego przypadku dobrano wartoci zgodnie z rysunkiem Rys. 4. W rezultacie na Rys. 4 przedział [95, 05] odpowiada prawdopodobiestwu 30%; przedział [78, 20] prawdopodobiestwu 90% Rys 3. Realizacja przejcia od funkcji skumulowanej do liczby rozmytej.

6 Krok 3. Wyznaczone po zrzutowaniu wartoci z osi odcitych zapisujemy jako liczb rozmyto-przedziałow w postaci uporzdkowanej czwórki liczb. Dla przykładu: â =[78, 95, 05, 20] Z rysunku Rys. 3 dodatkowo mona oceni poprawno odwzorowania rozkładu gstoci zmiennej losowej na liczb rozmyto-przedziałow. ona stwierdzi, e dokładno tego odwzorowania zaley od doboru odpowiednich wartoci dla funkcji skumulowanej F(x i ) dla 0,..3 okrelajcych przedziały ufnoci liczby rozmyto-przedziałowej. Trzeba take zauway, e ze wzgldu na to, i teoretycznie krzywa reprezentujca rozkład gstoci zmiennej losowej zawiera si od + do - to naley wybra punkty, wzgldem których ograniczamy dolny przedział ufnoci liczby rozmyto-przedziałowe. Wartoci F(x i ) okrelajce górny i dolny przedział ufnoci zostały wybrane symetrycznie wzgldem rodka krzywej skumulowanej. Ich rozpito jest zalena od decydenta, dobrana jednak tak aby jak najdokładniej odwzorowa funkcj przedstawiajc rozkład gstoci zmiennej losowej i ustali odpowiedni szeroko dla przedziału o najwikszym stopniu ufnoci. Opisana metoda pozwala przedstawi wszystkie dane niepewne w jednolitej formie trapezoidalnych liczb rozmytych. Proponowana metoda rozwizania zagadnienia programowania rozmytego (4)-(6) realizowana za pomoc przedstawienia wszystkich liczb rozmytych w postaci zbiorów odpowiednich α-przekrojów, faktycznie redukuje zagadnienie rozmyte w sie zagadnie programowania ostro-przedziałowego z wykorzystaniem probabilistycznej metody porównywania przedziałów [8, 9]. 3. Przykład numeryczny. Dla uproszczenia i przejrzystoci rezultatów przypumy e mamy tylko trzech producentów i trzech producentów =3; =3. W celu umoliwienia porównywania wyników programowania rozmytego z rezultatami otrzymanymi za pomoc tradycyjnej procedury onte-carlo bdziemy uywali parametrów niepewnych w pierwotnej postaci gstoci prawdopodobiestwa Gaussa z wartociami oczekiwanymi przedstawionymi w abstrakcyjnych jednostkach miary, j.m., w tablicy. Przy tym w celu uproszczenia odchylenie standardowe σ dla wszystkich gstoci przyjto równe 0 j.m. Tablica Wartoci oczekiwane rozkładów Gaussa niepewnych parametrów zagadnienia. a =460 b =40 p =440 q =390 t =600 s =000 k =590 r =990 a 2 = 460 b 2 =50 p 2 =440 q 2 =490 t 2 =49 s 2 =30 k 2 =480 r 2 =00 a 3 = 60 b 3 =60 p 3 =590 q 3 =590 t 3 =58 s 3 =97 k 3 =570 r 3 =80 c =00 c 2 =30 c 3 =00 c 2 =0 c 22 =36 c 23 =405

7 c 3 =20 c 32 =48 c 33 = Za pomoc procedury opisanej w rozdziale 2 gstoci prawdopodobiestwa przekształcone zostały w trapezoidalne przedziały rozmyte, które przedstawione s w formie cztero punktowej w tablicy 2 Tablica 2 Posta rozmyto-przedziałowa parametrów zagadnienia (4)-(6) â =[437, 455, 464, 479], â 2 =[437, 455, 464, 479], â 3 =[587, 605, 64, 629], pˆ =[47, 435, 444, 459], pˆ 2=[47, 435, 444, 459], pˆ 3=[567, 585, 594, 609], bˆ =[387, 405, 44, 429], bˆ 2=[487, 505, 54, 529], bˆ 3=[587, 605, 64, 629], qˆ =[367, 385, 394, 409], qˆ 2=[467, 485, 494, 509], qˆ 3=[567, 585, 594, 609], ĉ =[277, 295, 304, 39], ĉ 2 =[457, 475, 484, 499], ĉ 3 =[467, 485, 494, 509], ĉ 3 =[277, 295, 304, 39], ĉ 32 =[359, 377, 386, 40], ĉ 33 =[576, 594, 603, 68], ĉ 2 =[377, 395, 404, 49], ĉ 22 =[56, 579, 588, 603], ĉ 23 =[272, 290, 299, 34], Oprócz zagadnienia rozmyto-przedziałowego (4)-(6) zastosowano take tradycyjn procedur onte-carlo dla wartoci parametrów zagadnienia pierwotnego ()-(3) wylosowanych w zgodnoci z rozkładami prawdopodobiestwa Gaussa z wartociami oczekiwanymi przedstawionymi w tablicy i odchyleniami standardowymi σ =0. iektóre rezultaty porównywania wyników przedstawione s na rysunkach 4-8 Rys. 4 Graficzna reprezentacja optymalizowanego xˆ Rys. 5 Graficzna reprezentacja optymalizowanego xˆ 2

8 Rys. 6 Graficzna reprezentacja optymalizowanego xˆ 22 Rys. 7 Graficzna reprezentacja optymalizowanego xˆ Rys. 8 Graficzna reprezentacja optymalizowanego dochodu D: -metoda onte-carlo dla losowa; 2- metoda onte-carlo dla losowa; 3- metoda rozmytoprzedziałowa Widzimy, e w wyniku uywania procedury onte-carlo otrzymamy rezultaty niejednoznaczne: optymalizowane gstoci prawdopodobiestwa optymalizowanych ilo towaru kupowana u i tego producenta i sprzedawana j temu konsumentowi. x przedstawione s przez funkcj dwuekstremalne co sprawia pewne trudnoci w interpretacji rezultatów optymalizacji. Wyniki optymalizacji rozmytej s bliskie tym otrzymanym za pomoc procedury onte-carlo ale do zrozumiałe i jednoznaczne. Szeroko przedziałów rozmytych wynikowych jest wiksza ni wizualna szeroko gstoci prawdopodobiestwo jest rezultatem uwzgldnienia w procedurze rozmyto-przedziałowej nawet tych wartoci, których prawdopodobiestwo w zwykłym sensie jest prawie równe zero. Z rysunku 8 wynika, e dla otrzymania do gładkich funkcji prawdopodobiestwa gstoci dochodu potrzeba zbyt wielu losowa co faktycznie przekrela uywanie metody onte-carlo w praktyce.

9 Wszystko to wiadczy o skutecznoci i wystarczajcej dokładnoci proponowanego podejcia do rozmytoprzedziałowego problemu optymalizacji działalnoci dystrybutora. LITERATURA [] H. Isermann, The enumeration of all efficient solution for a linear multiple-objective transportation problem, aval Research Logistics Quarterly 26 (979) 23-39; [2] J.L. Ringuest, D.B. Rinks, Interactive solutions for the linear multiobjective transportation problem, European Journal of Operational Research 32 (987) [3] A.K. Bit,.P. Biswal, S.S. Alam, Fuzzy programming approach to multicriteria decision making transportation problem, Fuzzy Sets and Systems 50 (992) [4] S.K. Das, A. Goswami, S.S. Alam, ultiobjective transportation problem with interval cost, source and destination parameters, European Journal of Operational Research 7 (999) 00-2 [5] S. Chanas,. Delgado, J.L Verdegay and.a. Vila, Interval and fuzzy extensions of classical transportation problems, Transportation Planning Technol. 7(993) [6] S. Chanas, D. Kuchta, Fuzzy integer transportation problem, Fuzzy Sets and Systems 98 (998) [7] Waiel F. Abd El-Wahed, A multi-objective transportation problem under fuzziness, Fuzzy Sets and Systems 7 (200) [8] P. Sewastianow, P. Róg, K. Karczewski, A Probabilistic ethod for Ordering Group of Intervals, Informatyka teoretyczna i stosowana/computer Science. Politechnika Czstochowska, Rocznik 2, 2 (2002), [9] P. Sewastianow, P. Róg, A Probability Approach to Fuzzy and Crisp Intervals Ordering, Task Quarterly 7 o (2003), 47-56, Politechnika Czstochowska