MISCELLANEA ZASTOSOWANIE SKIEROWANYCH LICZB ROZMYTYCH W MODELU RÓWNOWAGI RYNKOWEJ 1. Streszczenie

Transkrypt

1 MISCELLANEA r Dariuz KACRZAK Wyział Informatyki, olitechnika Białotocka .kacprzak@pb.eu.pl DOI: /oe ZASTOSOWANIE SKIEROWANYCH LICZB ROZMYTYCH W MODELU RÓWNOWAGI RYNKOWEJ Strezczenie W pracy rozważono liniowy moel równowagi rynkowej, w którym parametry ą liczbami rzeczywitymi. W moelu tym zakłaa ię, że popyt i poaż zależą tylko o ceny, a czynniki pozacenowe ą niezmienne. Jenak, by uzykać barziej realityczny moel, można uwzglęnić wpływ czynników pozacenowych na popyt i poaż. W ten poób otrzyma ię moel z rozmytymi parametrami, które mogą być reprezentowane za pomocą kierowanych liczb rozmytych. Aby wyznaczyć rozmytą równowagę rynkową tego moelu, należy rozwiązać rozmyty, liniowy ukła równań. Słowa kluczowe: poaż, popyt, równowaga rynkowa, kierowane liczby rozmyte ALICATION OF ORDERED FUZZY NUMBERS TO MODELING OF MARKET EUILIBRIUM Summary The paper conier a linear moel of market equilibrium in which real number are taken a parameter. In the moel, it i aume that eman an upply epen only on price, while other (nonprice relate) eterminant o not change. However, to get a more realitic moel, the author take into account the impact of other (non-price relate) eterminant on eman an upply. In thi way, a moel with fuzzy parameter i obtaine, which can be repreente by mean of orere fuzzy number. In orer to etermine the fuzzy market equilibrium of uch a moel, a fuzzy linear ytem of equation mut be olve. Key wor: eman, upply, market equilibrium, orere fuzzy number JEL: C02, C20, C65 Baania zotały zrealizowane w ramach pracy nr S/WI//206 i finanowane ze śroków na naukę MNiSW.

2 08 Dariuz Kacprzak. Wtęp W pracy przetawiono matematyczny moel ytuacji ekonomicznej, nazywanej równowagą rynkową. Jet to taki tan gopoarki, w którym popyt na obra i uługi jet równoważony poażą tych óbr i uług. Chcąc zapewnić przejrzytość i prototę moelu (częściowej) równowagi, częto przyjmuje ię, że funkcje popytu i poaży ą liniowe o rzeczywitych parametrach oraz korzyta ię z klauzuli ceteri paribu, która zakłaa niezmienność eterminantów pozacenowych. Jenak, aby moel był bliżzy rzeczywitemu obrazowi rynku, można uwzglęnić wpływ czynników pozacenowych na parametry funkcji popytu i poaży. W ten poób oiąga ię moel równowagi o parametrach rozmytych. Celem pracy jet prezentacja moelu kierowanych liczb rozmytych w apekcie możliwości zatoowania go w moelowaniu ekonomicznym. Wykorzytano go w moelu równowagi częściowej, w którym parametry przetawiono za pomocą kierowanych liczb rozmytych. Działania arytmetyczne na tych liczbach ą zbliżone o ziałań na liczbach rzeczywitych. Doatkowo, itnienie elementów przeciwnych wzglęem oawania i owrotnych wzglęem mnożenia pozwala na rozwiązywanie ukłaów równań liniowych o rozmytych wpółczynnikach. W literaturze można znaleźć zereg prac, które toują moel kierowanych liczb rozmytych w moelach ekonomicznych. Moelem tym połużono ię m.in.: o prezentacji przychou i koztu [Koińki i in. 2009; Kacprzak, 200; 202a], w moelu Leontiewa [Kacprzak, 2008; 200; 207], o prezentacji cen akcji [Kacprzak, 202b; Kacprzak i in. 203; Marzałek, Burczyńki, 203], o prezentacji cen i ynamiki ich zmian [Kacprzak, 204] czy o utalania ekonomicznej wielkości otawy [Kacprzak, Koińki, 204; Sobol i in. 205]. Ważnym zatoowaniem moelu kierowanych liczb rozmytych jet użycie go w wielokryterialnych metoach wpomagana ecyzji. Baania w tym zakreie zotały zapoczątkowane przez Rozkowką i Kacprzaka [Rozkowka, Kacprzak, 206; Kacprzak, 207], natępnie wykorzytane o rozwiązania praktycznego problemy terowania linią proukcyjną [Runik, Kacprzak, 207]. Wpomniane wyżej zatoowania korzytają ze kierowania jako oatkowej informacji oraz arytmetykę zbliżoną o arytmetyki liczb rzeczywitych, czego nie poiaały wcześniejze moele liczb rozmytych. Artykuł kłaa ię z iemiu części. W rugiej krótko zaprezentowano liniowy moel równowagi rynkowej o parametrach rzeczywitych, w natępnej przetawiono argumenty przemawiające za zatąpieniem w tym moelu parametrów rzeczywitych liczbami rozmytymi. Część czwartą i piątą poświęcono prezentacji moelu kierowanych liczb rozmytych i użyciu tych liczb jako parametrów moelu równowagi. Otatnią część tanowi przykła numeryczny i poumowanie. 2. Liniowy moel równowagi rynkowej opyt na obro to przypaająca na jenotkę czau wielkość zapotrzebowania opowiaająca różnym cenom tego obra. Zależy on o wielu zmiennych, z których potawową (wynikającą z określenia) jet cena. Do pozacenowych eterminantów popytu można zaliczyć: ochoy nabywców,

3 Zatoowanie kierowanych liczb rozmytych 09 ceny óbr komplementarnych i ubtytucyjnych, oczekiwania otyczące ytuacji rynkowej, guty i preferencje nabywców, przewiywane zmiany cen obra, zmiany liczby i truktury luności [Milewki, Kwiatkowki, 2005,. 46]. Z kolei, poaż obra to ilość obra w jenotce czau oferowana na rynku przy różnych wyokościach ceny. oobnie jak w przypaku popytu, poaż jet również funkcją wielu zmiennych, z których główną jet także cena. Natomiat o pozacenowych eterminantów poaży można zaliczyć: kozty wytwarzania, rentowność proukcji óbr ubtytucyjnych, przewiywane zmiany cen obra, wypaki loowe i czynniki naturalne (przy pewnych rozajach proukcji) [Milewki, Kwiatkowki, 2005,. 5]. W ekonomii powzechnie korzyta ię z klauzuli ceteri paribu. ozwala ona baać np. zależność mięzy popytem a ceną oraz poażą a ceną, jak również równowagę rynkową, zakłaając, że czynniki pozacenowe nie ulegają zmianie. W pozycjach poświęconych ekonomii matematycznej wpomniany moel równowagi rynkowej częto jet przetawiany za pomocą funkcji liniowych, tzw. moel liniowy [Chaing, 994,. 48; Gawinecki, 2000,. 88]. Zaletą takiego poejścia jet niewątpliwie przejrzytość i protota. W celu zaprezentowania liniowego moelu równowagi rynkowej, zakłaa ię, że na rynku (wyizolowanym) znajuje ię tylko jeno obro konumpcyjne. Oznacza to, że w moelu równowagi wytarczy uwzglęnić trzy zmienne, tj.: cenę obra, wielkość popytu na obro, wielkość poaży obra. onato, zakłaa ię, opierając ię na oberwacji rynku, że popyt jet malejącą liniową funkcją ceny, tzn. ma potać (ryunek.) 2 : =, () natomiat poaż jet ronącą liniową funkcją ceny, tzn. ma potać (ryunek.): = +, (2) gzie parametry,,, R. Doatkowo przyjmuje ię, że poaż nie wytępuje o chwili, kiey cena nie przekroczy określonego oatniego poziomu (z równania (2) wynika, że jet on równy ). Równowaga na moelowanym rynku zachozi wówcza, gy: =. (3) Biorąc po uwagę równania ()-(3), równowaga rynkowa jet oiągnięta, gy cena ma wartość: 2 Na ryunku. oznaczenia oi nie ą zgone z konwencją matematyczną, tzn. oś pozioma oznacza cenę, a oś pionowa opiuje wielkość popytu i poaż, ponieważ zatoowano konwencję przyjętą w poręcznikach o ekonomii. ozotałe ryunki również utrzymano w tej konwencji.

4 0 Dariuz Kacprzak =, (4) a opowiaająca jej wielkość równowagi ( = = ) wynoi: =. (5) Z (5) wynika, że aby >0 (punkt przecięcia mui znajować ię powyżej oi poziomej) parametry funkcji liniowych () i (2) muzą pełniać warunek: >. (6) RYSUNEK. Ilutracja graficzna liniowej funkcji popytu (), liniowej funkcji poaży (2) oraz równowagi rynkowej a/b =a-b =-c+ c/ -c a Źróło: opracowanie włane na potawie: [Chiang, 994,. 49]. 3. Liniowy moel równowagi rynkowej o rozmytych parametrach W uprozczonym liniowym moelu równowagi rynkowej ()-(3) założono, że jego parametry, tzn.,, i ą rzeczywitymi liczbami oatnimi. Jenak zwrócono uwagę na to, że aby moel równowagi rynkowej był bliżzy rzeczywitości, a jenocześnie alej pozotał przejrzyty i proty, te parametry mogą być opiane za pomocą liczb rozmytych, co wynika z kilku oberwacji rynku.. Itnienie czynników pozacenowych. Na rzeczywitym rynku, jak wpomniano w części., popyt zależy o różnych czynników pozacenowych. Zmiana któregoś z nich powouje przeunięcie funkcji popytu. W przypaku liniowej funkcji popytu znajuje to ozwiercielenie w zmianie wartości wyrazu wolnego, czyli elementu w liniowej funkcji popytu (). 2. Elatyczność cenowa funkcji popytu.

5 Zatoowanie kierowanych liczb rozmytych Elatyczność cenowa popytu mierzy procentową (wzglęną) zmianę zapotrzebowania w reakcji na procentową (wzglęną) zmianę ceny. Do czynników wpływających na jej wielkość można zaliczyć m.in. ilość i blikość ubtytutów oraz procentowy uział obra w wyatkach konumenta [Sloman, 200,. 63]. Korzytając z pochonej funkcji, można pokazać, że elatyczność cenowa liniowej funkcji popytu zależy wprot proporcjonalnie o wpółczynnika kierunkowego. Oznacza to, że czynniki pozacenowe oziałują na zmianę wpółczynnika kierunkowego w liniowej funkcji popytu (). 3. Stoowanie określeń nieprecyzyjnych i niejenoznacznych w ekonomii. Dane o kontrukcji funkcji popytu mogą pochozić z wielorakich źróeł, m.in. w wyniku ankietowania konumentów. Ci z kolei mogą toować, co jet częte w ekonomii, określenia nieprecyzyjne i niejenoznaczne. Na przykła konumenci, uzielając opowiezi na pytanie o wielkość zapotrzebowania na obro, gy jego cena wzrośnie o jenotkę, mogą poługiwać ię określeniami typu około 0 czy w przybliżeniu 0, zamiat precyzyjną wartością. W przypaku liniowej funkcji popytu, wykorzytując interpretację matematyczną czy ekonometryczną, wpółczynnik kierunkowy wyznacza wielkość paku popytu wywołanego wzrotem ceny o jenotkę, co oznacza, że takie nieprecyzyjne informacje znają ozwiercielenie we wpółczynniku kierunkowym w liniowej funkcji popytu (). Analogiczne uwagi można formułować w tounku o liniowej funkcji poaży. Wpomniane oberwacje rzeczywitego rynku uzaaniają użycie liczb rozmytych o opiu paramentów moelu równowagi rynkowej. 4. Skierowane liczby rozmyte W 965 roku w czaopiśmie Information an Control ukazała ię praca Lotfi A. Zaeha po tytułem: FuzzySet [Zaeh, 965], w której autor wprowaził pojęcie zbioru rozmytego. Liczba rozmyta to wypukły, normalny zbiór rozmyty, określony na uniwerum liczb rzeczywitych, którego funkcja przynależności jet kawałkami ciągła. Zbiory i liczby rozmyte ały możliwość matematycznego moelowania wielkości nieprecyzyjnych, niepewnych czy też wyrażonych w potaci opiowej (lingwitycznych). Znalazło to zerokie zatoowanie praktyczne, m. in. w zaganieniach związanych ze terowaniem i poejmowaniem ecyzji. otawowe ziałania arytmetyczne na liczbach rozmytych opierają ię na zaazie rozzerzania i ą ość komplikowane. Wymagają wykonania wielu operacji zarówno na topniach przynależności, jak i na elementach nośników. Doatkowo zatoowania praktyczne liczb rozmytych pokazują, że ich funkcje przynależności zazwyczaj nie ą ykretne, ale ciągłe, a także mają tounkowo regularny kztałt, częto w potaci: trójkąta, trapezu, krzywej Gaua itp. Oznacza to, że nie trzeba poawać topni przynależności la wzytkich elementów nośnika, a jeynie kilka parametrów, które jenoznacznie określają regularne funkcje przynależności. owyżze potrzeżenia prawiły, że Duboi i rae [Duboi, rae, 980,. 53] zaproponowali pecjalną potać liczb roz-

6 2 Dariuz Kacprzak mytych, nazywaną reprezentacją typu, która znacznie poprawia efektywność wykonywanych ziałań arytmetycznych. Jenocześnie pokazali oni, że okłane wzory można uzykać tylko la oawania i oejmowania, natomiat w przypaku mnożenia i zielenia przetawiono formuły przybliżone. Moel liczb rozmytych, zaproponowany przez Zaeha, a także jego późniejza moyfikacja, tzw. moel, poiaają kilka łabości, które ograniczają ich zatoowanie w niektórych ziezinach, np. w moelowaniu ekonomicznym. Nieokonałości te wynikają przee wzytkim z określenia ziałań arytmetycznych na tych liczbach. owoują one powiękzanie nośnika (niezależnie, czy liczby rozmyte oajemy, czy oejmujemy), jak również brak elementów przeciwnych wzglęem oawania i owrotnych w tounku o mnożenia. Skutkuje to brakiem możliwości rozwiązywania, w ogólnym przypaku, protych równań: + = oraz =, gzie i ą utalonymi liczbami rozmytymi, ponieważ + +( ) i. Doatkowo, rozwiązanie równania + = nie itnieje, jeżeli nośnik liczby jet zerzy, niż nośnik liczby. Wpomnianych powyżej ograniczeń jet pozbawiony moel kierowanych liczb rozmytych (Orere Fuzzy Number OFN) 3. Zotał on zaproponowany w 2002 roku przez Koińkiego, rokopowicza i Ślęzaka [Koińki i in. 2002; 2003; Koińki, rokopowicz, 2004]. Arytmetyka ziałań w tym moelu jet analogiczna o ziałań na liczbach rzeczywitych, które tają ię zczególnym przypakiem OFN. Skierowaną liczbą rozmytą nazywamy uporząkowaną parę funkcji ciągłych: gzie =(, ), (7), : [0,] R. (8) ozczególne funkcje kierowanej liczby rozmytej nazywamy opowienio: częścią wznozącą (U), częścią opaającą (DOWN) (ryunek 2a). onieważ obie te funkcje ą ciągłe, to ich obrazy ą ograniczonymi przeziałami opowienio i, których granice oznaczamy natępująco: =( (0), ()) oraz =( (), (0)). Na ryunku 2a przetawiono ilutrację graficzną kierowanej liczby rozmytej, gzie jet argumentem funkcji i, natomiat wartością tych funkcji. Jeżeli funkcje i ą ściśle monotoniczne, itnieją o nich funkcje owrotne i, określone na opowienich przeziałach i (ryunek 2b). Do zbiorów i oajemy na przeziale [ (), ()] (przeział ten może być jenoelementowy) funkcję tałą ( ) równą (warunek normalności). Wówcza zbiór [ (), ()] tworzy jeen przeział (nośnik liczby ). ozwala to określić funkcję przynależności kierowanej liczby rozmytej w natępujący poób [Kacprzak, 2008; 200]: 3 o śmierci prof. Koińkiego, aby upamiętnić i uhonorować jego imię, termin Orere Fuzzy Number częto zatępowano określeniem Koinki Fuzzy Number [rokopowicz, erycz, 205].

7 Zatoowanie kierowanych liczb rozmytych 3 0 ( ) = ( ) ( ) gy gy gy gy [ (0), (0)] [ (), ()]. (9) RYSUNEK 2. a) rzykłaowa kierowana liczba rozmyta, b) Skierowana liczba rozmyta przetawiona w poób nawiązujący o wypukłych liczb rozmytych, c) Strzałka przetawiająca porząek owróconych funkcji i orientację OFN a) b) x y DOWN A g A f A - g A - U A DOWN x A ołączony przeział U A f A c) y y x Źróło: [Koińki i in. 2002]. Tak określone liczby rozmyte nawiązują o wypukłych liczb rozmytych (Convex Fuzzy Number CFN), jenak ą wypoażone w oatkową właność zaznaczoną trzałką kierowanie (ryunek 2c). Graficznie liczba (, ) nie różni ię o liczby (, ), lecz w rzeczywitości ą to wie różne liczby, różniące ię kierowaniem. Skierowanie pozwala na pozielenie zbioru kierowanych liczb rozmytych na wie grupy: liczby o kierowaniu oatnim, jeżeli kierowanie jet zgone z oią (ryunek 3a), liczby o kierowaniu ujemnym, jeżeli kierowanie jet przeciwne niż oś (ryunek 3b). RYSUNEK 3. a) Skierowana liczba rozmyta (, ) o kierowaniu oatnim, b) Skierowana liczba rozmyta (, ) o kierowaniu ujemnym a) b) y y f A - g A - f A - g A - Źróło: opracowanie włane. x x

8 4 Dariuz Kacprzak Szczególnym przypakiem kierowanych liczb rozmytych ą liczby rzeczywite. W moelu OFN ą one utożamiane z parą funkcji tałych. Dokłaniej, liczba R jet zapiywana jako kierowana liczba rozmyta potaci =(, ), gzie ( ) = la [0,]. otawowe ziałania arytmetyczne, czyli oawanie (+), oejmowanie ( ), mnożenie ( ) i zielenie (/), na kierowanych liczbach rozmytych ą określone natępująco. Niech =(, ) i =(, ) bęą kierowanymi liczbami rozmytymi, wówcza liczba =(, ) jet wynikiem ziałania {+,,,/} na liczbach: i ( = ), jeżeli: [0,][ ( ) = ( ) ( ) i ( ) = ( ) ( )]. (0) Doatkowo, w przypaku zielenia mui być pełniony warunek, że [0,] ( ) 0 i ( ) 0. Zbiór kierowanych liczb rozmytych z tak określonymi ziałaniami ma trukturę przetrzeni liniowo-topologicznej [Koińki, rokopowicz, 2004]. Warto w tym miejcu namienić, że wykonując ziałania arytmetyczne na kierowanych liczbach rozmytych, jako wynik można uzykać tzw. liczby niewłaściwe [Koińki i in. 2003], niebęące kierowanymi liczbami rozmytymi, których interpretacja jet truna. Na przykła weźmy wie kierowane liczby rozmyte =(+2,7 ) i =(6,2+2 ), gzie [0,], wówcza ich uma + =(7+,9+ ), gzie [0,] jet niewłaściwą liczbą rozmytą (ryunek 4.). RYSUNEK 4. Dwie trapezowe kierowane liczby rozmyte i oraz niewłaściwa liczba bęąca ich umą + A B A+B Źróło: opracowanie włane.

9 Zatoowanie kierowanych liczb rozmytych 5 5. Skierowane liczby rozmyte w liniowym moelu równowagi rynkowej Skierowane liczby rozmyte, poza moelowaniem nieprecyzyjności (rozmytości), pozwalają również uwzglęnić oatkowy element (informację) obrazowany kierowaniem. rzyjmijmy, że rozmyte liniowe funkcje popytu () i poaż (2) mają potać: =, (0) = +, () gzie parametry:,, i ą reprezentowane za pomocą kierowanych liczb rozmytych. Biorąc po uwagę kierowanie, otrzymamy 3 =8 różnych ukłaów parametrów moelu (wliczając w to również parametry rzeczywite). W pracy ograniczono ię o ukłaów, w których kierowanie bęziemy interpretować przez pryzmat oczekiwań uczetników rynku w onieieniu o ceny. Oznacza to, że wartość (0) bęzie określała wielkość parametru najmniej oczekiwaną (pożąaną) przez konumenta lub proucenta, natomiat (0) wielkość parametru najbarziej oczekiwaną (pożąaną). Korzytając z liniowej rozmytej funkcji popytu (0), mamy: = =. (2) Warto zauważyć, że im niżza cena rynkowa, tym korzytniejza ytuacja konumenta (założyliśmy, że popyt jet malejącą liniową funkcją ceny). Z (2) wiać, że wyraz wolny toi w liczniku, co oznacza, że im mniejza jego wartość, tym cena obra jet niżza. onato, wpółczynnik kierunkowy toi w mianowniku, więc im wyżza jego wartość, tym cena obra jet niżza. Sprawia to, że wyraz wolny powinien mieć kierowanie ujemne (ryunek 5a, gzie =40 ), natomiat wpółczynnik kierunkowy kierowanie oatnie (ryunek 6a, gzie =8 ). Omiennie ytuacja wygląa ze trony proucenta. Z () mamy: = + =. (3) roucent jet zaintereowany ukztałtowaniem ię ceny na jak najwyżzym poziomie (założyliśmy, że poaż jet ronącą liniową funkcją ceny). Z (3) wiać, że wyraz wolny powinien mieć kierowanie oatnie (ryunek 5b, gzie =6 ), zaś wpółczynnik kierunkowy kierowanie ujemne (ryunek 6b, gzie =20 ). Korzytając z zależności (4)-(5) oraz rozmytej liniowej funkcji popytu (0) i z rozmytej liniowej funkcji poaży (), otrzymujemy rozmytą równowagę rynkową, przy której rozmyta cena ma potać: = (, ) (, ) (, ) (, ) = (, ) (, ), (4) a opowiaająca jej rozmyta wielkość równowagi ( = = ) wyraża ię natępująco: = (, )(, ) (, )(, ) (, ) (, ) = (, ) (, ). (5) (, )

10 6 Dariuz Kacprzak RYSUNEK 5. Skierowane liczby rozmyte reprezentujące wyraz wolny rozmytej liniowej funkcji: a) popytu (0), b) poaży () a) a ~ b) c ~ Źróło: opracowanie włane b a) RYSUNEK 6. Skierowane liczby rozmyte reprezentujące wpółczynnik kierunkowy rozmytej liniowej funkcji: a) popytu (0), b) poaży () b ~ b) ~ Źróło: opracowanie włane. b rzykła rozmytego liniowego moelu równowagi rynkowej o wpółczynnikach reprezentowanych za pomocą OFN Rozważmy rozmyty liniowy moel równowagi rynkowej o wpółczynnikach reprezentowanych za pomocą trójkątnych kierowanych liczb rozmytych. rzyjmijmy, że rozmyte liniowe funkcje popytu (0) oraz poaż () mają potać: =40 8, (6) = (7) Rozważmy trzy przypaki rozmywania parametrów moelu: a) rozmyte wyrazy wolne funkcji (6) i (7), b) rozmyte wpółczynniki kierunkowe funkcji (6) i (7), c) rozmyte parametry funkcji (6) i (7). AD a) Rozmyty liniowy moel równowagi rynkowej o rozmytych wyrazach wolnych. Funkcje (6) i (7) przyjmują wówcza potać: = (44 4, ) (8,8), (8) = (4 +2,8 2 ) + (20,20), (9) gzie [0,]. Rozmyta równowaga rynkowa ma miejce, zgonie z (4), gy cena ma potać:

11 Zatoowanie kierowanych liczb rozmytych 7 = (, ) (,) (, ) (,) = a opowiaająca jej wielkość równowagi, zgonie z (5), ma potać: = (, )(,) (, )(,) (, ) (,) =,, (20),, (2) gzie [0,]. Na ryunku 7. pokazano obzar rozmytej równowagi rynkowej la funkcji popytu (8) i poaży (9). Natomiat na ryunku 8a zobrazowano kierowaną liczbę rozmytą reprezentującą cenę równowagi (20), a na ryunku 8b opowiaającą jej wielkość równowagi (2). RYSUNEK 7. Ilutracja graficzna rozmytej równowagi rynkowej la funkcji popytu (8) i funkcji poaży (9) 5,5 4,5 =44-8 =36-8 = ,4 0,2 Źróło: opracowanie włane. = RYSUNEK 8. Skierowane liczby rozmyte reprezentujące równowagę rynkową: a) cenę (20), b) wielkość równowagi (2) a) b),57,64,7 Źróło: opracowanie włane. 23,43 26,86 30,29 AD b) Liniowy rozmyty moel równowagi rynkowej o rozmytych wpółczynnikach kierunkowych. Funkcje (6) i (7) przyjmują wówcza potać: = (40,40) (6+2,0 2 ), (22) = (6,6) +(24 4,6+4 ), (23)

12 8 Dariuz Kacprzak gzie [0,]. Rozmyta równowaga rynkowa ma miejce, gy cena ma potać: (,) (, ) = = (, ) (, ) a opowiaająca jej wielkość równowagi jet potaci: = (,)(, ) (, )(, ) (, ) (, ), =, (24),, (25) gzie [0,]. Na ryunku 9. pokazano obzar rozmytej równowagi rynkowej la funkcji popytu (22) i poaży (23). Natomiat na ryunku 0a zobrazowano kierowaną liczbę rozmytą reprezentującą cenę równowagi (24), a na ryunku 0b opowiaającą jej wielkość równowagi (25). RYSUNEK 9. Ilutracja graficzna rozmytej równowagi rynkowej la funkcji popytu (22) i funkcji poaży (23) 6,67 = =40-0 =-6+6 = ,38 0,25 40 Źróło: opracowanie włane. RYSUNEK 0. Skierowane liczby rozmyte reprezentujące równowagę rynkową: a) cenę (24), b) wielkość równowagi (25) a) b),53,64,77 22,3 26,86 30,80 Źróło: opracowanie włane.

13 Zatoowanie kierowanych liczb rozmytych 9 AD c) Liniowy rozmyty moel równowagi rynkowej o rozmytych parametrach. Funkcje (6) i (7) przyjmują wówcza potać: = (44 4, ) (6 + 2, 0 2 ), (26) = (4 +2,8 2 ) + (24 4, ), (27) gzie [0,]. Rozmyta równowaga rynkowa ma miejce, gy cena ma potać: = (, ) (,) = (, ) (, ) a opowiaająca jej wielkość równowagi jet potaci:, = (, )(, ) (, )(,) (, ) (, ) =, (28),, (29) gzie [0,]. Na ryunku. pokazano obzar rozmytej równowagi rynkowej la funkcji popytu (26) i poaży (27). Natomiat na ryunku 2a zobrazowano kierowaną liczbę rozmytą reprezentującą cenę równowagi (28), a na ryunku 2b opowiaającą jej wielkość równowagi (29). RYSUNEK. Ilutracja graficzna rozmytej równowagi rynkowej la funkcji popytu (22) i funkcji poaży (23) = 7,33 =44-6 3,6 =36-0 =-8+6 0,5 = , Źróło: opracowanie włane.

14 20 Dariuz Kacprzak RYSUNEK 2. Skierowane liczby rozmyte reprezentujące równowagę rynkową: a) cenę (28), b) wielkość równowagi (29) a) b),60,64,69 9,08 26,86 34,40 Źróło: opracowanie włane. 7. oumowanie W pracy przetawiono moyfikację liniowego moelu (częściowej) równowagi rynkowej, w którym parametry, zazwyczaj opiywane liczbami rzeczywitymi, zatąpiono kierowanymi liczbami rozmytymi. Umożliwia to reprezentowanie równowagi rynkowej za pomocą pewnego pozbioru płazczyzny (płazczyzny ceny i opowiaającej jej wielkości popytu/poaży), a nie za pomocą punktu. owouje to, że moel wierniej ozwierciela rzeczywitość gopoarczą, ponieważ punktowe położenie równowagi jet raczej tanem iealnym i trunym o oiągnięcia w realnych warunkach ekonomicznych. Co więcej, kierowane liczby rozmyte pozwalają uwzglęniać oatkowy czynnik, np. oczekiwania konumenta czy proucenta, obrazowany kierowaniem. Literatura Chiang A.C., 994, otawy ekonomii matematycznej, olkie Wyawnictwo Ekonomiczne, Warzawa. Duboi D., rae H., 980, Fuzzy Set an Sytem: Theory an Application, Acaemic re, New York. Gawinecki J., 2000, Matematyka la ekonomitów, Wyawnictwo Wyżzej Szkoły Hanlu i rawa, Warzawa. Kacprzak D., 2008, Moel Leontiewa i kierowane liczby rozmyte, VII Konferencja Naukowo-raktyczna,,Energia w nauce i technice, Wyawnictwo olitechniki Białotockiej, Suwałki. Kacprzak D., 200, Skierowane liczby rozmyte w moelowaniu ekonomicznych, Optimum. Stuia Ekonomiczne, nr 3. Kacprzak D., 202a, rzychó i kozt całkowity przeiębiortwa wyrażony przy użyciu kierowanych liczb rozmytych, Zarzązanie i Finane. Journal of Management an Finance, no. 2/.

15 Zatoowanie kierowanych liczb rozmytych 2 Kacprzak D., 202b, Zatoowanie kierowanych liczb rozmytych o prezentacji cen akcji, Optimum. Stuia Ekonomiczne, nr 6. Kacprzak D., 204, rezentacja cen óbr konumpcyjnych oraz ynamiki ich zmian za pomocą kierowanych liczb rozmytych, Optimum. Stuia Ekonomiczne, nr. Kacprzak D., 207, Objective Weight Bae on Orere Fuzzy Number for Fuzzy Multiple Criteria Deciion Making Metho, Entropy, 9(7), 373. Kacprzak D., 207, The Input-Output Moel Bae on Orere Fuzzy Number, [in:] Theory an Application of Orere Fuzzy Number: A Tribute to rofeor Witol Koińki,. rokopowicz, J. Czerniak, D. Mikołajewki, Ł. Apiecionek, D. Ślęzak (e.), Stuie in Fuzzine an Soft Computing, vol. 356, Springer. Kacprzak D., Koińki W., 204, Optimizing firm inventory cot a a fuzzy problem, Stuie in Logic, Grammar an Rhetoric, nr 37. Kacprzak D., Koińki W., Koińki W. K., 203, Financial tock ata an orere fuzzy number, Artificial Intelligence an Soft Computing: 2th International Conference, ICAISC 203, Berlin. Koińki W., rokopowicz., 2004, Algebra liczb rozmytych, Matematyka Stoowana, nr 5(46). Koińki W., rokopowicz., Kacprzak D., 2009, Fuzzine repreentation of ynamic change by orere fuzzy number, Stuie in Fuzzine an Soft Computing, 243, Springer- Verlag, Berlin. Koińki W., rokopowicz., Ślęzak D., 2002, Drawback of fuzzy arthmetic new intution an propoition, [in:] Metho of Aritificial Intelligence, T. Burczyńki, W. Cholewa, W. Moczulki (e.), Gliwice. Koińki W., rokopowicz., Ślęzak D., 2003, Orere Fuzzy Number, Bulletin of the olih Acaemy of Science Mathematic, 52(3). Marzałek A., Burczyńki T., 203, Financial fuzzy time erie moel bae on orere fuzzy number, [in:] Time Serie Analyi. Moelling an Application, W. erycz, S. M. Chen (e.), ISRL 47, Springer, Berlin, Heielberg. Milewki R., Kwiatkowki E., 2005, otawy ekonomii, Wyawnictwo Naukowe WN, Warzawa. rokopowicz., erycz W., 205, The Directe Compatibility Between Orere Fuzzy Number A Bae Tool for a Direction Senitive Fuzzy Information roceing, Artificial Intelligence an Soft Computing, vol. 99. Rozkowka E., Kacprzak D., 206, The fuzzy SAW an fuzzy TOSIS proceure bae on orere fuzzy number, Information Science, vol Runik K., Kacprzak D., 207, Fuzzy TOSIS metho with orere fuzzy number for flow control in a manufacturing ytem, Applie Soft Computing, vol. 52. Sloman J., 200, otawy ekonomii, olkie Wyawnictwo Ekonomiczne, Warzawa. Sobol I., Kacprzak D., Koińki W., 205, Optimizing of a company cot uner fuzzy ata an optimal orer uner ynamic conition, Optimum. Stuia Ekonomiczne, nr 5. Zaeh L.A., 965, Fuzzy Set, Information an Control, no. 8.