W nazywa się często prawdopodobieństwem termodynamicznym lub parametrem nieuporządkowania. W roz-

Transkrypt

1 WPPT; kier. Informatyka; lista zad. nr 8 pt. Z karty przedmiotu: Rozwiązywanie zadań z zakresu termodynamiki statystycznej[h]; pod koniec listy zadania do samodzielnego rozwiązania. Lista nr 8 ma na celu zdobycie przez studentów wiedzy matematyczno-fizycznej, nabycie umiejętności rozwiązywania prostych zadań z zakresu termodynamiki statystycznej. 45. A) Oszacuj jaka część χ cząsteczek tlenu w temperaturze T = 300K ma prędkości zawarte w przedziale (199 01) m/s. W obliczeniach posłużyć się przybliżonym wzorem χ = (4 ) exp ( )dz, gdzie z = (199+01)/(v p ), dz = (01 199)/v p, v = k T m = RT N m = RT µ prędkość najbardziej prawdopodobna. B) Niechaj x = v v ; p ( ) p B 0 A 0 korzystając z wartości całki podanych w tabeli obok wyznacz, jaka część wszystkich cząsteczek jednego mola gazu idealnego znajdującego się w zbiorniku ma prędkości z przedziału od v p do v p? 46. Rozważmy zbiornik o objętości V, w którym znajduje się N = 100 cząsteczek gazu idealnego. Tabela obok reprezentuje, w pierwszych dwóch kolumnach, liczby cząsteczek odpowiednio w lewej połowie N L oraz w prawej połowie N P zbiornika. Para liczb (N L ; N P ) określa dany makrostan rozpatrywanego układu, np. makrostan (60;40) oznacza, że w lewej połowie objętości znajduje się 60 a w prawej 40 cząsteczek tego gazu. Trzecia kolumna podaje liczby W mikrostanów realizujących dany makrostan określony parą liczb (N L ; N P ), przy czym N! W =, gdzie N L! oznacza funkcję silni. Ostatnia, N! N! L P czwarta kolumna, zawiera wartości prawdopodobieństw realizacji makrostanu, które zostało wyznaczone ze wzoru W 1 N! p( NL; N P) = =. Uwaga: N N N! N! L P Standardowy kieszonkowy kalkulator zawodzi, gdy W tej kolumnie należy wpisać chcemy policzyć wartość 100! = 9, to wartości entropii otrzymujemy komunikat OVERFLOW lub Math ERROR. Dla bardzo dużych N, rzędu liczby Avogadra, możemy posługiwać się przybliżeniem Stirlinga ln N! N(ln N) N. Uzasadnij stwierdzenia: a) całkowita liczba mikrostanów wynosi N ; b) liczba mikrostanów o zadanych liczbach N L i N P jest równa W N ( N N ) interpretację mikroskopową za pomocą definicji entropii Boltzmanna =!!!. W termodynamice statystycznej nadaje się entropii L 1 P S = kb lnw, gdzie kb R NA =, przy czym W nazywa się często prawdopodobieństwem termodynamicznym lub parametrem nieuporządkowania. W roz- S = k ln N! N! N!. Samodzielnie uzupełnij dane w tabeli obliczając wartości patrywanym tutaj zagadnieniu B ( ( L P )) ( ) W ( N N ) S N L; N P = kb ln L; P, wyniki zamieścić należy w portfolio. Wyznacz zmianę entropii S w następujących przypadkach: c) układ przechodzi od początkowego makrostanu (60;40) do końcowego (50;50); d) układ przechodzi od początkowego makrostanu (50;50) do końcowego (0;100). Ws-ka: Patrz zad. 47. w siłowni. 47. Uzasadnij, że ciśnienie p(h) w gazie o stałej temperaturze T poddanym działaniu pola grawitacyjnego Ziemi na wysokości h ma wartość p(h) = p 0 exp[ μgh/(rt)] = p 0 exp[ m 0 gh/(kt)], gdzie p 0 ciśnienie na poziomie morza, μ masa molowa, m 0 masa jednej cząstki gazu doskonałego. Twoim zadaniem jest wykonanie kalibracji pokojowych barometrów, które umieszczone są w miastach znajdujących się na różnych wysokościach h nad poziomem morza (nazwy miasta/miejsc oraz wartości średnich wysokości nad poziomem morza (n.p.m.) zestawiono w tabeli). Poniższa fotografia prezentuje barometru

2 wykalibrowany w pewnym mieście na ciśnienie unormowane 74,5 cm Hg, na co wskazuje ustawienie miedzianej wskazówki. Wzór ( ) = µ h/ ( T) p h p0 exp g R określa unormowane ciśnienie atmosferyczne panujące na wysokości h nad poziomem morza; µ masa molowa powietrza, p 0 = 760 mm Hg (1013,5 hpa) ciśnienie atmosferyczne na poziomie morza. Przyjmując, że dla powietrza µ = 9 g/mol, a jego temperatura T = 300 K jest stała, uzupełnij poniższą tabelę (wyniki kalibracji podaj z dokładnością do 1 mm Hg). Miasto Wysokość h n.p. m. [m] Wrocław 108 Świdnica 50 Wałbrzych 475 Karpacz 700 Ciśnienie unormowane [mmhg] 48. Korzystając z treści wykładu no 9, wartości podanych tam całek 9 oraz z postaci funkcji rozkładu Maxwella M ( ) f v m 0 mv 0 = 4π v exp π kbt kbt ( ) p B 0 A 0 pokaż, że: a) wartość prędkości najbardziej prawdopodobnej wynosi v = k T m = RT N m = RT µ ; b) wartość średniej prędkości kwadratowej określa wzór ( ) v = v = 3k T m = 3RT N m = 3RT µ ; c) wyprowadź równanie gazu doskonałego, korzystając z k B 0 A 0 wyniku z pkt. b). 49. Procesor jest wyposażony w system chłodzenia, który w czasie jednej godziny odbiera (tj. odprowadza do otoczenia) od procesora maksymalną energię cieplną o wartości E. Niechaj ten procesor zapisuje w temperaturze pokojowej otoczenia T do swojego bloku pamięci N bitów w czasie jednej sekundy. Korzystając z zasady Landauera, wyznacz maksymalną wartość N max. Jak zmieni się wartość N max, gdy temperatura otoczenia wzrośnie n-razy, a jak gdy zmaleje n-krotnie? Ws-ka: Patrz wykład no 9 oraz zadanie 45 w siłowni. W. Salejda Wrocław, 5 kwietnia 016 Siłownia umysłowa. Zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania 1. Energia mechaniczna cząsteczki gazu o masie m wchodzącego w skład powietrza na powierzchni Ziemi wynosi. = G + =!+, gdzie R Z promień Ziemi. Uzasadnij ten wzór. Wyznacz temperaturę powietrza, przy której cząsteczkowy wodór, azot, tlen mogą uciec z pola grawitacyjnego Ziemi. Ws-ka: Przyjąć za v prędkość średnią kwadratową. Jakie konsekwencje mają otrzymane wyniki dla składu atmosfery ziemskiej. Czy z upływem wieków skład atmosfer ziemskiej będzie zmieniał się? Jeśli tak, to w jaki sposób?. Silnik Stirlinga jest nieco podobny do silnika Otto (benzynowego) chociaż kompresja i rozprężanie zachodzi izotermicznie a nie adiabatycznie. Jest to silnik zewnętrznego spalania, ponieważ w jego wnętrzu nie zachodzi spalanie się mieszanki paliwowej. Do działania silnika wystarcza różnica stworzenie różnicy temperatur między substancją roboczą i otoczeniem. Może to być wywołane przez światło słoneczne, wody geotermalne, różnica temperatur między wodą mórz/oceanów, ogrzewanie silnika płomieniem ze źródła. Ciepło jest pobierane z zewnątrz ze spalanego poza silnikiem paliwa. Dlatego jest to bardzo cichy silnik, w porównaniu z silnikiem Otto ponieważ nie jest spalana mieszanka wybuchowa. Jednak nie znalazł na razie powszechnego zastosowania w samochodach ze względu na rozmiary, masę i mniejszą sprawność

3 niż silnik Otto i Diesla. Zamknięty cykl składa się z 4 przemian: a b przemiana izotermiczna w temperaturze T 1, której stopień kompresji wynosi r; b c przemiana izochoryczna, w której temperatura rośnie do T ; c d przemiana izotermiczna w temperaturze T ; d a przemiana izochoryczna, która obniża temperaturę do T 1. Załóżmy, że n moli gazu idealnego o danej wartości ciepła molowego C V jest ośrodkiem roboczym. Wyznacz ΔQ, ΔW, ΔU dla wszystkich przemian odwracalnego cyklu zamkniętego. Pokaz, że teoretyczna sprawność silnika Sterlinga jest równa η = 1 $ % $. Ws-ki: Uzasadnij, że: a) ciepła pobrane przez gaz idealny w przemianach izochorycznych w sumie są równe zeru; b) całkowita praca wykonana przez gaz w przemianach izotermicznych wynosi &' (ł*+,-.( =/R($ $ % )ln(3); c) ciepło jest dostarczane układowi tylko w przemianie c d w ilości Δ6=/R$ ln(3). Silnik ma szanse być współcześnie zastosowany w samochodach, pojazdach kosmicznych i łodziach podwodnych! 3. Jak energia wewnętrzna i molowe ciepła C V dowolnego gazu idealnego zależą od stopni swobody jego cząsteczek? Należy rozważyć wszystkie stopnie swobody związane z ruchem postępowym, obrotowym i drgającym. 4. Poprawny wzór określający bezwzględną wartość entropii n moli gazu doskonałego o temperaturze T zajmującego objętość V zadaje wzór 7(8,$,/)=/9 : ln$+/ ln; : < =+/7 >, gdzie 9 : ciepło molowe przy stałej objętości, a S 0 stała wartość entropii w temperaturze zera bezwzględnego. A) W naczyniu o objętości 4 dm 3 znajdują się 4 mole tlenu o temperaturze 310 K. Jak zmieni się entropia tego gazu, gdy naczynie to podzielimy na dwie równe co do objętości części, a jak gdy zostanie podzielone na dwie części o objętościach 1 dm 3 i 3 dm 3? B) W naczyniu o objętości 4 dm 3 podzielonego przegrodą na dwie równe co do objętości części znajdują się 4 mole tlenu o temperaturze 310 K. Jak zmieni się entropia tego gazu, gdy zostanie usunięta przegroda? C) Naczynie o objętości 4 dm 3 podzielona przegrodą na dwie równe co do objętości części. W jednej z nich znajdują się mole a w drugiej 3 mole tlenu; temperatury gazów są takie same. Jak zmieni się entropia układu, gdy przegroda zostanie usunięta? Ws-ka: Patrz notatki do wykładów. 5. Tlen, który w temperaturze 40 o C pod ciśnieniem 1, Pa zajmuje objętość 1000 cm 3, rozpręża się do 1500 cm 3, czemu towarzyszy wzrost ciśnienia do wartości 1, Pa. Wyznacz: a) liczby moli i cząsteczek gazowego tlenu, b) temperaturę końcową tlenu. 6. Zbiornik A z rys. poniżej wypełnia gaz idealny pod znanym ciśnieniem p A i o znanej temperaturze T A i nieznanej objętości V. Zbiornik ten jest połączony cienką rurką cienką rurką z zaworem ze zbiornikiem B o objętości 3V, który wypełnia ten sam gaz doskonały pod ciśnieniem p B = p A /3 i o temperaturze T B = 1,5ˑT A. W pewnej chwili otworzono zawór, co spowodowało wyrównanie się ciśnień w obu zbiornikach, w których gaz jest utrzymywany w temperaturach początkowych. Wyznacz ciśnienie w połączonych zbiornikach. Ws-ka: Uzasadnij, że warunek zadania można zapisać w postaci?ˑ8 A =(/ A / B )R$ A,?ˑ8 C =(/ C +/ B )R$ C, gdzie założono, że / B jest liczba moli gazu, które ubyły ze zbiornika A; / B może mieć wartość dodatnią lub ujemną. 7. W zbiorniku znajduje się jeden mol gazu idealnego o temperaturze 0 o C pod ciśnieniem 10 5 Pa. Podaj wzór określający liczbę cząsteczek (ale nie obliczaj) tego gazu, których wartości prędkości są większe od prędkości dźwięku w tym gazie. 8. Ciepło właściwe gazu argonu 0,075 cal/(gˑk). Wyznacz masę molową argonu oraz masę jednego atomu tego gazu. 9. Wykres obok reprezentuje hipotetyczny rozkład prędkości cząsteczek gazu w zbiorniku zawierającym danych N cząsteczek gazu, przy czym prawdopodobieństwo znalezienia cząsteczek o prędkości większej od danej v 0 wynosi zero, tj. P(v > v 0 ) = 0. Jak parametr a zależy od v 0? Ile cząsteczek ma 3

4 prędkości z przedziału <1,5v 0 ; v 0 >? Wyznacz prędkość średnią cząsteczek oraz prędkość średnią H > kwadratową. Ws-ka: D E(F)dF = 1, zauważ, że wartość tej całki jest równa powierzchni pod wykresem P(v); potrzebne całki znajdź samodzielnie w tabeli wzorów matematycznych. 10. W zbiorniku znajduje się 10 moli tlenu o temperaturze 300 K. Jaka liczba cząsteczek tlenu o masie molowej µ = 0,03 kg/mol ma prędkości w przedziale od 599 m/s do 601 m/s? Uzasadnij, że szukany wartość wyznaczamy ze wzoru 3/ v v A µ µ 4π 10N exp v, π RT RT gdzie v = m/s. Odp. 1, Rysunek obok reprezentuje rozkład prędkości cząsteczek hipotetycznego gazu, przy czym ( ) = α v dla v v 0 i ( ) 0 P v P v = dla v > v 0. Wyznacz: a) α ; b) wartość prędkości średniej, c) prędkość średnią kwadratową. 1. Gęstość pewnego gazu o temperaturze 73 K pod ciśnieniem 10 3 Pa wynosi 1,4ˑ10-5 g/cm 3. Wyznacz prędkość średnią kwadratową cząsteczek oraz masę jednej cząstki tego gazu. Ile wynosi średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek tego gazu? 13. A) Pokaż, że podczas adiabatycznego rozprężania gazu idealnego jego temperatura maleje. B) Gaz idealny o wykładniku adiabaty 1,4 pod ciśnieniem początkowym p 0 = 1,ˑ 10 5 Pa o temperaturze T 0 = 310 K zajmował objętość V 0 = 0,76 dm 3. Następnie gaz ten adiabatycznie rozprężono do objętości V 1 = 4,3 dm 3. B1) Oblicz temperaturę końcową T 1 gazu. B) Pokaż, że praca tego gazu podczas opisanego rozprężania adiabatycznego wyraża się wzorem nˑc V (T 0 T 1 ), gdzie /=? > 8 > /R$ >, C V = 5R/. 11. Tabela określa liczbę cząsteczek gazu o podanych prędkościach. Oblicz prędkość: a) średnią cząsteczek, b) średnią kwadratową cząsteczek. Pokaż, że obie prędkości średnie cząsteczek gazu będą sobie równe, pod warunkiem, że wszystkie wartości prędkości są takie same. Liczba cząsteczek Prędkości [m/s] Cztery mole tlenu, którego cząsteczki uczestniczą w ruchu obrotowym i drgającym ogrzano o 40 K pod stałym ciśnieniem. Ile ciepła dostarczono do gazu? O ile wzrosła energia wewnętrzna gazu? Jaką pracę wykonał gaz? O ile wzrosła energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek tego gazu idealnego? 13. Jeden mol gazu idealnego poddano cyklicznej przemianie pokazanej na rys. obok. Przemiana 3 jest adiabatyczna; T 1 = 300 K, p 1 = 10 5 Pa, T = 600 K, T 3 = 455K, R = 8,3 J/(molˑK). Oblicz ciepło, pracę oraz zmianę energii wewnętrznej dla każdej z tych przemian osobno oraz dla całego cyklu zamkniętego. 14. Dwa mole gazu idealnego podlega odwracalnej przemianie przedstawionej na wykresie obok. A) Ile energii w postaci ciepła pobrał gaz? B) Ile wyniosła zmiana energii wewnętrznej gazu? C) Jaka pracę wykonał gaz podczas tej przemiany? Stan początkowy ma parametry (T 0 = 400 K; S 0 = 5 J/K), (T k = 00 K; S k = 0 J/K), Ws-ka: ΔQ = TˑdS i porównaj to ze sposobem obliczania pracy ΔW = pˑdv. 15. Oblicz ilość ciepła dostarczonego próbce gazu idealnego, jeżeli jego entropia w wyniku odwracalnego rozprężania izotermicznego w temperaturze 140 o C wzrosła o 50 J/K. 4

5 16. Dwuatomowy gaz doskonały, którego cząsteczki uczestniczą w ruchu obrotowym, ale nie wykonują drgań, poddano procesowi cyklicznemu z rysunku obok. Przyjmując za dane p 1, V 1 i T 1 oraz R oblicz: A) p 3, V 3 i T 3 ; B) pracę W, Q, ΔU, ΔS w przeliczeniu na mol gazu we wszystkich 3 przemianach cyklu; C) Ile wynosi sprawność takiej maszyny cieplnej? 17. Załóżmy, że jeden mol jednocząsteczkowego gazu przeprowadzono od stanu początkowego (p 1,V 1 ) do stanu końcowego (p 1,V 1 ) poddając go dwóm różnym przemianom: (I) gaz izotermicznie rozpręża się do objętości V 1 a następnie jest izochorycznie sprężane do p 1. (II) Gaz jest izotermicznie sprężany aż jego ciśnienie wzrośnie dwukrotnie po czym jest izochorycznie rozprężany do objętości V 1. A) Przedstaw każdą z przemian w zmiennych p-v. B) Dla przemian (I) i (II) wyznacz Q/(p 1ˑV 1 ) dla każdego z etapów przemian. C) Pracę wykonaną W/(p 1ˑV 1 ) dla każdego z etapów przemian. D) Ile wynosi dla (I) i (II) przemian ΔU/(p 1ˑV 1 ) a ile ΔS? 18. Cykl odwrotny Carnota reprezentują poniższe diagramy w zmiennych p-v ( ) i T-S (C D A B C na środkowym diagramie; na prawym). W tym odwracalnym cyklu zamkniętym (cykl przebiega odwrotnie do ruchu wskazówek zegara), gaz idealny pobiera ciepło w ilości Q 3 = Q L od układu o niższej temperaturze T L (chłodnicy) i przekazuje ciepło w ilości Q 1 4 = Q H, układowi o wyższej temperaturze (grzejnicy) kosztem wykonania pracy W. Sprawność tego cyklu definiuje współczynnik wydajności J= L. Korzystając z odwracalności cyklu, I zasady termodynamiki i M N zmiany entropii ( U = 0 i S = 0), pokaż, że wydajność tego cyklu wynosi J= L = O PQO N. Ws-ki: Uzasadnij, że: a) całkowita ilość ciepła wymieniona w jednym cyklu z otoczeniem M N O N Q = Q L Q H ; b) praca wykonana przez gaz na rzecz otoczenia W = Q; c) spełniona jest równość M N M P =0. O N O P 19. Pokaż, że sprawność cyklu Carnota wynosi ( ) ( ) η = TH TL TH = ε 1 ε, gdzie ε jest współczynnikiem wydajności cyklu odwrotnego. 0. Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego został poddany przemianie cyklicznej przedstawionej na rys, obok w zmiennych p-v. Przyjmijmy, że p = p 0, V = V 0, gdzie p 0 = 10 5 Pa, V 0 = 0,05 m 3.. Oblicz: a) Pracę wykonaną podczas cyklu; b) ciepło dostarczone w procesie a b c, c) sprawność cyklu; d) ile wynosiłaby sprawność silnika Carnota pracującego pomiędzy najwyższą i najniższą temperaturą tego cyklu? 1. Masa m wodoru rozszerza się izobarycznie, dwukrotnie zwiększając objętość. Znaleźć zmianę entropii w tym procesie. Dane są: masa cząsteczkowa wodoru μ i ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu c p.. Cztery mole gazu doskonałego poddano izotermicznemu przy T = 400K odwracalnemu rozprężaniu od V 1 do V = V 1. Obliczyć pracę wykonaną przez gaz oraz zmianę entropii gazu. 5

6 3. W dwóch naczyniach o pojemnościach V 1 i V znajdują się masy m 1 i m gazów o masach cząsteczkowych odpowiednio μ 1 i μ. Obliczyć ciśnienie mieszaniny gazów powstałej po połączeniu tych naczyń przewodem o pomijalnej objętości oraz zmianę entropii w tym procesie. Temperatura mieszających się gazów jest stała i wynosi T. 4. Dwa podukłady o temperaturach początkowych T 1 i T > T 1 oraz pojemnościach cieplnych odpowiednio C 1 i C zetknięto ze sobą, pozwalając na wyrównanie się temperatur. Znaleźć zmianę entropii układu w całym procesie. 5. Znaleźć zmianę entropii przy zamianie masy m lodu o temperaturze T 1 w parę o temperaturze T. Dane są ciepła właściwe lodu, wody, pary wodnej oraz ciepła topnienia lodu i parowania wody. 6. Pierwszy stopień dwustopniowego silnika Carnota pobiera z grzejnika o temperaturze T 1 energię w postaci ciepła Q 1, wykonuje pracę W 1 i oddaje do chłodnicy o temperaturze T energię w postaci ciepła Q. Drugi stopień pobiera energię Q, wykonuje pracę W i oddaje do chłodnicy o jeszcze niższej temperaturze T 3 energię Q 3. Udowodnij, że sprawność dwustopniowego silnika Carnota jest równa (T 1 T 3 )/T Jeden mol gazu doskonałego o nieznanej liczbie stopni swobody oraz ciepłach molowych użyto jako substancji roboczej w silniku wysokoprężnym (silnik Diesla) pracującym według następującego cyklu zamkniętego pokazanego na diagramie obok w zmiennych p-v: (1) (1 ) zapłon od (p 1,V 1 ) do (p = p 1,V = V 1 ); () ( 3) suw bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p,v ) do (p 3 = p 1 /3,V 3 = 16V 1 ); (3) (3 4) od (p 3,V 3 ) do (p 4 = p 3,V 4 = 8V 1 ); (4) suw (4 1) bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p 4,V 4 ) do (p 1,V 1 ). Wyznacz wykładnik adiabaty oraz liczbę stopni swobody tego gazu. Obliczyć: a) Temperatury na początku i końcu każdej z przemian; b) Sprawność silnika. Ws-ki: Ciepło jest wymieniane z otoczeniem tylko w przemianach izobarycznych; temperatury w punktach 1,, 3 i 4 wykresu należy wyznaczyć z równania stanu gazu doskonałego. 8. Jeden zamknięty cykl silnika benzynowego składa się z 4 następujących przemian; patrz diagram obok w zmiennych p-v: (1) (1 ) zapłon od (p 1,V 1 ) do (p = 3p 1,V 1 ); () ( 3) suw bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p,v 1 ) do (p 3,V 3 ); (3) (3 4) ssanie od (p 3,V 3 ) do (p 4,4V 1 ); (4) (4 1) suw bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p 4,4V 1 ) do (p 1,V 1 ). Traktując mieszaninę benzyna-powietrze jako gaz idealny o znanym wykładniku adiabaty γ obliczyć: a) Ciśnienie i temperaturę na początku i końcu przemian; b) sprawność silnika. Ws-ki: Pokaż najpierw, że równanie adiabaty w zmiennych V-T ma postać $ 8 SQ% ; następnie wykorzystując równania adiabat i izobar pokaż, że Q 1 = C V T 1 i Q 3 4 = Q 1 /(4) γ a) Chłodziarka Carnota wymaga 300 J pracy, aby pobrać 800 J ciepła z komory chłodzenia. Ile wynosi jej współczynnik sprawność? Ile ciepła jest odprowadzane na zewnątrz przez chłodziarkę? b) Klimatyzator pobiera energię cieplna z pokoju o temperaturze t Z = 1 o C i odprowadza ją do otoczenia o temperaturze t 0G = 3 o C. Ile wynosi jej współczynnik wydajności? Ile dżuli energii pobranej z pokoju przypada na jeden dżul energii elektrycznej dostarczonej klimatyzatorowi? Ile wyniesie wydajność chłodziarki, jeśli temperatura otoczenia wzrośnie do 3t 0G, a potem do 10t 0G? 30. Dwa pręty, z miedzi i z aluminium, o przewodnościach cieplnych odpowiednio 394 i 18W/(mK), długości 50 cm każdy i promieniu 1 cm są połączone szeregowo. Ich powierzchnie boczne są izolowane cieplnie. Wolny koniec pręta miedzianego znajduje się w temperaturze 80 C, a aluminiowego w temperaturze 10 C. (a) Jaka jest temperatura na złączu? (b) Jaka jest szybkość przepływu ciepła przez pręty? 6

7 31. Oblicz strumień ciepła uciekającego z organizmu narciarza przez jego ubranie, jeżeli przyjmie się następujące dane: pole powierzchni ciała 1,8m, grubość ubrania 1 cm, temperatura skory 33 C, temperatura powietrza 1 C i przewodność cieplna właściwa ubrania 0,04W/(mK). Jak zmieniłby się ten wynik, jeżeli w wyniku upadku kombinezon narciarza nasiąkłby wodą, której przewodność cieplna właściwa wynosi 0,6W/(mK)? 3. Kulę o promieniu 0,5m, temperaturze 7 C i zdolności emisyjnej 0,85 umieszczono w otoczeniu o temperaturze 77 C. Z jaką szybkością kula: (a) emituje; (b) pochłania promieniowanie cieplne? (c) Jaka jest wypadkowa szybkość wymiany energii przez kulę? 33. Samolot leci na wysokości 8,3 km. W kabinie pasażerów utrzymywane jest ciśnienie odpowiadające ciśnieniu powietrza na wysokości,7 km. Oszacować: a) stosunek gęstości powietrza w kabinie, gdzie temperatura wynosi +0 C, do gęstości powietrza otoczenia o temperaturze 0 C; b) różnicę ciśnień między wnętrzem i otoczeniem. Masa molowa powietrza 9 g/mol. 34. Pokaż, że równanie przemiany adiabatycznej w zmiennych T-V ma postać $8 SQ% =9T/UV % i $ S? %QS =9T/UV w zmiennych p-t. 35. ( Odmrażanie stopni swobody ). a) Obliczyć energię ruchu cieplnego oraz molową pojemność cieplną C V gazu idealnego o temperaturze T oraz i stopniach swobody korzystając z zasady ekwipartycji energii cieplnej. b) Przy dostatecznie wysokich temperaturach cząsteczka gazu dwuatomowego wykonuje w przestrzeni obroty (sztywna dwuatomowa molekuła wiruje w przestrzeni) o średniej energii k B T. Ile wynosi w tych warunkach pojemność molowa C (1) V? (Gaz cząsteczek H w przedziale temperatur od 350K do około 800K ma C V = C (1) V.). c) Przy jeszcze wyższych temperaturach wzbudzane są wibracyjne stopnie swobody cząstki dwuatomowej (atomy wykonują ruch drgający wzdłuż linii łączącej je), przy czym średnia energia takiego ruchu wynosi kt. Obliczyć pojemność C () V przy bardzo wysokich temperaturach. (Gaz cząsteczek H o temperaturze powyżej 5000K wykazuje C V = C () V.) 36. Prędkość najbardziej prawdopodobna v p odpowiada wartości maksymalnej funkcji rozkładu Maxwella W (F)=XT/UV F exp ( > F (Z C $). Pokaż, że: a) F [ = \ ]O, tj. v p = kbt m0 ; b) jeśli przyjąć H v nową zmienną x =, to W (F)=XT/UV F exp ( > F (Z C $) df=(4 ) ^ exp ( ^)d^. v p 37. A) Stacja meteorologiczna jest umieszczona na wysokości 350m. Oszacować ciśnienie powietrza na tej wysokości. Przyjąć: temperaturę powietrza 5 C, masę molową powietrza 9 g/mol, ciśnienie na poziomie morza p 0 = 1000 hpa. B) Na jakiej wysokości ciśnienie powietrza stanowi 75% ciśnienia na poziomie morza? Masa molowa powietrza 9 g/mol. C) Załóżmy, że atmosfera Ziemi jest złożona tylko z atomów: azotu, lub tlenu albo wodoru. Oszacować ciśnienie takiej atmosfery na wysokości 1 km. Przyjąć: temperaturę atmosfery 5 C, ciśnienie na poziomie morza p 0 = 1000 hpa. 38. Ile waży 1m 3 powietrza: A) na powierzchni Ziemi; B) na wysokości 4 km nad powierzchnią? Przyjąć temperaturę powietrza za 0 C. Ciśnienie na poziomie morza p 0 = 1000 hpa. 39. Diagramy obok przedstawiają cykl zamknięty silnika spalinowego (cykl Otta): 1 suw adiabatycznego zasysania mieszanki paliwowej; 3 zapłon mieszanki paliwowej w przemianie izochorycznej; 3 4 adiabatyczny suw pracy (rozprężanie); 4 1 przemiana izochoryczna usuwania spalin do otoczenia. Pokaż, że sprawność takiego cyklu wynosi 1 (_)`ab, % gdzie 3= : b : jest współczynnikiem sprężania w przemianie 1. Ws-ka: Patrz 7

8 40. Diagramy obok reprezentują cykl zamknięty pracy modelu silnika Diesla. Przemiana adiabatyczna 1 (a b) to sprężanie powietrza (bez paliwa); w punkcie (b) następuje wtrysk paliwa pod wysokim ciśnieniem i zapłon mieszaniny bez iskry; generacja i transfer ciepła do sprężonego powietrza przybliżamy przemianą izobaryczną 3 (b c); suw pracy 3 4 (c d) modelujemy przemianą adiabatyczną; po otwarciu zaworu i dwóch dodatkowych suwach gorące powietrze i produkty spalania są zastępowane w przemianie izochorycznej 4 1 (d a) przez świeże powietrze. Załóżmy, ze substancją roboczą jest gaz idealny o znanych ciepłach molowych. Pokaż, że współczynnik sprawności tego cyklu można wyrazić za pomocą temperatur T a, T b, 1Td Ta T c, T d oraz wykładnik adiabaty γ i wynosi on η = 1. γ T T c b Następnie wykorzystując związki dla przemian adiabatycznych TV = TV i γ 1 γ 1 a a b b TV = TV oraz równość V a = V b, pokaż, że γ 1 γ 1 c c d d γ 1 γ 1 V c V b Tc Tb Vd Va η = 1. γ ( T T ) 41. Diagramy poniżej prezentują cykl zamknięty pracy modelu silnika Diesla. Przemiana adiabatyczna 1 (a b) to sprężanie powietrza (bez paliwa); w punkcie (b) następuje wtrysk paliwa pod wysokim ciśnieniem i zapłon mieszaniny bez iskry; generacja i transfer ciepła do sprężonego powietrza przybliżamy przemianą izobaryczną 3 (b c); suw pracy 3 4 (c d) modelujemy przemianą adiabatyczną; po otwarciu zaworu i dwóch dodatkowych suwach gorące powietrze i produkty spalania są zastępowane w przemianie izochorycznej 4 1 (d a) przez świeże powietrze. Załóżmy, ze substancją roboczą jest gaz idealny o znanych ciepłach molowych. c b Pokaż, że współczynnik sprawności T T T 1 1 α 1 η = = γ , γ 1 γt T3 T 1 r γ ( α 1) gdzie r=v 1 /V i c= O d O = : d :. Ws-ka: Patrz 8

9 4. Rysunki obok przedstawiają zamknięty cykl Braytona pracy silników turbin gazowych stosowanych w generatorach prądu elektrycznego, w samolotach i rakietach. Na odcinku 1 (A B) powietrze o ciśnieniu atmosferycznym p min = p 1, temperaturze T 1 jest poddawane adiabatycznemu sprężaniu, co podnosi jego ciśnienie do p max = p i temperaturę do T, ponieważ nad powietrzem jest wykonywana praca. Następnie gorące powietrze trafia do komory spalania (combustion chamber), gdzie jest mieszane z paliwem i mieszanka ulega wybuchowemu spalaniu 3 (B C), co podnosi temperaturę mieszaniny do T 3 pod stałym ciśnieniem p max = p. Mieszanina gazowa wykonuje etap pracy (napędza turbinę) 3 4 (C D), rozprężając się adiabatycznie do ciśnienia atmosferycznego p min = p 1 = p 4, osiągając temperaturę T 4. Ostatni etap cyklu 4 1 (D A), polega na izobarycznym ochłodzeniu spalin do temperatury T 1 i usunięciu ich na zewnątrz silnika. Pokaż, że sprawność tego silnika, jeśli substancją robocza jest gaz idealny w ilości n moli, wynosi T4 T1 η = 1. T T 3 Ws-ka: Ciepło jest pobierane w przemianie 3 (B C) w ilości ( ) Q = nc T T H p 3 i oddawane układowi w ilości QC = ncp ( T4 T1 ), więc QH QC η =. QH Pokaż, że równanie adiabaty w zmiennych p-v ma postać ( γ 1) γ p T = const. Pokaż, że analiza procesu adiabatycznego 1 (A B) pozwala otrzymać wyrażenie ( γ 1) γ p max ( γ 1) γ T1 = T = rp T, pmin gdzie pmax rp = pmin określa stopień zwiększenia ciśnienia w tym procesie. Podobnie pokaż, że dla adiabatycznego rozprężania mamy Następnie uzasadnij, że T ( ) γ 1 γ p ( ) = T = r T. max γ 1 γ 4 3 p 3 pmin ( γ ) η = 1 r. 1 γ p Wyznacz sprawność silnika Braytona dla dwuatomowego gazu idealnego, w którym nie i są wzbudzane r = 10. oscylacyjne stopnie swobody i dla p Czy wzbudzenie oscylacyjnych stopni swobody zwiększa η? 9

10 a n + B nb = nr T. V Punkt krytyczny ma 3 ściśle określone wartości ciśnienia p kr, temperatury T kr i objętości V kr, które odpowiadają punktowi przegięcia p izotermy krytycznej. Parametry krytyczne wyznaczamy z warunków na pierwszą pochodną = 0 V 43. Równanie gazu Van der Waalsa ma postać p ( ) oraz na drugą pochodną p V pkr = 0. Pokaż, że: p nrtkr an an nrtkr A) = + = 0 = ; 3 3 V V nb V V V nb B) p k r ( ) kr kr ( ) kr p nrt an an nrt 6 0 6, kr kr = = = V p ( Vkr nb) Vkr Vkr ( Vkr nb) kr C) V kr = 3nb; ws-ka: podziel stronami otrzymane wyżej rezultaty, D) T kr = 8a/(7bR); ws-ka: podstaw V kr do otrzymanego wzoru kr an nrtkr = 3 Vkr kr ( V nb) E) p kr = a/(7b ); ws-ka: podstaw wyniki z C) i D) do równania gazu. F) Wyznacz T kr dla dwutlenku węgla, dla którego a =,13 Pa m 6 /mol i b = 31, m 3 /mol i porównaj z danymi tablicowymi. 45. Zasada Landauera (1961). Nieodwracalne zapisanie w temperaturze T przez cyfrowy komputer jednego bitu informacji w dwustanowej komórce pamięci komputera powoduje wydzielenie do otoczenia energii cieplnej w ilości Q = k T ln. Odkrycie Rolfa Landauera jest fizyczną zasadą dotyczącą B najniższej teoretycznej wartości energetycznego kosztu przetwarzania informacji przez cyfrowy komputer. Precyzyjniejsze sformułowanie tej fizycznej zasady (003, Charles Bennett): Z każdym procesem nieodwracalnego przetwarzanie informacji logicznej, jak wymazanie bitu informacji, jest związany wzrost entropii elementów komputera lub wzrost entropii jego otoczenia. Uzasadnij zasadę Landauera. Ws-ka: Komórkę pamięci komputerowej plus jej bezpośrednie otoczenie można modelowo potraktować jako izolowany układ termodynamiczny; komórka pamięci to termodynamiczny podukład o dwóch umownych stanach: ZERO i JEDEN; nieodwracalny zapis jednego bitu informacji powoduje, że komórka poddana jest przemianie termodynamicznej od początkowych dwóch stanów ZERO lub JEDEN do jednego ze stanów, np. JEDEN; wyznaczmy teraz zmianę entropii Boltzmanna dla naszego podukładu (dwustanowa komórka pamięci cyfrowego komputera): ( ) ( ) S 1 = S N = 1 S N = = kb ln1 kb ln = kb ln, widzimy, że lokalnie w naszym izolowanym układzie entropia komórki pamięci zmalała, ale układ jest zamknięty, więc (II zasada termodynamika) entropia otoczenia wzrasta o co najmniej kb ln. 46. Średnia wartość kwadratu prędkości cząstki mugolonu, tworzącego hipotetyczny gaz idealny mugolonów, wynosi <v > = αkt /m 0, gdzie m 0 masa jednego mugolonu i α stała Pottera. Korzystając z toku rozumowania zastosowanego na wykładzie do otrzymania równania Clapeyrona stanu gazu doskonałego, pokaż, że równanie stanu swobodnych mugolonów ma postać? 8=c / $ /3. Wykreśl: a) izotermy gazu mugolonów w zmiennych p-v, V-T i p-t; b) izobary w zmiennych V-T, p-v i p-t; c) izochory w zmiennych V-T, p-v i p-t., pkr 10

11 47. Swobodne rozprężanie gazu rys. obok. Jest to proces adiabatyczny, w którym nie ma wymiany ciepła z otoczeniem ani nie jest przez gaz wykonywana praca. Dlatego Q = W = 0. Zatem pierwsza zasada termodynamiki wymaga, aby nie zmieniała się energia wewnętrzna, tj. U = 0. Otwarcie zaworu (stopcock) powoduje swobodną ekspansję gazu, który wypełni całą objętość dwukrotnie większą od początkowej. Takie zjawisko różnie się kompletnie od innych przemian, ponieważ odbywa się gwałtownie, a nie kwazistatycznie (a więc bardzo, bardzo powoli, a gaz przechodzi płynnie od jednego stanu równowagi do kolejnego) w kontrolowany sposób. Podczas swobodnego rozprężania się gaz nie znajduje się w stanie równowagi cieplnej, a jego ciśnienie nie jest jednorodne w objętości zbiornika. Nie jest więc możliwe sporządzenie ciągłego wykresu p-v dla tego procesu. Jeden mol tlenu (gaz idealny) rozpręża się izotermicznie w temp. 310 K od objętości V 1 = 1 dm 3 do V =4 dm 3. Uzasadnij, że w tych warunkach energia wewnętrzna gazu nie ulega zmianie, praca gazu i ciepło wymienione z otoczeniem są sobie równe i wynoszą Q = W = RT ln ( V V ), a zmiana (wzrost) entropii jest równa S R ln( V V ) 1 = = R ln. Jaka będzie temperatura i ciśnienie końcowe, jeśli opisany proces rozprężania będzie adiabatycznym? Ws-ka: Zastosuj VT γ-1 = const. Jaka będzie temperatura i ciśnienie końcowe, jeśli opisany proces rozprężania będzie procesem swobodnego rozprężania? W tym przypadku sporządź wykres tej przemiany w zmiennych p-v i T-V. δq dv dt Korzystając ze wzoru ds = = R + CV pokaż, że zmiana entropii w procesie swobodnego rozprężania T V T gazu wynosi S = Rln( V V ) 1 1, co wskazuje, że proces jest nieodwracalny. Inne podejście do tego problemu przedstawiamy poniżej. W termodynamice statystycznej nadaje się entropii interpretację mikroskopową za pomocą definicji entropii Boltzmanna-Plancka S = kb lnw, gdzie kb = R NA, W nazywa się prawdopodobieństwem termodynamicznym lub parametrem nieuporządkowania i definiuje on liczbę mikrostanów realizujących dany makrostan układu termodynamicznego. W rozpatrywanym przypadku makrostan początkowy odpowiada stanowi, w którym w jednej połowie zbiornika znajdują się wszystkie N A cząsteczek tlenu. Makrostan końcowy odpowiada sytuacji, gdy cząsteczki tlenu są rozłożone równomiernie w zbiorniku, tj. N A / znajduje się w lewej połowie i tyle samo w prawej połowie. Zmiana entropii Boltzmanna S = k ln( W W ), gdzie W, W 1 to 1 B 1 odpowiednio parametry nieuporządkowania stanu końcowego i początkowego. Liczba W określa ile mikrostanów N! realizuje dany makrostan zadany parą liczb (N L ; N P ), przy czym W =, gdzie symbol! oznacza silnię, N! N! zaś N L i N P określają liczbę cząsteczek gazu odpowiednio w lewej i prawej połowie zbiornika. Rozważmy swobodne rozprężanie jednego mola gazu idealnego (np. tlenu) jako przejście od stanu (100;0), dla którego 100! N A! W 1 = = 1, do stanów odpowiadających (50;50), dla którego W =. Wartość entropii 100!0! N! N! ( A ) ( A ) Boltzmanna dla stanu (100;0) wynosi S k ln( W ) 0. S N! = ( W ) = A kb ln kb ln. ( NA )!( NA )! posługiwać się przybliżeniem Stirlinga ln N! N(ln N) N. Ws-ka: N! = przybliżenie Stirlinga. L 1 B 1 P = = Dla stanów (50;50) Dla bardzo dużych N, rzędu liczby Avogadra, możemy Pokaż, że S ( W W ) (( A ) ) A ln ln N A! ln N! ( NA )!( NA )! = k ln = R ln. 1 B 1 ; do tej równości należy teraz zastosować 11

12 48. Jeden kg wody o temp. 100 o C jest podgrzewany (rys. obok) i paruje pod ciśnieniem atmosferycznym 1, Pa, w wyniku czego objętość wody 10-3 m 3 przekształca się w parę o objętości 1, m 3. Jaka pracę wykonuje układ podczas odparowywania wody? Ile ciepła jest dostarczonego układowi podczas parowania? Jaka jest zmiana energii wewnętrznej układu? 49. Układ może wymieniać ciepło z otoczeniem promieniując lub absorbują energię fal elektromagnetycznych. Promieniowanie energii w postaci fal elektromagnetycznych znany jest pod nazwą promieniowania cieplnego (termicznego). Strumień promieniowania cieplnego emitowanego wynosi E -.. = σgε$ i, gdzie A powierzchnia emitująca, σ = 5, W/(m K 4 ) stała Stefana-Boltzmanna (od nazwiska odkrywcy na drodze eksperymentalnej Józefa Stefana i Ludwika Boltzmanna (podał uzasadnienie teoretyczne), T temperatura powierzchni emitującej; ε parametr przyjmujący wartości z przedziału (0.0;1.0>. Strumień promieniowania cieplnego absorbowanego i i E (jk. = σgε$ +.+lm-(, gdzie A powierzchnia absorbująca; $ +.+lm-( temperatura otoczenia; ε parametr przyjmujący wartości z przedziału (0.0;1.0>. Wypadkowy strumień energii cieplnej E = i E (jk. E -.. =σgε($ +.+lm-( $ i ). Niektóre insekty (żuk Melanophila) potrafią dokonać detekcji pożaru z odległości ponad 10 km, dzięki posiadania stosownych organów-receptorów pochłaniających promieniowanie cieplne powodującego (rozszerzanie się określonych fragmentów ciała) pobudzenie synaps. Niektóre węże (np. grzechotnik) także posługują się receptorami promieniowania cieplnego, co umożliwia im polowanie w zupełnych ciemnościach. Wyobraź sobie, że 4,5 g wody o temperaturze 6 o C rozlałeś na powierzchni 9 cm i pozostawiłeś gwiaździstej nocy na powietrzu, którego temperatura wynosiła 3 o C. Oszacuj czas t, po upływie którego woda zamarznie. Ciepło właściwe wody 4190 J/(kg K); ciepło topnienia 3, J/kg. Przyjmij, że układ woda+lód emituje promieniowania cieplne w temperaturze 0 o C. Ws-ka: Pokaż, że woda po całkowitym zamarznięciu oddaje ciepło w ilości 161 J, które jest wypromieniowane do atmosfery; należy uwzględnić zjawisko absorpcji z powietrza (otoczenia) energii cieplnej przez układ woda+lód. Odp. t =, s. 50. Załóżmy, że kg wody o temperaturze spontanicznie zmienia temperaturę, w ten sposób, że 1 kg ochładza się do 0 o C (i nie zamarza) a pozostała część ogrzewa się do 100 o C (i nie paruje). Jaka jest zmiana entropii układu? Czy ten proces jest możliwy do zaobserwowania? Ws-ka: Zmiana entropii ciała o masie m, cieple właściwym c W, gdy jego temperatura zmienia się od T 1 do T wynosi T S1 = mcw T1 d T. T W. Salejda Wrocław, 4 kwietnia 016 1