Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań
|
|
- Magdalena Wilczyńska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Instytut Informatyki Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 1
2 Systemy formalne Składnia rachunku zdań Semantyka rachunku zdań Klasyfikacja formuł Konsekwencja logiczna Indukcja strukturalna dla formuł rachunku zdań Dowody konstruktywne Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Konsekwencja syntaktyczna Twierdzenie o podstawianiu Najważniejsze rodzaje dowodów Przykłady wywodów w systemie dedukcji naturalnej Teorie aksjomatyczne Własności rachunku zdań Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 2
3 Systemy formalne System formalny = język formalny + aparat dedukcyjny (system wnioskowania). Język formalny = zbiór słów (ciągów symboli) nad zadanym alfabetem (skończonym zbiorem symboli). Metajęzyk = język, służacy do opisania języka formalnego (który bywa nazywany językiem przedmiotowym). Aparat dedukcyjny (system wnioskowania) = aksjomaty + reguły transformacji (reguły wnioskowania, reguły inferencji). W dalszym ciągu wykładu zostanie przedstawiony klasyczny rachunek zdań jako system formalny. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 3
4 Składnia rachunku zdań Składnia języka rachunku zdań I Alfabet: {p,,,,,,,,, (, )} F ::= A ( F) (F F) (F F) (F F) (F F) A ::= V V ::= p V F, A, V oznaczają odpowiednio kategorie syntaktyczne formuł rachunku zdań, atomów (zdań atomowych) i zmiennych zdaniowych. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 4
5 Składnia rachunku zdań Składnia języka rachunku zdań II Konwencje notacyjne, pozwalające na czytelniejszy zapis formuł rachunku zdań. 1. Małe litery alfabetu łacińskiego p, q, r, s... (być może z indeksami) będą używane jako metazmienne oznaczające zmienne zdaniowe. 2. Małe litery alfabetu greckiego ϕ, ψ, ρ,... (być może z indeksami) będą używane jako metazmienne oznaczające dowolne formuły rachunku zdań. 3. Priorytety spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych) malejąco:,,,,. 4.,, łączą w lewo, a łączy w prawo. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 5
6 Semantyka rachunku zdań Semantyka rachunku zdań I Zbiór wartości logicznych B = {F, T} zawiera dwa elementy: T(prawda) i F(fałsz). Na zbiorze B zdefiniujemy funkcje f : B B oraz f, f, f, f : B B B za pomocą poniższej tablicy: x y f (x) f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) F F T F F T T F T T F T T F T F F F T F F T T F T T T T Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 6
7 Semantyka rachunku zdań Semantyka rachunku zdań II Wartościowaniem formuły ϕ nazywamy odwzorowanie σ : V B, nadające wartości logiczne zmiennym zdaniowym danej formuły. Funkcja semantyczna (interpretacja) E : F (V B) B oblicza wartości logiczne formuł rachunku zdań (dla zadanego wartościowania σ). Semantyka jest kompozycyjna (ang. compositional semantics). Składnia Semantyka F ::= E : F (V B) B p E [p]σ = σ(p) E [ ]σ = F E [ ]σ = T ( ϕ) E [( ϕ)]σ = f (E [ϕ]σ) (ϕ ψ) E [(ϕ ψ)]σ = f (E [ϕ]σ, E [ψ ]σ) (ϕ ψ) E [(ϕ ψ)]σ = f (E [ϕ]σ, E [ψ ]σ) (ϕ ψ) E [(ϕ ψ)]σ = f (E [ϕ]σ, E [ψ ]σ) (ϕ ψ) E [(ϕ ψ)]σ = f (E [ϕ]σ, E [ψ ]σ) Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 7
8 Semantyka rachunku zdań Tabela spójników logicznych Symbol Inne oznaczenia Schemat zdania Sposób czytania Nazwa zdania, N ϕ nieprawda, że ϕ (nie ϕ) negacja &, K ϕ ψ ϕ i ψ koniunkcja A ϕ ψ ϕ lub ψ alternatywa,, C ϕ ψ jeżeli ϕ to ψ implikacja,, E ϕ ψ ϕ wtw, gdy ψ równoważność wtw wtedy i tylko wtedy Prefiksowe symbole N, K, A, C, E zostały wprowadzone przez Jana Łukasiewicza w jego notacji beznawiasowej. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 8
9 Klasyfikacja formuł Klasyfikacja formuł Formuła ϕ jest: spełniona (ang. satisfied) przy danym wartościowaniu zmiennych σ, czyli σ spełnia (ang. satisfies) formułę ϕ, jeżeli E [ϕ]σ = T; spełnialna (ang. satisfiable) jeżeli istnieje wartościowanie zmiennych σ takie, że E [ϕ]σ = T, np. p; prawdziwa (ang. valid) lub jest tautologią (ang. tautology) jeżeli dla każdego wartościowania σ zachodzi E [ϕ]σ = T, np. p p; niespełnialna (ang. unsatisfiable) jeżeli dla każdego wartościowania E [ϕ]σ = F, np. p p; Zbiór formuł Γ jest spełnialny, jeżeli istnieje wartościowanie σ, spełniające wszystkie formuły ϕ Γ. Jeżeli takie wartościowanie nie istnieje, to zbiór formuł Γ jest niespełnialny. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 9
10 Konsekwencja logiczna Konsekwencja logiczna (semantyczna) Niech Γ będzie zbiorem formuł, zaś ϕ formułą. Mówimy, że ϕ jest konsekwencją logiczną (lub semantyczną) zbioru Γ, co zapisujemy symbolicznie Γ = ϕ, jeśli każde wartościowanie σ, spełniające wszystkie formuły ze zbioru Γ, spełnia również formułę ϕ. Zwykle skracamy {ψ 1,..., ψ n } = ϕ do ψ 1,..., ψ n = ϕ, oraz Γ {ψ} = ϕ do Γ, ψ = ϕ, a także = ϕ do = ϕ. Zauważ, że = ϕ wtw, gdy ϕ jest tautologią. Twierdzenie. ψ 1,..., ψ n = ϕ wtw, gdy = ψ 1... ψ n ϕ. Twierdzenie. Jeśli Γ = ϕ, to dla dowolnej formuły ρ zachodzi Γ, ρ = ϕ. Twierdzenie. Jeśli Γ = ϕ, a ρ jest tautologią, to Γ \ {ρ} = ϕ. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 10
11 Konsekwencja logiczna Systemy funkcjonalnie pełne Każda formuła ϕ odpowiada pewnej funkcji df f ϕ = E [ϕ] : (V B) B, przekształcającej wartościowania zmiennych w niej występujących w element zbioru B. Mówimy wtedy, że formuła ϕ definiuje funkcję f ϕ. Definicja. Skończony zbiór funkcji boolowskich nazywamy funkcjonalnie pełnym, jeśli każdą funkcję boolowską da się zdefiniować za pomocą formuły zbudowanej wyłącznie ze spójników odpowiadających funkcjom z tego zbioru. Oto kilka funkcjonalnie pełnych zbiorów: {, }, {, }, {, }, {, }. Jako przykład pokazano poniżej, jak można zdefiniować wszystkie spójniki logiczne za pomocą,. ϕ df = ϕ, df =, ϕ ψ df = ϕ ψ, ϕ ψ df = ( ϕ ψ), ϕ ψ df = (ϕ ψ) (ψ ϕ). Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 11
12 Indukcja strukturalna dla formuł rachunku zdań Indukcja strukturalna dla formuł rachunku zdań Niech P będzie własnością formuł. P (ϕ) zachodzi dla wszystkich formuł ϕ form jeśli spełnione są natępujące przesłanki: 1. P (p) dla każdej zmiennej zdaniowej p, 2. P ( ), P ( ), 3. jeśli P (ϕ) to P (( ϕ)), 4. jeśli P (ϕ) oraz P (ψ) to P ((ϕ ψ)), 5. jeśli P (ϕ) oraz P (ψ) to P ((ϕ ψ)), 6. jeśli P (ϕ) oraz P (ψ) to P ((ϕ ψ)), 7. jeśli P (ϕ) oraz P (ψ) to P ((ϕ ψ)). Przesłanki 1 2 stanowią podstawę indukcji, a przesłanki 3 7 stanowią krok indukcji. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 12
13 Dowody konstruktywne Twierdzenie. Istnieją dwie niewymierne liczby a i b takie, że a b jest wymierne. Dowód. Albo ( 2) 2 jest wymierne i wtedy a = b = 2 albo ( 2) 2 jest niewymierne i wtedy a = ( 2) 2, b = 2. Dowód tego twierdzenie jest oczywiście poprawny w logice klasycznej. Jest to przykład dowodu niekonstruktywnego, ze względu na wykorzystanie reguły wykluczonego środka. Pomimo, że twierdzenie jest dowiedzione i wiadomo, że liczby a i b istnieją, to nie można (na podstawie dowodu) znaleźć pary liczb spełniających warunek określony w twierdzeniu. Konstruktywny dowód tego twierdzenia jest oparty na twierdzeniu Gelfonda Schneidera. Wynika z niego, że liczby a = b = 2 spełniają powyższe twierdzenie. Najbardziej znaną logiką konstruktywną jest logika intuicjonistyczna, wprowadzona przez Brouwera i rozwijana przez Heytinga i wielu następców. Znajduje ona wiele zastosowań w informatyce (izomorfizm Curry ego Howarda). Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 13
14 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Dedukcja naturalna Jednym z zadań logiki jest formalizacja i badanie rozumowań matematycznych (dowodów). Najbardziej zbliżone do rozumowań potocznych są systemy dedukcji naturalnej (założeniowe). Twórcami pierwszych takich systemów byli Stanisław Jaśkowski i Gerhard Gentzen w latach trzydziestych ubiegłego wieku. Intensywnie badał te systemy Dag Prawitz w latach sześćdziesiątych i siedemdziesiątych, a po nim inni. Wywody (derywacje, ang. derivations), będące formalną reprezentacją dowodów (ang. proofs) matematycznych, są przedstawiane w postaci drzew. Reguły wnioskowania (r. wyprowadzania, r. inferencji, ang. inference rules, derivation rules) mają następująca postać: przesłanka 1... przesłanka n (nazwa r. wnioskowania) wniosek Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 14
15 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły pierwotne i wtórne (wyprowadzone) Pierwotne reguły wnioskowania systemu przyjmujemy bez dowodu, starając się dobierać je w ten sposób, by były jak najbardziej intuicyjne. Reguły wtórne (ang. derived rules) są wyprowadzane przy użyciu reguł pierwotnych i twierdzeń, które zostały udowodnione. Celem reguł wtórnych jest skracanie dowodów. Teoretycznie jednak te reguły są zbyteczne, ponieważ każdą tezę udowodnioną z użyciem reguł wtórnych można udowodnić używając wyłącznie reguł pierwotnych. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 15
16 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Niżej przedstawione są reguły pierwotne systemu dedukcji naturalnej w tradycyjnym podziale na reguły wprowadzania (dołączania) i eliminacji (opuszczania) dla wszystkich zdefiniowanych wcześniej spójników logicznych. Są one poprawne zarówno dla klasycznej (prawdziwościowej) logiki zdań, jak i dla logiki intuicjonistycznej. Na końcu umieszczono reguły wnioskowania właściwe tylko dla logiki klasycznej. Wystarczy dołączyć jedną z nich. Pozostałe można otrzymać jako reguły wtórne. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 16
17 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania I reguły wprowadzania reguły eliminacji ϕ ψ ( I) ϕ ψ ϕ ψ ( E1 ) ϕ ϕ ψ ( E2 ) ψ ϕ ϕ ψ ( I 1 ) ψ ϕ ψ ( I 2 ) ϕ ψ [ϕ] n. ρ ρ [ψ] n. ρ n( E) ( I) brak brak ( E) ϕ Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 17
18 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania II reguły wprowadzania reguły eliminacji [ϕ] n. ψ ϕ ψ n( I) ϕ ψ ψ ϕ ( E) [ϕ] n. ϕ n ( I) ϕ ϕ ( E) Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 18
19 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania III reguły wprowadzania reguły eliminacji [ϕ] n. ψ ϕ ψ [ψ] n. ϕ n( I) ϕ ψ ϕ ( E1) ψ dla logiki klasycznej ϕ ψ ψ ( E2) ϕ [ ϕ] n. ϕ n(raa) lub ϕ ( ) ϕ lub ϕ ϕ (T ND) Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 19
20 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania IV Niektóre z wymienionych wyżej reguł były znane już w starożytności. ( E) modus ponendo ponens (łac. sposób (tryb) potwierdzający przez potwierdzenie), krócej modus ponens; reguła odrywania. ( E) ex falso (sequitur) quodlibet; z fałszu (wynika) cokolwiek. (RAA) reductio ad absurdum; reguła sprowadzenia do niedorzeczności. (T NT ) tertium non datur; reguła wykluczonego środka. ( ) reguła podwójnego zaprzeczenia. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 20
21 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Prawo importacji: (ϕ ψ ρ) (ϕ ψ ρ) [p q] 2 [p q r] 1 ( E) p q r ( E) r p q r 2( I) (p q r) (p q r) [p q] 2 ( E) q ( E) 1( I) Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 21
22 Konsekwencja syntaktyczna Konsekwencja syntaktyczna Niech Γ będzie zbiorem formuł, zaś ϕ formułą. Mówimy, że ϕ jest konsekwencją syntaktyczną zbioru Γ, lub jest wywodliwa (wyprowadzalna, ang. derivable) ze zbioru Γ, co zapisujemy symbolicznie Γ ϕ, jeśli istnieje wywód (derywacja) formuły ϕ ze zbioru Γ. Zwykle skracamy {ψ 1,..., ψ n } ϕ do ψ 1,..., ψ n ϕ, oraz Γ {ψ} ϕ do Γ, ψ ϕ, a także ϕ do ϕ. Jeśli ϕ to ϕ jest twierdzeniem (tezą) rozważanego systemu formalnego. Zbiór formuł Γ jest sprzeczny (ang. inconsistent), jeśli dla każdego ϕ zachodzi Γ ϕ, tzn. jeśli każda formuła jest twierdzeniem. W przeciwnym razie zbiór Γ jest niesprzeczny (ang. consistent). ϕ ψ jest skrótem dla ϕ ψ i ψ ϕ. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 22
23 Twierdzenie o podstawianiu Definicja. Podstawieniem (ang. substitution) formuły ψ za zmienną zdaniową p nazywamy odwzorowanie, które formule ϕ przyporządkowuje formułę ϕ[ψ/p] powstałą w wyniku wstawienia formuły ψ w miejsce każdego wystąpienia zmiennej zdaniowej p w formule ϕ. Zdefiniujemy to odwzorowanie formalnie przez rekursję po strukturze formuły ϕ. q[ψ/p] df = { ψ, gdy q = p q, gdy q p [ψ/p] df = ( {, }) ( ϕ)[ψ/p] df = ( ϕ[ψ/p]) (ϕ 1 ϕ 2)[ψ/p] df = (ϕ 1[ψ/p] ϕ 2[ψ/p]) ( {,,, }) Twierdzenie (o podstawianiu). (ang. substitution theorem) (a) Jeśli = ϕ to = ϕ[ψ/p]. (b) Jeśli ϕ to ϕ[ψ/p]. Przykład. Udowodniliśmy, że formuła (p q r) (p q r) jest tezą rachunku zdań. Na podstawie powyższego twierdzenia tezą rachunku zdań jest każda formuła o postaci (ϕ ψ ρ) (ϕ ψ ρ). Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 23
24 Twierdzenie o podstawianiu Tezy implikacyjne a reguły wtórne Twierdzenie. Niech formuła o postaci ϕ 1... ϕ n ψ będzie tezą rachunku zdań. Poniższa reguła jest wówczas regułą wtórną. ϕ 1... ϕ n (nazwa reguły) ψ Dowód. Jeśli w pewnym wywodzie występują wszystkie przesłanki ϕ 1,..., ϕ n, to przez n-krotne zastosowanie reguły ( E) otrzymamy w wywodzie wniosek ψ. Przykład. Ponieważ (ϕ ψ ρ) (ϕ ψ ρ), to do systemu możemy dołączyć regułę wtórną (Import): ϕ ψ ρ (Import) ϕ ψ ρ Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 24
25 Najważniejsze rodzaje dowodów Dowody (założeniowe) wprost i nie wprost Dowód wprost formuły ϕ ψ. Zakładamy, że zachodzi ϕ. Przy tym założeniu dowodzimy ψ i stosujemy regułę ( I). Prawo importacji udowodniliśmy wprost. Dowód nie wprost (apagogiczny, przez sprowadzenie do niedorzeczności) formuły ψ. Zakładamy, że zachodzi ψ. Przy tym założeniu dowodzimy i stosujemy regułę (RAA). Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 25
26 Przykłady wywodów w systemie dedukcji naturalnej Wywód w stylu Fitcha Przedstawianie wywodów w postaci drzew dobrze reprezentuje ich strukturę, możliwa jest jednak linearna prezentacja wywodów. W celu pokazania struktury wywodów Jaśkowski początkowo używał prostokątów ("pudełek"). F.B.Fitch, W.Craig, L.Borkowski, J.Słupecki w swoich notacjach wykorzystali idee Jaśkowskiego. Obok wywodów w postaci drzew będziemy używali też notacji Fitcha. Pojawia się tam pojęcie dowodu podporządkowanego (pobocznego, ang. subordinate proof) oraz wprowadzona jest pomocnicza reguła repetycji (ang. reiteration), pozwalająca na powtórzenie w dowodzie podporządkowanym wcześniejszych formuł z dowodu głównego. Reguła repetycji (R) odpowiada prawu repetycji ϕ ϕ. Wywód (derywacja) w stylu Fitcha składa się z numerowanych wierszy, zawierających formuły wraz z uzasadnieniami. Każda formuła jest albo założeniem (na ogół bez uzasadnienia), albo formułą wyprowadzoną (zawsze z uzasadnieniem). Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 26
27 Przykłady wywodów w systemie dedukcji naturalnej Prawo importacji: (ϕ ψ ρ) (ϕ ψ ρ) Wywód w stylu Fitcha 1 p q r założenie 2 p q założenie 3 p ( E), 2 4 p q r (R), 1 5 q r ( E), 4, 3 6 q ( E), 2 7 r ( E), 5, 6 8 p q r ( I), (p q r) (p q r) ( I), 1 8 Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 27
28 Przykłady wywodów w systemie dedukcji naturalnej Prawo De Morgana: (ϕ ψ) ϕ ψ (p q) p [p] 1 ( I) p q ( E) 1 ( I) p q (p q) 2 ( I) q ( I) [q] 2 ( I) p q ( E) To jest kolejny przykład na dowód wprost. Niezamknięte założenie możemy potraktować jako przesłankę wtórnej (wyprowadzonej) reguły wnioskowania ( ). (ϕ ψ) ( ) ϕ ψ Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 28
29 Przykłady wywodów w systemie dedukcji naturalnej Prawo De Morgana: (ϕ ψ) ϕ ψ. Wywód w stylu Fitcha 1 (p q) przesłanka 2 p 3 p q ( I), 2 4 (p q) (R), 1 5 ( E), 4, 3 6 p ( I), q 8 p q ( I), 7 9 (p q) (R), 1 10 ( E), 9, 8 11 q ( I), p q ( I), 6, 11 Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 29
30 Przykłady wywodów w systemie dedukcji naturalnej Prawo De Morgana: (ϕ ψ) ϕ ψ [ q] 4 D= [ ( p q)] 2 ( I) p q ( E) q 4 (RAA) [ (p q)] 1 [ p] 3 [ ( p q)] 2 ( I) p q ( E) p 3 (RAA) D ( I) p q ( E) p q 2(RAA) 1( I) (p q) p q Tu stosowaliśmy (RAA), więc jest to dowód nie wprost. Na podstawie twierdzenia o związku tez z regułami wtórnymi do systemu możemy dodać regułę (ϕ ψ) ϕ ψ ( ) Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 30
31 Przykłady wywodów w systemie dedukcji naturalnej Prawo De Morgana: (ϕ ψ) ϕ ψ. Inny (krótszy) dowód nie wprost, wykorzystujący regułę wtórną ( ). 1 (p q) 2 ( p q) 3 p q) ( ), 2 4 p ( E), 3 5 p ( ), 4 6 q ( E), 3 7 q ( ), 6 8 p q ( I), 5, 7 9 (p q) (R), 1 10 ( E), 9, 8 11 p q (RAA), (p q) p q ( I), 1 11 Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 31
32 Przykłady wywodów w systemie dedukcji naturalnej Transpozycja (kontrapozycja): ψ ϕ ϕ ψ Wykorzystywany jest dowód nie wprost. ψ ϕ [ ψ] 2 ( E) ϕ [ϕ] 1 ( E) 2 (RAA) ψ 1( I) ϕ ψ Możemy do systemu dolączyć regułę wtórną: ψ ϕ (T ransp) ϕ ψ Reguła ta jest często stosowana przy dowodach nie wprost. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 32
33 Teorie aksjomatyczne Teorie aksjomatyczne Definicja. Zbiór formuł T nazywamy teorią wtw, gdy jest on zamknięty ze względu na konsekwencję syntaktyczną, tzn. jeśli T ϕ, to ϕ T. Elementy zbioru T nazywamy twierdzeniami(tezami). Niech Γ będzie zbiorem formuł. T (Γ) = {ϕ Γ ϕ} nazywamy teorią zbioru formuł Γ. Formuły ze zbioru Γ nazywamy aksjomatami pozalogicznymi (swoistymi, specyficznymi) teorii, a o teorii T (Γ) mówimy, że jest teorią aksjomatyczną (lub aksjomatyzowalną). Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 33
34 Teorie aksjomatyczne Własności teorii aksjomatycznych Niech będzie dana teoria T (Γ). Niesprzeczność (ang. consistency). Teoria T jest niesprzeczna wtw, gdy zbiór formuł T jest niesprzeczny. Zupełność. Każda formuła ϕ jest albo twierdzeniem teorii, tzn. Γ ϕ, albo po dołączeniu do aksjomatów teorii prowadzi do sprzeczności teorii. Poprawność, adekwatność (ang. soundness). Jeśli Γ ϕ to Γ = ϕ. Pełność (ang. completeness). Jeśli Γ = ϕ to Γ ϕ. Rozstrzygalność (ang. decidability). Teoria T jest rozstrzygalna wtw, gdy istnieje algorytm, który dla dowolnej formuły zamkniętej ϕ pozwala stwierdzić, czy Γ ϕ, czy też Γ ϕ. Dla Γ = poprawność mówi, że każde twierdzenie jest zdaniem prawdziwym, natomiast pełność mówi, że każde zdanie prawdziwe można udowodnić (jest twierdzeniem). Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 34
35 Teorie aksjomatyczne Przykład teorii aksjomatyzowalnej Zespół ekspertów przygotował następującą analizę sytuacji gospodarczej Loglandii. Jeśli inwestycje pozostaną na tym samym poziomie, to wzrosną wydatki budżetowe lub wzrośnie bezrobocie. Jeśli wydatki budżetowe nie wzrosną, to podatki zostaną obniżone. Jeśli podatki zostaną obniżone i inwestycje pozostaną na tym samym poziomie, to bezrobocie nie wzrośnie. Możemy przedstawić ten opis wycinka rzeczywistości w postaci teorii. Wprowadźmy następujące oznaczenia. p def = inwestycje pozostaną na tym samym poziomie q def = wzrosną wydatki budżetowe r def = wzrośnie bezrobocie s def = podatki zostaną obniżone Zbiór Γ aksjomatów swoistych teorii SGL(Γ) jest następujący: Γ = {p q r, q s, s p r} Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 35
36 Własności rachunku zdań Własności rachunku zdań Twierdzenie. Rachunek zdań jest niesprzeczny, zupełny, poprawny, pełny i rozstrzygalny. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 36
Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowoTautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoAdam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowoParadygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Bardziej szczegółowoDowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
Bardziej szczegółowoPodstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Bardziej szczegółowoLOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoLOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Bardziej szczegółowoDefinicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 18 listopada 2012 Michał Lipnicki Logika 18 listopada 2012 1 / 1 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoWykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoProgramowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi
Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 1 Dowody konstruktywne Dedukcja naturalna
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW
Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowoMyślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne
Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.
Bardziej szczegółowoLekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań
Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Bardziej szczegółowoRachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.
Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Systemy dedukcji naturalnej pochodzą od Gerharda Gentzena (1909 1945) oraz Stanisława
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
Bardziej szczegółowoMonoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Plan na dziś: 1. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdzeń.
Bardziej szczegółowoMETODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Bardziej szczegółowoMetoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Bardziej szczegółowoPodstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania
Bardziej szczegółowoKonsekwencja logiczna
Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami
Bardziej szczegółowoLogika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.
Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?
Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoZiemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje
ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH
ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:...
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca 2015 Imię i Nazwisko:............................................................... DZIARSKIE SKRZATY Wybierz
Bardziej szczegółowoWykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda
Bardziej szczegółowoKultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór
Bardziej szczegółowoElementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy
Bardziej szczegółowoLogika intuicjonistyczna
Logika intuicjonistyczna Logika klasyczna oparta jest na pojęciu wartości logicznej zdania. Poprawnie zbudowane i jednoznaczne stwierdzenie jest w tej logice klasyfikowane jako prawdziwe lub fałszywe.
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz
Bardziej szczegółowoDrzewa Semantyczne w KRZ
Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00
Bardziej szczegółowoElementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza 1 Spójniki
Bardziej szczegółowoWykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Bardziej szczegółowoZagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce
Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce! Logika Analiza języka i czynności badawczych (np. rozumowanie, definiowanie, klasyfikowanie) w celu poznania takich reguł posługiwania się
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 9 i 10a. Wybrane modalne rachunki zdań. Ujęcie aksjomatyczne
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki rok akademicki 2007/2008 Wykłady 9 i 10a. Wybrane modalne rachunki zdań. Ujęcie aksjomatyczne 1 Język aletycznych modalnych
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
Bardziej szczegółowoPrzykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych
Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Sztucznej Inteligencji
Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia Inżynierskie Automatyczne dowodzenie twierdzeń O teoriach formalnie na przykładzie rachunku zdań Zastosowanie dedukcji: system Logic Theorist
Bardziej szczegółowoUwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu
Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit
Bardziej szczegółowoNOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE?
S ł u p s k i e S t u d i a F i l o z o f i c z n e n r 5 * 2 0 0 5 Jan Przybyłowski, Logika z ogólną metodologią nauk. Podręcznik dla humanistów, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2003 NOWE
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na
Bardziej szczegółowo1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów
1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne
Logika i teoria mnogości Wykład 14 1 Sformalizowane teorie matematyczne W początkowym okresie rozwoju teoria mnogości budowana była w oparciu na intuicyjnym pojęciu zbioru. Operowano swobodnie pojęciem
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać
Bardziej szczegółowoSkładnia rachunku predykatów pierwszego rzędu
Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PREDYKATÓW 7
PODSTAWOWE WŁASNOŚCI METAMATEMATYCZNE KRP Oczywiście systemy dedukcyjne dla KRP budowane są w taki sposób, żeby wszystkie ich twierdzenia były tautologiami; można więc pokazać, że dla KRP zachodzi: A A
Bardziej szczegółowoImię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY
Egzamin: Logika Matematyczna, I rok JiNoI, 30 czerwca 2014 Imię i nazwisko:........................................... OBROŃCY PRAWDY Wybierz dokładnie cztery z poniższych pięciu zadań i spróbuj je rozwiazać.
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.
Bardziej szczegółowoKultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne
Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 25 IV 2010 Plan wykładu: Intuicje dotyczące poprawności wnioskowania Wnioskowanie dedukcyjne Reguły niezawodne a
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Logika matematyczna Mathematical Logic Poziom przedmiotu: II
Bardziej szczegółowoSchematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowo15. DOWODZENIE VI WTÓRNE REGUŁY WNIOSKOWANIA I REGUŁY PODSTAWIANIA
15. DOWODZENIE VI WTÓRNE REGUŁY WNIOSKOWANIA I REGUŁY PODSTAWIANIA W systemie SD dla każdego spójnika istnieje reguła wprowadzania i reguła eliminacji tegoż spójnika. Niemniej jednak dowodzenie za pomocą
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Semiotyka cd.
Wstęp do logiki Semiotyka cd. Semiotyka: język Ujęcia języka proponowane przez językoznawców i logików różnią się istotnie w wielu punktach. Z punktu widzenia logiki każdy język można scharakteryzować
Bardziej szczegółowoKlasyczny rachunek zdań 1/2
Klasyczny rachunek zdań /2 Elementy logiki i metodologii nauk spotkanie VI Bartosz Gostkowski Poznań, 7 XI 9 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowoRachunek zdao i logika matematyczna
Rachunek zdao i logika matematyczna Pojęcia Logika - Zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Rachunek zdao - dział logiki
Bardziej szczegółowo