W

Transkrypt

1 WRZASK MATEMATYCZNY

2 HISTORIA MATEMATYKI Równania kwadratowe potrafiono rozwiązywać już 2000 lat przed Chrystusem, w Babilonii. W starożytnych Indiach w VIII w. p.n.e. używano metod graficznych, lecz nie określono ogólnego sposobu rozwiązywania lub wzorów. Dopiero w 300 r. p.n.e. Pitagoras i Euklides używając ściśle geometrycznego podejścia, odnaleźli ogólny sposób. Pierwsze wyraźne, lecz nie ogólne rozwiązanie równania kwadratowego dał Brahmagupta, indyjski matematyk w 628 r. n.e. Wzory, jakie znamy dzisiaj zostały zapisane w 1637 r. przez René Descartesa czyli Kartezjusza. Owocami pracy dawnych matematyków posługujemy się dziś. Znamy wzory na wyróżnik trójmianu kwadratowego, wierzchołek i miejsca zerowe. Możemy przedstawić ją w różnych postaciach: ogólnej, iloczynowej i kanonicznej. Wiemy, że gdy delta jest ujemna, równanie nie ma rozwiązania i to już od IX w. kiedy to właśnie do takie wniosku doszedł Abd al-hamid ibn Turk.

3 Krzyżówka 1. Może być iloczynowa, jak i kanoniczna. 2. Jego rozwiązanie to miejsca zerowe funkcji. 3. Postać tę wyrażamy wzorem: y=ax 2 +bx+c 4. Gdy delta jest. równanie kwadratowe nie ma rozwiązania. 5. Własność opisująca czy funkcja jest rosnąca lub malejąca. 6. Zawiera kierunek i zwrot. 7. Postać tę wyrażamy wzorem: y=a(x x 1 )(x x 2 ) 8. Równanie. to równanie stopnia drugiego. 9. Np. liniowa, kwadratowa. 10. Otrzymane dzięki wektorowi. 11. Inaczej: zbiór wszystkich argumentów funkcji. 12. W przypadku funkcji kwadratowej jest nim parabola. 13. Postać tę wyrażamy wzorem: y=a(x p) 2 + q 14. Wielomian ax 2 +bx+c to kwadratowy wartości.

4 REBUSY

5 KOMIKS

6 CIEKAWOSTKI 1. W III wieku p.n.e. Appolonius z Perge, grecki matematyk, napisał największy traktat o krzywych. Jego dzieło Stożkowe jako pierwsze pokazało, w jaki sposób wszystkie te krzywe, wraz z kołem można uzyskać przez cięcie tego samego stożka różnymi płaszczyznami. Jedną krzywą stożkową jest parabola. Powstaje ona gdy płaszczyzna przekroju tworzy z osią stożka kąt równy kątowi zawartemu między tworzącą a osią stożka. Można zbadać to przecinając model z plasteliny. 2. Przekrojem każdej anteny satelitarnej, radioteleskopu, a nawet niektórych reflektorów jest parabola. Sygnał jest odbijany od wewnętrznej części parabolicznego talerza i skupiany w głowicy umieszczonej w ognisku paraboli. 3. Gdy lina podtrzymująca most ma kształt paraboli to naprężenie odcinków łączących linę z mostem jest prawie jednakowe. Zapobiega to odkształceniom samego mostu.

7 ZASTOSOWANIE Czasami rozważając jakiś problem, możemy opisać zależność między badanymi wielkościami za pomocą funkcji kwadratowej. Korzystając z własności tej funkcji, możemy wówczas odpowiedzieć na pytania dotyczące tych wielkości. Przykład Przy brzegu jeziora chcemy wyznaczyć kąpielisko w kształcie prostokąta, odgradzając je sznurem z bojami, do którego przyczepione są boje. Sznur, którym dysponujemy, ma 80 m długości. Jakie wymiary powinno mieć kąpielisko, aby jego powierzchnia była możliwie największa? Oblicz tę powierzchnię. Rozwiązanie Jeśli przez x oznaczymy długość boku kąpieliska, który jest prostopadły do brzegu jeziora, to bok kąpieliska równoległy do brzegu ma długość 80-2x (długości x i 80-2x wyrażone są w metrach) Opisujemy, w jaki sposób powierzchnia kąpieliska zależy od długości boku x i ustalamy dziedzinę zapisanej funkcji p (długość x boku kąpieliska musi być liczbą dodatnią, mniejszą od połowy długości sznura) p - powierzchnia kąpieliska (w m 2 ) p(x) = x(80-2x) x (0;40) p(x) = -2x x Parabola p(x) = -2x x ma ramiona skierowane w dół, więc funkcja p przyjmuje największą wartość. Argument, dla którego wartość funkcji jest największa, obliczamy, korzystając ze wzoru Obliczamy długość drugiego boku kąpieliska 80-2x20 = 40 Obliczamy pole powierzchni możliwie największego kąpieliska p = = 800 Odp. Największą powierzchnię kąpieliska otrzymamy, gdy jego wymiary to 20 m x 40 m (krótszy bok jest prostopadły do brzegu jeziora). Powierzchnia ta będzie równa 800 m 2. Innym zastosowaniem funkcji kwadratowej jest znajdowanie największego pola powierzchni prostokątów, w zależności od wymaganego obwodu. Oczywiście kolejnym zastosowanie są rzuty (wykorzystywane są np. w balistyce). Używamy do zapisu zmian danych statystycznych np. bezrobocia.

8 ZADANIA MATURALNE Jak rozwiązywać? Przykład 1. Rozwiąż nierówność Zadanie 1. Rozwiąż nierówność Zrób to sam

9 Przykład 2. Określ własności funkcji kwadratowej: dziedzinę, zbiór wartości, minimum lub maksimum, przedziały monotoniczności. Twoja Kolej Zadanie 2. Określ własności funkcji kwadratowej: dziedzinę, zbiór wartości, minimum lub maksimum, przedziały monotoniczności.

10 Historia: Paulina Skórko, Patrycja Urynowicz, Kasia Olech, Anna Wiechetek Zastosowania: Dawid Białk, Michał Hildebrandt, Bartosz Grabowski, Maciej Pietkiewicz Rebus: Aleksandra Ramel, Oliwia Wróblewska, Magda Wendt, Agnieszka Kędziora Zadania maturalne: Joanna Kita, Agata Grabowska, Karolina Kara Ciekawostki: Monika Arendt, Ida Wysocka, Klaudia Wyryma, Ola Dettlaff Skład i Humor: Mikołaj Osiński, Kasia Nowicka, Dominika Kin, Aleks Abraham Komiks: Aleksandra Korzon, Kinga Gromelska, Paulina Przesławska Krzyżówka: Krystyna Zlowocka, Natalia Krużycka, Karolina Juchniewicz