ZASTOSOWANIE SKIEROWANYCH LICZB ROZMYTYCH DO PREZENTACJI CEN AKCJI

Transkrypt

1 Dariusz Kacprzak 1 ZASTOSOWANIE SKIEROWANYCH LICZB ROZMYTYCH DO PREZENTACJI CEN AKCJI Streszczenie W pracy zaprezentowano krótko nowy model liczb rozmytych, tzw. skierowane liczby rozmyte (OFN), które następnie wykorzystano do prezentacji cen akcji. Podobnie jak wykresy świecowe, skierowane liczby rozmyte umożliwiają jednoczesne obrazowanie czterech cen akcji: otwarcia, zamknięcia, minimalnej oraz maksymalnej. OFN pozwalają również na łatwe obliczanie wskaźników analizy technicznej, które są jednocześnie wyznaczane dla czterech wspomnianych cen, co pokazano na podstawie prostej średniej kroczącej. Słowa kluczowe: skierowane liczby rozmyte, wykresy świecowe, prosta średnia krocząca APPLICATION OF ORDERED FUZZY NUMBERS TO PRESENT STOCK PRICES Summary The paper presents the model of fuzzy number i.e. Ordered Fuzzy Numbers (OFN), which were used to present stock prices. Similar to the candlestick chart, Ordered Fuzzy Numbers give ability to depict four stock prices: open, close, minimal and maximal. OFN allows also to make easy calculation of technical analysis indexes, which at the same time, are established for four prices mentioned before, and what was shown according to Simple Moving Average (SMA). Key words: ordered fuzzy numbers, candlestick chart, simple moving average 1. Wstęp W 1965 roku w czasopiśmie Information and Control ukazała się praca L. Zadeha pod tytułem Fuzzy Sets [ Zadeh, 1965]. Autor wprowadził pojęcie zbiorów i liczb rozmytych, które dało możliwość matematycznego modelowania wielkości nieprecyzyjnych lub niepewnych. Znalazło to szerokie zastosowanie w zagadnieniach związanych ze sterowaniem i podejmowaniem decyzji. Jednak model liczb rozmytych zaproponowany przez L. Zadeha [Zadeh,1965] oraz jego późniejsza modyfikacja, tzw. model LR opracowany w 1978 roku [Dubois i Prade, 1978], posiadały kilka ograniczeń. Utrudniało to lub wręcz uniemożliwiało ich wykorzystanie w modelowaniu ekonomicznym. Wynikało to przede wszystkim z określenia działań arytmetycznych na tych liczbach, które powodują powiększanie nośnika oraz brak elementów przeciwnych względem dodawania i odwrotnych względem mnożenia. Skutkuje to brakiem możliwości rozwiązywania prostych równań. Ograniczeń tych pozbawiony jest model skierowanych liczb rozmytych (Ordered Fuzzy Numbers OFN) zaproponowany w 2002 roku [Kosiński i inni, 2002]. Arytmetyka działań w tym modelu jest analogiczna do działań na liczbach rzeczywistych, które stają się szczególnym przypadkiem OFN. Model OFN pozwala na modelowanie zmiennych ekonomicznych, które są nieprecyzyjne lub niepewne czy wyrażone za pomocą zmiennej lingwistycznej. Ponadto OFN pozwalają na jednoczesne przedstawienie i opis kilku wielkości, co ułatwi prezentacje danych ekonomicznych. Wydaje się to szczególnie praktyczne ze względu na ogromną ilość w massmediach informacji i danych ekonomicznych. 1 Dr Dariusz Kacprzak, Politechnika Białostocka, Wydział Informatyki, Katedra Matematyki, Białystok, ul. Wiejska 45A, d.kacprzak@pb.edu.pl

2 W pracach [Kacprzak, 2008, 2010, 2012, Kosiński i inni, 2009] podjęto próby wykorzystania OFN do opisu zmiennych ekonomicznych takich jak poziom produkcji, utarg placówek handlowych czy też przychód i koszt całkowity przedsiębiorstwa. Kontynuując te badania niniejsza praca stanowi próbę wykorzystania skierowanych liczb rozmytych do prezentacji i analizy danych giełdowych. 2. Model skierowanych liczb rozmytych Zbiorem rozmytym na uniwersum, nazywamy zbiór par: gdzie jest funkcją przynależności zbioru rozmytego, która każdemu elementowi przypisuje jego stopień przynależności do zbioru rozmytego. Nośnikiem zbioru rozmytego nazywamy zbiór oznaczany jako i określony następująco:. Jądrem zbioru rozmytego nazywamy zbiór oznaczany jako postaci:. Liczbą rozmytą nazywamy szczególny rodzaj zbioru rozmytego, który jest określony na uniwersum liczb rzeczywistych oraz spełnia następujące warunki: normalność tzn., wypukłość tzn., nośnik jest przedziałem, funkcja przynależności jest przedziałami ciągła. Zbiory rozmyte spełniające powyższe warunki w wielu pracach nazywane są rozmytymi liczbami wypukłymi lub klasycznymi zbiorami rozmytymi. Zgodnie z zasadą rozszerzania L. Zadeha działania arytmetyczne [Zadeh, 1965]: dodawanie (+), odejmowanie ( ), mnożenie ( ) i dzielenie (:) wyglądają następująco. Niech i będą liczbami rozmytymi z funkcjami przynależności i wówczas: gdzie * oznacza odpowiednio +,,, :, (przy dzieleniu ). Z określenia tego wynika, że wykonywanie działań na liczbach rozmytych wymaga wykonania wielu operacji zarówno na elementach nośników jak i na ich stopniach przynależności. Usprawnieniem arytmetyki działań na liczbach rozmytych okazał się zaproponowany w 1978 roku model liczb rozmytych typu LR [Dubois i Prade, 1978]. W modelu tym liczba rozmyta jest reprezentowana przez trzy (w przypadku trójkątnej) lub cztery (w przypadku płaskiej) parametry. Działania na liczbach tego typu ograniczają się do wykonania działań na wspomnianych trzech lub czterech parametrach. Jednak mimo usprawnienia obliczeń, wyniki uzyskiwane przy mnożeniu i dzieleniu okazują się przybliżone. Ponadto oba modele są obarczone innymi ograniczeniami. Niezależnie czy dwie liczby rozmyte dodamy czy odejmiemy następuje powiększanie nośnika. Może to skutkować tym, że po wykonaniu wielu operacji, wynik ma tak szeroki nośnik, że informacja jaką reprezentuje staje się mało użyteczna. Ponadto w obu modelach brak jest elementów przeciwnych względem dodawania i odwrotnych względem mnożenia. Powoduje to, że nie można wykorzystać metody eliminacji do rozwiązywania prostych równań, co ogranicza możliwość wykorzystania tych liczb w modelowaniu ekonomicznym. Na początku XXI wieku pojawił się model liczb rozmytych, który pozbawiony jest wspomnianych wyżej ograniczeń. W latach ukazała się seria prac [Kosiński i inni, 2002a, 2002b, 2003, 2004], w których to zaproponowano nowy model liczb rozmytych, tzw. skierowane liczby rozmyte Ordered Fuzzy Numbers (OFN), utożsamiając liczbę rozmytą z parą funkcji ciągłych określonych na przedziale [0,1]. Celem jaki przyświecał autorom było przezwyciężenie ograniczeń wynikających z zasady rozszerzania Zadeha. Działania w tym modelu są zbliżone do działań na liczbach rzeczywistych. Ponadto model posiada elementy przeciwne względem dodawania oraz odwrotne względem mnożenia. Skierowaną liczbą rozmytą A nazywamy uporządkowaną parę funkcji ciągłych, gdzie.

3 Poszczególne funkcje skierowanej liczby rozmytej nazywamy odpowiednio: częścią wznoszącą (UP), częścią opadającą (DOWN). Ponieważ obie te funkcje są ciągłe, to ich obrazy są ograniczonymi przedziałami odpowiednio UP A i DOWN A, których granice oznaczamy następująco oraz, gdzie,,,. Na rysunku 1 przedstawiono ilustrację graficzną skierowanej liczby rozmytej, gdzie y jest argumentem funkcji i, natomiast x wartością tych funkcji. Ilustracja graficzna skierowanej liczby rozmytej RYSUNEK 1 Źródło: Kosiński i inni, 2002a. Do zbiorów oraz możemy dodać na przedziale (przedział ten może być jednoelementowy) funkcję stałą (CONST) równą 1 (warunek normalności). Wówczas zbiór UP A DOWN A tworzy jeden przedział (nośnik liczby A). Jeżeli funkcje i są ściśle monotoniczne, istnieją do nich funkcje odwrotne i określone na odpowiednich przedziałach i co pozwala określić funkcję przynależności skierowanej liczby rozmytej w następujący sposób (rysunek 2):. RYSUNEK 2 Ilustracja graficzna skierowanej liczby rozmytej przedstawionej w sposób nawiązujący do liczb rozmytych w klasycznym podejściu Źródło: Kosiński i inni, 2002a.

4 Tak określone liczby rozmyte nawiązują do klasycznych liczb rozmytych, są jednak wyposażone w dodatkową własność zaznaczoną strzałką skierowanie (rysunek 3). RYSUNEK 3 Strzałka przedstawiająca porządek odwróconych funkcji i orientację OFN Źródło: Kosiński i inni, 2002a. Szczególnym przypadkiem skierowanych liczb rozmytych są liczby rzeczywiste. W modelu OFN są one utożsamiane z parą funkcji stałych. Dokładniej, liczba to jest zapisywana jako skierowana liczba rozmyta postaci, gdzie dla. Działania arytmetyczne na skierowanych liczbach rozmytych wyglądają następująco. Niech, i będą skierowanymi liczbami rozmytymi wówczas: jest sumą skierowanych liczb rozmytych i (rysunek 4), jeżeli Suma skierowanych liczb rozmytych i RYSUNEK 4 jest różnicą skierowanych liczb rozmytych i (rysunek 5), jeżeli Różnica skierowanych liczb rozmytych i RYSUNEK 5 jest iloczynem skierowanej liczby rozmytej przez liczbę rzeczywistą (rysunek 6), jeżeli

5 Iloczyn skierowanej liczby rozmytej przez liczbę rzeczywistą RYSUNEK 6 jest iloczynem skierowanych liczb rozmytych i (rysunek 7), jeżeli Iloczyn skierowanych liczb rozmytych i RYSUNEK 7 jest ilorazem skierowanych liczb rozmytych i (rysunek 8), jeżeli oraz Iloraz skierowanych liczb rozmytych i RYSUNEK 8 Model skierowanych liczb rozmytych pozbawiony jest wspomnianych wcześniej ograniczeń. Zaproponowane w tym modelu działania są analogiczne do działań na liczbach rzeczywistych.

6 Ponadto dla dowolnej skierowanej liczby rozmytej istnieje liczba przeciwna względem dodawania i odwrotna względem mnożenia (jeżeli nośnik nie zawiera zera). Prawdziwe więc są zależności: (rysunek 9) oraz (rysunek 10) w których skierowane liczby rozmyte i, gdzie i dla, można utożsamiać z liczbami rzeczywistymi 0 i 1. Oznacza to, że w modelu OFN można rozwiązywać równania i układy równań metodą eliminacji, w sposób analogiczny do metod stosowanych w zbiorze liczb rzeczywistych. RYSUNEK 9 Suma skierowanych liczb rozmytych przeciwnych i element neutralny dodawania RYSUNEK 10 Iloczyn skierowanych liczb rozmytych odwrotnych i element neutralny mnożenia W określeniu skierowanej liczby rozmytej pojawiają się cztery parametry, które w sposób jednoznaczny opisują tą liczbę. Oznacza to, że skierowaną liczbę rozmytą można reprezentować za pomocą czterech liczb rzeczywistych: gdzie,, i (rysunek 11). Taka reprezentacja OFN umożliwia szybkie wykonywanie działań arytmetycznych. Ponieważ w dalszej części wykorzystane zostanie tylko dodawanie skierowanych liczb rozmytych oraz mnożenie skierowanej liczby rozmytej przez liczbę rzeczywistą prezentacja działań ograniczono do tych dwóch. Niech i będą skierowanymi liczbami rozmytymi oraz niech R. Wówczas:,. Przykładowa OFN wraz z charakterystycznymi punktami RYSUNEK 11

7 3. Prezentacja cen akcji z wykorzystaniem OFN Metody podejmowania decyzji inwestycyjnych stosowane na rynku kapitałowym można podzielić na trzy główne grupy: analiza techniczna, analiza fundamentalna i analiza portfelowa [Tarczyński, 2002]. W niniejszej pracy uwaga zostanie zwrócona na analizę techniczną pod kątem możliwości wykorzystania w niej skierowanych liczb rozmytych. W grupie metod analizy technicznej podstawą do podejmowania decyzji jest historyczne kształtowanie się cen akcji oraz występowanie punktów zwrotnych. Podstawowym założeniem tych metod jest przyjęcie, że pewne wzorce (formacje) zmian w trendzie mają charakter prawidłowości i podlegają regule powtarzalności. Oznacza to, że na podstawie danych z przeszłości można wyciągać wnioski dotyczące przyszłych zachować cen. Analizując wykresy ilustrujące zmiany cen i wolumen obrotów można zidentyfikować powtarzające się w czasie konfiguracje, które z kolei pozwalają prognozować przyszłe trendy kursów giełdowych. Rozpoznawalne w analizie technicznej formacje można podzielić na dwie grupy: formacje zapowiadające zmianę dotychczasowego trendu oraz formację zapowiadającą kontynuację trendu, a szeroki ich przegląd można znaleźć między innymi w pracy [Morris, 1998]. Płynące z giełdy informacje dotyczące kształtowania się kursów akcji obejmują cztery ceny (w przypadku indeksów giełdowych poziomy punktowe): otwarcia, zamknięcia oraz minimalną i maksymalną. Jednak umysł ludzki nie jest w stanie właściwie przyswoić i przetworzyć dużej ilości informacji, zwłaszcza gdy są one podawane za pomocą ciągu liczb. Ułatwieniem w odbiorze i analizie informacji giełdowych okazuje się wizualizacja danych prezentująca nie tylko cen ale również zależności między nimi. Jednym z popularnych sposobów obrazowania informacji cenowych są świece japońskie (rysunek 12) i wykresy świecowe (rysunek 13), które są ważnym elementem analizy technicznej. W dalszej części pracy prezentowane wykresy będą budowane na bazie indeksu WIG20 z Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie. Wykresy świecowe powstają przez podział pewnego okresu czasu na podokresy i prezentację każdego z nich za pomocą pojedynczej świecy japońskiej. W dalszej części pracy przyjętą jednostką czasu będzie pojedynczy dzień sesyjny (rysunek 13). Taka prezentacja cen akcji pozwala szybko i łatwo rozpoznawać formacje na wykresach, które są szeroko opisane w literaturze [Morris, 1998] oraz podejmować na ich podstawie odpowiednie decyzje inwestycyjne. W podobny sposób ceny akcji można reprezentować za pomocą skierowanych liczb rozmytych (rysunek 14). Dodatkową zaletą prezentacji za pomocą OFN jest łatwość wykonywania operacji arytmetycznych, co w rezultacie daje jednoczesne obliczenia na czterech cenach oraz możliwość ich wykorzystywania w modelach ekonomicznych. Świece japońskie: a) wzrostowa, b) spadkowa RYSUNEK 12

8 RYSUNEK 13 Wykres świecowy indeksu WIG20 w okresie: Źródło: RYSUNEK 14 Świece japońskie reprezentowane przez skierowane liczby rozmyte: a) wzrostowa, b) spadkowa W reprezentacji cen akcji za pomocą skierowanych liczb rozmytych możemy również wyznaczyć pewne charakterystyki OFN jak nośnik oraz jądro. Nośnik informuje o wielkości całkowitej zmiany ceny w danym okresie (odległości ceny maksymalnej i ceny minimalnej), który OFN reprezentuje, natomiast jądro określa zakres zmiany ceny między ceną otwarcia a zamknięcia.

9 RYSUNEK 15 Wykres świecowy indeksu WIG20 w okresie: Źródło: Na rysunku 15 pokazano wykres świecowy indeksu WIG 20 obejmujący okres od do , natomiast rysunek 16 obrazuje ten sam okres, ale do prezentacji cen wykorzystano skierowane liczby rozmyte. RYSUNEK 16 Wykres indeksu WIG20 z użyciem OFN w okresie:

10 Rysunek 16 pokazuje, że OFN mogą być z powodzeniem stosowane do prezentacji cen akcji dając czytelny i łatwy w odbiorze przekaz danych giełdowych. Ponadto, tak jak w przypadku świec japońskich, wykresy zbudowane na skierowanych liczbach rozmytych tworzą odpowiednie formacje, na podstawie których inwestor może podejmować decyzje inwestycyjne. Jednak takie formacje czasami wymagają potwierdzenia w jaki sposób rozwinie się sytuacja na rynku za pomocą innych narzędzi np. wskaźników analizy technicznej. Jednym z popularniejszych i najczęściej używanych przez inwestorów są średnie kroczące, które służą do wygładzania wykresu ceny oraz wyznaczania trendów. Średnia taka jest zazwyczaj średnią z cen otwarcia, zamknięcia, minimalnych lub maksymalnych z określonej liczby okresów z przeszłości. Oczywiście najpopularniejszą ceną jest cena zamknięcia. Gdy do opisu cen akcji użyjemy skierowanych liczb rozmytych wówczas prostą średnią kroczącą (simple moving average - SMA) wyznaczamy następująco: gdzie są skierowanymi liczbami rozmytymi z okresów wcześniejszych opisującymi ceny akcji, oznacza OFN z ostatniego okresu, jest liczbą okresów (rzędem średniej ruchomej). Przy opisie cen za pomocą OFN po wykonaniu obliczeń otrzymamy średnie ruchome dla wszystkich czterech cen jednocześnie. Na rysunku 17 linią ciągłą zobrazowano skierowane liczby rozmyte reprezentujące dzienne ceny indeksu WIG20 obejmującego okres od do , natomiast linią przerywaną prostą średnią kroczącą rzędu 20-go tego indeksu. Jak widać na rysunku w analizowanym okresie wszystkie średnie ruchome są wzrostowe, czyli w tym czasie trend był wzrostowy. Dodatkową zaletą prezentacji danych giełdowych za pomocą skierowanych liczb rozmytych jest fakt, że kiedy chcemy analizie poddać jedną z cen, np. cenę zamknięcia, wystarczy połączyć odpowiednie punkty skierowanych liczb rozmytych i otrzymujemy wykresy liniowe. Tą sytuację obrazuje rysunek 18. RYSUNEK 17 Wykres indeksu WIG20 - linia ciągła oraz średnia krocząca 20 okresowa linia przerywana opisane za pomocą OFN w okresie:

11 RYSUNEK 18 Wykres indeksu WIG20 - linia ciągła oraz średnia krocząca 20 okresowa linia przerywana opisane za pomocą OFN w okresie: oraz wykresy liniowe cen zamknięcia 4. Zakończenie W pracy zaprezentowano nowy model liczb rozmytych, tzw. skierowane liczby rozmyte. Arytmetyka w tym modelu jest analogiczna do działań na liczbach rzeczywistych. Zdaniem autora otwiera to wielkie możliwości wykorzystania OFN w modelowaniu ekonomicznym. Zobrazowano to na przykładzie użycia OFN do opisu cen akcji. Opis ten pozwala szybko i łatwo odnajdywać formacje cenowe, podobnie jak na wykresach świecowych. Dodatkowo arytmetyka w modelu OFN pozwala łatwo wyznaczać wskaźniki analizy technicznej, jak np. prostą średnią kroczącą, co w pracy zaprezentowano. Dalsze badania będą się skupiać na połączeniu cen akcji prezentowanych za pomocą skierowanych liczb rozmytych, z histogramem cen oraz wolumenem obrotów. Literatura 1. Dubois D., Prade H., Operations on fuzzy numbers, International Journal System Science, no.9, pp Kacprzak D., Model Leontiewa i skierowane liczby rozmyte, VII Konferencja naukowopraktyczna: Energia w nauce i technice. Suwałki: Wydawnictwo Politechniki Białostockiej, s Kacprzak D., Skierowane liczby rozmyte w modelowaniu ekonomicznych, Optimum Studia Ekonomiczne, nr3, s Kacprzak D., Przychód i koszt całkowity przedsiębiorstwa wyrażony przy użyciu skierowanych liczb rozmytych, Zarządzanie i Finanse. Vol.10, nr2, cz Kosiński W., Prokopowicz P., Ślęzak D., 2002a. Drawback of fuzzy arthmetics new intutions and propositions. In T. Burczyński, W. Cholewa, W. Moczulski ed. Methods of Aritificial Intelligence, Gliwice, pp

12 6. Kosiński W., Prokopowicz P., Ślęzak D., 2002b. On algebraic operations on fuzzy reals. In L. Rutkowski, J. Kasprzyk ed. Advances in Soft Computing, Proceedings of the Sixth International Conference on Neutral Networks and Soft Computing, Zakopane, pp Kosiński W., Prokopowicz P., Ślęzak D., Ordered fuzzy numbers, Bulletin of the Polish Academy of Sciences Mathematics. Vol.52, no3, pp Kosiński W., Prokopowicz P., Algebra liczb rozmytych. Matematyka stosowana. Warszawa: Pismo Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Vol.5, nr46, s Kosiński W., Prokopowicz P., Kacprzak D., Fuzziness representation of dynamic changes by ordered fuzzy number. In R. Seising ed. Studies In Fuzziness and Soft Computing. Vol.243, pp Morris G. L., Wykresy świecowe. Warszawa: Dom Wydawniczy ABC. 11. Tarczyński W., Fundamentalny portfel papierów wartościowych. Warszawa: Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne. 12. Zadeh L.A., Fuzzy sets, Information and Control, no.8, pp