= wydłuży się, zatem zegar będzie się spóźniać; ( )

Transkrypt

1 Wydział PPT; kierunek: Inż. Biomedyczna. Listy nr 3 do kursu Fizyka. Rok. ak. 03/4 Tabele wzorów matematycznych i fizycznych oraz listy zadań do kursu są dostępne na stronie wykładowcy i stronach prowadzących zajęcia. Student jest zobowiązany przynoszenia tabel na zajęcia. Lista ta ma na celu zdobycie przez studentów wiedzy matematyczno-fizycznej oraz nabycie umiejętności rozwiązywania zadań dotyczących termodynamiki z wykorzystaniem dotychczas zbytych kompetencji. Zadania nie rozwiązane na zajęciach lub krótko omówione, oznaczone symbolem (S), mogą być treściami sprawdzianów. 63. (S) Wahadło zegara jest podwieszone na mosiężnym (współczynnik rozszerzaości liniowej, K ) pręcie. Zegar chodzi dokładnie przy 0 o. O ile spóźni się on lub pośpieszy w ciągu tygodnia w temperaturze 30 o? R-e: Okres * * = wydłuży się, zatem zegar będzie się spóźniać; ( ) drgań τ π l g τ τ = l l = + α T + α T (skorzystano z rozwinięcia w szereg funkcji pierwiastkowej, gdyż α T ). Spóźnienie zegara po czasie t wyniesie: t t(τ * τ )/τ tα T/ = , / 56 s. 64. (S) (a) Okrągły otwór w płycie aluminiowej ma w temperaturze 0 o średnicę 4cm. Jaki będzie jego promień, jeśli temperatura płyty wzrośnie do 00 o? Współczynnik liniowej rozszerzaości ciepej aluminium wynosi,3 0 5 K. (b) Naczynie aluminiowe o objętości 00cm 3 jest całkowicie wypełnione gliceryną o temperaturze 0 o. Ile gliceryny wyleje się (o ile gliceryna rozleje się) po ogrzaniu naczynia do temperatury 30 o? Współczynnik objętościowej rozszerzaości ciepej gliceryny wynosi K. R-e: (a) Względny przyrost promienia r/r = α T i r* = r + r = r( + α T),0046 cm. (b) Wzrośnie zarówno pojemność naczynia (o Al = 3α Al T), jak i objętość gliceryny (o glic = β glic T). Rozleje się gliceryna o objętości 3 = max(0, glic Al ) = max(0, (β glic 3α Al ) T) 0,4 cm (S) Jaka ilość z 60g wody znajdującej się w temperaturze krzepnięcia nie zamarznie po odebraniu jej 50, kj ciepła? iepło topnienia lodu 333 kj/kg. Jaka ilość z 800g wrzącej wody pozostanie po dostarczeniu jej MJ ciepła? iepło parowania wody,56 MJ/kg. R-e: (a) iepło oddane przez wodę przy krzepnięciu Q = ml, m masa lodu, l ciepło topnienia. Pozostanie m 0 m = m 0 Q/l 09 g. (b) iepło pobrane przez wodę przy parowaniu Q = ml, m masa pary, l ciepło parowania. Pozostanie m 0 m = m 0 Q/l 357 g. 66.(S) Naczynie miedziane o masie 50g zawiera 0g wody; temperatura układu 0 o. Do naczynia wrzucono miedziany walec o masie 300g. W rezultacie woda zaczęła wrzeć i 5g wody zamieniło się w parę. Końcowa temperatura układu wyniosła 00 o. Ile energii ciepej dostarczono układowi? Ile energii ciepej pobrała woda? Jaka była początkowa temperatura walca? iepła właściwe wody i miedzi: 490 J/(kgK), 386 J/(kgK); ciepło parowania wody w temperaturze wrzenia: 58 kj/kg. R-e: Traktujemy układ jako izolowany. iepło Q = c miedzi m walca (t walca t końc ) oddane przez stygnący walec jest równe sumie ciepeł pobranych przez: ogrzewające się naczynie (Q = c miedzi m nacz (t końc t pocz )), ogrzewającą się wodę (Q 3 = c wody m wody (t końc t pocz )) i parującą wodę (Q 4 = l par m pary ). Z równania bilansu ciepego Q = Q +Q 3 +Q 4 znajdujemy t walca = t końc +[(c miedzi m nacz +c wody m wody )(t końc tp ocz )+l par m pary ]/c miedzi m walca. Podstawiając dane, otrzymujemy t walca = 874 o. 66. Współczesny Romeo, któremu zabroniono wstępu do jakiejkolwiek kuchni, postanowił zagotować Julii wodę na kawę potrząsając termosem. Przyjmijmy, że: (a) początkowa temperatura wody wynosi 0 o ; (b) podczas każdego potrząśnięcia termosem woda spada z wysokości 30 cm; (c) Romeo potrząsa termosem 30 razy w ciągu minuty. Jak długo Romeo będzie gotował wodę? Ws-ka: Przy jednym potrząśnięciu na ciepło zamienia się energia potencjaa Q = mgh. Wydzielana moc P = fq, gdzie f = 30/(60 s) = 0,5 s częstotliwość potrząsania. 67. (S) Alkohol etylowy wrze w temperaturze 78 o, krzepnie przy 4 o, jego ciepło właściwe,43 kj/(kg K), ciepło parowania 879 kj/kg, ciepło krzepnięcia 09 kj/kg. Ile energii trzeba odebrać od 0,5 kg alkoholu etylowego, który początkowo jest gazem o temperaturze 78 o, aby zamienić go w ciało stałe o temperaturze 4 o? R-e: ałkowita energia to ciepło oddane przy skraplaniu gazu, następnie ochładzaniu cieczy, i na końcu jej krzepnięciu: E = ml par + cm(t par T krz ) +ml krz = m[l par + c(t par T krz ) + l krz ] 756 kj. 68. Pewna ilość gazu ideaego zwiększa swoją objętość od 0 = m 3 do k = 4m 3 i jednocześnie jego ciśnienie maleje od p 0 = 40Pa do p k = 0Pa. Narysuj wykresy i wyznacz geometrycznie prace wykonane przy tym przez gaz w następujących przemianach: (a) (p 0, 0 ) (przemiana izobaryczna) (p 0, k ) (przemiana izochoryczna) (p k, k ); (b) (p 0, 0 ) (przemiana izochoryczna) (p k, 0 ) (przemiana izobaryczna) (p k, k ); (c) opisanej w układzie współrzędnych (p, ) przez prostą przechodząca przez punkty (p 0, 0 ) i (p k, k ). 69. (S) Przedstawić we współrzędnych (p,) na tle rodzin izoterm przemiany cykliczne pokazane na rysunkach po lewej stronie poniżej. Rozwiązanie

2 70. Znajdujący się w komorze gaz ideay poddano zamkniętemu cyklowi przemian termodynamicznych: A B A, przy czym przejście A B jest przemianą izochoryczną, B odpowiada przemianie adiabatycznej, a przemiana A jest izobaryczna. iepło dostarczone układowi w procesie A B było równe 0J, a wypadkowa praca wykonana przez układ w jednym cyklu zamkniętym wyniosła 5 J. Ile ciepła dostarczono układowi (lub ile ciepła oddał układ) w przemianie izobarycznej? 7. (S) W naczyniu znajduje się gaz o masie cząsteczkowej µ, temperaturze T i ciśnieniu p. Jaka jest gęstość gazu w tych warunkach? Obliczenia wykonać dla T = 300K, p =, Pa i µ = 3 kg/kmol. Stała gazowa R = 8,3 J/(mol K). R-e: Z równania stanu gazu doskonałego p = nrt = (m/µ)rt otrzymujemy gęstość ρ = m/ = pµ/(rt) =, ,03/8,3 300 =,33 [kg/m 3 ]; dane te odpowiadają O pod ciśnieniem atmosferycznym. 7. (S) Gaz ideay poddany jest przemianie cyklicznej ABA, co ilustruje rys. obok. Przedstawić przemianę we współrzędnych (p,t) oraz (,T). Wyrazić przez p 0 i 0 : (a) pracę wykonaną przez gaz na każdym odcinku cyklu; (b) całkowitą pracę W wykonaną przez gaz w każdym cyklu; (c) ciepło Q pobrane przez gaz w każdym cyklu. R-e. Wyznaczmy skalę temperatur: T A = T 0 = p 0 0 /nr ; T B = p /nr = 3T 0 ; T = p /nr = (3/)T 0. Równanie prostej A na powyższym wykresie (p, ): p( ) = 5p 0 /4 p 0 /(4 0 ) ; odpowiada to parabolom T(p) = 4T 0 p( 5p 0 /4 p)/(p 0 ) na wykresie (p, T) oraz T( ) = T 0 (5 0 )/ ( 0 ) na wykresie (, T); przy przeliczaniu skorzystano z równania stanu gazu p = nrt. Praca (tu i w następnych zadaniach W oznacza pracę wykonaną przez gaz) W AB = p 0 0 (gdyż p = p 0 = const); W B = 0 (gdyż = const); W A = 3p 0 0 (pole trapezu). Pobrane ciepło w cyklu zamkniętym jest równe wykonanej pracy: Q = W = p 0 0 (pole trójkąta AB); stąd można prościej wyznaczyć pracę W A = W W AB W B. 7. Jeden mol gazu doskonałego podlega cyklicznej przemianie przedstawionej na rysunku obok we współrzędnych (p,). Obliczyć ciepło pobrane przez gaz w przemianie 3 oraz pracę uzyskaną w cyklu, jeśli dane są temperatury: najwyższa T i najniższa T = T 3. R-e: Praca w przemianie izobarycznej W 3 = R T = R(T T 3 ); w przemianie izochorycznej W = 0. Z równania stanu gazu p = p T /T ; praca w całym cyklu W 3 =( 3 )(p p )/ = (T T 3 ) nr(p p T 3 / T )/(p ) = (R/T ) (T T 3 ) (pole trójkąta 3). Praca na odcinku 3: W 3 = W W W 3 = (R/T ) (T T 3 ) R(T T 3 ) = (R/T )(T T 3 )(T +T 3 ) < 0. Ponieważ T = T 3, zmiana energii wewnętrznej U 3 = 0 i pobrane ciepło Q 3 = W (S) Masa m wodoru rozszerza się izobarycznie, dwukrotnie powiększając objętość. Znaleźć zmianę entropii w tym procesie. Dane jest ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu c p. R-e: Zmiana entropii z równania stanu gazu doskonałego dla p = const mamy T /T = /, zatem ( ) T dq mc dt T S = = mc ; T = T T P P T S = mc = mc. P P 75. (S) ztery mole gazu doskonałego poddano izotermicznemu dla T = 400K odwracaemu rozprężaniu od do =. Obliczyć pracę wykonaną przez gaz oraz zmianę entropii gazu. R-e: Wykonana praca d d RT RT ( ) RT (korzystamy z równania stanu p = nrt). Zmiana entropii S = Q/T = W = p = n = n = n W/T=nR (T=const, więc Q= W. 76. (S) W dwóch naczyniach o pojemnościach i znajdują się masy m i m gazów o masach cząsteczkowych odpowiednio µ i µ. Obliczyć ciśnienia parcjae gazów po ich połączeniu oraz ciśnienie mieszaniny gazów powstałej po połączeniu tych naczyń przewodem o pomijaej objętości oraz zmianę entropii w tym procesie. Temperatura gazów jest stała i wynosi T. R-e: W naczyniach znajduje się odpowiednio n = m /μ i n = m /μ moli tych gazów. Po połączeniu naczyń mamy p( + ) = (n + n )RT, skąd końcowe ciśnienie p = (m /μ + m /μ )RT/( + ). Przy stałej temperaturze du = 0, więc dq = dw i ds = p d/t = nrd/. Zmiana entropii obu gazów to + d + d + + S = n RT + n RT = n RT + n RT.

3 77. (S) Dwa podukłady o temperaturach początkowych T i T > T oraz pojemnościach ciepych odpowiednio i zetknięto ze sobą, pozwalając na wyrównanie się temperatur. Pokazać, że entropia całego układu rośnie podczas wymiany ciepła. Znaleźć zmianę entropii układu w całym procesie. R-e: Układ jest izolowany, więc dq = dq. Różniczka entropii ds = ds + ds = dq (/T /T ) > 0, ponieważ T < T oraz dq > 0 (podukład o niższej temperaturze pobiera ciepło). Temperaturę końcową T k znajdujemy z bilansu ciepego: Q + Q = (T k T ) + (T k T ) = 0; T k = ( T + T )/( + ). ałkowita zmiana entropii dt dt T. T T T T T T T zy otrzymany wynik S = S + S = + = + = B potwierdza wcześniejsze stwierdzenie o wzroście entropii? 78. Znaleźć zmianę entropii przy zamianie masy m lodu o temperaturze T w parę o temperaturze T. Ws-ka: Zmiana entropii występuje przy ogrzewaniu lodu, jego topnieniu (w stałej temperaturze T t = 73K), ogrzewaniu wody, jej parowaniu w temperaturze wrzenia (w stałej temperaturze T w = 373K; w rzeczywistości parowanie zachodzi też w niższych temperaturach) i przy ogrzewaniu pary do temperatury T. 79. Gaz dwuatomowy wykonuje cykl arnota; podczas rozprężania izotermicznego jego objętość wzrasta dwukrotnie, a podczas rozprężania adiabatycznego wykonuje pracę równą 300 kj. Znaleźć pracę wykonaną podczas pełnego cyklu. R-e: Rozważmy jeden mol takiego gazu. Gaz ma dwuatomowe cząsteczki, zatem = 5R/. Praca w przemianach adiabatycznych (Q = 0): W B = U B = (T T ) = 5R(T T )/ = W DA (dlaczego?); w przemianach izotermicznych: WAB = RT pd = RT = RT ( B A ) = RT, podobnie D D A B A d d W = RT pd = RT = RT = RT, ( ) gdyż z równania adiabaty T κ- = const mamy proporcję / B = D / A = D D (T /T ) /(κ-) i dalej / D = B / A =. Ostatecznie W = W AB + W D = RT RT = R(T T ) = (/5) W B 83 kj. 80. (S) Pierwszy stopień dwustopniowego siika arnota pobiera z grzejnika o temperaturze T energię w postaci ciepła Q,wykonuje pracę W i oddaje do chłodnicy o temperaturze T energię w postaci ciepła Q. Drugi stopień pobiera energię Q, wykonuje pracę W i oddaje do chłodnicy o jeszcze niższej temperaturze T 3 energię Q 3. Udowodnij, że sprawność dwustopniowego siika jest równa (T T 3 )/T. R-e: Sprawność siika dwustopniowego η = (W + W )/Q = [(Q Q ) + (Q Q 3 )]/Q = Q 3 /Q. Ponieważ η = Q /Q = T /T, η = Q 3 /Q = T 3 /T, mamy η = Q 3 /Q = (Q 3 /Q )(Q /Q ) = T 3 /T i η = (T T 3 )/T. 8. Jeden mol gazu doskonałego użyto jako substancji roboczej w siiku wysokoprężnym pracującym według następującego cyklu zamkniętego: () ( ) zapłon od (p, ) do (p = p, = ); () ( 3) suw bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p, ) do (p 3 = p /3, 3 = 6 ); (3) (3 4) od (p 3, 3 ) do (p 4 = p 3, 4 = 8 ); (4) suw (4 ) bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p 4, 4 ) do (p, ). Przedstawić ten cykl w zmiennych (p,). Wykładnik adiabaty κ nie jest znany. Obliczyć: a) Temperatury na początku i końcu przemian; b) Sprawność siika. Dalej ( 3 4 ) zastąpiono (A B D A) R-e: (a) Znajdziemy wykładnik adiabaty: p κ = const, skąd p 0 ( 0 ) κ = (p 0 /3)(8 0 ) κ = 5 3κ p 0 ( 0 ) κ i dalej = 3κ 5. Otrzymujemy κ = 5/3 = (i + )/i, skąd liczba stopni swobody cząsteczek i = 3 - są to cząsteczki jednoatomowe, a więc ciepło molowe P =5R/. (b) Wymiana ciepła zachodzi tylko w przemianach izobarycznych. Sprawność η = (Q AB Q D )/Q AB. Wyznaczmy temperatury: z równania stanu p = RT mamy p 0 0 = RT A = RT B /= RT = 4RT D, więc Q AB = p (T B T A ) = 5p 0 0 /, Q D = p (T D T ) = 5p 0 0 /8. Stąd η = 3/4. 8. (S) Jeden zamknięty cykl siika benzynowego składa się z 4 następujących przemian: () ( ) zapłon od (p, ) do (p = 3p, ); () ( 3) suw bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p, ) do (p 3, 3 ); (3) (3 4) ssanie od (p 3, 3 ) do (p 4,4 ); (4) (4 ) suw bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p 4,4 ) do (p, ). Przedstawić ten cykl w zmiennych (p,). Traktując mieszaninę benzyna-powietrze jako gaz ideay o znanym wykładniku adiabaty κ obliczyć: a) iśnienie i temperaturę na początku i końcu przemian; b) Sprawność siika. R-e: Jest to tzw. cykl Otto. (a) Z równań adiabat ( 3, 4 ) w postaci T κ = const oraz z równań izochor (, 3 4) otrzymujemy stosunki temperatur T /T = 3, T 3 /T = 3/4 κ, T 4 /T = /4 κ. (b) Wymiana ciepła zachodzi tylko w przemianach izochorycznych: Q = (T T ) = T (pobrane), Q 34 = (T 4 T 3 ) = Q /4 κ < 0 (oddane). Zatem sprawność η= W/Q = (Q Q 34 )/Q = Q 34 /Q = /4 κ = ( /4 ) κ = (γ) κ, γ = /4 =/4 - stopień sprężenia siika. 3

4 83. (S) a) hłodziarka arnota wymaga 300J pracy, aby pobrać 800J ciepła z komory chłodzenia. Ile wynosi jej sprawność? Ile ciepła jest odprowadzane na zewnątrz przez chłodziarkę? b) Klimatyzator pobiera energię ciepa z pokoju o temperaturze t z = o i odprowadza ją do otoczenia o temperaturze t 0 G = 3 o. Ile wynosi jego sprawność η? Ile dżuli energii pobranej z pokoju przypada na jeden dżul energii elektrycznej dostarczonej klimatyzatorowi? Ile wynosi η, jeśli temperatura otoczenia wzrośnie do 3t 0 G, a potem do 0t 0 G? Ws-ka: patrz rozdział tom II podręcznika D. Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki. R-e: (a) hłodziarka pobiera Q = 800 J ciepła, więc oddać musi Q = Q +W = 00 J. Sprawność siika pracującego w odwrotnym cyklu η = W/Q = 3/ (Q to teraz ciepło pobrane z grzejnicy). Współczynnik sprawności chłodziarki η = Q /W = 8/3. (b) Jeżeli klimatyzator pracuje w cyklu arnota, to jego współczynnik sprawności η = Q /(Q Q ) = T /(T T ) = T z /(Tc T z ) = 3,7 (temperatury w skali bezwzględnej!). 84. (S) Siik lodówki ma moc 00W. Ile wynosi maksymaa energia, którą lodówka może odprowadzić w ciągu 0 minut z komory chłodniczej, jeżeli panuje w niej temperatura 70K, temperatura powietrza na zewnątrz wynosi 300K, a współczynnik wydajności jest taki sam, jak w przypadku chłodziarki arnota? R-e: Siik wykonuje pracę W = P t = = 0 kj. Mamy Q = Q + W, gdzie Q ciepło oddane na zewnątrz, Q ciepło pobrane z komory chłodniczej; w cyklu arnota Q /Q = T /T, skąd W = Q (T /T ) i Q = WT /(T T ). Dla T = 300K i T = 70K otrzymujemy Q = 9W = 080 kj. 85. (S) Dwa pręty, z miedzi i z aluminium, o przewodnościach ciepych odpowiednio 394 i 8W/(mK), długości 50 cm każdy i promieniu cm są połączone szeregowo. Ich powierzchnie boczne są izolowane ciepie. Woy koniec pręta miedzianego znajduje się w temperaturze 80 o, a aluminiowego w temperaturze 0 o. (a) Jaka jest temperatura na złączu? (b) Jaka jest szybkość przepływu ciepła przez pręty? R-e: Strumień ciepła w jednorodnym pręcie o długości l i przewodności λ: q = λ dt/dx = λ T/l. Pręt jest izolowany, zatem w obu częściach płynie taki sam strumień ciepła q = q, skąd λ (T x T ) = λ (T T x ). Stąd znajdujemy T x = (λ T + λ T )/( λ + λ ) = ( )/(8+394) 55 [ o ]. Szybkość przepływu ciepła przez pręt o przekroju S: dq/dt = qs = λs T/l = λ (T x T )S/l = λ (T T x )S/l. Po podstawieniu T x otrzymujemy dq/dt = λ λ (T T )πr /(l (λ + λ )) 8 394/(8+394) 70 3,4 (0 ) /0,5 6, [W] 86. Oblicz strumień ciepła traconego przez narciarza przez jego ubranie, jeżeli przyjmie się następujące dane: Pole powierzchni ciała,8m, grubość ubrania cm, temperatura skóry 33 o, temperatura powietrza o i przewodność ciepa właściwa ubrania 0,04W/(mK). Jak zmieniłby się ten rezultat, jeżeli w wyniku upadku kombinezon narciarza nasiąkłby wodą, której przewodność ciepa właściwa wynosi 0,6W/(mK)? 87. (S) Kulę o promieniu 0,5m, temperaturze 7 o i zdoości emisyjnej 0,85 umieszczono w otoczeniu o temperaturze 77 o. Z jaką szybkością kula: (a) emituje; (b) pochłania promieniowanie ciepe? (c) Jaka jest wypadkowa szybkość wymiany energii przez kulę? R-e: Temperatura kuli T = 300K, promień r = 0,5m, zdoość emisyjna ε = 0,85, temperatura otoczenia T = 350K. (a) Moc emitowana P e = 4πr ε(t ) 4,3 kw. (b) Moc pochłaniana P a = 4πr ε(t ) 4,7 kw(zdoość absorpcyjna jest równa zdoości emisyjnej, a otoczenie traktujemy jako ciało doskonale czarne o powierzchni równej powierzchni kuli). (c) Wypadkowa moc wymieniana P = P a P e,04 kw (kula się ogrzewa). 88. Zbiornik zawiera N cząsteczek gazu rozłożonych po równo w obydwóch jego połowach. Przyjmijmy, że N = 50. (a) Ile wynosi wielokrotność takiej centraej konfiguracji? (b) Ile wynosi całkowita liczba mikrostanów układu? (c) Jakie jest prawdopodobieństwo konfiguracji centraej? R-e: (a) Konfiguracji makroskopowej z 50 cząsteczkami rozmieszczonymi po połowie odpowiada n 50 50! = =, ! ( ) / 4 konfiguracji mikroskopowych. (b) ałkowita liczba mikrostanów to n = 50, 0 5. (c) Wartość ta odpowiada prawdopodobieństwu wystąpienia konfiguracji p / = n / /n 0,. 89. (S) Pokaż, że ciśnienie p(h) w gazie o stałej temperaturze T poddanym działaniu pola grawitacyjnego Ziemi na wysokości h ma wartość p(h) = p 0 exp [ µgh/(rt)] = p 0 exp [ m 0 gh/(k B T)], gdzie p 0 ciśnienie na poziomie morza, µ masa molowa, m 0 masa jednej cząstki gazu doskonałego. Ws-ka: Patrz notatki do wykładu. R-e: Rozważmy warstwę powietrza o grubości dh i przekroju S, znajdującą się na wysokości h. Różnica ciśnień pomiędzy górną i doą powierzchnią warstwy, powstała wskutek działania siły ciężkości df = -ρsgdh wynosi dp = df/s = ρgdh, gdzie ρ = pμ/(rt) gęstość gazu (z równania lapeyrona). Stąd otrzymujemy równanie różniczkowe dp/p = gμ/(rt)dh, którego rozwiązaniem jest p(h) = p 0 exp[ μgh/(rt)]. 90. (S) Samolot leci na wysokości 8300 m. W kabinie pasażerów utrzymywane jest ciśnienie odpowiadające ciśnieniu powietrza na wysokości 700 m. Oszacować: a) Stosunek gęstości powietrza w kabinie, gdzie temperatura wynosi +0 o, do gęstości powietrza otoczenia o temperaturze 0 o ; b) różnicę ciśnień między wnętrzem i otoczeniem. Masa molowa powietrza 9 g/mol. R-e: Obliczmy najpierw ciśnienie powietrza na wysokości h = 700m (i zarazem w kabinie), przyjmując p 0 = 05 Pa i atmosferę o średniej temperaturze T a = 73K i masie molowej μ = 9 g/mol: p = p 0 exp[ μgh /(RT a )] 0,7p 0. iśnienie na zewnątrz (h = 8300m): p = p 0 e[ μgh /(RT a )] 0,35p 0. Gęstość ρ= pμ/(rt), zatem stosunek gęstości ρ /ρ = p T /(p T ),75 dla T = 93K i T = 53K. Różnica ciśnień p p 0,36p hpa. 4

5 9. ( Odmrażanie stopni swobody) a) Obliczyć energię ruchu ciepego oraz molową pojemność ciepą gazu ideaego o temperaturze T oraz i stopniach swobody korzystając z zasady ekwipartycji energii ciepej. b) Przy dostatecznie wysokich temperaturach cząsteczka gazu dwuatomowego rotuje w przestrzeni (sztywna dwuatomowa molekuła wiruje w przestrzeni) i średnia energia tego stopnia swobody wynosi k B T. Ile wynosi w tych warunkach pojemność molowa ( )? (Gaz cząsteczek H w przedziale temperatur od 350K do ( ) około 800K wykazuje =.) c) Przy jeszcze wyższych temperaturach wzbudzane są wibracyjne stopnie swobody cząstki dwuatomowej (atomy wykonują ruch drgający wzdłuż linii łączącej je), przy czym średnia energia takiego ruchu wynosi kt. Obliczyć pojemność cząsteczek H o temperaturze powyżej 5000K wykazuje = ( ) przy bardzo wysokich temperaturach. (Gaz ( ) ) Patrz notatki do wykładu. R-e: Zgodnie z zasadą ekwipartycji energii, na każdy stopień swobody przypada energia k B T/, zatem N cząsteczek gazu o i stopniach swobody ma energię U(T) = Nik B T/. Molowa pojemność ciepa = ( U/ T) /n = = ( U/ T) /n = Nik B /(N/N A ) = i(k B N A / = ir/. (a) Mamy trzy stopnie swobody ruchu postępowego, czyli energię 3k B T/ na cząsteczkę. Łącznie z energią ruchu obrotowego daje to 5k B T/ ( ) na cząsteczkę, skąd otrzymamy, jak wyżej, = 5R/. (b) Dodając jeszcze energię ruchu drgającego, mamy 7k B T/ na cząsteczkę, zatem ( ) = 7R/. 9. Średnia wartość kwadratu prędkości ideaego gazu mugoltronów, będących składnikiem atmosferę w świecie mugoli, wynosi v = αk T m, gdzie m 0 masa jednego mugoltronu i α stała Pottera. m B 0 Korzystając z toku rozumowania zastosowanego na wykładzie do otrzymania równania lapeyrona stanu gazu doskonałego, wyprowadzić równanie stanu gazu mugoltronów. Wykreślić w zmiennych (P, ) izotermy, izobary i izochory dla tego hipotetycznego gazu. R-e: Zamknijmy N cząstek w sześciennym naczyniu o objętości = a 3. Średni kwadrat dowoej składowej prędkości, np. v x, z uwagi na symetrię wynosi ( ) α B ( 0 ) v = v + v + v 3 = v 3 = k T 3m. iśnienie wywierane na parę przeciwległych ścianek przez cząstkę x x y z poruszającą się prostopadle do nich z prędkością v wynosi F/A = ( p/ t)/a = m 0 v /a 3, gdzie p = m 0 v zmiana pędu przy odbiciu od ścianki, t = a/v czas między kolejnymi odbiciami. Dla N cząstek mamy P = Nm 0 v x /a 3, skąd P = Nm 0 v x = αnk B T/3 lub P = αnrt/3 (n liczba moli gazu mugoltronów). Izotermy, izobary i izochory są we współrzędnych (P, ) odpowiednio hiperbolami i prostymi (poziomymi i pionowymi), jak dla zwykłego gazu doskonałego. 93. (S) Stacja meteorologiczna jest umieszczona na wysokości 350m. Oszacować ciśnienie powietrza na tej wysokości. Przyjąć: temperaturę powietrza 5 o, masę molową powietrza 9 g/mol, ciśnienie na poziomie morza p 0 = 000 hpa. R-e: Postępujemy, jak w zadaniu 88; p 680 hpa. 94. (S) Załóżmy, że atmosferę Ziemi tworzą tylko atomy: azotu, lub tlenu albo wodoru. Oszacować ciśnienie takiej atmosfery na wysokości km. Przyjąć: temperaturę atmosfery 5 o, ciśnienie na poziomie morza p 0 =000 hpa. Porównać otrzymany wynik z ciśnieniem powietrza w tych samych warunkach i na tej samej wysokości przyjmując masę molową powietrza 9g/mol. R-e: Postępując jak w zadaniu 88, otrzymujemy ciśnienia na wysokości km: dla powietrza p=884hpa, dla azotu (μ=8g/mol) p=888 hpa, dla tlenu (μ=3 g/mol) p=873 hpa, dla wodoru (μ= g/mol) p= 99 hpa. 95. (S) Na jakiej wysokości ciśnienie powietrza stanowi 75% ciśnienia na poziomie morza? Masa molowa powietrza 9 g/mol. R-e: Rozwiązaniem równania p(h)/p(0)=exp[ μgh/(rt)]=0,75 jest h = RT/(μg) 0,75,3km (dla T = 73K). 97. (S) Ile waży m 3 powietrza: () na powierzchni Ziemi; () na wysokości 4 km nad jej powierzchnią? Przyjąć temperaturę powietrza 0 o. iśnienie na poziomie morza p 0 = 000 hpa. R-e: Gęstość = nμ/ = pμ/(rt) będzie się w izotermicznej atmosferze zmieniać z wysokością jak ciśnienie. Dla h = 0 mamy ρ,8 kg/m 3 i m 3 powietrza waży Q,6N; dla h = 4 km zaś ρ 0,78 kg/m 3 i Q 7,6N. Wrocław, 7 grudnia 03 W. Salejda Mugol - człowiek, który nie posiada zdoości magicznych i nie jest w stanie w żaden sposób ich u siebie rozwinąć. Pochodzi z rodziny mugoli (gdy pochodzi z czarodziejskiej rodziny, to jest charłakiem). Wobec mugoli stosowane są środki ostrożności mające na celu odciągnięcie ich uwagi od świata czarodziejów. Nadzoruje tego typu działania Ministerstwo Magii. zarodzieje ukrywali się przed mugolami ze względu na ich historyczną wrogość wobec siebie. 5