Liczby pierwsze Jacek Piotr Nowicki Wersja Beta 1

Transkrypt

1 Liczby pierwsze 2015 Jacek Pitr Nwicki Wersja Beta 1 Wprwadzenie d liczb pierwszych Wiele liczb naturalnych daje się rzłżyć na czynniki mniejsze np. 10=5*2 lub 111=3*37. Jednak istnieją liczby, które nie mgą być rzłżne w taki spsób. Takie liczby nazywamy liczbami pierwszymi. Liczba pierwsza t taka liczba całkwita p większa d jednści, której jedynymi dziennikami są 1 raz p. Każdą liczbę naturalną większą d jednści, która nie jest liczbą pierwszą, nazywamy liczbą złżną. Fakt 1: Liczba 0 z definicji nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złżną. Fakt 2: Liczba 1 z definicji nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złżną. Pierwsze 34 liczby pierwsze t : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139 Na czerwn zaznaczn liczby pierwsze mniejsze d 100 str. 1

2 Liczb pierwszych jest nieskńczenie wiele ( zbacz dwód ). Niech π(n) będzie kreślał ilść liczb pierwszych nie większych d n. Dla dużych wartści liczby n mamy wzór: π(n)\n 1\lg(n) Ot kilka przykładów : liczb pierwszych mniejszych d 1000 jest 168. Wśród wszystkich liczb 100-cyfrwych w przybliżeniu jedna na każde 300 jest liczbą pierwszą. Prblem liczb pierwszych plega na ich rzmieszczeniu wśród liczb naturalnych. Nikt nie pracwał dtąd żadneg wzru pzwalająceg na wyszukiwanie klejnych liczb pierwszych. Istnieją wzry wyszukiwania liczb pierwszych kreślnych właściwściach, nie ma jednak wzru, który by dla każdeg argumentu generwał by liczbę pierwszą. Sit Eratstenesa Najppularniejszym algrytmem wyznaczania liczb pierwszych jest Sit Eratstenesa. Ot algrytm : Ze zbiru liczb naturalnych z przedziału [2,n] wybieramy najmniejszą liczbę 2 i wykreślamy wszystkie jej wielkrtnści większe d niej samej. Z pzstałych liczb wybieramy najmniejszą niewykreślną liczbę ( jest t liczba 3 ) i usuwamy wszystkie jej wielkrtnści większe d niej samej. Wykreślanie pwtarzamy d mmentu gdy liczba i, której wielkrtnść wykreślamy będzie większa niż pierwiastek z liczby n. Wszystkie niewykreślne liczby z przedziału [2,n] są liczbami pierwszymi. str. 2

3 Gęstść liczb pierwszych Teraz wprwadzamy nwe pjęcie gęstści liczb pierwszych. Niech A n znacza ilść liczb pierwszych wśród liczb naturalnych 1,2,3,...,n. Zatem : A 1 = 0 A 2 = 1 A 3 = 2 A 4 = 2 A 5 = 3... Gęstść liczb pierwszych wśród n pierwszych liczb całkwitych jest dana przez stsunek : A n / n. Pniżej przedstawiam tabelę zawierającą prcent liczb pierwszych w danym przedziale [a,b] : a b prcent % ,7% ,14% % ,48% ,57% str. 3

4 ,41% ,18% ,98% ,81% ,1% ,77% ,55% ,60% ,72% ,98% ,35% ,77% ,28% ,82% Prcent liczb pierwszych z przedziału [a,b] str. 4

5 Niech π(n) będzie kreślał ilść liczb pierwszych nie większych d n. Jak już wspmniałem - dla dużych wartści liczby n mamy wzór: π(n)\n 1\lg(n) Twierdzenie liczbach pierwszych mówi nam, że : ( π(n)\n ) \ ( 1\lg(n) ) dąży d 1 przy wzrście liczby n. Rdzaje liczb pierwszych Liczby Mersenne'a Niech liczba M q = 2 q - 1 Niech q będzie liczbą naturalną. Wtedy M q jest liczbą Mersenne'a. Sprśród wszystkich wygenerwanych d tej pry liczb teg typu zaledwie 48 t liczby pierwsze. Liczby pierwsze bliźniacze. Liczby bliźniacze t dwie liczby pierwsze różniące się 2. Na przykład: (3, 5) (5, 7) (59, 61) (1619, 1621) Liczby pierwsze czwracze Liczby czwracze t takie liczby: p, p+2, p+6, p+8, że każda z nich jest liczbą pierwszą. Na przykład: str. 5

6 5, 7, 11, , 823, 827, 829 Liczby pierwsze izlwane Liczba pierwsza p jest izlwana, jeśli najbliższa liczba pierwsza różni się d niej c najmniej 4. Na przykład 89, 157, 173. Liczby Sphie Germain Liczba pierwsza p jest liczbą Sphie Germain, jeśli liczba 2p+1 także jest liczbą pierwszą. Liczby pierwsze lustrzane T pary liczb pierwszych, z których jedna pwstaje przez zapisanie cyfr dziesiętnych drugiej w dwrtnej klejnści. Przykłady: 13 i i 71 Wzry na liczby pierwsze Próbwan znaleźć prste wzry arytmetyczne, które dawałyby tylk liczby pierwsze, chciaż niekniecznie wszystkie liczby pierwsze. Fermat wysunął słynne przypuszczenie, że wszystkie liczby pstaci : F(n) = 2 2n + 1 są liczbami pierwszymi. Rzeczywiści dla n=1,2,3,4 trzymujemy : F(1)=5 F(2)=17 F(3)=257 str. 6

7 F(4)=65537 Wszystkie pwyższe liczby są pierwsze. Ale w rku 1723 Euler dkrył, że F(5)=641* nie jest liczbą pierwszą. Innym ciekawym wyrażeniem, które daje wiele liczb pierwszych jest F(n) = n 2 - n + 41 Dla n=1,2,3,...,40 wyrażenie F(n) jest liczbą pierwszą. Natmiast dla n=41 mamy f(n)=412 i jest t liczba złżna. Wyrażenie F(n) = n 2-79n daje liczby pierwsze przy wszelkich wartściach n aż d 79. Zawdzi jednak dla n=80 Testy pierwszści Algrytm sprawdzania czy liczba p jest liczbą pierwszą?: Wejście: p - sprawdzana liczba Wyjście: c = true gdy liczba p jest liczbą pierwszą c = false gdyliczba p nie jest liczbą pierwszą str. 7

8 Zmienne pmcnicze: i - klejne dzielniki naturalne dla liczby p Algrytm: Krk 1: c true Krk 2: i 2 Krk 3 Jeśli i p, t zakńcz Krk 4: Jeśli p nie dzieli się przez i, t idź d krku 7 Krk 5: c false Krk 6: Zakńcz Krk 7: i i + 1 Krk 8: Idź d krku 3 Największe liczby pierwsze Największa dkryta dtąd liczba pierwsza t 48. (znana) liczba pierwsza Mersenne'a: , która liczy sbie cyfr w zapisie dziesiętnym. Zstała na dkryta 25 stycznia 2013 rku przez Curtisa Cpera. str. 8

9 Ot lista innych wielkich liczb pierwszych Liczba pierwsza Liczba cyfr Rk dkrycia Lista największych liczb pierwszych str. 9

10 Największą liczbą pierwszą sprzed ery kmputerów jest liczba, która nsi nazwę dkrywcy - liczba Ferriera i wynsi: Jest t 44-cyfrwa liczba znalezina za pmcą mechaniczneg kalkulatra w 1951r. Zastswanie liczb pierwszych w kryptgrafii Duże liczby pierwsze są częst wykrzystywane w kryptgrafii ze względu na swe specyficzne właściwści. Dla przykładu piszę kryptsystem RSA. Wykrzystujemy tutaj dwie pary kluczy : klucz publiczny i klucz prywatny. Algrytm RSA: Najpierw generujemy klucz publiczny raz klucz prywatny: wybieramy lsw dwie liczby pierwsze p i q. bliczamy ilczyn tych liczb n=pq bliczamy wartść funkcji Eulera dla n : φ(n)=(p-1)(q-1) wybieramy liczbę e z przedziału [1,φ(n)] względnie pierwszą z φ(n) znajdujemy liczbę d : d=e-1 md φ(n) klucz publiczny t para liczb (n,e) klucz prywatny t para liczb (n,d) Szyfrwanie i deszyfrwanie Aby zaszyfrwać wiadmść dzielimy ją na blki m i wartści nie większej niż n Teraz każdy z blków szyfrujemy według wzru : str. 10

11 c i = m i e md n Natmiast aby dszyfrwać wiadmść musimy każdy z blk c i dszyfrwać według wzru : m i = c i d md n Funkcja Eulera Dla każdeg n>=1 niech φ(n) będzie liczbą takich liczb całkwitych z przedziału 1<=a<=n, że NWD(a,n)=1. Wtedy funkcję φ nazywamy funkcją Eulera. Własnść 1 Nich p będzie liczbą pierwszą. Wtedy φ(p)=p-1 Własnść 2 Niech m>=1 raz n>=1 raz NWD(m,n)=1. Wtedy φ(mn)=φ(m)φ(n). Własnść 3 Niech p będzie liczbą pierwszą. Wtedy φ(p k )=p k-1 (p-1) Spirala Ulama W matematyce spirala Ulama lub spirala liczb pierwszych t graficzna metda pkazywania pewnych niewyjaśninych d dziś różnic w rzkładzie liczb pierwszych, zaprpnwana przez plskieg matematyka Stanisława Ulama w 1963 rku. Na kwadratwej tablicy zaczynając d 1 w śrdku spiralnie wypisuje się klejne liczby naturalne. Na niektórych przekątnych liczby pierwsze częściej grupują się niż na innych. Fakt ten nie zstał d tej pry wyjaśniny. str. 11

12 Więcej spirali Ulama znajdziesz na mjej strnie internetwej liczbach pierwszych Hiptezy Czeg nie wiadm liczbach pierwszych: Hipteza 1 Czy istnieje liczba pierwsza między n 2 a (n+1) 2 dla każdeg n>0? Hipteza 2 Czy istnieje nieskńczenie wiele liczb pierwszych pstaci n 2 +1 gdzie n jest liczbą całkwitą? Hipteza 3 Czy każda liczba parzysta jest sumą dwóch nieparzystych liczb pierwszych? Hipteza 4 Czy istnieje nieskńczenie wiele par liczb pierwszych, takich jak 11,13 alb 17,19 różniących się 2. Jest t prblem bliźniaczych liczb pierwszych. Ciekawstki Ciekawstka 1 W 1914 rku amerykański matematyk Derrick Nrman Lehmer publikwał p raz pierwszy listę wszystkich liczb pierwszych mniejszych d 10 milinów. Stwrzył n tę listę za pmcą sita Eratstenesa. Ciekawstka 2 str. 12

13 Liczba złżna z 23 jedynek jest liczbą pierwszą. Ciekawstka 3 Liczba zestawina z pczątkwych 38 cyfr rzwinięcia dziesiętneg liczby π, jest liczbą pierwszą. Ciekawstka 4 Liczba nie tylk jest liczbą pierwszą, ale liczby trzymane z niej przez klejne bcinanie cyfr d prawej strny też są liczbami pierwszymi: jest liczbą pierwszą jest liczbą pierwszą jest liczbą pierwszą 7393 jest liczbą pierwszą 739 jest liczbą pierwszą 73 jest liczbą pierwszą 7 jest liczbą pierwszą Ciekawe książki liczbach pierwszych Paul Ribenbim, Mała księga wielkich liczb pierwszych, Wydawnictw Naukw-Techniczne, Warszawa Andrzej Szepietwski, Matematyka Dyskretna, Wydawnictw Uniwersytetu Gdańskieg, Gdańsk Wacław Marzantwicz, Pitr Zarzycki, Elementy Terii Liczb, Wydawnictw Naukwe UAM Pitr Zarzycki, Elementarna teria liczb, PWN, Warszawa R. Curant, H. Rbbins, C t jest Matematyka, Państwwe Wydawnictw Naukwe, Warszawa 1959 str. 13

14 Wacław Sierpiński, Arytmetyka Teretyczna, Państwwe Wydawnictw Naukwe, Warszawa 1968 Philip J. Davis, Reuben Hersh, Świat Matematyki, Wydawnictw Naukwe PWN, Warszawa 1994 I.N. Brnsztejn, K.A. Siemiendiajew, G. Musil, H. Muhlig, Nwczesne Kmpendium Matematyki, Wydawnictw Naukwe PWN, Warszawa 2007 Thmas H. Crmen, Charles E. Leisersn, Rnald L. Rivest, Wprwadzenie d algrytmów, Wydawnictwa Naukw-Techniczne, Warszawa 1998 Marcin Karbwski, Pdstawy Kryptgrafii, Wydawnictwa Helin, Gliwice 2014 David Harel, Yishai Feldman, Rzecz istcie infrmatyki - Algrytmika, Wydawnictwa Naukw-Techniczne, Warszawa 2008 str. 14