Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań

Save this PDF as:
Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań"

Transkrypt

1 Instytut Informatyki Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 1

2 Systemy formalne Składnia rachunku zdań Semantyka rachunku zdań Klasyfikacja formuł Konsekwencja logiczna Indukcja strukturalna dla formuł rachunku zdań Dowody konstruktywne Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Konsekwencja syntaktyczna Twierdzenie o podstawianiu Najważniejsze rodzaje dowodów Przykłady wywodów w systemie dedukcji naturalnej Teorie aksjomatyczne Własności rachunku zdań Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 2

3 Systemy formalne System formalny = język formalny + aparat dedukcyjny (system wnioskowania). Język formalny = zbiór słów (ciągów symboli) nad zadanym alfabetem (skończonym zbiorem symboli). Metajęzyk = język, służacy do opisania języka formalnego (który bywa nazywany językiem przedmiotowym). Aparat dedukcyjny (system wnioskowania) = aksjomaty + reguły transformacji (reguły wnioskowania, reguły inferencji). W dalszym ciągu wykładu zostanie przedstawiony klasyczny rachunek zdań jako system formalny. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 3

4 Składnia rachunku zdań Składnia języka rachunku zdań I Alfabet: {p,,,,,,,,, (, )} F ::= A ( F) (F F) (F F) (F F) (F F) A ::= V V ::= p V F, A, V oznaczają odpowiednio kategorie syntaktyczne formuł rachunku zdań, atomów (zdań atomowych) i zmiennych zdaniowych. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 4

5 Składnia rachunku zdań Składnia języka rachunku zdań II Konwencje notacyjne, pozwalające na czytelniejszy zapis formuł rachunku zdań. 1. Małe litery alfabetu łacińskiego p, q, r, s... (być może z indeksami) będą używane jako metazmienne oznaczające zmienne zdaniowe. 2. Małe litery alfabetu greckiego ϕ, ψ, ρ,... (być może z indeksami) będą używane jako metazmienne oznaczające dowolne formuły rachunku zdań. 3. Priorytety spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych) malejąco:,,,,. 4.,, łączą w lewo, a łączy w prawo. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 5

6 Semantyka rachunku zdań Semantyka rachunku zdań I Zbiór wartości logicznych B = {F, T} zawiera dwa elementy: T(prawda) i F(fałsz). Na zbiorze B zdefiniujemy funkcje f : B B oraz f, f, f, f : B B B za pomocą poniższej tablicy: x y f (x) f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) F F T F F T T F T T F T T F T F F F T F F T T F T T T T Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 6

7 Semantyka rachunku zdań Semantyka rachunku zdań II Wartościowaniem formuły ϕ nazywamy odwzorowanie σ : V B, nadające wartości logiczne zmiennym zdaniowym danej formuły. Funkcja semantyczna (interpretacja) E : F (V B) B oblicza wartości logiczne formuł rachunku zdań (dla zadanego wartościowania σ). Semantyka jest kompozycyjna (ang. compositional semantics). Składnia Semantyka F ::= E : F (V B) B p E [p]σ = σ(p) E [ ]σ = F E [ ]σ = T ( ϕ) E [( ϕ)]σ = f (E [ϕ]σ) (ϕ ψ) E [(ϕ ψ)]σ = f (E [ϕ]σ, E [ψ ]σ) (ϕ ψ) E [(ϕ ψ)]σ = f (E [ϕ]σ, E [ψ ]σ) (ϕ ψ) E [(ϕ ψ)]σ = f (E [ϕ]σ, E [ψ ]σ) (ϕ ψ) E [(ϕ ψ)]σ = f (E [ϕ]σ, E [ψ ]σ) Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 7

8 Semantyka rachunku zdań Tabela spójników logicznych Symbol Inne oznaczenia Schemat zdania Sposób czytania Nazwa zdania, N ϕ nieprawda, że ϕ (nie ϕ) negacja &, K ϕ ψ ϕ i ψ koniunkcja A ϕ ψ ϕ lub ψ alternatywa,, C ϕ ψ jeżeli ϕ to ψ implikacja,, E ϕ ψ ϕ wtw, gdy ψ równoważność wtw wtedy i tylko wtedy Prefiksowe symbole N, K, A, C, E zostały wprowadzone przez Jana Łukasiewicza w jego notacji beznawiasowej. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 8

9 Klasyfikacja formuł Klasyfikacja formuł Formuła ϕ jest: spełniona (ang. satisfied) przy danym wartościowaniu zmiennych σ, czyli σ spełnia (ang. satisfies) formułę ϕ, jeżeli E [ϕ]σ = T; spełnialna (ang. satisfiable) jeżeli istnieje wartościowanie zmiennych σ takie, że E [ϕ]σ = T, np. p; prawdziwa (ang. valid) lub jest tautologią (ang. tautology) jeżeli dla każdego wartościowania σ zachodzi E [ϕ]σ = T, np. p p; niespełnialna (ang. unsatisfiable) jeżeli dla każdego wartościowania E [ϕ]σ = F, np. p p; Zbiór formuł Γ jest spełnialny, jeżeli istnieje wartościowanie σ, spełniające wszystkie formuły ϕ Γ. Jeżeli takie wartościowanie nie istnieje, to zbiór formuł Γ jest niespełnialny. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 9

10 Konsekwencja logiczna Konsekwencja logiczna (semantyczna) Niech Γ będzie zbiorem formuł, zaś ϕ formułą. Mówimy, że ϕ jest konsekwencją logiczną (lub semantyczną) zbioru Γ, co zapisujemy symbolicznie Γ = ϕ, jeśli każde wartościowanie σ, spełniające wszystkie formuły ze zbioru Γ, spełnia również formułę ϕ. Zwykle skracamy {ψ 1,..., ψ n } = ϕ do ψ 1,..., ψ n = ϕ, oraz Γ {ψ} = ϕ do Γ, ψ = ϕ, a także = ϕ do = ϕ. Zauważ, że = ϕ wtw, gdy ϕ jest tautologią. Twierdzenie. ψ 1,..., ψ n = ϕ wtw, gdy = ψ 1... ψ n ϕ. Twierdzenie. Jeśli Γ = ϕ, to dla dowolnej formuły ρ zachodzi Γ, ρ = ϕ. Twierdzenie. Jeśli Γ = ϕ, a ρ jest tautologią, to Γ \ {ρ} = ϕ. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 10

11 Konsekwencja logiczna Systemy funkcjonalnie pełne Każda formuła ϕ odpowiada pewnej funkcji df f ϕ = E [ϕ] : (V B) B, przekształcającej wartościowania zmiennych w niej występujących w element zbioru B. Mówimy wtedy, że formuła ϕ definiuje funkcję f ϕ. Definicja. Skończony zbiór funkcji boolowskich nazywamy funkcjonalnie pełnym, jeśli każdą funkcję boolowską da się zdefiniować za pomocą formuły zbudowanej wyłącznie ze spójników odpowiadających funkcjom z tego zbioru. Oto kilka funkcjonalnie pełnych zbiorów: {, }, {, }, {, }, {, }. Jako przykład pokazano poniżej, jak można zdefiniować wszystkie spójniki logiczne za pomocą,. ϕ df = ϕ, df =, ϕ ψ df = ϕ ψ, ϕ ψ df = ( ϕ ψ), ϕ ψ df = (ϕ ψ) (ψ ϕ). Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 11

12 Indukcja strukturalna dla formuł rachunku zdań Indukcja strukturalna dla formuł rachunku zdań Niech P będzie własnością formuł. P (ϕ) zachodzi dla wszystkich formuł ϕ form jeśli spełnione są natępujące przesłanki: 1. P (p) dla każdej zmiennej zdaniowej p, 2. P ( ), P ( ), 3. jeśli P (ϕ) to P (( ϕ)), 4. jeśli P (ϕ) oraz P (ψ) to P ((ϕ ψ)), 5. jeśli P (ϕ) oraz P (ψ) to P ((ϕ ψ)), 6. jeśli P (ϕ) oraz P (ψ) to P ((ϕ ψ)), 7. jeśli P (ϕ) oraz P (ψ) to P ((ϕ ψ)). Przesłanki 1 2 stanowią podstawę indukcji, a przesłanki 3 7 stanowią krok indukcji. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 12

13 Dowody konstruktywne Twierdzenie. Istnieją dwie niewymierne liczby a i b takie, że a b jest wymierne. Dowód. Albo ( 2) 2 jest wymierne i wtedy a = b = 2 albo ( 2) 2 jest niewymierne i wtedy a = ( 2) 2, b = 2. Dowód tego twierdzenie jest oczywiście poprawny w logice klasycznej. Jest to przykład dowodu niekonstruktywnego, ze względu na wykorzystanie reguły wykluczonego środka. Pomimo, że twierdzenie jest dowiedzione i wiadomo, że liczby a i b istnieją, to nie można (na podstawie dowodu) znaleźć pary liczb spełniających warunek określony w twierdzeniu. Konstruktywny dowód tego twierdzenia jest oparty na twierdzeniu Gelfonda Schneidera. Wynika z niego, że liczby a = b = 2 spełniają powyższe twierdzenie. Najbardziej znaną logiką konstruktywną jest logika intuicjonistyczna, wprowadzona przez Brouwera i rozwijana przez Heytinga i wielu następców. Znajduje ona wiele zastosowań w informatyce (izomorfizm Curry ego Howarda). Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 13

14 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Dedukcja naturalna Jednym z zadań logiki jest formalizacja i badanie rozumowań matematycznych (dowodów). Najbardziej zbliżone do rozumowań potocznych są systemy dedukcji naturalnej (założeniowe). Twórcami pierwszych takich systemów byli Stanisław Jaśkowski i Gerhard Gentzen w latach trzydziestych ubiegłego wieku. Intensywnie badał te systemy Dag Prawitz w latach sześćdziesiątych i siedemdziesiątych, a po nim inni. Wywody (derywacje, ang. derivations), będące formalną reprezentacją dowodów (ang. proofs) matematycznych, są przedstawiane w postaci drzew. Reguły wnioskowania (r. wyprowadzania, r. inferencji, ang. inference rules, derivation rules) mają następująca postać: przesłanka 1... przesłanka n (nazwa r. wnioskowania) wniosek Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 14

15 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły pierwotne i wtórne (wyprowadzone) Pierwotne reguły wnioskowania systemu przyjmujemy bez dowodu, starając się dobierać je w ten sposób, by były jak najbardziej intuicyjne. Reguły wtórne (ang. derived rules) są wyprowadzane przy użyciu reguł pierwotnych i twierdzeń, które zostały udowodnione. Celem reguł wtórnych jest skracanie dowodów. Teoretycznie jednak te reguły są zbyteczne, ponieważ każdą tezę udowodnioną z użyciem reguł wtórnych można udowodnić używając wyłącznie reguł pierwotnych. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 15

16 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Niżej przedstawione są reguły pierwotne systemu dedukcji naturalnej w tradycyjnym podziale na reguły wprowadzania (dołączania) i eliminacji (opuszczania) dla wszystkich zdefiniowanych wcześniej spójników logicznych. Są one poprawne zarówno dla klasycznej (prawdziwościowej) logiki zdań, jak i dla logiki intuicjonistycznej. Na końcu umieszczono reguły wnioskowania właściwe tylko dla logiki klasycznej. Wystarczy dołączyć jedną z nich. Pozostałe można otrzymać jako reguły wtórne. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 16

17 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania I reguły wprowadzania reguły eliminacji ϕ ψ ( I) ϕ ψ ϕ ψ ( E1 ) ϕ ϕ ψ ( E2 ) ψ ϕ ϕ ψ ( I 1 ) ψ ϕ ψ ( I 2 ) ϕ ψ [ϕ] n. ρ ρ [ψ] n. ρ n( E) ( I) brak brak ( E) ϕ Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 17

18 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania II reguły wprowadzania reguły eliminacji [ϕ] n. ψ ϕ ψ n( I) ϕ ψ ψ ϕ ( E) [ϕ] n. ϕ n ( I) ϕ ϕ ( E) Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 18

19 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania III reguły wprowadzania reguły eliminacji [ϕ] n. ψ ϕ ψ [ψ] n. ϕ n( I) ϕ ψ ϕ ( E1) ψ dla logiki klasycznej ϕ ψ ψ ( E2) ϕ [ ϕ] n. ϕ n(raa) lub ϕ ( ) ϕ lub ϕ ϕ (T ND) Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 19

20 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania IV Niektóre z wymienionych wyżej reguł były znane już w starożytności. ( E) modus ponendo ponens (łac. sposób (tryb) potwierdzający przez potwierdzenie), krócej modus ponens; reguła odrywania. ( E) ex falso (sequitur) quodlibet; z fałszu (wynika) cokolwiek. (RAA) reductio ad absurdum; reguła sprowadzenia do niedorzeczności. (T NT ) tertium non datur; reguła wykluczonego środka. ( ) reguła podwójnego zaprzeczenia. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 20

21 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Prawo importacji: (ϕ ψ ρ) (ϕ ψ ρ) [p q] 2 [p q r] 1 ( E) p q r ( E) r p q r 2( I) (p q r) (p q r) [p q] 2 ( E) q ( E) 1( I) Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 21

22 Konsekwencja syntaktyczna Konsekwencja syntaktyczna Niech Γ będzie zbiorem formuł, zaś ϕ formułą. Mówimy, że ϕ jest konsekwencją syntaktyczną zbioru Γ, lub jest wywodliwa (wyprowadzalna, ang. derivable) ze zbioru Γ, co zapisujemy symbolicznie Γ ϕ, jeśli istnieje wywód (derywacja) formuły ϕ ze zbioru Γ. Zwykle skracamy {ψ 1,..., ψ n } ϕ do ψ 1,..., ψ n ϕ, oraz Γ {ψ} ϕ do Γ, ψ ϕ, a także ϕ do ϕ. Jeśli ϕ to ϕ jest twierdzeniem (tezą) rozważanego systemu formalnego. Zbiór formuł Γ jest sprzeczny (ang. inconsistent), jeśli dla każdego ϕ zachodzi Γ ϕ, tzn. jeśli każda formuła jest twierdzeniem. W przeciwnym razie zbiór Γ jest niesprzeczny (ang. consistent). ϕ ψ jest skrótem dla ϕ ψ i ψ ϕ. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 22

23 Twierdzenie o podstawianiu Definicja. Podstawieniem (ang. substitution) formuły ψ za zmienną zdaniową p nazywamy odwzorowanie, które formule ϕ przyporządkowuje formułę ϕ[ψ/p] powstałą w wyniku wstawienia formuły ψ w miejsce każdego wystąpienia zmiennej zdaniowej p w formule ϕ. Zdefiniujemy to odwzorowanie formalnie przez rekursję po strukturze formuły ϕ. q[ψ/p] df = { ψ, gdy q = p q, gdy q p [ψ/p] df = ( {, }) ( ϕ)[ψ/p] df = ( ϕ[ψ/p]) (ϕ 1 ϕ 2)[ψ/p] df = (ϕ 1[ψ/p] ϕ 2[ψ/p]) ( {,,, }) Twierdzenie (o podstawianiu). (ang. substitution theorem) (a) Jeśli = ϕ to = ϕ[ψ/p]. (b) Jeśli ϕ to ϕ[ψ/p]. Przykład. Udowodniliśmy, że formuła (p q r) (p q r) jest tezą rachunku zdań. Na podstawie powyższego twierdzenia tezą rachunku zdań jest każda formuła o postaci (ϕ ψ ρ) (ϕ ψ ρ). Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 23

24 Twierdzenie o podstawianiu Tezy implikacyjne a reguły wtórne Twierdzenie. Niech formuła o postaci ϕ 1... ϕ n ψ będzie tezą rachunku zdań. Poniższa reguła jest wówczas regułą wtórną. ϕ 1... ϕ n (nazwa reguły) ψ Dowód. Jeśli w pewnym wywodzie występują wszystkie przesłanki ϕ 1,..., ϕ n, to przez n-krotne zastosowanie reguły ( E) otrzymamy w wywodzie wniosek ψ. Przykład. Ponieważ (ϕ ψ ρ) (ϕ ψ ρ), to do systemu możemy dołączyć regułę wtórną (Import): ϕ ψ ρ (Import) ϕ ψ ρ Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 24

25 Najważniejsze rodzaje dowodów Dowody (założeniowe) wprost i nie wprost Dowód wprost formuły ϕ ψ. Zakładamy, że zachodzi ϕ. Przy tym założeniu dowodzimy ψ i stosujemy regułę ( I). Prawo importacji udowodniliśmy wprost. Dowód nie wprost (apagogiczny, przez sprowadzenie do niedorzeczności) formuły ψ. Zakładamy, że zachodzi ψ. Przy tym założeniu dowodzimy i stosujemy regułę (RAA). Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 25

26 Przykłady wywodów w systemie dedukcji naturalnej Wywód w stylu Fitcha Przedstawianie wywodów w postaci drzew dobrze reprezentuje ich strukturę, możliwa jest jednak linearna prezentacja wywodów. W celu pokazania struktury wywodów Jaśkowski początkowo używał prostokątów ("pudełek"). F.B.Fitch, W.Craig, L.Borkowski, J.Słupecki w swoich notacjach wykorzystali idee Jaśkowskiego. Obok wywodów w postaci drzew będziemy używali też notacji Fitcha. Pojawia się tam pojęcie dowodu podporządkowanego (pobocznego, ang. subordinate proof) oraz wprowadzona jest pomocnicza reguła repetycji (ang. reiteration), pozwalająca na powtórzenie w dowodzie podporządkowanym wcześniejszych formuł z dowodu głównego. Reguła repetycji (R) odpowiada prawu repetycji ϕ ϕ. Wywód (derywacja) w stylu Fitcha składa się z numerowanych wierszy, zawierających formuły wraz z uzasadnieniami. Każda formuła jest albo założeniem (na ogół bez uzasadnienia), albo formułą wyprowadzoną (zawsze z uzasadnieniem). Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 26

27 Przykłady wywodów w systemie dedukcji naturalnej Prawo importacji: (ϕ ψ ρ) (ϕ ψ ρ) Wywód w stylu Fitcha 1 p q r założenie 2 p q założenie 3 p ( E), 2 4 p q r (R), 1 5 q r ( E), 4, 3 6 q ( E), 2 7 r ( E), 5, 6 8 p q r ( I), (p q r) (p q r) ( I), 1 8 Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 27

28 Przykłady wywodów w systemie dedukcji naturalnej Prawo De Morgana: (ϕ ψ) ϕ ψ (p q) p [p] 1 ( I) p q ( E) 1 ( I) p q (p q) 2 ( I) q ( I) [q] 2 ( I) p q ( E) To jest kolejny przykład na dowód wprost. Niezamknięte założenie możemy potraktować jako przesłankę wtórnej (wyprowadzonej) reguły wnioskowania ( ). (ϕ ψ) ( ) ϕ ψ Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 28

29 Przykłady wywodów w systemie dedukcji naturalnej Prawo De Morgana: (ϕ ψ) ϕ ψ. Wywód w stylu Fitcha 1 (p q) przesłanka 2 p 3 p q ( I), 2 4 (p q) (R), 1 5 ( E), 4, 3 6 p ( I), q 8 p q ( I), 7 9 (p q) (R), 1 10 ( E), 9, 8 11 q ( I), p q ( I), 6, 11 Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 29

30 Przykłady wywodów w systemie dedukcji naturalnej Prawo De Morgana: (ϕ ψ) ϕ ψ [ q] 4 D= [ ( p q)] 2 ( I) p q ( E) q 4 (RAA) [ (p q)] 1 [ p] 3 [ ( p q)] 2 ( I) p q ( E) p 3 (RAA) D ( I) p q ( E) p q 2(RAA) 1( I) (p q) p q Tu stosowaliśmy (RAA), więc jest to dowód nie wprost. Na podstawie twierdzenia o związku tez z regułami wtórnymi do systemu możemy dodać regułę (ϕ ψ) ϕ ψ ( ) Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 30

31 Przykłady wywodów w systemie dedukcji naturalnej Prawo De Morgana: (ϕ ψ) ϕ ψ. Inny (krótszy) dowód nie wprost, wykorzystujący regułę wtórną ( ). 1 (p q) 2 ( p q) 3 p q) ( ), 2 4 p ( E), 3 5 p ( ), 4 6 q ( E), 3 7 q ( ), 6 8 p q ( I), 5, 7 9 (p q) (R), 1 10 ( E), 9, 8 11 p q (RAA), (p q) p q ( I), 1 11 Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 31

32 Przykłady wywodów w systemie dedukcji naturalnej Transpozycja (kontrapozycja): ψ ϕ ϕ ψ Wykorzystywany jest dowód nie wprost. ψ ϕ [ ψ] 2 ( E) ϕ [ϕ] 1 ( E) 2 (RAA) ψ 1( I) ϕ ψ Możemy do systemu dolączyć regułę wtórną: ψ ϕ (T ransp) ϕ ψ Reguła ta jest często stosowana przy dowodach nie wprost. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 32

33 Teorie aksjomatyczne Teorie aksjomatyczne Definicja. Zbiór formuł T nazywamy teorią wtw, gdy jest on zamknięty ze względu na konsekwencję syntaktyczną, tzn. jeśli T ϕ, to ϕ T. Elementy zbioru T nazywamy twierdzeniami(tezami). Niech Γ będzie zbiorem formuł. T (Γ) = {ϕ Γ ϕ} nazywamy teorią zbioru formuł Γ. Formuły ze zbioru Γ nazywamy aksjomatami pozalogicznymi (swoistymi, specyficznymi) teorii, a o teorii T (Γ) mówimy, że jest teorią aksjomatyczną (lub aksjomatyzowalną). Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 33

34 Teorie aksjomatyczne Własności teorii aksjomatycznych Niech będzie dana teoria T (Γ). Niesprzeczność (ang. consistency). Teoria T jest niesprzeczna wtw, gdy zbiór formuł T jest niesprzeczny. Zupełność. Każda formuła ϕ jest albo twierdzeniem teorii, tzn. Γ ϕ, albo po dołączeniu do aksjomatów teorii prowadzi do sprzeczności teorii. Poprawność, adekwatność (ang. soundness). Jeśli Γ ϕ to Γ = ϕ. Pełność (ang. completeness). Jeśli Γ = ϕ to Γ ϕ. Rozstrzygalność (ang. decidability). Teoria T jest rozstrzygalna wtw, gdy istnieje algorytm, który dla dowolnej formuły zamkniętej ϕ pozwala stwierdzić, czy Γ ϕ, czy też Γ ϕ. Dla Γ = poprawność mówi, że każde twierdzenie jest zdaniem prawdziwym, natomiast pełność mówi, że każde zdanie prawdziwe można udowodnić (jest twierdzeniem). Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 34

35 Teorie aksjomatyczne Przykład teorii aksjomatyzowalnej Zespół ekspertów przygotował następującą analizę sytuacji gospodarczej Loglandii. Jeśli inwestycje pozostaną na tym samym poziomie, to wzrosną wydatki budżetowe lub wzrośnie bezrobocie. Jeśli wydatki budżetowe nie wzrosną, to podatki zostaną obniżone. Jeśli podatki zostaną obniżone i inwestycje pozostaną na tym samym poziomie, to bezrobocie nie wzrośnie. Możemy przedstawić ten opis wycinka rzeczywistości w postaci teorii. Wprowadźmy następujące oznaczenia. p def = inwestycje pozostaną na tym samym poziomie q def = wzrosną wydatki budżetowe r def = wzrośnie bezrobocie s def = podatki zostaną obniżone Zbiór Γ aksjomatów swoistych teorii SGL(Γ) jest następujący: Γ = {p q r, q s, s p r} Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 35

36 Własności rachunku zdań Własności rachunku zdań Twierdzenie. Rachunek zdań jest niesprzeczny, zupełny, poprawny, pełny i rozstrzygalny. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 36

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią. Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Paradygmaty dowodzenia

Paradygmaty dowodzenia Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.

Bardziej szczegółowo

Dowody założeniowe w KRZ

Dowody założeniowe w KRZ Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody

Bardziej szczegółowo

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Dedukcja Naturalna

LOGIKA Dedukcja Naturalna LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Logika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1

Logika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 18 listopada 2012 Michał Lipnicki Logika 18 listopada 2012 1 / 1 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi

Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 1 Dowody konstruktywne Dedukcja naturalna

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW

Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.

Bardziej szczegółowo

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (2,3)

Logika Matematyczna (2,3) Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ

Bardziej szczegółowo

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego. Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA

WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Systemy dedukcji naturalnej pochodzą od Gerharda Gentzena (1909 1945) oraz Stanisława

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1. 3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA

WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Plan na dziś: 1. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdzeń.

Bardziej szczegółowo

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania

Bardziej szczegółowo

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność

Bardziej szczegółowo

Konsekwencja logiczna

Konsekwencja logiczna Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (10)

Logika Matematyczna (10) Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan

Bardziej szczegółowo

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa. Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (1)

Logika Matematyczna (1) Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (1)

Logika Matematyczna (1) Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH

ĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:...

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:... JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca 2015 Imię i Nazwisko:............................................................... DZIARSKIE SKRZATY Wybierz

Bardziej szczegółowo

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone

Bardziej szczegółowo

III rok kognitywistyki UAM,

III rok kognitywistyki UAM, METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy

Bardziej szczegółowo

Logika intuicjonistyczna

Logika intuicjonistyczna Logika intuicjonistyczna Logika klasyczna oparta jest na pojęciu wartości logicznej zdania. Poprawnie zbudowane i jednoznaczne stwierdzenie jest w tej logice klasyfikowane jako prawdziwe lub fałszywe.

Bardziej szczegółowo

Drzewa Semantyczne w KRZ

Drzewa Semantyczne w KRZ Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza 1 Spójniki

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce! Logika Analiza języka i czynności badawczych (np. rozumowanie, definiowanie, klasyfikowanie) w celu poznania takich reguł posługiwania się

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 9 i 10a. Wybrane modalne rachunki zdań. Ujęcie aksjomatyczne

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 9 i 10a. Wybrane modalne rachunki zdań. Ujęcie aksjomatyczne Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki rok akademicki 2007/2008 Wykłady 9 i 10a. Wybrane modalne rachunki zdań. Ujęcie aksjomatyczne 1 Język aletycznych modalnych

Bardziej szczegółowo

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna dla inżynierów

Logika pragmatyczna dla inżynierów Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny

Bardziej szczegółowo

III rok kognitywistyki UAM,

III rok kognitywistyki UAM, METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia Inżynierskie Automatyczne dowodzenie twierdzeń O teoriach formalnie na przykładzie rachunku zdań Zastosowanie dedukcji: system Logic Theorist

Bardziej szczegółowo

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit

Bardziej szczegółowo

NOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE?

NOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE? S ł u p s k i e S t u d i a F i l o z o f i c z n e n r 5 * 2 0 0 5 Jan Przybyłowski, Logika z ogólną metodologią nauk. Podręcznik dla humanistów, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2003 NOWE

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie: Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na

Bardziej szczegółowo

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów 1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne Logika i teoria mnogości Wykład 14 1 Sformalizowane teorie matematyczne W początkowym okresie rozwoju teoria mnogości budowana była w oparciu na intuicyjnym pojęciu zbioru. Operowano swobodnie pojęciem

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów

Semantyka rachunku predykatów Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PREDYKATÓW 7

RACHUNEK PREDYKATÓW 7 PODSTAWOWE WŁASNOŚCI METAMATEMATYCZNE KRP Oczywiście systemy dedukcyjne dla KRP budowane są w taki sposób, żeby wszystkie ich twierdzenia były tautologiami; można więc pokazać, że dla KRP zachodzi: A A

Bardziej szczegółowo

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka

Bardziej szczegółowo

Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY

Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY Egzamin: Logika Matematyczna, I rok JiNoI, 30 czerwca 2014 Imię i nazwisko:........................................... OBROŃCY PRAWDY Wybierz dokładnie cztery z poniższych pięciu zadań i spróbuj je rozwiazać.

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007 Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne

Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 25 IV 2010 Plan wykładu: Intuicje dotyczące poprawności wnioskowania Wnioskowanie dedukcyjne Reguły niezawodne a

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek zdań 1/2

Klasyczny rachunek zdań 1/2 Klasyczny rachunek zdań /2 Elementy logiki i metodologii nauk spotkanie VI Bartosz Gostkowski Poznań, 7 XI 9 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Logika matematyczna Mathematical Logic Poziom przedmiotu: II

Bardziej szczegółowo

Schematy Piramid Logicznych

Schematy Piramid Logicznych Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

15. DOWODZENIE VI WTÓRNE REGUŁY WNIOSKOWANIA I REGUŁY PODSTAWIANIA

15. DOWODZENIE VI WTÓRNE REGUŁY WNIOSKOWANIA I REGUŁY PODSTAWIANIA 15. DOWODZENIE VI WTÓRNE REGUŁY WNIOSKOWANIA I REGUŁY PODSTAWIANIA W systemie SD dla każdego spójnika istnieje reguła wprowadzania i reguła eliminacji tegoż spójnika. Niemniej jednak dowodzenie za pomocą

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Semiotyka cd.

Wstęp do logiki. Semiotyka cd. Wstęp do logiki Semiotyka cd. Semiotyka: język Ujęcia języka proponowane przez językoznawców i logików różnią się istotnie w wielu punktach. Z punktu widzenia logiki każdy język można scharakteryzować

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdao i logika matematyczna

Rachunek zdao i logika matematyczna Rachunek zdao i logika matematyczna Pojęcia Logika - Zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Rachunek zdao - dział logiki

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa. Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna

Bardziej szczegółowo

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ). 6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j

Bardziej szczegółowo