wprowadzenie Model Matematyczny Model Fizyczny NR 4/2010 INŻYNIERIA MATERIAŁOWA 1249

Transkrypt

1 Łukasz szparaga, Jerzy Ratajski, Roman Olik Modelowanie i symulacja numeryczna stanu naprężeń i odkształceń w warstwie wierzchniej noża strugarki do obróbki drewna pokrytego powłoką przeciwzużyciową wprowadzenie Celem pracy jest prezentacja wyników symulacji komputerowych opartych na metodzie MES, przeprowadzonych dla pracy noża pokrytego powłokami przeciwzużyciowymi. Istnieje szereg publikacji dotyczących matematycznych i aplikacyjnych aspektów metody MES [1 3], wiele z nich poświęconych jest bezpośrednio wspomaganiu komputerowemu projektowania i optymalizacji procesu nanoszenia warstw przeciwzużyciowych [4 6, 8] oraz opisowi procesów wynikających z eksploatacji narzędzi [7]. W wielu przypadkach do symulacji wykorzystuje się gotowe pakiety komputerowe, jak np. ANSYS czy COMSOL, co znaczenie ułatwia i poszerza możliwości potencjalnych zastosowań, również ze względu na bardzo rozbudowane i bogate opcje pomocy występujące w tych programach. Głównym celem symulacji komputerowych jest możliwość analizy rzeczywistego procesu fizycznego bez wykonywania eksperymentów. Mając to na uwadze najtrudniejszym etapem stworzenia modelu komputerowego jest wybór i hierarchizacja zjawisk fizycznych towarzyszących badanemu procesowi, ustalenie warunków początkowych i brzegowych oraz dobór typu i liczby elementów skończonych. W artykule pokazane zostały wyniki symulacji opisujących pola naprężeń wewnątrz noża wykonanego ze stali HSS pokrytego powłoką dwuwarstwową: (TiN oraz TiAlN) zwiększającą trwałość narzędzia. Przeprowadzone symulacje w późniejszym horyzoncie czasowym użyte zostaną jako pierwsze przybliżenie opisu procesu pracy noża w procedurze polioptymalizacyjnej, mającej na celu wspomaganie prototypowania typu, grubości i kształtu nakładanych powłok przeciwzużyciowych. Model Fizyczny W trakcie pracy noża strugarki występuje szereg zjawisk fizycznych. Należy do nich zaliczyć zjawisko odkształceń powstających pod wpływem sił zewnętrznych (np. opory skrawania), zjawisko tarcia, rozszerzalność termiczną obiektu oraz strumień ciepła. Wymienione zjawiska w konsekwencji determinują zjawisko adhezji. W pracy skupiono uwagę na zjawisku odkształceń i naprężeń generowanych w trakcie pracy noża pokrytego powłoką przeciwzużyciową w wyniku działania sił zewnętrznych. Osobnym celem było odwzorowanie pola naprężeń własnych w narzędziu, powstających w procesie nanoszenia powłoki, w celu określenia początkowego stanu naprężeń narzędzia. Szczegółowy opis bazujący na eksperymencie oraz teoretycznych podstawach zjawisk fizycznych wraz z procedurami, formułami i tabelami, pozwalający wyznaczyć siły skrawające, został podany przez A. Staniszewską i Z. Zakrzewskiego [9]. Mając na uwadze charakter zjawisk fizycznych przyjęto następujące założenia: nóż oraz powłoka wielowarstwowa stanowią ośrodki ciągłe, jednorodne, izotropowe i sprężyste, dodatkowo przyjęto, iż proces zachodzi w stałej temperaturze. Z przyjętych założeń wynikają następujące uproszczenia: współczynniki Younga, Poissona i rozszerzalności termicznej materiałów są stałe i nie zależą od zmiennych przestrzennych. Ponadto rozważany jest płaski Mgr Łukasz Szparaga (lukasz.szparaga@tu.koszalin.pl), prof. dr hab. Jerzy Ratajski, mgr Roman Olik Zakład Projektowania Materiałów i Procesów, Instytut Mechatroniki, Nanotechnologii i Techniki Próżniowej, Politechnika Koszalińska stan odkształceń i trójwymiarowy stan naprężeń. Przyjęte założenia i uproszczenia ograniczają w znaczny sposób stosowalność modelu, jednak zastosowana metodyka obliczeń umożliwia analizę bardziej ogólnych przypadków. Na podstawie przyjętych założeń opracowano uproszczony model matematyczny rozważanych zjawisk fizycznych, na podstawie którego został utworzony model komputerowy bazujący na metodzie elementów skończonych. Model Matematyczny Stan naprężeń definiowany jest za pomocą symetrycznego tensora drugiego rzędu w ogólności o sześciu różnych składowych [10 1]. Można zatem sprowadzić ten tensor do 6-składnikowego wektora postaci: σ= σσσσ x y z xyσ yzσxz gdzie: σ x, σ y, σ z naprężenia normalne odpowiednio wzdłuż osi x, y, z. σ xy, σ yz, σ xz naprężenia styczne odpowiednio wzdłuż płaszczyzn xy, yz, xz. Do wektora 6-składnikowego można również sprowadzić tensor opisujący stan odkształceń. Postać tego wektora jest analogiczna do postaci wektora (1), to jest: ε el = εεεε x y z xyεyzεxz gdzie: ε x, ε y, ε z odkształcenia liniowe (odkształcenia odpowiednich krawędzi rozważanego elementu), odpowiednio wzdłuż osi x, y, z. ε xy, ε yz, ε xz odkształcenia postaciowe, opisujące zmianę kątów między odpowiednimi ścianami rozważanego elementu. Odkształcenia termiczne określa wektor postaci: ε th T T T (1) () = T ααα x y z000 (3) gdzie: α x, α y, α z współczynniki rozszerzalności termicznej, odpowiednio wzdłuż osi x, y, z. ΔT = T T ref przyrost temperatury, T ref temperatura odniesienia. Uogólnione prawo Hooke a jest postaci : σ = Dε el (4) gdzie: D macierz sztywności, w której skład wchodzą moduły Younga i Kirchhoffa oraz współczynniki Poissona. Jej jawną postać można znaleźć w literaturze [10 1]. Odkształcenia całkowite są sumą odkształceń sprężystych i termicznych: el th ε = ε + ε (5) Korzystając z równań (4) i (5) otrzymujemy równanie macierzowe umożliwiające bezpośrednie obliczanie naprężeń i odkształceń w danym elemecie ciała: ε = ε th + D 1 σ (6) Naprężenia główne zdefiniowane są związkiem: NR 4/010 INŻYNIERIA MATERIAŁOWA 149

2 ˆ ˆ ˆ ˆ x g xy xz ˆ ˆ ˆ ˆ xy y g yz ˆ ˆ ˆ ˆ xz yz z g = 0 (7) gdzie: σ g naprężenia główne. Rozwinięcie związku (7) prowadzi do sekularnego równania stanu naprężeń trzeciego stopnia ze względu na niewiadomą σ g. Równanie to ma trzy rozwiązania rzeczywiste. Otrzymane pierwiastki równania porzadkuje się od największej do najmniejszej wartości i oznacza odpowiednio przez σ 1, σ, σ 3. Analogicznie definiuje się odkształcenia główne: 0,5 0,5 x g xy xz 0,5 0,5 xy y g yz 0,5 0,5 xz yz z g = 0 (8) gdzie: ε g odkształcenia główne. Analogicznie do związku (7) otrzymuje się równanie sekularne stanu odkształceń, które ma trzy rozwiązania. W analogii do poprzedniego równania porządkuje się rozwiązania i oznacza odpowiednio przez ε 1, ε, ε 3. Na podstawie naprężeń głównych definiuje się naprężenia von Misesa (naprężenia ekwiwalentne) formułą: σ = 1 ( σ e σ ) + ( σ σ ) + σ σ Wyrażając naprężenia główne przez naprężenia normalne i styczne otrzymuje się związek postaci: 1 σe = ( σx σ y) + σ y σz z x xy yz xz + σ σ 6 σ σ σ (... 05, (9) (10) ) } 05, Model komputerowy został utworzony w środowisku ANSYS. Obliczenia numeryczne prowadzone były przy płaskim stanie odkształceń i trójwymiarowym stanie naprężeń. Symulacje komputerowe zostały przeprowadzone na dwóch obiektach. Pierwszym obiektem był nóż o rzeczywistych wymiarach, którego schemat wraz z wymiarami, utwierdzeniami, siatką dyskretyzacji i typem elementu skończonego przedstawiają rysunki 1 i 3. Z uwagi na charakter procesu skrawania siatka dyskretyzacji nałożona na nóż jest niejednorodna, to jest, w pobliżu ostrza gęstość elementów skończonych jest kilkaset razy większa niż wewnątrz samego noża. Wymiary dla rzeczywistego noża wynoszą odpowiednio a = 40 mm, b = 8 mm i c = 38,5 mm. Siły skrawające zostały ustalone na podstawie literaturę [9]. Dane o stałych materiałowych użytych do symulacji przedstawia tabela 1. Drugim obiektem był nóż o zredukowanych wymiarach, którego schemat wraz z wymiarami, utwierdzeniami, siatką dyskretyzacji i typem elementu skończonego przedstawiają rysunki i 3. Wymiary dla zredukowanego noża wynoszą odpowiednio a = mm, b = 0,03 mm i c = 1,9944 mm. Siły skrawające i stałe materiałowe zostały przyjęte w tej samej postaci, jak dla noża o wymiarach rzeczywistych. W celu zbadania naprężeń von Misesa występujących w obu nożach pod wpływem przyłożonych sił i w celu porównania rezultatów, zostały wybrane ścieżki porównawcze wzdłuż osi x i y, przedstawione na rysunku 3 i oznaczone odpowiednio przez x 1, x, x 3, y 1, y i y 3. Wartości prostych porównawczych zamieszczone zostały na wykresach, a jednostką odpowiadającą tym wielkościom są µm. Rysunki 4 7 przedstawiają wyniki symulacji numerycznych dla obu noży. Dokładniejsza analiza wskazuje na dobrą zgodność rezultatów otrzymanych dla noża o wymiarach rzeczywistych i wymiarach zredukowanych. Ma to kluczowe znaczenie dla prowadzenia dalszych badań symulacyjnych, ponieważ za pomocą tej samej liczby elementów skończonych można uzyskać dużo gęściejszą siatkę dla noża o wymiarach zredukowanych w stosunku do noża o wymiarach rzeczywistych, co znacznie polepsza wyniki symulacji numerycznych. Ograniczenie wymiarów noża wpływa również korzystnie na proporcje pomiędzy analizowanymi wymiarami noża a wymiarami powłoki przeciwzużyciowej. Należy jednak pamiętać, iż obszar zgodności wyników występuje jedynie w okolicy ostrza i jest silnie powiązany z przyjętymi warunkami brzegowymi (rysunek 1 i ). W dalszych rozważaniach symulacje będą prowadzone na nożu o zredukowanych wymiarach. Rysunki 8 i 9 przedstawiają termiczne naprężenia von Misesa dla zdefiniowanych uprzednio charakterystycznych prostych (rys. 3). Rysunki 10 i 11 przedstawiają mapy określające pola termicznych naprężeń i odkształceń von Misesa. Paleta szarości na rysunku 10 wyskalowana jest w MPa, natomiast skala na rysunku 11 jest bezwymiarowa (odkształcenia względne). Analogicznie definiuje się odkształcenia von Misesa: ε = 1 1 e ( ε ε ) + ( ε ε ) + ε ε 1+ ν gdzie: ν efektywny współczynnik Poissona. Intensywność naprężeń definiuje się jako: σi = max σ1 σ, σ σ3, σ3 σ1 Analogicznie określa się intensywność odkształceń: εi = max ε1 ε, ε ε3, ε3 ε1 05, (11) (1) (13) Tabela 1. Stałe materiałowe użyte do symulacji Table 1. Material coefficients used to simulation Materiał Moduł Younga GPa Współczynnik rozszerzalności termicznej /K Współczynnik Poissona Stal 10 1,0 0,30 TiN 80 0,94 0,5 TiAlN 60 0,3 0,3 Model Komputerowy Element skończony typu PLANE 183 Rys. 1. Schemat noża o rzeczywistych wymiarach wraz z siatką dyskretyzacji, obciążeniami i utwierdzeniami Fig. 1. Scheme of the knife with original dimensions with discretization web and loads 150 INŻYNIERIA MATERIAŁOWA ROK XXXI

3 y1=.5 y= Element skończony typu PLANE 183 Rys.. Schemat noża o zredukowanych wymiarach wraz z siatką dyskretyzacji, obciążeniami i utwierdzeniami Fig.. Scheme of the knife with reduced dimensions with discretization web ang loads Rys. 5. Naprężenia von Misesa dla noża o wymiarach zredukowanych wzdłuż prostych y 1, y Fig. 5. Von Mises stresses for the knife with reduced dimensions received for paths y 1, y along y axis in function of distance along x axis x1=.5 x=5 x3= Rys. 3. Schemat noża wielowarstwowego Fig. 3. Scheme of the multilayer knife y1=.5 y=5 Rys. 6. Naprężenia von Misesa dla noża o wymiarach rzeczywistych wzdłuż prostych x 1, x Fig. 6. Von Mises stresses for the knife with original dimensions received for paths x 1, x along x axis in function of distance along y axis x1=.5 x=5 x3= Rys. 4. Naprężenia von Misesa dla noża o wymiarach rzeczywistych wzdłuż prostych y 1, y Fig. 4. Von Mises stresses for the knife with original dimensions received for paths y 1, y along y axis in function of distance along x axis Rys. 7. Naprężenia von Misesa dla noża o wymiarach zredukowanych wzdłuż prostych x 1, x Fig. 7. Von Mises stresses for the knife with reduced dimensions received for paths x 1, x along x axis in function of distance along y axis NR 4/010 INŻYNIERIA MATERIAŁOWA 151

4 y1=.5 y= TiN Stal 500 TiAlN Rys. 8. Naprężenia termiczne von Misesa wzdłuż prostych y 1, y Fig. 8. Thermal von Mises stresses received for paths y 1, y along y axis in function of distance along x axis Rys. 11. Odkształcenia termiczne von Misesa Fig. 11. Thermal von Mises strains Przyjmując stan naprężeń termicznych jako stan początkowy, określa się pole naprężeń całkowitych von Misesa w trakcie quasi-statycznego procesu pracy noża. Rysunki 1 i 13 przedstawiają całkowite naprężenia von Misesa dla zdefiniowanych uprzednio charakterystycznych prostych (rys. 3) x1=0.5 x=1.5 x3=4 x4=6.5 Rys. 9. Naprężenia termiczne von Misesa, wzdłuż prostych x 1, x Fig. 9. Thermal von Mises stresses received for paths x 1, x along x axis in function of distance along y axis Naprezenia von Misses`a [MPa] TiN TiAlN Stal y1=.5 y=5 Rys. 1. Naprężenia całkowite von Misesa wzdłuż prostych y 1, y Fig. 1. Total von Mises stresses received for paths y 1, y along y axis in function of distance along x axis x1=0.5 x=1.5 x3=4 x4=6.5 Rys. 10. Naprężenia termiczne von Misesa Fig. 10. Thermal von Mises stresses Rys. 13. Naprężenia całkowite von Misesa, wzdłuż prostych x 1, x Fig. 13. Total von Mises stresses received for paths x 1, x along x axis in function of distance along y axis 15 INŻYNIERIA MATERIAŁOWA ROK XXXI

5 Rysunki 14 i 15 ilustrują mapy określające odpowiednio pola naprężeń von Misesa w kierunku x, y (paleta szarości na rysunkach wyskalowana jest w MPa), natomiast pole całkowitych naprężeń von Misesa i pole naprężeń stycznych xy przedstawione są na rysunkach 16 i 17. Odpowiednio rysunek 18 przedstawia intensywność naprężeń zdefiniowaną przez równanie (1), rysunki 19 i 0 pole odkształceń Rys. 17. Naprężenia styczne xy Fig. 17. Shear stresses xy Rys. 14. Naprężenia całkowite wzdłuż osi x Fig. 14. Total von Mises stresses in x direction Rys. 18. Intensywność naprężeń Fig. 18. Stress intensity Rys. 15. Naprężenia całkowite wzdłuż osi y Fig. 15. Total von Mises stresses in y direction Rys. 19. Odkształcenia całkowite von Misesa Fig. 19. Total von Mises strains Rys. 16. Naprężenia całkowite von Misesa Fig. 16. Total von Mises stresses całkowitych i intensywność odkształceń zdefiniowaną równaniem (13). Paleta szarości na rysunkach 19 i 0 wyskalowana jest w wielkościach bezwymiarowych (odkształcenia względne). NR 4/010 INŻYNIERIA MATERIAŁOWA 153

6 skumulować błędy numeryczne pojawiające się w trakcie obliczeń symulacyjnych i optymalizacyjnych. Zwiększanie liczby elementów skończonych może również doprowadzić do problemów związanych ze zbieżnością rozwiązań i z całą pewnością wymagałoby dużo większych mocy obliczeniowych, co bezpośrednio wiąże się z kosztami symulacji. W celu weryfikacji przypuszczeń należałoby przeprowadzić dodatkowe badania numeryczne wrażliwości modelu symulacyjnego i optymalizacyjnego na liczbę elementów skończonych i czas obliczeń. Podziękowania Praca finansowana ze środków Europejskiego Funduszu Rozwoju Regionalnego w ramach Programu Operacyjnego Innowacyjna Gospodarka Działanie 1.3. Rys. 0. Intensywność odkształceń Fig. 0. Strains intensity Podsumowanie W pracy przedstawione zostały rezultaty symulacji numerycznych dla quasi-statycznej pracy noża pokrytego powłokami przeciwzużyciowymi z uwzględnieniem początkowego stanu naprężeń własnych (naprężenia termiczne powstałe na skutek nanoszenia warstw). Oddziaływania pomiędzy warstwami zostały uwzględnione przez uwspólnienie krawędzi elementów skończonych na granicy warstw. Rezultaty zostały przedstawione dla noża o zredukowanych wymiarach w stosunku do noża rzeczywistego. Było to możliwe wskutek odpowiedniej modyfikacji warunków brzegowych Dirichleta oraz określeniu obszaru zgodności wyników symulacji. W symulacjach numerycznych użyto elementu skończonego typu PLANE 183 (8 węzłów), z kolei liczba elementów dla noża pokrytego powłoką wielowarstwową o zredukowanych wymiarach wynosiła Zwiększenie liczby elementów mogłoby poprawić dokładność otrzymanych wyników, jednak mając na uwadze potencjalne zastosowanie stworzonego modelu do celów optymalizacyjnych, spowodowałoby znaczne wydłużenie czasu obliczeń procedury polioptymalizacyjnej. Ponadto zwiększanie liczby elementów mogłoby literatura [1] Glowinski R., Rodin E. Y., Zienkiewicz O. C.: Energy methods in finite element analysis. Wiley, New York (1979). [] Kleiber M.: Wprowadzenie do metody elementów skończonych. PWN, Warszawa (1989). [3] Zienkiewicz O. C.: Metoda elementów skończonych. Arkady, Warszawa (197). [4] Haider J., Rahman M., Corcoran B., Hashmi M. S. J.: Simulation of thermal stress in magnetron sputtered thin coating by finite element analysis. Journal of Materials Processing Technology 168 (005) [5] Valle R., Leveque D., Parlier M.: Optimizing substrate and intermediate layers geometry to reduce internal thermal stresses and prevent surface crack formation in -D multilayered ceramic coatings. Journal of the European Ceramic Society 8 (008) [6] Liu H., Tao J., Gautreau Y., Xu J.: Simulation of thermal stresses in SiC- Al O 3 composite tritium penetration barrier by finite-element analysis. Materials and Design 30 (009) [7] Grzesik W., Niesłony P., Bartoszuk M.: Modeling of the cutting process analytical and simulation methods. Advances in Manufacturing Science and Technology 33 (1) (009). [8] Zhong D., Mustoe G. G. W., Moore J. J., Disam J.: Finite element analysis of a coating architecture for glass-molding dies. Surface and Coatings Technology (001) [9] Staniszewska A., Zakrzewski Z.: Obróbka cięciem. Wydawnictwo Akademii Rolniczej, Poznań (006). [10] Bąk R., Burczyński T.: Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego. WNT, Warszawa (001). [11] Nowacki W.: Teoria sprężystości. PWN, Warszawa (1970). [1] Sawicki A.: Mechanika kontinuum. IBW PAN, Gdańsk (1994). 154 INŻYNIERIA MATERIAŁOWA ROK XXXI