Elektrotechnika Skrypt Podstawy elektrotechniki

Transkrypt

1 UNIWERSYTET PEDAGOGICZNY Wydział Matematyczno-Fizyczno-Techniczny Instytut Techniki Edukacja Techniczno-Informatyczna Elektrotechnika Skrypt Podstawy elektrotechniki Kraków 2015 Marcin Kapłan 1

2 Spis treści: 1. Prawa oraz wzory których używamy, przydatne informacje. 2. Test I Korzystanie z I oraz II prawa Kirchhoffa. 3. Test II Prawo Ohma w obwodzie prądu stałego. 4. Test III Obliczanie impedancji obwodu elektrycznego. 5. Test IV Obliczane impedancji i zapis wyniku do postaci wykładniczej. 6. Test V Obliczanie mocy czynnej, biernej oraz pozornej. 7. Zadania do testów. 8. Odpowiedzi do zadań. Słowa wstępne. Skrypt ten jest napisany w celu pomocy nauki oraz przedstawienia algorytmów postępowania z zadaniami z zakresu podstaw elektrotechniki. Zamieszczam w nim schematy z wytłumaczeniem wykonywania poszczególnych zadań które znajdowały się na kolokwiach dodając do tego własny zbiór zadań wraz z odpowiedziami aby można było sobie przećwiczyć samemu oraz sprawdzić wynik czy dobrze rozwiązujemy zadanie. 2

3 1. Prawa oraz wzory których używamy, przydatne informacje. Dla prądu stałego prawo Ohma mówi nam, że natężenie prądu I jest wprost proporcjonalne do napięcia U stąd: = U napięcie [V] I natężenie prądu [A] R opór zastępczy obwodu [Ω] Zaś prawo Ohma dla prądu zmiennego jest zapisywane następująco: = I Prawo Kirchhoffa - Suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów wypływających z tego węzła. = II Prawo Kirchhoffa - suma napięć na elementach skupionych tworzących ten obwód jest równa zeru: Przedrostki i przeliczanie =0 a) 15 GV = 15 * 10^9 = V b) 1,4 MA = 1,4 * 10^6 = A c) 4 mω = 4 * 0,001 = 0,004 Ω d) 12,5 ma = 12,5 * 0,001 A = 0,0125 A e) 1253,6 µv = 1253,6 * 10-6 = 0, V f) 0,0453 ma = 45,3 * 0,001 * 0,001 A = = 45,3 * 10-3 * 10-3 A = 45,3 * 10-6 A = 0, A Zadanie 1.1 Zamień na liczby. a) 3 MΩ =? b) 15 pa =? c) 122,5 ma =? d) 0,5 MV =? e) 15743,5 pω =? f) 0,0062 mω =? G Giga 10 9 = M Mega 10 6 = k kilo 10 3 = 1000 m mili 10-3 = 0,001 µ mikro 10-6 = 0, n nano 10-9 = 0, p piko = 0,

4 Tabela którą powinieneś znać na pamięć: Wielkość fizyczna Oznaczenie Jednostka Oznaczenie jednostki Napięcie U Wolt V Symbol Prąd I Amper A Rezystancja R Om (Ohm) Ω Pojemność C Farad F Indukcyjność L Henr H Moc czynna P Wat W Częstotliwość f Herc (hertz) Hz Pulsacja ω Radian na sekundę Rad/s Połączenia szeregowe, równoległe, rezystancja zastępcza oraz rozwikłanie rysunków elektrotechnicznych. 1) Połączenie szeregowe trzech rezystorów R 1, R 2, R 3 2) Połączenie równoległe 2 rezystorów R 1, R 2 Czerwone punkty na rysunku nazywamy węzłami. Mówią one nam o tym że prąd się rozdziela. Oba rodzaje połączeń rezystorów możemy zastąpić rezystorem zastępczym, lecz aby to zrobić musimy najpierw obliczyć jaką wartość powinien mieć nasz rezystor zastępczy. 4

5 1) W przypadku połączenia szeregowego dodajemy wartości wszystkich rezystorów. Wartość jaka wyjdzie z dodawania musi być wartością naszego rezystora zastępczego. Rozważmy więc pierwszy układ a wartości rezystorów przyjmijmy: R 1 = 5 Ω, R 2 = 3,5 Ω, R 3 = 1 Ω Rezystor zastępczy oznaczamy jako Rz. Rz = R 1 + R 2 + R 3 = 5 Ω + 3,5 Ω + 1 Ω = 9,5 Ω Rezystor zastępczy jakim możemy zastąpić pierwszy układ musi mieć wartość 9,5 Ω. 2) W przypadku połączenia równoległego wartość rezystora zastępczego obliczamy następująco: Odwrotność rezystora zastępczego (1/Rz) jest równa sumie odwrotności rezystorów wchodzących w skład naszego połączenia (1/R1 + 1/R /Rn) Rozważmy więc drugi układ a wartości rezystorów przyjmijmy: R 1 = 3 Ω, R 2 = 5 Ω = + = + = + = Otrzymaliśmy w ten sposób odwrotność wartości rezystora zastępczego Rz. Teraz aby otrzymać wartość rezystora zastępczego musimy odwrócić nasz wynik: = = Nie odwracanie obliczanej wartości jest częstym błędem i należy zawsze o tym pamiętać!!! Przykłady obliczania rezystancji zastępczej: 1) 2) 3) 5

6 1) = + + = + + = + + = = = 2) Takie zadania jak to oblicza się w etapach aż do momentu gdy zostanie nam połączenie szeregowe a) Najpierw obliczymy rezystancję zastępczą rezystorów 2,3,4 = + + = + + = ++ = = b) Otrzymujemy następujący układ: = = Jak wcześniej wspomniałem układy takie rozwiązujemy do momentu gdy zostaje nam połączenie szeregowe. Teraz aby obliczyć rezystancję całego układu wystarczy dodać wszystkie wartości do siebie, wtedy otrzymamy nasz Rz. R z = R 1 + R R 5 = / = /19 3) Przykład trzeci rozwiązujemy analogicznie tzn. Najpierw obliczmy R 234, następnie R 67 a na końcu dostajemy połączenie szeregowe. Do dzieła: = + + = + + = = = = Obliczyliśmy pierwsze połączenie równoległe, teraz policzmy drugie: Otrzymujemy teraz następujący układ: = + = + = = = 6

7 Nie pozostaje nam nic jak policzyć rezystor zastępczy tego połączenia szeregowego: R z = R 1 + R R 5 + R 67 = /3 = /3 Zadanie 1.2 Oblicz rezystancję zastępczą obwodów. 7

8 Rozwikłanie rysunków elektrotechnicznych. Często zdarza się że ciężko jest nam odczytać na pierwszy rzut oka czy w układzie mamy połączenie równoległe czy szeregowe. Na tym etapie skryptu przedstawię Wam jak uprościć sobie rysunek, wykorzystując przy tym numerowanie węzłów. Jak widać na tym rysunku nie potrafimy od razu powiedzieć czy połączenie dolnych rezystorów z górnymi jest szeregowe czy równoległe. W tym celu będziemy musieli więc ponumerować nasze węzły a następnie przerysować układ w taki sposób aby węzły z numerami między którymi nie ma żadnych elementów narysować jako ten sam. Przejdźmy więc do praktyki: Jako że między węzłem 2 a 3 nie było żadnych elementów w praktyce są to te same węzły. Pozwala nam to porównać te węzły i przerysować rysunek na bardziej czytelny. 8

9 Zadanie 1.3 Rozwikłaj poniższe układy, i wyeliminuj połączenia przez które nie płynie prąd. 9

10 2. Test I Korzystanie z I oraz II prawa Kirchhoffa. Ad 1. Zaznacz prądy Prądy płynące w obwodzie zaznaczamy tak jak na rysunku czerownymi strzalkami a zależności między nimi wynikają z prądowego prawa Kirchhoffa Ad 2. Narysuj strzałki przy napięciach = + Strzałki z napięciami w obwodzie rysujemy zawsze w przeciwnym kierunku płynięcia prądu. Wyjątkiem jest napięcie wejściowe czyli przy źródle napięcia. Z napięciowego prawa Kirchhoffa możemy teraz wyznaczyć następującą zależność. = + Oba napięcia w połączeniu równoległym są dokładnie tymi samymi. Napięcie nie rozdziela się, różnica napięć w każdych dwóch punktach obwodu jest równa 0. 10

11 Ad 3. Rezystancja zastępcza R 3 i R 4. Przyjmujemy R 3 = 3, R 4 = 7 = + = + = + = = 3. Test II Prawo Ohma w obwodzie prądu stałego. Szukaną wartością jest prąd I. Przekształcając wzór z prawa Ohma dostajemy: = Musimy więc najpierw policzyć rezystancję zastępczą całego obwodu a następnie podstawić do wzoru aby otrzymać szukany prąd. Teraz obliczamy prąd = = = + = + = = Odpowiedź: Prąd płynący przez źródło napięciowe wynosi 3/2 A. 11

12 4. Test III -- Obliczanie impedancji obwodu elektrycznego. Impedancję liczymy analogicznie do rezystancji to znaczy że jeżeli połączenie mamy równoległe to liczymy z odwrotności, a gdy szeregowe to z sumy elementów Cewki oznaczamy przez L, a kondesatory przez C. Oba te elementy układu elektrycznego wyznaczają nam opór bierny układu, i zapisujemy go dzięki wykorzystaniu liczby zespolonej. Liczba rzeczywista impedancji mówi nam o oporze czynnym (rezystancji), a liczba urojona impedancji mówi nam o oporze biernym (reaktancji). Przy obliczaniu impedancji obwodu korzystamy z następujących wzorów: = ω, =ω,=, = Rezystor oznaczamy jako R 1, cewke L 1, kondensatory C 1, C 2, pamiętając że C 1 =C 2. Najpierw obliczmy impedancję kondensatorów połączonych równolegle aby sprowadzić nasz układ do szeregowego: = + = + = = Ok, teraz uzyskaliśmy połączenie szeregowe podmieniając kondensatory jednym o obliczonej wyżej impedancji. Obliczmy zatem impedancję całkowitą: = + + =+ + =+ + = =+ + =+ =+, Należy tutaj zwrócić uwagę na miejsce gdzie pomnożony został ułamek przez sztuczną jedynkę (j/j) w celu usunięcia j z mianownika. 12

13 Rozważmy jeszcze przypadek gdy mamy połączoną cewke bądź kondensator równolegle z rezystorem. Okaże się że mnożenie razy j/j nie usunie nam j z mianownika. = + =+ < = >= + = + = + = Jak widać dalej mamy j w mianowniku co nie pozwala nam obliczyć oporu biernego. Jeżeli mamy taką sytuację należy pomnożyć ułamek przez sprzężenie mianownika tzn tworząc sztuczną jedynkę z mianownika ze zmienionym znakiem drugiego wyrazu. Dzięki temu możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 = + = =

14 5. Test IV Obliczane impedancji i zapis wyniku do postaci wykładniczej. Postać wykładnicza liczby zespolonej jest to moduł liczby zespolonej pomnożony przez =, = + =. 14

15 6. Test V Obliczanie mocy czynnej, biernej oraz pozornej. = = =, = + = + Do obliczenia wszystkich trzech mocy potrzebny jest nam kąt oraz wartości skuteczne napięcia oraz natężenia. Dane: U(t) = 5cos(50000t), podana jest w tym pulsacja oraz napięcie maksymalne =, Nie znamy jeszcze przesunięcia fazy czyli kąta, aby je obliczyć należy najpierw policzyć impedancję. Więc standardowo najpierw policzymy odzielnie impedancję elementów połączonych równolegle. < = > = = + < = > = = = = = = + + = =+ + =+ + = 15

16 ,, Teraz mając impedancję obliczmy kąt, oraz Z : = + Teraz należy obliczyć napięcie oraz natężenie skuteczne: Z prawa Ohma obliczymy teraz I sk : = = = < = > = = = Obliczone I jest naszym I sk ponieważ liczyliśmy je na podstawie U sk. Teraz możemy policzyć moce: = =, = = =, = = =, Schemat zadania gdy mamy podane U(t) bądź I(t): 1. Z podanego U(t) lub I(t) odczytujemy U max lub I max oraz pulsacje. 2. Dzięki pulsacji jesteśmy w stanie obliczyć impedancję Z obwodu. 3. Na podstawie impedancji Z obliczamy Z oraz kąt. 4. W zależności czy mamy U max czy I max obliczamy wartość skuteczną jednej z dwóch zmiennych. 5. Z prawa Ohma dla prądu przemiennego obliczamy drugą brakującą wartość skuteczną. 6. Mając już wszystkie dane obliczmy wartości wszystkich mocy podstawiając do wzorów. 16

17 7. Zadania do testów. Test III, IV, V 2.1 Oblicz impedancję poniższych obwodów. W każdym zadaniu. 1) 2) 3) Dodatkowo zapisz je w postaci wykładniczej. 4) Dodatkowo należy policzyć moc czynną, bierną oraz pozorną. 17

18 8. Odpowiedzi do zadań 1.1 a) b) 0, A c) 0,1115 A d) V e) 0, f) 0, ) / 2) 3) 4) 1.3 5) 2.1 1) 1k + j3,95 2) 2k + j0, ) Z = j, = 4) Z = 35k + j15k, =, =, =, 18