ZMIERZYĆ SIĘ Z KALKULATOREM

Transkrypt

1 ZMIERZYĆ SIĘ Z KALKULATOREM Agnieszka Cieślak Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie Streszczenie Referat w prosty sposób przedstawia niekonwencjonalne sposoby mnożenia liczb. Tematyka została przedstawiona w bardzo prosty sposób, dzięki czemu mnożenie można wykonać w znacznie krótszym czasie niż standardowe wykonanie tej operacji na kalkulatorze. 1. Standardowa tabliczka mnożenia Na początek warto przypomnieć sobie standardowy sposób mnożenia liczb. Każdy uczył się tabliczki mnożenia w szkole podstawowej. Na pytanie, ile jest 7 2, każdy w myślach szuka odpowiedzi i po kilku sekundach wykrzykuje 14. Patrząc z perspektywy czasu nauka owej tabliczki zajęła nam dość sporo cennego czasu. Jednym ze sposobów przyswojenia tabliczki mnożenia jest wykucie jej na pamięć. Metoda ta jest najczęściej stosowana, niemniej jednak posiada jedną, poważną wadę. Im rzadziej wracamy i odświeżamy to co się nauczyliśmy tym szybciej to zapominamy. Istnieje zatem prostszy sposób od owego wkuwania. Standardowe mnożenie mieści się w zakresie od 1 do 10. Dziesięć jest taką liczbą, która łatwo kojarzy się z dłońmi (suma palców obu dłoni wynosi 10) podstawowy kalkulator każdego ludzkiego ciała. Jak zatem wykorzystać 10 palców do mnożenia? Metoda ta jest skuteczna tylko w przypadku mnożenie liczb większych od 5. Każda z dłoni przedstawia liczbę w zakresie od Ilość palców wyprostowanych mówi o wartości danej liczby. Jeśli wszystkie palce są zagięte reprezentuje to liczbę 5, jeden wyprostowany liczbę 6 itp. W pierwszym kroku dodajemy ilość wyprostowanych palców na obu dłoniach do siebie. Liczbę tą mnożymy przez 10. Następnie mnożymy ilość zgiętych palców przez siebie i dodajemy te liczby do siebie. ISSN , Nr 1 (2) 2010, s. 6-14

2 Rysunek 1. Mnożenie za pomocą dłoni. 5 7=(0+2) =20+15=35 6 7=(1+2) =30+12=42 8 9=(3+4) =70+2=72 Źródło: Tę samą metodę można przedstawić w inny sposób: Naszym palcom na obu rękach, rozpoczynając od najmniejszego palca idąc w stronę kciuka, przyporządkowujemy liczby od 6 do 10 w następujący sposób: najmniejszy palec 6, palce serdeczne -7, palce środkowe 8, palce wskazujące - 9, kciuki Rysunek 2. Numeracja palców Obliczamy 7 7. W pierwszym kroku łączymy palce odpowiadające liczbie siedem, czyli palce serdeczne. Trzymając dłonie wewnętrzną stroną do siebie sumujemy palce złączone oraz te które mają mniejszą wartość od nich (w naszym przypadku będą to palce małe). Będą one oznaczały ilość dziesiątek. Razem otrzymujemy 4 palce oznaczające dziesiątki, czyli liczbę 40. Następnie mnożymy 7

3 ilość pozostałych palców, czyli tych, które są powyżej złączonych palców serdecznych. Trzy na jednej ręce i trzy na drugiej, czyli 3 3 = 9. Wyniki sumujemy 40+9=49. Numeracja palców u dłoni w przeciwnym kierunku powoduje odwrócenie działań dodajemy palce złączone i te powyżej nich oraz mnożymy ilość znajdującą się poniżej złączonych palców. Mnożenie przez 9 w inny sposób. Rysunek 3. Układ dłoni W pierwszym kroku należy rozłożyć dłonie tak, aby kciuki znajdowały się po zewnętrznych stronach. Następnie numerujemy je tak jak na Rysunku 3. W kolejnym kroku postępujemy zgodnie z zasadą przedstawioną na przykładzie zilustrowanym Rysunkiem 4. Rysunek 4. Mnożenie 9 2 Przypuśćmy, że mnożymy 9 2. Należy najpierw zamalować palec o numerze 2. Następnie obliczymy ile palców od zamalowanego znajduje się po lewej stronie. Liczba ta stanowi liczbę dziesiątek iloczynu. Ilość palców znajdująca się po prawej stronie odpowiada za liczbę jedności. Metoda ta jest prawdziwa gdy jednym z czynników iloczynu jest 9. Drugim czynnikiem jest liczba odpowiadająca za zamalowanego palca. 8

4 Trudność tego typu mnożenia polega jedynie na tym, aby zapamiętać który palec odpowiada za jaką liczbę. 2. Mnożenie liczb dwucyfrowych Można spróbować mnożenia pisemnego szybkość obliczeń jest niekiedy długa i przeznaczona dla cierpliwych. Na kalkulatorze zajęłoby to kilka sekund. Czas zależy głównie od szybkości wciskania klawiszy. Nie zawsze mamy jednak dostęp do kalkulatora. Co zrobić zatem gdy go nie mamy? Czy ostatecznie skazani jesteśmy na żmudne liczenie pisemne? Otóż okazuje się, że mnożenia tego typu można dokonać bez korzystania z mnożenia pisemnego. Zakres Pomnóżmy teraz np Rysunek 5. Mnożenie Zadany iloczyn można rozpisać w ten sposób, że drugą liczbę zapiszemy w postaci sumy 10 i pozostałej wartości, tzn =13 (10+2). Następnie dodajemy do pierwszej liczby drugi składnik naszej sumy (interesuje nas tylko liczba 2), otrzymujemy zatem 13+2=15. Liczba 10 w zapisie ma jedno zero zatem musimy dopisać do liczby z prawej strony jeszcze jedną liczbę będącą iloczynem cyfr jedności, w przedstawionym przykładzie jest to 3 2=6. Otrzymujemy zatem =

5 Kolejny przykład to Rysunek 6. Mnożenie Działania wykonujemy w ten sam sposób co poprzednio. Do 16 dodajemy 9, otrzymując 25 jest to pierwsza część wyniku. Następnie mnożymy 6 x 9 i otrzymujemy 54, a ponieważ 19 można rozpisać jako , wiemy że powinniśmy dopisać tylko jedną cyfrę (10 ma jedno zero). Pojawia się kłopot co zrobić z liczbą 5? Otóż zapisujemy liczbę w ten sposób, że jedności idą na miejsce cyfry, którą powinniśmy dopisać, a 5 dodajemy do liczby dziesiątek. Zakres Rysunek 7. Mnożenie Pomnóżmy W pierwszym kroku znajdujemy liczby będące uzupełnieniem obu czynników do liczby 100. Dla liczby 95 jest to 5, zaś dla 97 jest to 3. Następnie odejmujemy na krzyż, tzn. od liczby 95 odejmujemy 3, a od 97 odejmujemy 5. W obu przypadkach otrzymujemy to samo, czyli 92 i są to pierwsze dwie liczby wyniku. Kolejne dwie stanowi iloczyn dopełnień, czyli 5 3, co daje 15. Wynik mnożenia to Pozostałe liczby. Mnożąc dwie dowolne liczby dwucyfrowe przez siebie można skorzystać z następującej reguły. 10

6 Rysunek 8. Mnożenie W pierwszym kroku mnożymy przez siebie liczby dziesiątek (5 4=20). Otrzymujemy w ten sposób dwie pierwsze liczby wyniku. Musimy dopisać jeszcze dwie cyfry do wyniku. W następnym kroku mnożymy liczby jedności (2 7=14). Wynik zapisujemy na ostatniej pozycji. W przypadku otrzymania liczby dwucyfrowej zapisujemy ją na dwóch ostatnich pozycjach. Kolejnym krokiem jest mnożenie skrajnych cyfr, tzn. czyli cyfra dziesiętna jednej liczby jest mnożona przez cyfrę jedności drugiej liczby i odwrotnie (4 7,2 5). Następnie wyniki te należy zsumować (10+14=24) i umieścić na pozycjach środkowych w wyniku, lub na pozycji przedostatniej w przypadku jednocyfrowego wyniku. Na końcu sumujemy wszystkie otrzymane liczby w sposób opisany wyżej i przedstawiony na powyższym rysunku. 1 Mnożenie liczb o tej samej liczbie setek i dziesiątek oraz gdy suma jedności obu liczb daje 10. Takie liczby to np. 34 i 36, 112 i 118 itp. W przypadku mnożenia np postępujemy następująco: obie cyfry mają tą samą cyfrę dziesiątek: jest nią 4. Ponadto suma 2+8 daje 10. Warunki zatem są spełnione. W kolejnym kroku do liczby dziesiątek dodajemy jeden: 4+1 = 5 i liczbę tę mnożymy przez ilość dziesiątek 4 5 = 20. Jest to pierwsza część wyniku. Następnie musimy dopisać jeszcze dwie cyfry. Jest to wynik iloczynu cyfr jedności 2 8 = 16. Do liczby 20 zatem dopisujemy 16 i otrzymujemy Rysunek 9. Mnożenie z dn

7 W przypadku mnożenia liczb trzycyfrowych postępujemy podobnie. Np. mnożąc w pierwszym kroku otrzymujemy = 132 (korzystamy z metody przedstawionej wcześniej:12+1 oraz 2 1) a następnie mnożymy 2 8 = 16. Wynik końcowy to Mnożenie za pomocą rysowania linii Metoda pozwala na mnożenie dowolnych liczb przez siebie. Pomnóżmy przykładowo Rysunek 10. Układ linii W pierwszym kroku rysujemy w odpowiedni sposób pewną ilość linii. Zostało to przedstawione na Rysunku 11. Bierzemy liczbę 23. Składa się ona z 2 i 3, zatem rysujemy 2 linie i po większym odstępie równolegle 3 linie. Linie reprezentujące kolejną cyfrę rysujemy tak, aby linie przecinały się prostopadle z poprzednimi. Rysunek 11. Mnożenie za pomocą linii. Źródło: Opracowanie własne W kolejnym kroku zaznaczamy łukami miejsca przecięć oraz liczymy ilość linii przecinających się w każdym łuku. Liczby te oznaczone są kolorem czarnym. Liczby znajdujące się na dole i na górze dodajemy do siebie (8+3=11). 12

8 Rysunek 12. Sposób zapisu liczb. Źródło: Opracowanie własne Jeśli otrzymana liczba jest dwucyfrowa należy ją przesunąć w zapisie w lewo. Sposób zapisu pozostałych liczb jest przedstawiony na Rysunku 12 (liczba 2 jest liczbą z lewej strony Rysunku 11, zaś liczba 12 jest liczbą z prawej strony Rysunku 11). Wynikiem mnożenia jest więc Podnoszenie do kwadratu w zakresie Potęgowanie bazuje na mnożeniu. Na zakończenie zostanie przedstawiona szybka metoda potęgowania. Przypuśćmy, że chcemy podnieść do kwadratu liczbę 12. Cyfra 2 oznacza liczbę jedności. Cyfrę jedności dodajemy do liczby 12. W wyniku otrzymujemy cyfrę 14. Dodatkowo do wyniku dopisujemy liczbę jedności podniesioną do kwadratu 2 2 =4. Złożenie obu cyfr (14, 4) jest wynikiem potęgowania cyfry = = =4 zatem otrzymujemy > 13+3= = = > 14+4 = =16 18_ = 196 Potęgowanie w drugiej potędze w pozostałym zakresie sprowadza się do mnożenia liczb dwucyfrowych np > = 6889 (8 8 = 64, =_48_, 3 3 = _9) 2 z dn

9 5. Bibliografia 1. z dn eduseek.interklasa.pl/artykuly/artykul/ida/2411/, z dn youtube.com, z dn